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Investigación de Operaciones: El problema de producción e inventario

Por Aldo Romero

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Introducción

Ya hemos visto algunos ejemplos en los que se plantea un problema de programación lineal a partir de un contexto específico. Hemos visto el problema de la dieta, el problema de la mochila y el problema del transporte. Hay algunos problemas que parecen un poco más complicados y que no es tan evidente desde el inicio que se pueden plantear como problemas de programación lineal. En esta ocasión veremos uno de ellos: el problema de producción e inventario.

Abundan las aplicaciones de la programación lineal para planificar la producción y para controlar inventarios. El siguiente es solo una de múltiples aplicaciones que se les puede dar a este tipo de problemas.

A grandes rasgos, el problema consiste en modelar una fábrica que necesita tener lista cierta cantidad de inventario de un producto en determinados momentos del año. La fábrica puede producir cierta cantidad de producto que depende de la temporada del año. Quizás haya temporadas en las que puede producir más de lo que necesita, pero si hace eso incurrirá en costos de almacenaje. ¿Cómo puede distribuir su producción, almacenaje y despacho la fábrica para minimizar el costo y cumplir con su compromiso de inventario? Veamos a continuación que esta situación se puede plantear en términos de un problema de programación lineal.

Ejemplo del problema de producción e inventario

Una empresa productora de videojuegos indie acaba de finalizar su último gran lanzamiento y está lista para producirlo en masa en su formato físico. La siguiente tabla indica la demanda de los primeros 3 meses de lanzamiento.

Meses transcurridos a
partir del lanzamiento		012
Demanda en miles de copias
del mes en curso		806040
Productividad disponible del
mes en curso		1105030

Como el primer mes de lanzamiento es el más importante, la empresa decide que se pueden producir hasta 110 mil copias ese mes, y gradualmente va a reducir su productividad a 50 mil copias el segundo mes y 30 mil el tercer mes; esto con la finalidad de enfocar más tiempo y recursos en otras producciones.

La empresa productora y las tiendas donde se venden tiene un contrato que establece en particular dos cosas:

  • Las tiendas tienen que tener en stock la cantidad de copias demandas cada mes, y esta cantidad de copias será las que la empresa productora entregó este mes junto con las que sobraron el mes pasado
    • Si se entregan más copias que las demandadas por la tienda, se cobrará un costo de almacenamiento de \$2000 al mes por cada mil copias que están siendo almacenadas en tienda fuera de la demanda establecida.

El costo de producción de cada mil copias es de \$20000. Se desea determinar el plan de producción e inventario que satisfaga el contrato con estas tiendas a fin de minimizar los costos.

Variables de decisión

De manera intuitiva, vamos a hacer nuestras variables de decisión las miles de copias que se van a producir el mes en curso desde el lanzamiento del juego.

$x_i$ = miles de copias a producir en el mes $i$ desde el lanzamiento del juego. $(i \in \{1, 2, 3\})$.

Función objetivo

Como se mencionó, el plan de producción tiene que minimizar los costos para la empresa, tanto los gastos de producción de sus videojuegos como el almacenamiento de estos.

El costo de producción es simplemente el número de copias producidas por cada mes, multiplicado por el costo de fabricación de cada copia ($\$20$). Esto es: $20(x_1 + x_2 + x_3)$.

Y luego consideramos el costo de almacenamiento de las copias que no fueron demandadas por la empresa en ese mes. Entonces, para el primer mes, $x_1 – 80$ son las miles de copias que la empresa tiene que cubrir en gastos de almacenamiento. Para el segundo mes, las copias demandadas al momento son las acumuladas del primer y segundo mes ($140000$) y los juegos producidos son solamente $x_1 + x_2$. Entonces, los miles de juegos por los que hay que cubrir el costo de almacenamiento son $x_1 + x_2 – 140$. Y para el tercer mes, las copias demandadas son las acumuladas de los primeros 3 meses ($180000$) y los juegos producidos serán $x_1 + x_2 + x_3$ en miles de copias, y así, los costos de almacenamiento para el tercer mes serán $x_1 + x_2 + x_3 – 180$.

Entonces, el número de miles de copias por las que hay que cubrir costos de almacenamiento para estos 3 meses será: $(x_1 – 80) + (x_1 + x_2 – 140) + (x_1 + x_2 + x_3 -180)$. Y esta cantidad la multiplicamos por el costo de almacenamiento mensual por millar de copias (\$2000).

Entonces, juntando las expresiones, el costo total que hay que minimizar sería:

$$Min \quad z = 20000(x_1 + x_2 + x_3) + 2000[(x_1 – 80) + (x_1 + x_2 – 140) + (x_1 + x_2 + x_3 – 180)]$$

O si lo queremos poner de la forma más resumida posible, esto es:

$$Min \quad z = 26000x_1 + 24000x_2 + 22000x_3 – 800000$$

Restricciones del problema de producción e inventario

Primero, vayamos con las restricciones de oferta:

\begin{align*}
x_1 \leq 110\\
x_2 \leq 50\\
x_3 \leq 30\\
\end{align*}

Después, vayamos con las restricciones de demanda:

\begin{align*}
x_1 \geq 80\\
x_2 + (x_1 – 80) \geq 60\\
x_3 + (x_1 + x_2 – 140) \geq 40\\
\end{align*}

Recordemos que la razón de la última restricción es para que la empresa productora no se quede ninguna copia más de las demandadas para que no haya cuota por almacenamiento en las tiendas para el cuarto mes.

Y naturalmente nuestras variables de decisión son no negativas ya que hablamos de la cantidad de unidades que tenemos de un producto.

Resumen de formulación del problema de producción e inventario

En resumen, nuestro problema de programación lineal quedaría planteado así:

\begin{align*}
Min \quad z = 20000(x_1 + x_2 + x_3) &+ 2000[(x_1 – 80) + (x_1 + x_2 – 140) + (x_1 + x_2 + x_3 – 180)]\\
&s.a\\
x_1 &\leq 110\\
x_2 &\leq 50\\
x_3 &\leq 30\\
x_1 &\geq 80\\
x_2 + (x_1 – 80) &\geq 60\\
x_3 + (x_1 + x_2 – 140) &\geq 40\\
x_i &\geq 0, i \in \{1, 2, 3\}\\
\end{align*}

Más adelante…

La siguiente entrada muestra nuestro último ejemplo introductorio: el problema de la ruta más corta. Como veremos, en este problema también es necesario aprovechar la situación del problema de manera creativa para poder llevarlo a un contexto lineal.

