Archivo de la etiqueta: Suma y multiplicación

Álgebra Superior I: Suma y producto de naturales y sus propiedades

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

Introducción

La función suma

Usaremos el teorema de recursión que revisamos en la entrada pasada para definir la función suma entre números naturales.

Primero, recordemos qué nos menciona este teorema:

Teorema (Recursión Débil): Sea $X$ un conjunto y $x_{0}\in X$. Supongamos que tenemos una función $f:X\to X$. Entonces existe una única función $\phi:\mathbb{N}\to X$ tal que:

  • $\phi(0)=x_{0}$
  • $\phi(\sigma(n))=f(\phi(n)).$

Ahora, definamos la función suma como sigue: La función sumar $n$ unidades a un número estará dada por $s_n:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ dada por:

  • $s_n(0) = n$
  • $s_n(\sigma(m)) = \sigma(s_n(m))$

Notación: Para cada par de números naturales $n,m$, escribiremos $$s_n(m) = n+m. $$
Y por el teorema de recursión, esta es una función bien definida. Ahora veamos cuál es esta función. La primera condición nos dice que la función evaluada en el $0$ es $n$. Ahora veamos cómo es que esta función se define para los siguientes números, nota que si aplicamos la segunda condición, obtenemos que $$s_n(\sigma(0)) = \sigma(s_n(0)).$$ Recordando cómo definimos la función sucesora, sustituimos $\sigma(0)$ por $1$ para obtener que $$s_n(1) = \sigma(s_n(0)) = \sigma(n).$$ De tal manera que $$s_n(1) = n+1 .$$ De manera similar se puede comprobar que $$s_n(2)=n+2 .$$ Y de manera recursiva, podemos demostrar que $$\begin{align*}
s_n(3) &= n+3 \\
s_n(4) &= n+4 \\
s_n(5) &= n+5 \\
&\vdots \\
s_n(m) &= n+m \\
&\vdots
\end{align*}$$ Como podrás observar, la función $s_n$ corresponde a sumarle a un número $n$ unidades. Formalmente así es como se defina la suma entre dos números. Veamos a continuación algunas propiedades de la suma. Como dato adicional, nota que para todo número natural $n$, $s_n(1)=\sigma(n)$

Propiedades de la suma

Proposición. La suma es asociativa, esto quiere decir, para $n,m,k \in \mathbb{N}$ se cumple que: $$ s_n(s_m(k)) = s_{n+m}(k) .$$
Demostración. Sean $n,m,k \in \mathbb{N}$. Lo que queremos demostrar es que $$n+(m+k) = (n+m)+k.$$ Para ello, nota que bastará probar que $s_n \circ s_m = s_{n+m}$. Para ello notemos que

  1. $s_n(s_m(0)) = s_n(m) = m+n$
  2. $s_n(s_m(\sigma(k))) = s_n(\sigma(s_m(k))) = \sigma(s_n(s_m(k)))$

Por otro lado, por definición de la suma:

  1. $s_{n+m}(0) = n+m$
  2. $s_{n+m}(\sigma(k)) = \sigma(s_{n+m}(k))$

Esto quiere decir que tanto $s_n \circ s_m$ como $s_{n+m}$ cumplen las dos condiciones del teorema de recursión, y este nos asegura que $$s_{n+m} = s_n \circ s_m$$ pues el teorema asegura que la función que cumple dichas dos condiciones es única.

