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Cálculo Diferencial e Integral I:Intervalos y desigualdades en los números reales

Introducción

Ahora veremos los intervalos de los números reales, su definición y su representación en la recta real. Por ellos nos apoyaremos de varios ejemplos y ejercicios. Recordemos que al representar gráficamente a los números reales lo hacemos por medio de una recta. Donde un punto será la representación de un número y la recta todo el conjunto $\r$.

De igual manera abordaremos en esta entrada la solución de desigualdades en los reales donde los intervalos están íntimamente relacionados.

Intervalos en los reales

Definición: Sean $a,b \in \r$. Definimos los siguientes intervalos en $\RR$ como sigue:

  • Intervalo cerrado:
    \[
    [a,b]=\left\{x : a \leq x \leq b\right\}
    \]
  • Intervalo abierto
    \[
    (a,b)=\left\{x : a < x < b\right\}
    \]
  • Semiabierto por la izquierda/ Semicerrado por la derecha
    \[
    (a,b]=\left\{x : a < x \leq b\right\}
    \]
  • Semiabierto por la derecha/ Semicerrado por la izquierda
    \[
    [a,b)=\left\{x : a \leq x < b\right\}
    \]

Casos especiales

Sea $a\in \r$. Para los intervalos que involucran al infinito tenemos las siguientes definiciones:

  • \[
    (-\infty ,a)=\left\{x : x < a \right\}
    \]
  • \[
    (-\infty ,a]=\left\{x : x \leq a \right\}
    \]
  • \[
    (a, \infty) =\left\{x : a < x\right\}
    \]
  • \[
    [a, \infty) =\left\{x : a \leq x\right\}
    \]
  • \[
    (- \infty, \infty) =\r
    \]

Representación gráfica

A continuación veremos la representación de cada uno de los intervalos anteriores en la recta real. Esto nos ayudará más adelante con la resolución de desigualdades. En cada una de las imágenes la sección de la recta real sombreada con amarillo «\\\» representará los valores considerados por el intervalo.

\[ [a,b] \]

Consideramos los valores de $a$ y $b$.

\[ (a,b) \]

No consideramos los valores de $a$ y $b$.

\[ (a,b] \]

No consideramos el valor de $a$.

\[ [a,b) \]

No consideramos el valor de $b$.

\[ (-\infty ,a) \]

Todos los valores estrictamente menores que $a$.

\[ (-\infty ,a] \]

Todos los valores menores o iguales que $a$.

\[ (a, \infty) \]

Todos los valores estrictamente mayores que $a$.

\[ [a, \infty) \]

Todos los valores mayores o iguales que $a$.

\[ (- \infty, \infty) \]

Toda la recta real.

Cabe mencionar que los símbolos $- \infty$ y $\infty$ son solamente notación, ya que no existe ningún número «$\infty$» tal que cumpla $\infty \geq x$ para todo $x\in \r$.

Ahora que ya hemos definido a los intervalos en los reales $\r$. Veremos algunos ejercicios de representación gráfica de intervalos.

Algunos ejemplos de intervalos

A continuación daremos la representación gráfica de los siguientes intervalos.

  • \[ (1,14 ] \]
    Aplicando la definición correspondiente obtenemos la siguiente representación:
  • \[ (-15,-2) \cup [6,10) \]
    Graficamos primero ambos intervalos en la recta real, por lo que tenemos lo siguiente:

Ya que estamos considerando la unión de los intervalos, por su definición tenemos que el conjunto resultante sería el azul:

  • \[ (-3, 0) \cap (-2, 4] \]
    Vemos que al graficar ambos intervalos obtenemos:

Cómo queremos la intersección de dichos intervalos, el intervalo resultante sería en el que encontremos elementos en común, así sería:

\[ (-3, 0) \cap (-2, 4] = [-2,0] \]
  • \[ [-6,1) \cup (-1,7] \]
    Comenzamos graficando ambos intervalos en la recta real:

Así considerando la definición de unión obtenemos el siguiente intervalo:

\[ [-6,1) \cup (-1,7] = [-6,7]\]
  • \[ [-10, 0) \cap [0, 5) \]
    Graficando los intervalos anteriores tenemos:

