Cálculo Diferencial e Integral I: Valor absoluto. Desigualdad del triángulo.

Introducción

En esta entrada veremos una función muy particular: el valor absoluto. Esta nos permitirá «medir la distancia» entre un par de números reales. Finalizaremos con la demostración de la Desigualdad del triángulo y algunas de sus consecuencias. Esta desigualdad es usada en las demostraciones de Límite y Continuidad que veremos más adelante.

Definición formal

Definición (Valor absoluto): Para todo $x\in \r$ definimos la función valor absoluto cómo sigue:
\begin{equation*}
|x|=
\begin{cases}
x &\text{si $x \geq 0$}\\
-x & \text{si $x< 0$}
\end{cases}
\end{equation*}

Recordando las propiedades de orden, la definición quedaría de la siguiente manera:
\begin{equation*}
|x|=
\begin{cases}
x &\text{si $x =0$ ó $x\in P$}\\
-x & \text{si $-x\in P$}
\end{cases}
\end{equation*}
Esta última nos será de utilidad para la demostración de la desigualdad del triángulo que veremos más adelante.

Midiendo distancias

Si observamos la definición del valor absoluto, notamos que asocia a cualquier número real a su distancia respecto al cero. Veámoslo en los ejemplos siguientes:

  • $|-3|=3$
  • $|14|= 14$

En consecuencia, si consideramos la distancia entre cualquier par de números reales tendríamos la siguiente definición.

Definición: Para cualesquiera $a,b \in \r$ tenemos que están a distancia $|a-b|$.
Observemos que la distancia siempre será positiva o cero.

Desigualdad del triángulo

Para todo $a,b \in \r$ se cumple la siguiente desigualdad:
$$|a+b| \leq |a|+|b|$$

Demostración: Dada la definición del valor absoluto, debemos considerar casos sobre los signos de $a$ y $b$.
CASO 1: $a \geq 0$ y $b \geq 0$.
Recordemos que $P$ es cerrado bajo la suma, por lo que tenemos lo siguiente:
\begin{align*}
|a+b|&= a + b\\
&= |a|+|b|
\end{align*}
La última igualdad se sigue de $a = |a|$ y $b = |b|$.

CASO 2: $a < 0$ y $b < 0$.
Notemos que $-a \in P$ y $-b \in P$ por lo que $-a-b \in P$. Así se sigue que:
\begin{align*}
|a+b|&= -(a+b)\tag{por $a+b$ negativo}\\
&= -a – b\tag{por resultado 1}\\
&= (-a)+(-b)\\
&= |a|+|b|
\end{align*}
Por $|a|=-a$ y $|b|=-b$.

CASO 3: $a \geq 0$ y $b < 0$.
Para esta demostración debemos considerar dos subcasos.
SUBCASO 1: $a+b \geq 0$
Dado lo anterior aplicando la definición de valor absoluto ocurre que:
\begin{align*}
|a+b|&=a+b\\
&< a-b \tag{por resultados 2 y3}\\
\end{align*}
Como tenemos que $a-b = |a|+|b|$, concluimos:
$$|a+b|<|a|+|b|$$
SUBCASO 2: $a+b < 0$
Procederemos análogamente al subcaso anterior:
\begin{align*}
|a+b|&=-(a+b)\\
&= -a-b\\
&< a-b \tag{por resultados 2 y3}\\
\end{align*}
Ya que $a-b = |a|+|b|$, tenemos:
$$|a+b|<|a|+|b|$$

CASO 4: $a < 0$ y $b \geq 0$.
Al igual que en el caso 3, para verificar la desigualdad se deberán considerar dos subcasos. La demostración de este caso se deja como parte de la Tarea moral.

$\square$

Para poder dar por terminada la prueba, debemos demostrar los siguientes resultados auxiliares que utilizamos:

Resultados: Para cualesquiera $a,b,c \in \r$ se cumplen:

  1. $-a-b=-(a+b)$
  2. Si $b<0 \Rightarrow b<-b$
  3. Si $a<b \Rightarrow a+c < b+c$

Demostración:
1. Debemos verificar que $-a-b =(-a)+(-b)$ es inverso aditivo de $a+b$.
\begin{align*}
(a+b)+((-a)+(-b))&= (b+a)+((-a)+(-b))\\
&= ((b+a)+(-a))+(-b)\\
&= (b+(a+(-a))+(-b)\\
&= (b+0)+(-b)\\
&= b + (-b)\\
&=0
\end{align*}
Concluimos que $(-a)+(-b) = -(a+b)$

2. Ya que $b<0$ sabemos que $-b \in P$. Queremos probar que $-b-b > 0$.
Observemos que: $-b-b=(-b)+(-b)\in P$.
Por lo que afirmamos que $b<-b$.

3. Bastaría ver que $(b+c)-(a+c) \in P$. Debido a que $b-a \in P$. Observamos lo siguiente.
\begin{align*}
b-a &= (b-a)+0\\
&= (b-a) + (c-c)\\
&= (b+c)-(a+c)
\end{align*}
$$\therefore (b+c)-(a+c) \in P$$
$$\therefore b+c > a+c$$

$\square$

Consecuencias de la desigualdad del triángulo

Sean $a,b \in \r$. Se cumplen las siguientes desigualdades:

  1. $|a-b| \leq |a|+|b|$
  2. $|a|-|b|\leq |a-b|$
  3. $|b|-|a|\leq |a-b|$

En esta ocasión sólo probaremos el punto 2.

Demostración:
2. Cómo $|a|= |a+0|$, al desarrollar esta igualdad obtenemos:
\begin{align*}
|a|&= |a+0|\\
&= |a+ (b+ (-b))|\\
&= |(a-b)+b|\\
&\leq |a-b| + |b| \tag{por la desigualdad del triángulo}\\
\end{align*}
$$\therefore |a| \leq |a-b| + |b|$$
$$\therefore |a|-|b| \leq |a-b|$$

$\square$

Tarea moral

  • Propiedades del valor absoluto.
    Prueba los siguientes resultados:
    • $|a|=|-a|$
    • $|ab|=|a||b|$
    • $|\frac{1}{a}|$ con $a\neq 0$
    • $\frac{|a|}{|b|}$ con $b \neq 0$
  • Desigualdad del triángulo.
    • Realiza la prueba del CASO 4 .
    • Demuestra que:
      • $|a-b| \leq |a|+|b|$
      • $|b|-|a|\leq |a-b|$

Más adelante

En la próxima entrada comenzaremos a resolver desigualdades donde el valor absoluto se encuentra involucrado.

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