Tarea

  1. El problema se vuelve mucho más sencillo si únicamente hay dos periodos. Plantea un problema que refleje esta situación en el caso particular de la entrada y resuélvelo. Es decir, determina en esos dos periodos (el primer y segundo mes) cuál es la cantidad correcta de unidades a producir por mes, para minimizar el costo total.
  2. Cambia el planteamiento dado en la entrada por uno en el que el costo de almacenaje en las tiendas sea de \$0. En ese caso, ¿cuál sería el plan de producción e inventario óptimo?
  3. En esta entrada dimos la formulación de un caso particular del problema de producción e inventario. Sin embargo, ya tienes todas las herramientas para plantear el problema de manera general. Realiza una formulación general en la que:
    1. Se tengan n periodos con demanda de unidades$d_1, d_2, \ldots, d_n$ por cada periodo.
    2. Se tengan capacidades de producción $o_1, o_2, \ldots, o_n$ unidades en cada periodo.
    3. Se tengan costos $P$ y $A$, de producir y almacenar una unidad de producto respectivamente.
  4. En un problema general de producción e inventario. ¿Por qué podría ser mala idea producir mucho más de lo necesario en las temporadas en las que se puede? Intenta justificar intuitivamente, y luego encuentra algunos casos particulares del problema que apoyen tus argumentos.

Respuestas

1.- Si eliminamos un mes del problema, tendríamos la siguiente tabla de productividad y demanda:

Meses transcurridos a
partir del lanzamiento		01
Demanda en miles de copias
del mes en curso		8060
Productividad disponible del
mes en curso		11050

Tenemos las mismas variables de decisión: $x_i$ = miles de copias a producir el mes $i$ desde el lanzamiento del juego. $i \in \{1, 2\}$

Para la función objetivo, el costo de producción de las copias va a ser: $20000(x_1 + x_2)$. Los gastos de almacenamiento del primer y segundo mes serán: $2000[(x_1 – 80) + (x_1 + x_2 – 140)]$.

Entonces la función objetivo queda de la siguiente manera:

$$Min \quad z = 24000x_1 + 22000x_2 – 440000$$

Las restricciones de oferta y de demanda serían:

\begin{align*}
x_1 &\leq 110\\
x_2 &\leq 50\\
x_1 &\geq 80\\
x2 + (x_1 – 80) &\geq 60\\
\end{align*}

Entonces, el problema con dos periodos de tiempo quedaría planteado de la siguiente manera:

\begin{align*}
Min \quad z &= 24000x_1 + 22000x_2 – 440000\\
&s.a\\
x_1 &\leq 110\\
x_2 &\leq 50\\
x_1 &\geq 80\\
x_2 + (x_1 – 80) &\geq 60\\
x_i &\geq 0, i \in \{1, 2\}\\
\end{align*}

Ahora, una posible solución a este problema sea satisfacer la demanda del primer mes, con tal de que sobren solamente la menor cantidad de copias que al sumarlas con la producción del segundo mes, nos cumplan también la demanda exacta de ese mes. Es decir, producir en el primer mes 90000 copias, almacenar 10000 que sobrarían en tienda y producir hasta el límite de producción el segundo mes que son 50000 copias y juntos con las 10000 que había almacenadas, se cumplirá la demanda que tenemos para el segundo periodo que son 60000 copias. De esta manera no se incurre en gastos innecesarios de almacenamiento, ya que para el tercer mes no hay copias por almacenar que nos generen ese gasto.

2.- Si no hubiera costo por almacenamiento tenemos varias soluciones que podrían ser óptimas, pero en realidad lo sería cualquiera donde se cumplan los valores de demanda al mínimo, es decir, que se produzcan las unidades que nos piden por los tres meses y ni una más.

3.- Sea una empresa tiene que producir un producto y este producto se vende en n periodos de tiempo, con su respectiva demanda ($d_1, \ldots, d_n$) y oferta de productos ($o_1, \ldots, o_n$) en cada uno de ellos.

Se tiene un costo $P$ de fabricación por producto y un costo A de almacenamiento por producto de un periodo a otro.

Se quiere determinar el plan de producción e inventario que satisfaga la demanda y minimice los costos.

Variables de decisión: $x_i$ = número de unidades a producir en el periodo $i$. $i \in \{1, \ldots, n\}$

Función objetivo:

$$Min \quad z = P(x_1 + \ldots + x_n) + A[(x_1-d_1) + (x_1 + x_2 – d_1 – d_2) + \ldots + (\sum_{i=1}^n{x_i} – \sum_{i=1}^n{d_i})]$$

Y por último, las restricciones serían:

\begin{align*}
x_1 &\leq o_1\\
x_2 &\leq o_2\\
&\vdots\\
x_n &\leq o_n\\
x_1 &\geq d_1\\
x_1 + x_2 – d_1 &\geq d_2\\
\vdots\\
\end{align*}

$$(\sum_{i=1}^n{x_i} – \sum_{i=1}^{n-1}{d_i}) \geq \sum_{i=1}^n{d_i}$$

$$x_i \geq 0,\quad i \in \{1, \ldots, n\}$$

4.- Dependería del problema pero en general como se intenta minimizar los costos, esto también sería minimizar los costos que conlleva el almacenaje de productos y si se producen muchos cada periodo, esto incurrirá en el aumento de los gastos mencionados y no será lo optimo para el objetivo que tenemos.

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Cálculo Diferencial e Integral I: Raíz cuadrada y desigualdades

Por Karen González Cárdenas

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Introducción

Ahora veremos el concepto de raíz cuadrada, su definición formal, resultados útiles y ejercicios de desigualdades donde se vea involucrada.

Definición de raíz cuadrada de un número real

Definición (Raíz cuadrada): Sea $x,y \in \r$ tal que $x, y \geq 0$. Definiremos a la raíz cuadrada de $x$ como sigue:
$$\sqrt{x}=y \Leftrightarrow x= y^{2}.$$

Para dejar más clara la definición observemos el siguientes ejemplo:

  • Si $x =9$ tenemos que para $\sqrt{9}$:
    $\sqrt{(3)^{2}}= 3$

Observaciones

  1. Para toda $x \in \r$ con $x>0$. Observamos que la raíz cuadra de $x$ cumple con las siguientes desigualdades, es decir, $$-\sqrt{x} \leq 0 , \quad \sqrt{x} \geq 0.$$
  2. Para $y \in \r$ tenemos que $\sqrt{y^{2}} =|y|.$
  3. $|y^{2}|=y^{2};$
    $|y^{2}|=|y|^{2}.$

Demostración de 1: Consideramos $x=y^{2}$ donde $y^{2}\geq 0$. Así al sustituir y aplicar la raíz cuadrada se sigue que:
\begin{equation*}
\sqrt{y^{2}}=
\begin{cases}
y &\text{si $y \geq 0$}\\
-y & \text{si $y< 0$}.
\end{cases}
\end{equation*}