$\square$

Proposición. La suma es conmutativa. Es decir, para $n,m,k \in \mathbb{N}$ se cumple que: $$s_n(m) = s_m(n).$$

Demostración. Sea $n \in \mathbb{N}$ . Haremos la demostración por inducción sobre $m$.
Base inductiva. Notemos que $s_n(0) = n$. Por otro lado, se puede demostrar sin mucha dificultad que $s_0(n) = n$ (se deja como tarea moral la demostración de este enunciado). De esta manera $$s_n(0) = s_0(m). $$

Hipótesis de inducción. Supongamos que $m \in \mathbb{N}$ es tal que $$s_n(m) = s_m(n). $$

Paso inductivo. Ahora demostraremos que $$s_n(\sigma(m)) = s_{\sigma(m)}(n). $$Para ello notemos que $$s_n(\sigma(m)) = \sigma(s_n(m))$$Ahora, aplicando la hipótesis de inducción, tenemos que $$\sigma(s_n(m)) = \sigma(s_m(n)). $$ Ahora, nota que $$ \begin{align*}
\sigma(s_m(n)) &= s_m(\sigma(n)) \\

& = s_m(s_1(n))\\

&= s_{m+1}(n) \\

&= s_{\sigma(m)}(n)
\end{align*}$$

Estas últimas dos igualdades son válidas debido a la asociatividad de la suma. Es una vez concluido esto último que podemos seguir la cadena de igualdades. Esto resulta en que $s_n(\sigma(m)) = s_{\sigma(m)}(n). $ Como se quería demostrar.

$\square$

La multiplicación

Cuando apenas estamos aprendiendo a sumar, alguna vez nos encontramos con una abreviación de sumar los mismos términos. Por ejemplo, nos dicen que si tenemos tres grupos de perros, cada uno con cinco perros, entonces podríamos contar el número total de perros con la siguiente expresión:

$5+5+5$

$3$ grupos de perros con $5$ perros cada uno

Quizá no es tan tardado en escribir $5+5+5$, y llegaríamos a la conclusión de que hay $15$ perros en total. Pero ahora ¿Qué pasaría si tenemos trescientos grupos de perros con cinco perros cada uno? Pues la notación se complica, pues para escribirlo, deberíamos anotar $5+5\underbrace{+\dots+}_{296 \text{ veces}}5+5$, es decir, sumar $5$ unas $300$ veces.

$300$ grupos de perros con $5$ perros cada uno

Es por esto que se llega a la noción de multiplicación, pues al considerar la primera suma, bien podemos escribir: $$5+5+5 = 3 \times 5.$$ Y la segunda suma: $$5+5\underbrace{+\dots+}_{296 \text{ veces}}5+5 = 300 \times 5 .$$

Ahora, nota que la primera suma se puede expresar como $$(5+5)+5 = (2 \times 5) + 5 $$ De manera que sabemos que $$3 \times 5 = (s(1) \times 5) + 5 $$

De igual forma $$(s(298)\times 5) + 5 = 300 \times 5$$ Eso generalizando a cualquier número $n \in \mathbb{N}$ lo escribiríamos como $$s(n) \times 5 = (n \times 5) + 5 $$ Y para cualquier número $m \in \mathbb{N}$: $$s(n) \times m = (n \times m) + m $$

Definición de la multiplicación

Sean $n, m \in \mathbb{N}$, la multiplicación entre números naturales la definiremos como la función $\times : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tal que:

$$\begin{align*}
0 &\times n = 0 \\
s(n) &\times m = (n \times m) + m
\end{align*} $$

Nota que esta es una definición recursiva, pues la definición de la multiplicación del sucesor de un elemento depende de la multiplicación del mismo elemento.

Usando el hecho de que sabemos que la multiplicación con el $0$ siempre es $0$, podemos obtener una propiedad interesante al ver qué pasa cuando multiplicamos cualquier elemento con el $1$, pues resultará que la multiplicación se comportará como la identidad cuando multiplicamos con el $1$.

Proposición. Para cualquier número natural $m$, $1 \times m = m$.

Demostración. Notemos que por definición $$0 \times m = 0$$, de manera que $$1 \times m = s(0) \times m $$

A su vez, podemos usar la otra propiedad de la multiplicación para sustituir el término $s(0)$: $$s(0) \times m = (0 \times m)+m=m $$ Llegando así al resultado deseado.

$\square$

Otra proposición interesante es que esta operación es conmutativa, y es algo que sabemos por sentido común, pues podríamos escribir que $$3 \times 5 = 5 +5+5 = 15=3+3+3+3+3=5\times 3 $$ Nuestro sentido común nos lo dice, sin embargo para demostrar esto, deberemos usar inducción matemática.