Debido a que queremos la intersección de ambos intervalos, observamos que por su definición no poseen ningún elemento en común, así su intersección sería vacía: $[-10, 0) \cap [0, 5) = \emptyset$

  • \[ (-\infty,-2) \cup(-3,0) \cup [-1, \infty) \]
    Si graficamos los tres intervalos anteriores vemos que tendríamos lo siguiente:

Así al aplicar la definición de unión nos percatamos que se trata de toda la recta $\r$:

Una vez que hemos visto estos ejemplos procederemos a los ejercicios de desigualdades. Cabe mencionar que todos los resultados probados anteriormente, aquellos relacionados al Orden en $\r$ los estaremos utilizando sin repetir dichas demostraciones.

Desigualdades en los reales

Encuentra todos los números reales $x$ que cumplan con las siguientes desigualdades:

  • $$4- x < 3 -2x$$

Comenzamos con restar $4$ en ambos lados de la desigualdad:
\begin{align*}
4- x-4 &< 3 -2x-4\\
-x+ (4 -4) &< -2x+(3-4)\\
-x&<-2x-1\\
-x+ 2x &< (-2x +2x)-1\\
x&<-1
\end{align*}

Así observamos que todas las $x$ que cumplen la desigualdad son aquellas que $x<-1$, es decir, las que pertenecen al intervalo:
$$(-\infty,-1)$$

  • $$(x-1)(x-3)>0$$

Cómo estamos buscando que el producto sea positivo, debemos considerar los siguientes dos casos:
CASO 1: $(x-1)>0$ y $(x-3)>0$
Por lo anterior queremos encontrar a todos los reales que satisfacen que $x>1$ y $x>3$.
Al graficar dichos intervalos observamos lo siguiente:

Ya que estamos considerando la intersección, el intervalo buscado sería:
$$(3, \infty)$$

CASO 2: $(x-1)<0$ y $(x-3)<0$

Ahora queremos a todos los números que cumplan con que $x<1$ y $x<3$, así tenemos:

Por lo que el intervalo buscado es:
$$(-\infty,1)$$

Considerando la unión de los intervalos obtenidos en los CASOS 1 y 2 tenemos que el conjunto solución es:
$$(-\infty,1) \cup (3, \infty)$$

  • $$\frac{1}{x} + \frac{1}{1-x} > 0$$

Comenzaremos realizando la suma de fracciones:
\begin{align*}
\frac{1}{x} + \frac{1}{1-x} > 0 &\Rightarrow \frac{1-x+x}{x(1-x)}>0\\
&\Rightarrow \frac{1}{x (1-x)}>0\\
\end{align*}
Cómo ya tenemos que el numerador es mayor que cero: $1>0$. La igualdad se satisface si y sólo si $x (x-1) > 0$. Por lo que debemos considerar los siguientes casos:

CASO 1: $x>0$ y $1-x >0$
Por lo que tendríamos las siguientes condiciones: $x>0$ y $1>x$.

De lo anterior vemos que los valores que cumplen ambas condiciones son aquellos que pertenecen al intervalo:
$$(0,1)$$

CASO 2: $x<0$ y $1-x < 0$
De lo anterior tenemos que: $x < 0$ y $1<x$.

Observamos que no existen valores que cumplan ambas condiciones.
De los casos vistos tenemos que los valores que cumple la desigualdad son todos aquellos que pertenecen al intervalo: $$(0,1)$$

Tarea moral

Da la representación geométrica de los siguientes intervalos:

  • \[ (-15,-2) \cap [6,10) \]
  • \[ (-3, 0) \cup (-2, 4] \]
  • \[ [-6,1) \cap (-1,7] \]
  • \[ (-\infty,-2) \cup [0, \infty) \]

Encuentra todos los números reales $x$ que cumplan con las siguientes desigualdades:

  • $$5-x^{2} < -2$$
  • $$x^{2} -2x +2 > 0$$

Más adelante

En la próxima entrada veremos la función valor absoluto. Daremos su definición formal y su interpretación geométrica. De igual manera veremos un resultado muy importante que lo involucra: la desigualdad del triángulo.