Demostración de 2: Vemos que esto se sigue de la observación anterior ya que
\begin{equation*}
|y|=
\begin{cases}
y &\text{si $y \geq 0$}\\
-y & \text{si $y< 0$}.
\end{cases}
\end{equation*}
$$\therefore \sqrt{y^{2}} =|y|.$$

$\square$

Algunos resultados importantes

Teorema: Para $x,y \in \r$ donde $x \geq 0$ y $y \geq 0$.
$$x \leq y \Leftrightarrow x^{2} \leq y^{2}$$

Demostración:
$\Rightarrow$): Como tenemos por hipótesis $x \leq y$ vemos que al multiplicar por $x$ obtendríamos
$$x \leq y \Rightarrow x^{2} \leq xy$$
Y si multiplicamos por $y$:
$$x \leq y \Rightarrow xy \leq y^{2}$$
Así por transitividad:
$$\Rightarrow x^{2} \leq y^{2}$$
$\Leftarrow$): Ahora tenemos como hipótesis que $x^{2} \leq y^{2}$. Y esto es equivalente a decir
$$0 \leq y^{2}-x^{2} \Leftrightarrow (y+x)(y-x) \geq 0$$

Por lo que debemos considerar los casos en que:
a) $y+x \geq 0$ y $y-x \geq 0$
De la segunda desigualdad concluimos $y \geq x$.

O el caso b) $y+x \leq 0$ y $y-x \leq 0$
Vemos que este caso no tiene sentido.
$$\therefore \quad y \geq x$$

$\square$

Corolario: Para $x \geq 0$, $y \geq 0$.
$$x\leq y \Leftrightarrow \sqrt{x} \leq \sqrt{y}$$
Demostración:
Tomemos $a = \sqrt{x}$ y $b=\sqrt{y}$.
$\Rightarrow$):
Entonces $a^{2}=(\sqrt{x})^{2}$ y $b^{2}=(\sqrt{y})^{2}\Rightarrow a^{2}=x$ y $b^{2}=y$
Y como por hipótesis $x\leq y$
\begin{align*}
&\Rightarrow a^{2} \leq b^{2}\\
&\Rightarrow a \leq b\\
&\Rightarrow \sqrt{x} \leq \sqrt{y}
\end{align*}
$\Leftarrow$):
Ahora como por hipótesis $\sqrt{x} \leq \sqrt{y}$
\begin{align*}
&\Rightarrow a \leq b\\
&\Rightarrow a^{2} \leq b^{2}\\
&\Rightarrow x \leq y
\end{align*}

$\square$

Corolario: Para cualesquiera $x,y \in \r$ donde $y\geq 0$.
$$|x|^{2}\leq y \Leftrightarrow |x| \leq \sqrt{y}$$
Demostración:
Aplicando el corolario anterior tenemos las siguientes equivalencias
\begin{align*}
|x|^{2}\leq y &\Leftrightarrow \sqrt{|x|^{2}} \leq \sqrt{y}\\
&\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{y}\\
&\Leftrightarrow |x| \leq \sqrt{y}\\
\end{align*}

$\square$

A continuación resolveremos ejercicios de desigualdades donde se encontraran involucrados la raíz cuadrada y el valor absoluto.

Ejercicio 1

Encuentra los valores $x$ que cumplan la desigualdad:

$$2x^{2}<|x-1|$$

Por el valor absoluto presente sabemos que debemos tomar casos, por lo que tenemos:

CASO 1: $x-1\geq 0 \Leftrightarrow x\geq 1$

Sustituyendo nos queda:
\begin{align*}
2x^{2}<|x-1|&\Leftrightarrow 2x^{2}< x-1\\
&\Leftrightarrow 2x^{2}- x+1<0\\
\end{align*}
Aplicando la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:
\begin{align*}
x &=\frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 -4(2)(1)}}{2(2)}\\
&=\frac{1 \pm \sqrt{1-8}}{4}\\
&=\frac{1 \pm \sqrt{-7}}{4}.\\
\end{align*}
Pero como $\sqrt{-7}$ no tiene solución en $\r$, tenemos que la solución de este caso es:
$$[1,\infty) \cap \emptyset= \emptyset.$$

CASO 2: $x-1\leq 0 \Leftrightarrow x\leq 1$
Por lo que tendríamos:
\begin{align*}
2x^{2}<|x-1|&\Leftrightarrow 2x^{2}< -(x-1)\\
&\Leftrightarrow 2x^{2}+x-1<0\\
\end{align*}

Y por la fórmula general se sigue:
\begin{align*}
x&=\frac{-1\pm \sqrt{(1)^2 -4(2)(-1)}}{2(2)}\\
&=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{4}\\
&=\frac{-1\pm 3}{4}.\\
\end{align*}
$$\therefore \quad x_{1}=\frac{1}{2}, \quad x_{2}=-1$$
Sustituyendo lo anterior tenemos que:
$$2x^{2}+x-1<0 \Rightarrow \left(x-\frac{1}{2} \right)(x+1)<0$$

Dado lo anterior notamos que para que el producto satisfaga la desigualdad hay que considerar el siguiente par de casos:
CASO 2.1: $x-\frac{1}{2}>0$ y $ x+1<0$
De donde $x>\frac{1}{2}$ y $ x<-1$. Al considerar la intersección vemos que ocurre:
$$\left(\frac{1}{2}, \infty \right) \cap (-\infty,-1)= \emptyset$$

CASO 2.2: $x-\frac{1}{2}<0$ y $ x+1>0$
Ahora tendríamos que $x<\frac{1}{2}$ y $ x>-1$. Y la solución sería:
$$\left(-1,\frac{1}{2} \right)$$

Concluimos así que la solución del CASO 2 esta dada por:
$$\left[\emptyset \cup \left(-1, \frac{1}{2} \right) \right] \cap (-\infty, 1)=\left(-1,\frac{1}{2} \right)$$

Finalmente la solución total es:
$$\left(-1,\frac{1}{2} \right)\cup \emptyset =\left(-1,\frac{1}{2} \right)$$


Ejercicio 2

$$x^{2}-4x-1 >0$$

Buscando la solución de la ecuación $x^{2}-4x-1 =0$:
\begin{align*}
x &=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2 -4(1)(-1)}}{2(1)}\\
&=\frac{4\pm \sqrt{16+4}}{2}\\
&=\frac{4\pm \sqrt{20}}{2}\\
&=\frac{4\pm 2\sqrt{5}}{2}\\
&= 2\pm 2\sqrt{5}
\end{align*}
$$\therefore \quad x_{1}=2+\sqrt{5},\quad x_{2}=2-\sqrt{5}$$

Entonces la desigualdad que queremos resolver sería:
$$(x – (2+\sqrt{5}))(x-(2-\sqrt{5}))>0$$

Para que el producto cumpla con la condición de ser mayor que cero debemos considerar los casos:
CASO 1: $x-2-\sqrt{5} >0$ y $x-2+\sqrt{5} >0$
$\Rightarrow x>2+\sqrt{5}$ y $x>2-\sqrt{5}$
$\Rightarrow x>2+\sqrt{5}$

CASO 2: $x-2-\sqrt{5} <0$ y $x-2+\sqrt{5} <0$
$\Rightarrow x<2+\sqrt{5}$ y $x<2-\sqrt{5}$
$\Rightarrow x<2-\sqrt{5}$


De los casos anteriores obtenemos que nuestro conjunto solución es:
$$(-\infty, 2-\sqrt{5}) \cup (2+\sqrt{5}, \infty)$$

Ahora que ya hemos revisado estos ejercicios, te invitamos a poner en práctica los procedimientos vistos con los siguientes ejercicios.