Proposición. La multiplicación de números naturales es conmutativa.

Demostración. Para esto notemos que podemos definir la multiplicación de cada número natural $m$ en términos de el teorema débil de recursividad como:
$$\begin{cases}
f_m(0) &= 0\\
f_m(n+1) &= m \times n + m
\end{cases}
$$
Ahora definamos la función $g_m(n) = n \times m$ y veamos que es la misma que $f$.
Notemos que cualquier suma de $0$ consigo misma es $0$, haciendo que $g_m(0)=0$ esto se puede demostrar por inducción y resulta una tarea que puede poner en práctica tus habilidades para este tipo de demostraciones.

Notemos que adicionalmente:
$$\begin{align*}
g_m(n+1) &= (n+1) \times m\\
&= (n \times m) + m \\
&= g_m(n)+m
\end{align*} $$
Demostrando que $g_m$ también cumple la definición de $f_m$. Como el teorema de recursión débil nos garantiza que $f_m$ es única, entonces $g_m=f_m$, esto quiere decir que $m \times n = n \times m$.

Como esto sucede para cualquier número natural $m$, entonces es cierta la siguiente afirmación: «$\forall m,n \in \mathbb{N}, m\times n = n \times m$»

$\square$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra que para todo número natural $n$, $s_n(1)=\sigma(n)$.
  2. Demuestra que para todo número natural $n$, $s_0(n)=n$.
  3. Demuestra que la multiplicación es asociativa.
  4. Demuestra que $0 \times n = n \times 0$.

Más adelante…

Ahora que hemos visto la suma y multiplicación de los números naturales, hablaremos un poco más de los conjuntos y su relación con los números naturales introduciendo «el tamaño de los conjuntos» o «cardinalidad»

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Cálculo Diferencial e Integral I: Propiedades algebraicas de los números reales (Parte 2)

Por Karen González Cárdenas

Introducción

Continuaremos revisando resultados derivados de las Propiedades básicas de los números reales vistas en la entrada anterior.

Resultados relacionados a la multiplicación

Proposición. Demostraremos lo siguiente:

  1. Sean $a,b \in\RR$. Si $ab=0 \Rightarrow a=0 $ ó $b=0$.
  2. Sea $a\in \RR, a\neq 0$. Si $ax=a$, entonces $x=1$.
  3. Sean $a,b,c \in \RR$ con $a \neq 0$. Si $ab = ac \Rightarrow b=c$.

Demostración:

  1. Procederemos a demostrar por contradicción. Así suponemos que $ab=0$, $a\neq 0$ y $b\neq 0$. Entonces por la propiedad M5 existen $a^{-1},b^{-1}\in\RR$ tales que $a\cdot a^{-1}=1$ y $b\cdot b^{-1}=1$.
    Y como $ab=0$ se sigue:
    \begin{align*}
    &\Rightarrow (ab)\cdot b^{-1}=0\cdot b^{-1}\tag{por multiplicar $b^{-1}$}\\
    &\Rightarrow a (b\cdot b^{-1}) = 0\cdot b^{-1}\tag{por M3}\\
    &\Rightarrow a (1) = 0\cdot b^{-1}\tag{por M5}\\
    &\Rightarrow a = 0\cdot b^{-1}\tag{por M4}\\
    &\Rightarrow a = b^{-1}\cdot 0 \tag{por M2}\\
    &\Rightarrow a = 0 \contradiccion \tag{por resultado $a\cdot 0=0$}\\
    \end{align*}
    Lo anterior es una contradicción, pues supusimos que $a\neq 0$.
    $\therefore \quad a=0 \quad \text{o}\quad b=0$

    Observación: Utilizaremos el símbolo $\contradiccion$ para referirnos a una contradicción en las pruebas.