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Seminario de Resolución de Problemas: Funciones continuas

Introducción

En entradas anteriores platicamos de propiedades aritméticas de los números enteros, del anillo de enteros módulo $n$ y de los números complejos. Vimos cómo pueden ser de utilidad para resolver problemas de matemáticas de distintos tipos. Ahora veremos temas de funciones continuas.

En esta entrada, y las subsecuentes, entraremos al mundo del cálculo y de la continuidad. En el transcurso de diez entradas veremos cómo aprovechar distintas herramientas de continuidad, cálculo diferencial e integral.

Seguiremos con la costumbre de no demostrar los teoremas principales que usemos, pero podemos recomendar al lector las siguientes fuentes para consultar los fundamentos

El orden de presentación de los temas viene del libro Problem Solving Strategies de Loren Larson.

Recordatorio de límites y continuidad

Sea $A$ un subconjunto de $\mathbb{R}$ y $f:A\to \mathbb{R}$ una función. Intuitivamente, el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ es $c$ si al acercarnos a $x$ en $A$ tenemos que $f(x)$ se acerca a $c$.

De manera formal, tenemos que $$\lim_{x\to a} f(x) = c$$ si para todo $\epsilon>0$ tenemos que existe un $\delta >0$ tal que si $x\in A$ y $|x-a|<\delta$, entonces $|f(x)-c|<\epsilon$. Esta es la definición épsilon-delta. Otra forma de denotar lo mismo es decir que $f(x)\to c$ cuando $x\to a$. Los límites se comportan bien con las operaciones.

Proposición. Sean $f:A\to \mathbb{R}$ y $g:A\to \mathbb{R}$ funciones. Sea $a\in A$. Si $f(x)\to c$ y $g(x)\to d$ cuando $x\to a$, entonces

  • $f(x)+g(x)\to c+d$ cuando $x\to a$
  • $f(x)g(x)\to cd$ cuando $x\to a$
  • Si $d\neq 0$, $f(x)/g(x)\to c/d$ cuando $x\to a$

Definición. Sea $f:A\to \mathbb{R}$ una función real y $a\in A$. Decimos que $f$ es continua

  • en $a$ si $f(x)\to f(a)$ cuando $x\to a$.
  • en $S\subset A$ si es continua en todo $a\in S$.

Si $f$ es continua en $A$, simplemente decimos que es continua.

Como los límites se comportan bien con las operaciones, tenemos que las funciones continuas también se comportan bien con las operaciones.

Proposición. Sean $f:A\to \mathbb{R}$ y $g:A\to \mathbb{R}$ funciones. Sea $a\in A$. Si $f$ y $g$ son continuas en $a$, entonces

  • $f+g$ es continua en $a$
  • $fg$ es continua en $a$
  • Si $g(a)\neq 0$, $f/g$ es continua en $a$

Ejercicio. Muestra que $\frac{x^2+3x+1}{x+1}$ es continua para todo $x\neq -1$.

Sugerencia. No uses la definición épsilon-delta directamente en la función, pues será complicado. Demuestra que $f(x)=x$ es continua con la definición epsilon-delta y de ahí usa las demás propiedades enunciadas en las proposiciones.

Funciones continuas y sucesiones

Las funciones continuas y las sucesiones están cercanamente relacionadas. Recuerda que una sucesión de reales es un conjunto ordenado de reales, uno por cada entero positivo, al cual denotaremos así: $$\{x_n\}=\{x_1,x_2,x_3,x_4,\ldots\}.$$

Decimos que la sucesión $\{x_n\}$ converge a $c$, en símbolos $$\lim_{n\to \infty} x_n = c$$ si para cada $\epsilon >0$ existe un natural $N$ tal que si $n\geq N$, entonces $|x_n-c|<\epsilon$. También decimos esto como $x_n\to c$ cuando $n\to \infty$, o simplemente $x_n\to c$.

Teorema. La función $f:A\to \mathbb{R}$ es continua en $a\in A$ si y sólo si para toda sucesión de reales $\{x_n\}$ en $A$ tal que $\{x_n\}\to a$ se tiene que $f(x_n)\to f(a)$.