Más adelante

En la siguiente entrada veremos las cotas de un conjunto en $\r$. Definiremos formalmente los conceptos de cota superior e inferior y veremos algunos ejemplos donde los aplicaremos. Estos serán de suma importancia para comenzar a hablar de ínfimos y supremos posteriormente.

Tarea moral

Prueba que:

  • $|y^{2}|=y^{2}$
  • $|y^{2}|=|y|^{2}$

Obtén todos los valores de $x$ que satisfagan las siguientes desigualdades:

  • $-5x^{2} + 2x +|x|-1 \leq 3$
  • $x^{2}-4x-1<0$
  • $-7x^{2}+2x+|x|<-4$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Valor absoluto y desigualdades

Por Karen González Cárdenas

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Introducción

En esta entrada nos dedicaremos a resolver desigualdades que involucran el valor absoluto. Para ello retomaremos la definición del valor absoluto de un número real y utilizaremos algunos resultados que probaremos a continuación.

Un par de resultados importantes

Lema: Para todo $a \in \r$. $a \leq |a|$ y $-a \leq |a|$.


Demostración: Procederemos a revisar los siguientes dos casos.
CASO 1: Si $a \geq 0$.
Por un lado tenemos por la definición de valor absoluto $|a|=a$.
$$\therefore |a|\geq a.$$
Y por otro que $a \geq 0 \geq -a$, así por transitividad se concluye que:
$$ |a| \geq -a.$$

CASO 2: Si $a \leq 0$.
Así se sigue por definición que $|a|=-a$ entonces tenemos que $|a|\geq -a$.
Y análogamente al caso anterior: $-a \geq 0 \geq a \Rightarrow |a|\geq a$.

$\square$

Teorema: Consideremos $a,x \in \r$ con $a\geq 0$.

  1. \begin{align*}
    |x|\leq a &\Leftrightarrow -a \leq x\quad \text{y} \quad x \leq a\\
    &\Leftrightarrow x\in [-a,a].
    \end{align*}
  2. \begin{align*}
    |x|\geq a &\Leftrightarrow -a \geq x\quad \text{o} \quad x \geq a\\
    &\Leftrightarrow x\in (-\infty,-a] \cup [a, \infty).
    \end{align*}

NOTA.- «$\Leftrightarrow$» se lee como «si y sólo si». Y recordemos que $\Rightarrow$ significa «entonces».
Demostración:
1. $\Rightarrow$: Por hipótesis tenemos que $|x|\leq a$, aplicando el lema anterior:
$$x \leq |x|\quad \text{y} \quad -x \leq |x|$$
Por transitividad: $$x \leq a \quad \text{y} \quad -x \leq a$$
$$\therefore x \leq a\quad \text{y} \quad x \leq -a$$

Lo anterior nos indica lo siguiente: $x \in (-\infty, a]$ y $x \in [-a,\infty)$. Así al tomar la intersección de estos intervalos, obtenemos:
$$(-\infty, a] \cap [-a,\infty) = [-a,a]$$

$\Leftarrow$: Ahora consideremos $x \in [-a,a]$, así tenemos que:
$$x\in [-a,a]=(-\infty, a] \cap [-a,\infty)$$
Aplicando la respectiva definición de intervalo e intersección:
$$x \leq a\quad \text{y} \quad x \leq -a$$
Y por el lema:
$$x \leq |x|\quad \text{y} \quad -x \leq |x|$$

$$\therefore |x| \leq a$$

2. El punto 2 se quedará de ejercicio para la Tarea moral.

$\square$

Ahora continuaremos con ejercicios de desigualdades, en ellos deberemos encontrar todos los valores que las satisfagan.

Ejercicio 1

$$|x-3|=8$$
Recordemos que debido a la definición de valor absoluto, siempre deberemos considerar casos.
Para resolver este ejercicio deberemos considerar los siguientes:
CASO 1: $x-3 \geq 0$
Por lo que $|x-3|=x-3$ y sustituyendo tenemos:
\begin{align*}
x-3 =8 &\Leftrightarrow x=8+3\\
&\Leftrightarrow x = 11.
\end{align*}
CASO 2: $x-3 < 0$
Así $|x-3|= -x+3$, por lo que se sigue:
\begin{align*}
-x+3 =8 &\Leftrightarrow -x=8-3\\
&\Leftrightarrow -x =5\\
&\Leftrightarrow x= -5.
\end{align*}

De los casos anteriores obtenemos que los valores de $x$ que satisfacen la igualdad son
$x =11$ o $x=-5$

Ejercicio 2

$$|3x-3| \leq 2x+1$$
Para este ejercicio aplicando el teorema tendríamos:
$-2x-1 \leq 3x-3 \quad$ y $\quad 3x-3 \leq 2x+1$.
Comenzaremos desarrollando la primera desigualdad:
\begin{align*}
-2x-1 \leq 3x-3 &\Leftrightarrow -2x-3x \leq -3+1\\
&\Leftrightarrow -5x \leq -2\\
&\Leftrightarrow 5x \geq 2\\
&\Leftrightarrow x \geq \frac{2}{5}.
\end{align*}
$$\therefore \quad x \in \left[\frac{2}{5}, \infty \right)$$
Y de la segunda obtenemos:
\begin{align*}
3x-3 \leq 2x+1 &\Leftrightarrow 3x-2x \leq 1+3\\
&\Leftrightarrow x\leq 4.
\end{align*}
$$\therefore \quad x \in(-\infty,4]$$

Por lo que al tomar la intersección de ambos intervalos nos queda que los valores que satisfacen la desigualdad son:
$$ x \in (-\infty,4] \cap \left[\frac{2}{5}, \infty \right)= \left [\frac{2}{5}, 4 \right]$$


$$\therefore \quad x \in \left [\frac{2}{5}, 4 \right]$$

Ejercicio 3

$$|2x+1|-|3x+2|<1$$
Debido a que tenemos dos valores absolutos, para resolver este ejercicio necesitaremos considerar los siguientes casos:

  1. $2x+1 \geq 0 \quad$ y $\quad 3x+2 \geq 0$
  2. $2x+1 \leq 0 \quad$ y $\quad 3x+2 \leq 0$
  3. $2x+1 \geq 0 \quad$ y $\quad 3x+2 \leq 0$
  4. $2x+1 \leq 0 \quad$ y $\quad 3x+2 \geq 0$

Nuestra solución final será la unión de todas las soluciones obtenidas en los casos anteriores.