    Otra alternativa de demostración para este punto 1 es la siguiente:
    Vamos a suponer que $ab=0$ y $a\neq 0$. Por M5 sabemos que existe $a^{-1}\in\RR$ inverso multiplicativo de $a$, así tenemos que:
    \begin{align*}
    &\Rightarrow a^{-1}\cdot (ab)=a^{-1}\cdot 0 \tag{por multiplicar $a^{-1}$}\\
    &\Rightarrow (a^{-1}\cdot a)b=a^{-1}\cdot 0 \tag{por M3}\\
    &\Rightarrow 1\cdot b=a^{-1}\cdot 0 \tag{por M5}\\
    &\Rightarrow b=a^{-1}\cdot 0 \tag{por M4}\\
    &\Rightarrow b = 0 \tag{por resultado $a\cdot 0=0$}\\
    \end{align*}
    Análogamente, si consideramos $b\neq 0$ obtendríamos que $a=0$.
    $\therefore a=0 $ ó $b=0$
  2. Como por hipótesis tenemos que $ax=a$.
    \begin{align*}
    &\Rightarrow ax + (-a)=a + (-a)\tag{por sumar $-a$}\\
    &\Rightarrow ax + (-a) = 0\tag{por S5}\\
    &\Rightarrow ax + (-1)(a)=0\tag{por $-a = (-1)(a)$}\\
    &\Rightarrow ax +(a)(-1)=0\tag{por M2}\\
    &\Rightarrow a (x + (-1))=0\tag{por D}\\
    \end{align*}

    Por el punto anterior 1 tenemos que $a=0$ ó $x + (-1)=0$. Pero como por hipótesis tenemos que $a\neq 0$ entonces $x + (-1)=0$.

    Como ya vimos que el inverso aditivo es único $\Rightarrow x$ es el inverso aditivo de $-1$, que por el resultado $-(-a)=a$ usando $a=1$, sabemos que es 1.
    $$\therefore \quad x=1$$
  3. Como por hipótesis tenemos que $a\neq 0$ entonces existe $a^{-1}\in\RR$ por M5.
    Así multiplicando por $a^{-1}$ en ambos lados de la igualdad $ab=ac$ tenemos:
    \begin{align*}
    &\Rightarrow a^{-1}(ab)=a^{-1}(ac)\\
    &\Rightarrow (a^{-1}a)b=(a^{-1}a)c\tag{por M3}\\
    &\Rightarrow 1\cdot b= 1\cdot c\tag{por M5}\\
    &\Rightarrow b=c\tag{por M4}\\
    \end{align*}
    $$\therefore \quad b=c$$

$\square$

Como vimos en las pruebas anteriores, conforme vayamos probando más propiedades los resultados que obtendremos se volverán más interesantes. A continuación demostraremos algunos con los que seguramente ya estás familiarizado.

Algunos productos notables

Notación: Definimos $x-y:=x + (-y)$.

Proposición: Para $x,y \in \RR$ se cumple lo siguiente:

  1. Diferencia de cuadrados: $x^{2} – y^{2} =(x – y)(x+y)$ .
  2. Si $x^{2} = y^{2}$ entonces $x=y \quad$ o $\quad x=-y$ .
  3. Diferencia de cubos: $x^{3} – y^{3}=(x-y)(x^{2} +xy+ y^{2})$ .
  4. Suma de cubos: $x^{3} + y^{3}=(x-y)(x^{2} -xy+ y^{2})$ .

Demostración:

  1. Partiremos de $(x – y)(x+y)$, así obtenemos lo siguiente:
    \begin{align*}
    (x – y)(x+y)&= (x-y)x + (x-y)y\tag{por D}\\
    &=x(x-y)+y(x-y)\tag{por M2}\\
    &=x(x+(-y))+y(x+(-y))\\
    &=x\cdot x + x\cdot (-y)+y\cdot x+y\cdot (-y)\tag{por D}\\
    &= x^{2} – xy+yx-y^{2}\tag{por $-xy=x(-y)$}\\
    &= x^{2} – xy+xy-y^{2}\tag{por M2}\\
    &= x^{2} +0-y^{2}\tag{por S5}\\
    &= x^{2} -y^{2}\tag{por S4}\\
    \therefore \quad(x – y)(x+y)&=x^{2} -y^{2}
    \end{align*}
  2. Sabemos que $x^{2} =y^{2}$. Veamos que si sumamos $-y^{2}$ en ambos lados obtenemos:
    $$x^{2} – y^{2}=y^{2}- y^{2} \Rightarrow x^{2} – y^{2}=0$$
    Aplicando el punto anterior se sigue que:
    $$(x – y)(x+y)=0$$
    Recordando la proposición vista al principio de la entrada decimos que: $x-y=0$, o bien, $x+y=0$.
    Por un lado tenemos que al sumar $y$ en $x-y=0$:
    \begin{align*}
    (x-y)+y&=0+y\\
    x+((-y)+y)&=y\tag{por S3 y S4}\\
    x&=y\tag{por S5}\\
    \end{align*}
    $$\therefore \quad x=y$$

    Y por otro tenemos que al sumar $-y$ en $x+y=0$:
    \begin{align*}
    (x+y)-y&=0-y\\
    x+(y+(-y))&=-y\tag{por S3 y S4}\\
    x&=-y\tag{por S5}\\
    \end{align*}
    $$\therefore \quad x=-y$$
    De lo anterior concluimos que $x=y$, ó $x=-y$.

    Los incisos 3 y 4 se dejarán como ejercicios en la Tarea moral.

$\square$

Propiedades relacionadas a los inversos multiplicativos

Notación: Denotaremos al inverso multiplicativo de $a\in\RR$ como $a^{-1}=\frac{1}{a}$. Consecuentemente, definimos $\frac{a}{b}:= a \cdot b^{-1}$.

Proposición: Para $a,b,c,d \in \RR$ se cumple lo siguiente:

  1. Para $a,b\neq 0$, $$(ab)^{-1} = a^{-1}b^{-1}\quad \text{.}$$
  2. Para $b,c\neq 0$, $$\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}\quad \text{.}$$
  3. Para $b,d \neq 0$, $$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} =\frac{ad+bc}{bd}\quad \text{.}$$
  4. Para $b,d \neq 0$, $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\quad \text{.}$$
  5. Para $b,c,d \neq 0$, $$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{ad}{bc}\quad \text{.}$$
  6. Para $b,d \neq 0$, $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Rightarrow ad=bc \quad \text{.}$$

Demostración:

  1. Observemos que por la propiedad de cerradura M1, $ab\in\RR$ y $ab\neq 0$. Así por M5 se sigue que: $$(ab)(ab)^{-1}=1 \tag {1}\quad \text{.}$$
    De este modo, lo que queremos probar es: $$(ab)(a^{-1}b^{-1})=1\quad \text{.}$$
    Comenzando por el lado izquierdo de la igualdad tenemos:
    \begin{align*}
    (ab)(a^{-1}b^{-1})&=a(b(a^{-1}b^{-1}))\tag{por M3}\\
    &=a(b(b^{-1}a^{-1}))\tag{por M2}\\
    &=a((bb^{-1})a^{-1})\tag{por M3}\\
    &=a((1)a^{-1})\tag{por M5}\\
    &=aa^{-1}\tag{por M4}\\
    &=1 \quad \text{.}\tag{por M5}
    \end{align*}
    Concluimos que $(ab)(a^{-1}b^{-1})=1 \tag{2}$. Al igualar con $(1)$ nos queda: $$(ab)(ab)^{-1}=(ab)(a^{-1}b^{-1})\quad\text{.}$$ Y aplicando el punto 3 de la primera sección de esta entrada tenemos: $$(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}\quad\text{.}$$
  2. Recordemos que por la definición $\frac{a}{b}=ab^{-1}$. Por lo que tendríamos:
    \begin{align*}
    \frac{ac}{bc} &=(ac)(bc)^{-1}\\
    &=(ac)(b^{-1}c^{-1})\tag{ por el punto anterior}\\
    &=((ac)b^{-1})c^{-1}\tag{por M3}\\
    &=(a(cb^{-1}))c^{-1}\tag{por M3}\\
    &=(a(b^{-1}c))c^{-1}\tag{por M2}\\
    &=(ab^{-1})c)c^{-1}\tag{por M3}\\
    &=(ab^{-1})(cc^{-1})\tag{por M3}\\
    &=(ab^{-1})(1)\tag{por M5}\\
    &=ab^{-1} \quad \text{.}\tag{por M4}\\
    \end{align*}
    $$\therefore \quad \frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}\quad \text{.}$$
  3. La propiedad 3 queda como ejercicio para nuestro lector.
  4. Procedamos a demostrar la propiedad 4, comenzaremos por $$\frac{ac}{bd}=\frac{ac}{bd}\quad\text{.}$$
    Así por definición tenemos lo siguiente:
    \begin{align*}
    \frac{ac}{bd}&=(ac)(bd)^{-1}\\
    &= (ac)(b^{-1}d^{-1})\tag{por el primer punto}\\
    &= ((ac)b^{-1})d^{-1}\tag{por M3}\\
    &=(a(cb^{-1}))d^{-1}\tag{por M3}\\
    &=(a(b^{-1}c))d^{-1}\tag{por M2}\\
    &=((ab^{-1})c)d^{-1}\tag{por M3}\\
    &=(ab^{-1})(cd^{-1})\tag{por M3}\\
    &=\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}\quad\text{.}
    \end{align*}
    $$\therefore \quad \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\quad\text{.}$$
  5. La propiedad 5 queda como ejercicio para nuestro lector.
  6. Sean $b,d \neq 0$. Supongamos que: $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\quad\text{.}$$
    $P.d.$ $ad = bc$.
    Ya que $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\quad\text{,}$$ por definición tenemos $ab^{-1}=cd^{-1}$.
    Multiplicando por $b$ se sigue que:
    \begin{align*}
    &\Rightarrow(ab^{-1})b =(cd^{-1})b\\
    &\Rightarrow a(b^{-1}b) =c(d^{-1}b)\tag{por M3}\\
    &\Rightarrow a(1) =c(bd^{-1})\tag{por M5 y M2}\\
    &\Rightarrow a =(cb)d^{-1}\quad\text{.}\tag{por M4 y M3}\\
    \end{align*}

    Ahora multiplicaremos la igualdad anterior por $d$:
    \begin{align*}
    &\Rightarrow ad =((cb)d^{-1})d\\
    &\Rightarrow ad =(cb)(d^{-1}d)\tag{por M3}\\
    &\Rightarrow ad =(cb)(1)\tag{por M5}\\
    &\Rightarrow ad =cb\tag{por M4}\\
    &\Rightarrow ad =bc\quad\text{.}\tag{por M2}\\
    \end{align*}

$\square$

Tarea moral

Prueba los puntos 3 y 4 de la sección «Algunos productos notables».

  • Diferencia de cubos: $x^{3} – y^{3}=(x-y)(x^{2} +xy+ y^{2})$
  • Suma de cubos: $x^{3} + y^{3}=(x-y)(x^{2} -xy+ y^{2})$
    Sugerencia: Utiliza el punto anterior «Diferencia de cubos» y prueba que $y^{3}=-(-y)^{3}$.

Prueba los puntos 3 y 5 de la sección anterior:

  • Para $b,d \neq 0$, $$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} =\frac{ad+bc}{bd}\quad\text{.}$$
  • Para $b,c,d \neq 0$, $$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{ad}{bc}\quad\text{.}$$

Más adelante

Durante las últimas dos entradas vimos las propiedades relacionadas con la suma y la multiplicación de los números reales. Sin embargo, no son las únicas propiedades que este conjunto de números cumple. En la siguiente entrada comenzaremos a ver las propiedades de orden de los números reales y algunas de sus consecuencias.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»