Este teorema tiene múltiples usos. Nos dice que para verificar que una sucesión sea continua en un punto $a$, nos basta ver qué le hace a todas las sucesiones que convergen a $a$. Si alguna de ellas no converge a $f(a)$, entonces la función no es continua. Si todas ellas convergen a $f(a)$, entonces la función sí es continua. Veamos un ejemplo de su aplicación

Problema. Considera la función $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ la función tal que a cada irracional le asigna $0$ y a cada racional $p/q$ (expresado con $p$ y $q$ positivos y primos relativos) le asigna $1/q$. Estudia la continuidad de esta función.

Sugerencia pre-solución. La continuidad de la función se comporta distinto para los racionales y para los irracionales. Para ver qué sucede en los racionales, acércate con una sucesión de irracionales.

Solución. Demostraremos que $f$ es continua en los irracionales y no es continua en los racionales.

Tomemos un racional $r=p/q<1$. Observa que la sucesión $x_n=r+\frac{\sqrt{3}}{n}$ para $n$ suficientemente grande cae en $[0,1]$ y $x_n\to r$. Cada término de la sucesión es irracional. Así, $f(x_n)=0$ para todo término, de modo que $f(x_n)\to 0\neq 1/q = f(r)$. Esto muestra que $f$ no es continua en $r$. Para $r=1$ podemos hacer el mismo truco con $x_n=r-\frac{\sqrt{3}}{n}$ para ver que no es continua.

Tomemos ahora un número irracional $r\in[0,1]$. Tenemos que $f(r)=0$. Mostraremos que para toda sucesión $\{x_n\}$ tal que $x_n\to r$, tenemos que $f(x_n)\to 0$. Tomemos $M$ un entero positivo. Consideremos el conjunto $A_M$ de todos los números racionales en $[0,1]$ con denominador a lo más $M$.

Como $r$ es irracional, las distancias de $r$ a los números de $A_M$ son todas positivas, así que su mínimo es un real positivo $\epsilon$. Como $x_n\to r$, existe un $N$ tal que si $n\geq N$, entonces $|x_n-r|<\epsilon$. Así, para $n\geq N$, no se puede que $x_n$ esté en $A_M$. De este modo, para $n\geq N$ tenemos que $|f(x_n)|<1/M$. Esto muestra que $f(x_n)\to 0$. Así, $f$ es continua en los irracionales.

$\square$

Por supuesto, algunas veces es útil regresar a la definición epsilon-delta para funciones continuas.

Problema. Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función inyectiva y continua tal que $f(2x-f(x))=x$ y tal que tiene por lo menos un punto fijo. Muestra que $f(x)=x$ para todo $x\in \mathbb{R}$.

Sugerencia pre-solución. Antes de intentar cualquier idea de cálculo, hay que demostrar que si se cumple $f(y)=y+r$, entonces $f(y+nr)=(y+nr)+r$. Para demostrar esto para $n$ negativa, usa inducción. Para $n$ positiva necesitarás jugar un poco con la hipótesis. Aplica la hipótesis $f(2x-f(x))=x$ para $x=f(z)$ y usa la inyectividad. De ahí obtendrás una igualdad que te servirá para encontrar $f(y+nr)$ para $n$ positivas.

Solución. La primera observación es que el conjunto de puntos fijos de una función continua es cerrado, pues si $\{x_n\}$ es una sucesión de puntos fijos que converge a un punto $c$, entonces por un lado $\{f(x_n)\}=\{x_n\}$ también converge a $c$, y por otro por continuidad converge a $f(c)$. Como los límites, cuando existen, son únicos, tenemos que $f(c)=c$.

Si $f(y)\neq y$ para alguna $y\in \mathbb{R}$, entonces tendremos $f(y)=y+r$ para alguna $r\neq 0$. Mostraremos que $f(y+nr)=(y+nr)+r$ para todo entero $n$. Aplicando la hipótesis $f(2x-f(x))=x$ para $x=y$, obtenemos que $f(y-r)=y=(y-r)+r$, de modo que inductivamente tenemos $f(y-nr)=(y-nr)+r$ para $n$ entero positivo.