CASO 1: $2x+1 \geq 0$ y $3x+2 \geq 0$

Desarrollando las desigualdades:
\begin{align*}
2x+1 \geq 0\quad &\text{y} \quad 3x+2 \geq 0\\
\Leftrightarrow 2x \geq -1 \quad &\text{y} \quad 3x \geq -2\\
\Leftrightarrow x \geq -\frac{1}{2} \quad &\text{y} \quad x \geq -\frac{2}{3}\\
\end{align*}


$$\Leftrightarrow x \geq -\frac{1}{2}$$

Aplicando el valor absoluto obtenemos:
\begin{align*}
|2x+1|-|3x+2|<1 &\Leftrightarrow 2x+1-(3x+2) <1\\
&\Leftrightarrow 2x+1-3x-2-1<0\\
&\Leftrightarrow -x -2 <0\\
&\Leftrightarrow x+2>0\\
&\Leftrightarrow x> -2
\end{align*}
Por lo que al tomar la siguiente intersección tenemos que la solución de este caso es:
$$\left[-\frac{1}{2}, \infty \right) \cap (-2, \infty)= \left[-\frac{1}{2}, \infty \right)$$

CASO 2: $2x+1 \leq 0 \quad$ y $\quad 3x+2 \leq 0$
Tendríamos que:
\begin{align*}
2x+1 \leq 0\quad &\text{y} \quad 3x+2 \leq 0\\
\Leftrightarrow 2x \leq -1 \quad &\text{y} \quad 3x \leq -2\\
\Leftrightarrow x \leq -\frac{1}{2} \quad &\text{y} \quad x \leq -\frac{2}{3}\\
\end{align*}

$$\Leftrightarrow x \leq -\frac{2}{3}$$
Al sustituir tenemos:
\begin{align*}
|2x +1|-|3x+2|<1 &\Rightarrow -(2x+1)-(-(3x+2))<1\\
&\Rightarrow -2x-1+3x+2-1<0\\
&\Rightarrow x <0
\end{align*}

Así tenemos la solución:
$$ (-\infty, 0) \cap \left(-\infty, -\frac{2}{3} \right] = \left(-\infty, -\frac{2}{3} \right] $$

CASO 3: $2x+1 \geq 0 \quad$ y $\quad 3x+2 \leq 0$
Ahora se sigue que:
\begin{align*}
2x+1 \geq 0\quad &y \quad 3x+2 \leq 0\\
\Leftrightarrow 2x \geq -1 \quad &y \quad 3x \leq -2\\
\Leftrightarrow x \geq -\frac{1}{2} \quad &y \quad x \leq -\frac{2}{3}\\
\end{align*}
Así observamos:
$$\left(-\infty, -\frac{2}{3} \right] \cap \left[-\frac{1}{2}, \infty \right) = \emptyset$$

CASO 4: $2x+1 \leq 0 \quad$ y $\quad 3x+2 \geq 0$
Desarrollando:
\begin{align*}
2x+1 \leq 0 \quad &\text{y} \quad 3x+2 \geq 0\\
\Leftrightarrow 2x \leq -1 \quad &\text{y} \quad 3x \geq -2\\
\Leftrightarrow x \leq -\frac{1}{2} \quad &\text{y} \quad x \geq -\frac{2}{3}\\
\end{align*}

$$\Leftrightarrow -\frac{2}{3} \leq x \leq -\frac{1}{2}$$
Aplicando la definición del valor absoluto:
\begin{align*}
|2x+1|-|3x+2|<1 &\Rightarrow -(2x+1) – (3x+2) < 1\\
&\Leftrightarrow -2x-1-3x-2-1< 0\\
&\Leftrightarrow -5x -4 < 0\\
&\Leftrightarrow 5x+4 > 0\\
&\Leftrightarrow 5x> -4\\
&\Leftrightarrow x > -\frac{4}{5}
\end{align*}
Concluimos que la solución a este caso es:
$$\left[-\frac{2}{3}, -\frac{1}{2} \right] \cap \left(-\frac{4}{5}, \infty \right)= \left[-\frac{2}{3}, -\frac{1}{2} \right]$$

Finalizamos considerando como solución total a la unión de los intervalos obtenidos en los cuatro casos:
$$\left(-\infty, -\frac{2}{3} \right] \cup\left[-\frac{2}{3}, -\frac{1}{2} \right] \cup \left[-\frac{1}{2}, \infty \right) = (-\infty, \infty)$$

Observemos que para la resolución de este tipo de desigualdades, siempre deberemos considerar los casos correspondientes a los signos del argumento de la función valor absoluto, es decir, cuando el argumento es positivo y cuando es negativo. En la sección de Tarea moral encontrarás ejercicios que te ayudarán a reforzar lo visto en esta entrada.

Más adelante

Ahora que ya hemos visto el procedimiento para encontrar los valores que satisfacen una desigualdad con valor absoluto, en la siguiente entrada lo utilizaremos para continuar resolviendo ejercicios que lo involucren adicionando el concepto de raíz cuadrada de un número real. Veremos que el valor absoluto está relacionado con la definición formal de raíz cuadrada y algunos resultados útiles.

Tarea moral

Demuestra el punto 2 del teorema, recordemos que $a\geq 0$:
\begin{align*}
|x|\geq a &\Leftrightarrow -a \geq x\quad o \quad x \geq a\\
&\Leftrightarrow x\in (-\infty,-a] \cup [a, \infty)
\end{align*}

Encuentra los valores que satisfacen las siguientes desigualdades:

  • $|x-3|< 8$
  • $|3x-3| > 2x+1$
  • $|x-1||x+2|=3$
  • $|x-1|+|x-2|> 1$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Lineal II: Espacios euclideanos y espacios hermitianos

Por Diego Ligani Rodríguez Trejo

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Introducción

Hasta ahora hemos hablado de las formas bilineales, las formas bilineales simétricas, las formas cuadráticas y todos sus análogos complejos. Vimos también cómo podemos representar mediante matrices a estas formas.

