Cálculo Diferencial e Integral I: Cota superior e inferior de un conjunto.

Introducción

Ahora comenzaremos a ver un tema un tanto diferente a los vistos en la entrada anterior. Primero veremos los conceptos de máximo y mínimo de un conjunto, después las definiciones formales para cota superior e inferior, y terminaremos revisando algunos ejemplos donde las aplicaremos.

Máximo y mínimo de un conjunto

Definición: Sean $A,B \subseteq \r$ no vacíos. Decimos que:

  • $A$ tiene elemento máximo $\Leftrightarrow \exists a_{0} \in A$ tal que $\forall a \in A$ se cumple que: $a \leq a_{0}$
  • $B$ tiene elemento minímo $\Leftrightarrow \exists b_{0} \in B$ tal que $\forall b \in B$ se cumple que: $b_{0} \leq b$

Para darnos una idea más clara de estas definiciones veamos los siguientes ejemplos:

$$C=(0,1]$$

  1. No tiene mínimo.
  2. Tiene máximo y es 1.

Para probar estas afirmaciones haremos uso de las definiciones anteriores:
Demostración 1 (por contradicción): Supondremos que existe un elemento $c_{0} \in C$ tal que $\forall c \in A$ cumple que $c_{0} \leq c$. Por lo que se sigue que: $0<c_{0}<1$.
Observemos que $\frac{c_{0}}{2} \in C$ ya que $0<\frac{c_{0}}{2}<c_{0}$
$$\Rightarrow c_{0}\leq \frac{c_{0}}{2}<c_{0} \contradiccion$$
Lo cuál es una contradicción.

Demostración 2: Veamos que al reescribir al conjunto C tenemos:
$$C=\left\{ c\in \r|0<c \leq 1 \right \}$$
Por lo que $1\in C$ y se cumple que $\forall c\in C, c\leq 1$.

$\square$

Observación:

  • El elemento máximo de un conjunto es único.
  • El elemento mínimo de un conjunto es único.

Cota superior e inferior de un conjunto

Definición: Sea $A \subseteq \r$. Decimos que un número $M \in \r$ es:

  • Cota superior $\Leftrightarrow \forall a \in A$ se cumple que: $a\leq M$.
  • Cota inferior $\Leftrightarrow \forall a \in A$ se cumple que: $a\geq M$.

Observación: Si hay una cota superior $M \Rightarrow \forall a \in A$ ocurre que: $$ a \leq M < M+1<M+2<M+3 \ldots$$ Es decir, hay una infinidad de cotas superiores de $A$.

Ejemplo

Consideremos al conjunto:
$$E=(0,2]$$
Vemos que para todo $x\in E$ ocurre que $-2<0<x$
$$\therefore -2 \leq x$$
Por lo que podemos concluir que $-2$ es cota inferior de $E$.

Y además tenemos que $\forall x \in E$ se cumple $ x \leq 2$
$\therefore 2$ es cota superior de $E$.

Conjuntos acotados

Definición: Consideremos $A, B \subseteq \r$. Decimos que:

  • $A$ es acotado superiormente $\Leftrightarrow \exists M\in \r$ tal que $\forall a \in A$, $a \leq M$.
  • $B$ es acotado inferiormente $\Leftrightarrow \exists m\in \r$ tal que $\forall b \in B$, $m \leq b$.
  • $A$ es acotado $\Leftrightarrow \exists m,M \in \r$ tal que $\forall a \in A$: $m \leq a \leq M$.
  • $A$ es acotado $\Leftrightarrow \exists M \in \r$ tal que $\forall a \in A$: $|a| \leq M$.

Lema: Para cualesquiera $A,B \subseteq \r$. Si $A\subseteq B$ y $B$ es acotado entonces $A$ es acotado.

Demostración: Como tenemos que $B$ es acotado existe $M>0$ tal que para todo $b\in B$:
$$|b|\leq M$$
CASO 1 $A\neq\emptyset$: Como $A \subseteq B$ entonces para todo $a \in A$ existe $b \in B$ tal que $a=b$.
$\therefore a \in A, a=b \Rightarrow |a|=|b|\leq M$$
CASO 2 $A= \emptyset$: Sabemos que $A =\emptyset\subseteq B$ por lo que se sigue $A$ es acotado por vacuidad.

$\square$

Ejemplo

Si tenemos: $$A= \left\{\frac{1}{n}: n\in \mathbb{N} \right\}$$

Observamos que:

  • $A$ es acotado superiormente ya que para todo $n\in \mathbb{N}$:
    $$1<n \Leftrightarrow \frac{1}{n} \leq 1$$
    $\therefore 1$ es cota superior de $A$.
  • $A$ tiene elemento máximo. Tenemos que $\forall n\in \mathbb{N}: \frac{1}{n} \leq 1$
    Así para $n=1$ ocurre que $\frac{1}{1} \leq 1$.
    $\therefore 1$ es máximo de $A$.
  • El conjunto de cotas superiores de $A$ esta dado por:
    $$[1, \infty)$$
    tiene elemento mínimo y es 1. Esto nos indica que existe una mínima cota superior.
  • $A$ es acotado inferiormente. Vemos que para todo $n\in \mathbb{N}, \frac{1}{n} > 0$ por lo que $0 \notin A$. Concluimos así que $\forall a\in A, 0 \leq \frac{1}{n}$.
    $\therefore 0$ es cota inferior de $A$
  • El conjunto de cotas inferiores de $A$ esta dado por:
    $$(- \infty, 0]$$
    tiene elemento máximo y es 0. Esto nos indica que existe una máxima cota inferior.
  • $A$ no tiene elemento mínimo. Si suponemos que existe un elemento $a_{0} \in A$ tal que $\forall n\in \mathbb{N}, a_{0} \leq \frac{1}{n}$. Tenemos que $a_{0}$ sería de la forma
    $a_{0} = \frac{1}{n_{0}} > 0$
    $\Rightarrow 0< \frac{1}{2n_{0}}<\frac{1}{n_{0}}$ con $\frac{1}{2n_{0}} \in A$.
    De lo anterior vemos que $a_{0}$ no es mínimo $\Rightarrow \frac{1}{n_{0}}\leq\frac{1}{2n_{0}} \contradiccion$

$\square$

Tarea moral

  • Demuestra que:
    • El elemento máximo de un conjunto es único.
    • El elemento mínimo de un conjunto es único.
  • Prueba que son equivalentes las definiciones para $A$ acotado:
    $\exists m,M \in \r$ tal que $\forall a \in A$: $m \leq a \leq M \Leftrightarrow \exists M \in \r$ tal que $\forall a \in A$: $|a| \leq M$.
  • Para el conjunto $D=(-\infty, 1)$ demuestra que se cumplen las siguientes afirmaciones:
    • D no tiene elemento mínimo
    • D no tiene elemento máximo
    • D es acotado superiormente
    • D no tiene cotas inferiores

Más adelante

Ahora que ya hemos revisado los conceptos de máximo, mínimo y cotas superiores e inferiores de un conjunto en $\r$ tenemos los antecedentes necesarios para comenzar a hablar de supremos e ínfimos.

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