Aplicando la hipótesis $f(2x-f(x))=x$ para $x=f(x)$ obtenemos $f(2f(z)-f(f(z)))=f(z)$, de modo que por inyectividad tenemos $2f(z)-f(f(z))=z$. Usando esta ecuación para $z=y$ obtenemos que $2f(y)-f(f(y))=y$, de donde $f(y+r)=2(y+r)-y=(y+r)+r$, y de aquí inductivamente $f(y+nr)=(y+nr)+r$ para $n$ enteros positivos. De esta forma, $f(y+nr)=(y+nr)+r$ para todo entero.

Ahora sí viene la parte en la que usamos la continuidad. Supongamos que $f(x)\neq x$. Sea $\epsilon=|f(x)-x|>0$. Como $f$ es continua en $x$, existe un $\delta>0$ que podemos suponer menor a $\frac{\epsilon}{4}$ tal que si $|z-x|<\delta$, entonces $|f(z)-f(x)|<\frac{\epsilon}{4}$.

Sea $x_0$ un punto frontera del conjunto de puntos fijos. Como $f$ es continua en $x_0$, podemos encontrar un $\alpha>0$ y $\alpha<\delta$ tal que si $|w-x_0|<\alpha$, entonces $|f(w)-f(x_0)|<\delta$. Como el conjunto de puntos fijos es cerrado, $x_0$ está en él. Ya que $x_0$ es punto frontera, existe un $y$ tal que $f(y)\neq y$ y $|x_0-y|\leq \alpha$. Para este $y$ tenemos por las cotas que hemos encontrado y la desigualdad del triángulo que $$|f(y)-y|\leq |f(y)-f(x_0)|+|x_0-y|\leq \delta +\alpha <2\delta.$$

Así, $r=f(y)-y$ es un número de norma entre $0$ y $2\delta$, de modo que existe una $n$ para la cual $y+nr \in (x-\delta,x+\delta)$. Por lo que probamos previamente, $f(y+nr)=(y+nr)+r$. A partir de todo esto concluimos que:

\begin{align*}
\epsilon&=|f(x)-x|\\
&\leq |f(x)-f(y+nr)|+|f(y+nr)-x|\\
&<\frac{\epsilon}{4}+|(y+nr)-x|+|r|\\
&<\frac{\epsilon}{4}+3\delta\\
&<\frac{\epsilon}{4}+\frac{3\epsilon}{4}=\epsilon.
\end{align*}

Esto es una contradicción, así que todos los reales deben ser puntos fijos de $f$.

$\square$

Dos teoremas importantes de continuidad

Las funciones continuas satisfacen dos propiedades muy importantes.

Teorema (teorema del valor intermedio). Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función continua. Entonces para todo $y$ entre $f(a)$ y $f(b)$ existe un real $c \in [a,b]$ tal que $f(c)=y$.

Aquí, si $f(a)\leq f(b)$ entonces «entre $f(a)$ y $f(b)$» quiere decir en el intervalo $[f(a),f(b)]$ y si $f(b)\leq f(a)$, quiere decir en el intervalo $[f(b),f(a)]$. Dicho en otras palabras, si una función continua toma dos valores, entonces toma todos los valores entre ellos.

Teorema (teorema del valor extremo). Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ una función continua. Entonces existen números $c$ y $d$ en $[a,b]$ para los cuales $f(c)\leq f(x) \leq f(d)$ para todos los $x$ en $[a,b]$.

Dicho de otra forma, una función continua definida en un intervalo cerrado «alcanza su máximo y su mínimo».

En siguientes entradas hablaremos de aplicaciones de estos teoremas. Por el momento sólo los enunciamos, y en la siguiente sección demostraremos uno de ellos.