Una de las aplicaciones más útiles de estos conceptos es que nos permitirán hablar de espacios vectoriales «con geometría». Este concepto ya lo exploramos en el primer curso de Álgebra Lineal, cuando hablamos de producto interior y de espacios euclideanos.

Por un lado, en esta entrada haremos un breve recordatorio de estos temas. Por otro lado, hablaremos de cómo dar los análogos complejos. Esto nos llevará al concepto de espacios hermitianos.

Un acuerdo sobre el mundo real y complejo

Como hemos visto anteriormente, los resultados relacionados con formas bilineales tienen frecuentemente sus análogos en el mundo complejo. A veces hay algunas diferencias importantes, pero la mayoría de los casos son mínimas. Por esta razón, a partir de ahora dejaremos varias de las demostraciones de los casos complejos como ejercicios. En caso de ser necesario, haremos el énfasis pertinente en las diferencias entre el caso real y el complejo.

Formas positivas

Para poder «tener geometría» en un espacio vectorial, es necesario que tenga una forma bilineal un poco más especial que las que hemos estudiado. En el caso real requerimos lo siguiente.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Tomemos una forma bilineal $b: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$.

  • Diremos que $b$ es positiva si $b(x,x)\geq 0$ para todo $x\in V$.
  • Diremos que $b$ es positiva definida si $b(x,x)>0$ para todo $x\in V$ con $x\neq 0$.

En el caso complejo hay que ser un poco más cuidadosos. Si $\varphi$ es una forma sesquilineal, podría suceder que $\varphi(x,x)$ no sea un número real y entonces no pueda establecerse una desigualdad entre $\varphi(x,x)$ y $0$. Sin embargo, bajo la hipótesis adicional de que $\varphi$ sea hermitiana, vimos que $\varphi(x,x)$ sí es real.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$. Tomemos una forma sesquilineal hermitiana $\varphi: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$.

  • Diremos que $\varphi$ es positiva si $\varphi(x,x)\geq 0$ para todo $x\in V$.
  • Diremos que $\varphi$ es positiva definida si $\varphi(x,x)>0$ para todo $x\in V$ con $x\neq 0$.

Adicionalmente, diremos que una forma cuadrática de un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ es positiva (resp. positiva definida) si su forma polar es positiva (resp. positiva definida). Y diremos que una forma cuadrática hermitiana de un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ es positiva (resp. positiva definida) si su forma polar es positiva (resp. positiva definida).

Desigualdades de Cauchy-Schwarz real y compleja

Una de las consecuencias de tener formas positivas es que se cumple una desigualdad entre las evaluaciones de una forma cuadrática (o cuadrática hermitiana) y su forma polar. A continuación enunciamos la versión real que demostramos en el primer curso.

Teorema (desigualdad de Cauchy-Schwarz real). Sea $q: V \rightarrow \mathbb{R}$ una forma cuadrática y $b$ su forma polar.

  • Si $b$ es positiva, entonces para cualesquiera $x,y \in V$
    \begin{align*} b(x,y)^2 \leq q(x)q(y). \end{align*}
  • Más aún, si $b$ es positiva definida, entonces la igualdad del inciso anterior se da si y sólo si $x$ y $y$ son linealmente dependientes.

La versión compleja es casi análoga, pero hay que tener el cuidado de usar la norma al evaluar la forma sesquilineal para obtener un número real que podamos comparar con otro.

Teorema (desigualdad de Cauchy-Schwarz compleja). Sea $\Phi: V \rightarrow \mathbb{R}$ una forma cuadrática hermitiana y $\varphi$ su forma polar.

  • Si $\varphi$ es positiva, entonces para cualesquiera $x,y \in V$
    \begin{align*} |\varphi(x,y)|^2 \leq \Phi(x)\Phi(y). \end{align*}
  • Más aún, si $\varphi$ es positiva definida, entonces la igualdad del inciso anterior se da si y sólo si $x$ y $y$ son linealmente dependientes.

$\square$

La demostración es muy parecida a la del caso real, y queda como ejercicio.

Espacios euclideanos y hermitianos

La sección anterior da la pista de que hay sutiles diferencias entre tener formas positivas y positivas definidas. La noción de que una forma sea positiva definida es más restrictiva, y por ello deberíamos esperar que un espacio vectorial (real o complejo) con una forma positiva definida tenga más propiedades.

Definición. Un producto interior para un espacio vectorial $V$ sobre los reales es una forma bilineal, simétrica y positiva definida.

Definición. Un producto interior hermitiano para un espacio vectorial $V$ sobre los complejos es una forma sesquilineal, hermitiana y positiva definida.

Típicamente se usa una notación especial para los productos interiores (o interiores hermitianos). En vez de referirnos a ellos con expresiones del estilo $b(x,y)$ (o $\varphi(x,y)$), más bien usamos expresiones del estilo $\langle x, y \rangle$. Cuando no queremos poner los argumentos, usualmente dejamos sólo unos puntos, así: $\langle \cdot, \cdot \rangle$.

Si el espacio vectorial además tiene dimensión finita, entonces estamos en un tipo de espacios muy especiales, en los que podremos probar varios resultados. Estos espacios son tan especiales que tienen su propio nombre.

Definición. Un espacio euclideano es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$, de dimensión finita, y con un producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$.

Definición. Un espacio hermitiano es un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$, de dimensión finita, y con un producto interior hermitiano $\langle \cdot, \cdot \rangle$.

Ejemplo. Tomemos $\mathbb{C}^n$ y la función $\langle \cdot, \cdot \rangle: \mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}$ dada por $$ \langle x, y\rangle = \sum_{i=1}^n \overline{x_i}y_i.$$

Se puede verificar que $\langle \cdot, \cdot \rangle$ es una forma sesquilineal, hermitiana y positiva definida. De este modo, $\mathbb{C}^n$ con este producto interior hermitiano es un espacio hermitiano.

$\triangle$

Normas, distancias y ángulos

Si tenemos un espacio vectorial con producto interior (o producto interior hermitiano), entonces ahora sí podemos introducir varias nociones geométricas: la de norma, la de distancia y la de ángulos. Además, estas nociones tendrán las propiedades geométricas que esperamos.

En las siguientes definiciones tenemos que $V$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ (o sobre $\mathbb{C}$) con un producto interior (o producto interior hermitiano, respectivamente) $\langle \cdot, \cdot \rangle$.

