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Cálculo Diferencial e Integral I: Raíz cuadrada y desigualdades

Por Karen González Cárdenas

Introducción

Ahora veremos el concepto de raíz cuadrada, su definición formal, resultados útiles y ejercicios de desigualdades donde se vea involucrada.

Definición de raíz cuadrada de un número real

Definición (Raíz cuadrada): Sea $x \in \r$ tal que $x \geq 0$. Definiremos a la raíz cuadrada de $x$ como sigue:
$$\sqrt{x}=y \Leftrightarrow x= y^{2}$$

Para dejar más clara la definición observemos el siguientes ejemplo:

  • Si $x =9$ tenemos que para $\sqrt{9}$
    • $\sqrt{(3)^{2}}= 3$
    • $\sqrt{(-3)^{2}}= 3$

Observaciones

  1. Para toda $x \in \r$ con $x>0$. Observamos que la raíz cuadra de $x$ tiene una rama positiva y una rama negativa, es decir, $$-\sqrt{x} \leq 0 , \sqrt{x} \geq 0$$.
  2. Para $y \in \r$ tenemos que $\sqrt{y^{2}} =|y|$
  3. $|y^{2}|=y^{2}$
    $|y^{2}|=|y|^{2}$

Demostración de 1: Si consideramos $x=y^{2}$ donde $y^{2}\geq 0$. Así al sustituir y aplicar la raíz cuadrada se sigue que:
\begin{equation*}
\sqrt{y^{2}}=
\begin{cases}
y &\text{si $y \geq 0$}\\
-y & \text{si $y< 0$}
\end{cases}
\end{equation*}

Demostración de 2: Vemos que esto se sigue de a observación anterior ya que
\begin{equation*}
|y|=
\begin{cases}
y &\text{si $y \geq 0$}\\
-y & \text{si $y< 0$}
\end{cases}
\end{equation*}
$$\therefore \sqrt{y^{2}} =|y|$$

$\square$

Algunos resultados importantes

Teorema: Para $x,y \in \r$ donde $x \geq 0$ y $y \geq 0$.
$$x \leq y \Leftrightarrow x^{2} \leq y^{2}$$

Demostración:
$\Rightarrow$): Cómo tenemos por hipótesis $x \leq y$ vemos que al multiplicar por $x$ obtendríamos
$$x \leq y \Rightarrow x^{2} \leq xy$$
Y si multiplicamos por $y$:
$$x \leq y \Rightarrow xy \leq y^{2}$$
Así por transitividad:
$$\Rightarrow x^{2} \leq y^{2}$$
$\Leftarrow$): Ahora tenemos cómo hipótesis que $x^{2} \leq y^{2}$. Y esto es equivalente a decir
$$0 \leq y^{2}-x^{2} \Leftrightarrow (y+x)(y-x) \geq 0$$

Por lo que debemos considerar los casos en que:
I. $y+x \geq 0$ y $y-x \geq 0$
De la segunda desigualdad concluimos $y \geq x$.

O el caso II.$y+x \leq 0$ y $y-x \leq 0$
Vemos que este caso no tiene sentido.
$$\therefore y \geq x$$

$\square$

Corolario: Para $x \geq 0$, $y \geq 0$.
$$x\leq y \Leftrightarrow \sqrt{x} \leq \sqrt{y}$$
Demostración:
Tomemos $a = \sqrt{x}$ y $b=\sqrt{y}$.
$\Rightarrow$):
Entonces $a^{2}=(\sqrt{x})^{2}$ y $b^{2}=(\sqrt{y})^{2}\Rightarrow a^{2}=x$ y $b^{2}=y$
Y cómo por hipótesis $x\leq y$
\begin{align*}
&\Rightarrow a^{2} \leq b^{2}\\
&\Rightarrow a \leq b\\
&\Rightarrow \sqrt{x} \leq \sqrt{y}
\end{align*}
$\Leftarrow$):
Ahora cómo por hipótesis $\sqrt{x} \leq \sqrt{y}$
\begin{align*}
&\Rightarrow a \leq b\\
&\Rightarrow a^{2} \leq b^{2}\\
&\Rightarrow x \leq y
\end{align*}

$\square$

Corolario: Para cualesquiera $x,y \in \r$.
$$|x|^{2}\leq y \Leftrightarrow |x| \leq \sqrt{y}$$
Demostración:
Aplicando el corolario anterior tenemos las siguientes equivalencias
\begin{align*}
|x|^{2}\leq y &\Leftrightarrow \sqrt{|x|^{2}} \leq \sqrt{y}\\
&\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{y}\\
&\Leftrightarrow |x| \leq \sqrt{y}\\
\end{align*}

$\square$

A continuación resolveremos ejercicios de desigualdades donde se encontraran involucrados la raíz cuadrada y el valor absoluto.