El método de la bisección de intervalos

Una de las herramientas más útiles para trabajar con reales y con funciones continuas es el método de la bisección de intervalos. Se trata a grandes rasgos de lo siguiente:

  • Se comienza con un intervalo $[a,b]$. Definimos $a_0=a$ y $b_0=b$.
  • Partimos ese intervalo por su punto medio $m_0=m$ en dos intervalos $[a,m]$ y $[m,b]$. En alguno de esos dos pasa algo especial. Si es en el primero, definimos $a_1=a$, $b_1=m$. Si es en el segundo, definimos $a_1=m$, $b_1=b$, para conseguir un intervalo $[a_1,b_1]\subset [a_0,b_0]$ especial.
  • Continuamos recursivamente. Ya que definimos al intervalo $[a_n,b_n]$, consideramos a su punto medio $m_n$. De entre los intervalos $[a_n,m_n]$ y $[m_n,b_n]$ elegimos a uno de ellos que sea «especial» para definir $[a_{n+1},b_{n+1}]$.

Los $a_i$ forman una sucesión no decreciente acotada superiormente por $b$ y los $b_i$ una sucesión no creciente acotada inferiormente por $a$. De esta forma, ambas sucesiones tienen un límite. Además, notemos que $|b_n-a_n|=|b-a|/2^n$, de modo que $|b_n-a_n|\to 0$, por lo que ambas situaciones convergen al mismo límite $L$, y este límite está en todos los intervalos $[a_n,b_n]$. Si elegimos a los intervalos $[a_n,b_n]$ de manera correcta, podemos hacer que este límite $L$ tenga propiedades especiales.

Veamos cómo aplicar esta idea para demostrar el teorema del valor extremo.

Demostración (teorema del valor extremo). Comenzamos con una función contínua $f:[a,b]\to \mathbb{R}$. Basta con probar que $f$ alcanza su máximo, pues para ver que alcanza su mínimo basta aplicar las siguientes ideas a $-f$.

Usaremos el método de bisección de intervalos. Definimos $a_0=a$ y $b_0=b$. Suponiendo que ya definimos $a_n$ y $b_n$, consideremos el punto medio $m_n$ del intervalo $[a_n,b_n]$.

  • Si algún $x$ en $[a_n,m_n]$ cumple que $f(x)\geq f(y)$ para todo $y\in [m_n,b_n]$, elegimos $a_{n+1}=a_n$ y $b_{n+1}=m_n$.
  • En otro caso, para todo $x$ en $[a_n,m_n]$ tenemos algún $y\in [m_n,b_n]$ que cumple $f(x)<f(y)$ y elegimos $a_{n+1}=m_n$ y $b_{n+1}=b_n$.

En cualquier caso, notemos que se cumple que «para cualquier $x$ en el intervalo no elegido hay una $y$ en el intervalo sí elegido tal que $f(y)\geq f(x)$».

Como discutimos anteriormente, las sucesiones $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ convergen a un mismo límite $d$. Afirmamos que $f(d)\geq f(x)$ para todo $x$ en $[a,b]$. Si $x=d$, esto es claro. Si no, $x\neq d$ y definimos $x_0=x$.

Vamos a definir recursivamente una sucesión $\{x_n\}$ para la cual $$f(x_0)\leq f(x_1)\leq f(x_2)\leq f(x_3)\leq \ldots$$ mediante un proceso que haremos mientras $x_n\neq d$.

Ya que definimos $x_n$ tal que $x_n\neq d$, notemos que $d$ y $x_n$ están en el mismo intervalo $[a_0,b_0]$, pero como son distintos existe un primer $m\geq 1$ tal que en el intervalo $[a_m,b_m]$ está $d$ pero $x_n$ no. Como es la menor $m$, sí están ambos en el intervalo $[a_{m-1},b_{m-1}]$.

Por cómo definimos la elección de intervalos, hay un $y$ en el intervalo $[a_m,b_m]$ tal que $f(y)\geq f(x_n)$. Si $y=d$, terminamos (por la cadena de desigualdades). Si no, definimos $x_{n+1}$ como este $y$. Así, cuando el proceso se detiene, terminamos por la cadena de desigualdades. Si el proceso no se detiene, tenemos una sucesión infinita $\{x_n\}$ que converge a $d$, de modo que $f(d)=\lim{f(x_n)}\geq f(x_0)=f(x)$, pues cada término es mayor o igual a $f(x_0)$. Esto muestra la desigualdad $f(d)\geq f(x)$ que queríamos.

$\square$

Más problemas

Se pueden encontrar más problemas de este tema en la Sección 6.1 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.