Definición. Para $x\in V$, definimos la norma de $x$ como $$\norm{x}:=\sqrt{\langle x,x \rangle}.$$

Definición. Para $x, y\in V$, definimos la distancia de $x$ a $y$ como $$d(x,y):=\norm{x-y}.$$

Definición. Para $x, y\in V$, definimos el ángulo entre $x$ y $y$ como $$\text{ang}(x,y)=\cos^{-1}\left(\frac{|\langle x,y\rangle|}{\norm{x}\norm{y}}\right).$$

En esta última definición, las barras indican el valor absoluto en el caso real y la norma en el caso complejo. Observa que implícitamente estamos usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz para asegurarnos de que el argumento de $\cos^{-1}$ en efecto es un número entre $0$ y $1$.

A continuación tenemos dos proposiciones clave que nos dicen que la norma y la distancia que definimos sí tienen todas las propiedades «que deben tener» una norma y una distancia.

Proposición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ (o sobre $\mathbb{C}$) con un producto interior (o producto interior hermitiano, respectivamente) $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Entonces, la función norma $\norm{\cdot}:V\to \mathbb{R}$ cumple lo siguiente:

  • Para todo $x\in V$, se tiene que $\norm{x}$ es un número real, con $\norm{x}\geq 0$ y $\norm{x}=0$ si y sólo si $x=0$.
  • Para todo $x\in V$ y $c$ en $\mathbb{R}$ (o $\mathbb{C}$), se tiene que $\norm{cx}=|c|\norm{x}$.
  • Desigualdad del triángulo. Para cualesquiera $x,y \in V$, se tiene que $$\norm{x+y}\leq \norm{x}+\norm{y}.$$

Proposición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ (o sobre $\mathbb{C}$) con un producto interior (o producto interior hermitiano, respectivamente) $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Entones, la función distancia $d:V\times V \to \mathbb{R}$ cumple lo siguiente:

  • Para cualesquiera $x,y$ en $V$, se tiene que $d(x,y)$ es un número real, con $d(x,y)\geq 0$ y $d(x,y)=0$ si y sólo si $x=y$.
  • Simetría. Para cualesquiera $x,y$ en $V$, se tiene que $d(x,y)=d(y,x)$.
  • Desigualdad del triángulo. Para cualesquiera $x,y,z \in V$, se tiene que $$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).$$

La última proposición puede también resumirse como que $V$ con la función $d$ es un espacio métrico. Una métrica en un conjunto permite establecer una topología. Así, en un espacio con producto interior (o producto interior hermitiano), es posible establecer nociones de continuidad, convergencia, cálculo, etc. Es interesante saber que se pueden tomar estos caminos, pero queda fuera de los alcances de nuestro curso.

Más adelante…

Con esto concluimos nuestro pequeño repaso de producto interior y espacios euclideanos. Así mismo, con esto establecemos las bases de los productos interiores hermitianos y de los espacios hermitianos. Como puedes ver, ambas nociones están muy relacionadas entre sí. Los conceptos de norma y distancia dan pie a un sin fin de teoría muy interesante. Es útil poder llegar a ellos desde un enfoque puramente algebraico, y nos muestra el poder que tiene este campo de estudio.

¿Cómo se ven las nociones de positividad y positividad definida en términos de matrices? Esto es algo que estudiaremos en la siguiente entrada.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso. Sin embargo, sirven de ayuda para repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Sea $V=\mathbb{R}^3$ espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y definamos $q: V \rightarrow \mathbb{R}$ como sigue:
    \begin{align*} q(x,y,z)= x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz. \end{align*}
    ¿Es $q$ positiva? ¿Es positiva definida?
  2. Sea $n$ un entero positivo y $V$ el espacio de polinomios con coeficientes reales cuyos grados no excedan $n$. Prueba que
    \begin{align*} \langle P, Q\rangle :=\sum_{i=0}^nP(i)Q(i) \end{align*}
    es un producto interno en $V$. ¿Cómo construirías un producto interno hermitiano análogo en el caso de $W$ el espacio de polinomios con coeficientes complejos cuyos grados no excedan $n$?
  3. Revisa la demostración de la desigualdad de Cauchy-Schwarz en los espacios reales. Usa esto para dar una demostración para la versión análoga compleja. Recuerda también demostrar cuándo se da la igualdad si el producto interno hermitiano es positivo definido.
  4. Con la misma notación del ejercicio anterior, prueba la desigualdad de Minkowski, es decir, para todos $x,y \in V$
    \begin{align*} \sqrt{\Phi(x+y)} \leq \sqrt{\Phi(x)} + \sqrt{\Phi(y)}. \end{align*}
  5. Revisa la demostración de las propiedades de la norma y de la distancia para el caso real. Tomando esto como base, realiza la demostración para el caso complejo.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Cálculo Diferencial e Integral I: Intervalos y desigualdades en los números reales

Por Karen González Cárdenas

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Introducción

Ahora veremos los intervalos de los números reales, su definición y su representación en la recta real. Para ello nos apoyaremos de varios ejemplos y ejercicios. Recordemos que al representar gráficamente a los números reales lo hacemos por medio de una recta, donde un punto será la representación de un número y la recta todo el conjunto $\r$.

De igual manera, abordaremos en esta entrada la resolución de desigualdades en los reales, donde los intervalos están íntimamente relacionados.

Intervalos en los reales

Definición: Sean $a,b \in \r$. Definimos, haciendo uso de la siguiente notación, los siguientes intervalos en $\RR$ de la siguiente manera:

  • Intervalo cerrado:
    \[
    [a,b]:=\left\{x : a \leq x \leq b\right\} \quad\text{.}
    \]
  • Intervalo abierto
    \[
    (a,b):=\left\{x : a < x < b\right\}\quad\text{.}
    \]
  • Abierto por la izquierda/ Cerrado por la derecha
    \[
    (a,b]:=\left\{x : a < x \leq b\right\}\quad\text{.}
    \]
  • Abierto por la derecha/Cerrado por la izquierda
    \[
    [a,b):=\left\{x : a \leq x < b\right\}\quad\text{.}
    \]

Casos especiales

Sea $a\in \r$. Para los intervalos que involucran al infinito tenemos las siguientes definiciones:

  • \[
    (-\infty ,a):=\left\{x : x < a \right\}\quad\text{.}
    \]
  • \[
    (-\infty ,a]:=\left\{x : x \leq a \right\}\quad\text{.}
    \]
  • \[
    (a, \infty) :=\left\{x : a < x\right\}\quad\text{.}
    \]
  • \[
    [a, \infty) :=\left\{x : a \leq x\right\}\quad\text{.}
    \]
  • \[
    (- \infty, \infty) :=\r\quad\text{.}
    \]

Cabe mencionar que los símbolos $- \infty$ y $\infty$ son solamente notación, ya que no existe ningún número «$\infty$» tal que cumpla $\infty \geq x$ para todo $x\in \r$.

Representación gráfica

A continuación veremos la representación de cada uno de los intervalos anteriores en la recta real. Esto nos ayudará más adelante con la resolución de desigualdades. En cada una de las imágenes la sección de la recta real sombreada con amarillo «\\\» representará los valores considerados por el intervalo.

\[ [a,b] \]

Consideramos los valores de $a$ y $b$.

\[ (a,b) \]

No consideramos los valores de $a$ y $b$.

\[ (a,b] \]

No consideramos el valor de $a$.

\[ [a,b) \]

No consideramos el valor de $b$.

\[ (-\infty ,a) \]

Todos los valores estrictamente menores que $a$.

\[ (-\infty ,a] \]

Todos los valores menores o iguales que $a$.

\[ (a, \infty) \]

Todos los valores estrictamente mayores que $a$.

\[ [a, \infty) \]

Todos los valores mayores o iguales que $a$.

\[ (- \infty, \infty) \]

Toda la recta real.

Ahora que ya hemos definido a los intervalos en los reales $\r$, veremos algunos ejercicios de representación gráfica de intervalos.

Algunos ejemplos de intervalos

A continuación daremos la representación gráfica de los siguientes intervalos.

  • \[ (1,14 ] \]
    Aplicando la definición correspondiente obtenemos la siguiente representación:
  • \[ (-15,-2) \cup [6,10) \]
    Graficamos primero ambos intervalos en la recta real, por lo que tenemos lo siguiente:

Ya que estamos considerando la unión de los intervalos, por su definición tenemos que el conjunto resultante sería el azul:

  • \[ (-3, 0) \cap (-2, 4] \]
    Vemos que al graficar ambos intervalos obtenemos:

Como queremos la intersección de dichos intervalos, el intervalo resultante sería en el que encontremos elementos en común, así sería:

\[ (-3, 0) \cap (-2, 4] = [-2,0] \]

Se invita a demostrar esta igualdad haciendo uso de la definición de igualdad de conjuntos.

  • \[ [-6,1) \cup (-1,7] \]
    Comenzamos graficando ambos intervalos en la recta real:

Así considerando la definición de unión obtenemos el siguiente intervalo:

\[ [-6,1) \cup (-1,7] = [-6,7]\]

Se invita a demostrar esta igualdad haciendo uso de la definición de igualdad de conjuntos.

  • \[ [-10, 0) \cap [0, 5) \]
    Graficando los intervalos anteriores tenemos:

Debido a que queremos la intersección de ambos intervalos, observamos que por su definición no poseen ningún elemento en común, así su intersección sería vacía: $[-10, 0) \cap [0, 5) = \emptyset$

  • \[ (-\infty,-2) \cup(-3,0) \cup [-1, \infty) \]
    Si graficamos los tres intervalos anteriores vemos que tendríamos lo siguiente:

Así al aplicar la definición de unión nos percatamos que se trata de toda la recta $\r$:

Una vez que hemos visto estos ejemplos procederemos a los ejercicios que involucran desigualdades. Cabe mencionar que todos los resultados probados anteriormente relacionados al Orden en $\r$ los estaremos utilizando sin repetir dichas demostraciones.

Desigualdades en los reales

Encuentra todos los números reales $x$ que cumplan con las siguientes desigualdades:

  • $$4- x < 3 -2x \quad\text{.}$$

Comenzamos con restar $4$ en ambos lados de la desigualdad:
\begin{align*}
&\Rightarrow 4- x-4 < 3 -2x-4\\
&\Rightarrow -x+ (4 -4) < -2x+(3-4)\\
&\Rightarrow -x<-2x-1\\
&\Rightarrow-x+ 2x < (-2x +2x)-1\\
&\Rightarrow x<-1\quad\text{.}
\end{align*}

Así observamos que todas las $x$ que cumplen la desigualdad son aquellas que $x<-1$, es decir, las que pertenecen al intervalo:
$$(-\infty,-1)\quad\text{.}$$

  • $$(x-1)(x-3)>0\quad\text{.}$$

Como estamos buscando que el producto sea positivo, debemos considerar los siguientes dos casos:
CASO 1: $(x-1)>0$ y $(x-3)>0\text{.}$
Por lo anterior queremos encontrar a todos los reales que satisfacen que $x>1$ y $x>3$.
Al graficar dichos intervalos observamos lo siguiente:

Ya que estamos considerando la intersección, el intervalo buscado sería:
$$(3, \infty)\quad\text{.}$$

CASO 2: $(x-1)<0$ y $(x-3)<0$.

Ahora queremos a todos los números que cumplan con que $x<1$ y $x<3$, así tenemos:

Por lo que el intervalo buscado es:
$$(-\infty,1)\quad\text{.}$$

Considerando la unión de los intervalos obtenidos en los CASOS 1 y 2 tenemos que el conjunto solución es:
$$(-\infty,1) \cup (3, \infty)\quad\text{.}$$

  • $$\frac{1}{x} + \frac{1}{1-x} > 0\quad\text{.}$$

Comenzaremos realizando la suma de fracciones:
\begin{align*}
\frac{1}{x} + \frac{1}{1-x} > 0 &\Rightarrow \frac{1-x+x}{x(1-x)}>0\\
&\Rightarrow \frac{1}{x (1-x)}>0\\
\end{align*}
Como ya tenemos que el numerador es mayor que cero: $1>0$, la igualdad se satisface si y sólo si $x (x-1) > 0$. Por lo que debemos considerar los siguientes casos:

CASO 1: $x>0$ y $1-x >0$.
Por lo que tendríamos las siguientes condiciones: $x>0$ y $1>x$.

De lo anterior vemos que los valores que cumplen ambas condiciones son aquellos que pertenecen al intervalo:
$$(0,1)\quad\text{.}$$

CASO 2: $x<0$ y $1-x < 0$.
De lo anterior tenemos que: $x < 0$ y $1<x$.

Observamos que no existen valores que cumplan ambas condiciones.
De los casos vistos tenemos que los valores que cumple la desigualdad son todos aquellos que pertenecen al intervalo: $$(0,1)\quad\text{.}$$

Más adelante

En la próxima entrada veremos la función valor absoluto. Daremos su definición formal y su interpretación geométrica. De igual manera veremos un resultado muy importante que lo involucra: la desigualdad del triángulo.

Tarea moral

Da la representación geométrica de los siguientes intervalos:

  • \[ (-15,-2) \cap [6,10)\text{,} \]
  • \[ (-3, 0) \cup (-2, 4] \text{,}\]
  • \[ [-6,1) \cap (-1,7] \text{,}\]
  • \[ (-\infty,-2) \cup [0, \infty) \text{.}\]

Encuentra todos los números reales $x$ que cumplan con las siguientes desigualdades:

  • $$5-x^{2} < -2\text{,}$$
  • $$x^{2} -2x +2 > 0\text{.}$$

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