Ejercicio 1

Encuentra los valores $x$ que cumplan la desigualdad:

$$2x^{2}<|x-1|$$

Por el valor absoluto presente sabemos que debemos tomar casos, por lo que tenemos:

CASO 1: $x-1\geq 0 \Rightarrow x\geq 1$

Sustituyendo nos queda:
\begin{align*}
2x^{2}<|x-1|&\Rightarrow 2x^{2}< x-1\\
&\Rightarrow 2x^{2}- x+1<0\\
\end{align*}
Aplicando la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:
\begin{align*}
x &=\frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 -4(2)(1)}}{2(2)}\\
&=\frac{1 \pm \sqrt{1-8}}{4}\\
&=\frac{1 \pm \sqrt{-7}}{4}\\
\end{align*}
Pero cómo $\sqrt{-7}$ no tiene solución en $\r$. Tenemos que la solución de este caso es:
$$[1,\infty) \cap \emptyset= \emptyset$$

CASO 2: $x-1\leq 0 \Rightarrow x\leq 1$
Por lo que tendríamos:
\begin{align*}
2x^{2}<|x-1|&\Rightarrow 2x^{2}< -(x-1)\\
&\Rightarrow 2x^{2}+x-1<0\\
\end{align*}

Y por la fórmula general se sigue:
\begin{align*}
x&=\frac{-1\pm \sqrt{(1)^2 -4(2)(-1)}}{2(2)}\\
&=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{4}\\
&=\frac{-1\pm 3}{4}\\
\end{align*}
$$\therefore x_{1}=\frac{1}{2}, x_{2}=-1$$
Sustituyendo lo anterior tenemos que:
$$2x^{2}+x-1<0 \Rightarrow \left(x-\frac{1}{2} \right)(x+1)<0$$

Dado lo anterior notamos que para que el producto satisfaga la desigualdad hay que considerar el siguiente par de casos:
CASO 2.1: $x-\frac{1}{2}>0$ y $ x+1<0$
De donde $x>\frac{1}{2}$ y $ x<-1$. Al considerar la intersección vemos que ocurre:
$$\left(\frac{1}{2}, \infty \right) \cap (-\infty,-1)= \emptyset$$

CASO 2.2: $x-\frac{1}{2}<0$ y $ x+1>0$
Ahora tendríamos que $x<\frac{1}{2}$ y $ x>-1$. Y la solución sería:
$$\left(-1,\frac{1}{2} \right)$$

Concluimos así que la solución del CASO 2 esta dada por:
$$\left[\emptyset \cup \left(-1, \frac{1}{2} \right) \right] \cap (-\infty, 1)=\left(-1,\frac{1}{2} \right)$$

Finalmente la solución total es:
$$\left(-1,\frac{1}{2} \right)\cup \emptyset =\left(-1,\frac{1}{2} \right)$$


Ejercicio 2

$$x^{2}-4x-1 >0$$

Factorizando:
\begin{align*}
x &=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2 -4(1)(-1)}}{2(1)}\\
&=\frac{4\pm \sqrt{16+4}}{2}\\
&=\frac{4\pm \sqrt{20}}{2}\\
&=\frac{4\pm 2\sqrt{5}}{2}\\
&= 2\pm 2\sqrt{5}
\end{align*}
$$\therefore x_{1}=2+\sqrt{5}, x_{2}=2-\sqrt{5}$$

Entonces la desigualdad que queremos resolver sería:
$$(x – (2+\sqrt{5}))(x-(2-\sqrt{5}))>0$$

Para que el producto cumpla con la condición de ser mayor que cero debemos considerar los casos:
CASO 1: $x-2-\sqrt{5} >0$ y $x-2+\sqrt{5} >0$
$\Rightarrow x>2+\sqrt{5}$ y $x>2-\sqrt{5}$
$\Rightarrow x>2+\sqrt{5}$

CASO 2: $x-2-\sqrt{5} <0$ y $x-2+\sqrt{5} <0$
$\Rightarrow x<2+\sqrt{5}$ y $x<2-\sqrt{5}$
$\Rightarrow x<2-\sqrt{5}$


De los casos anteriores obtenemos que nuestro conjunto solución es:
$$(-\infty, 2-\sqrt{5}) \cup (2+\sqrt{5}, \infty)$$

Ahora que ya hemos revisado estos ejercicios, te invitamos a poner en práctica los procedimientos vistos con los siguientes ejercicios.

Tarea moral

Prueba que:

  • $|y^{2}|=y^{2}$
  • $|y^{2}|=|y|^{2}$

Obtén todos los valores de $x$ que satisfagan las siguientes desigualdades:

  • $-5x^{2} + 2x +|x|-1 \leq 3$
  • $x^{2}-4x-1<0$
  • $-7x^{2}+2x+|x|<-4$

Más adelante

En la siguiente entrada veremos las cotas de un conjunto en $\r$. Definiremos formalmente los conceptos de cota superior e inferior y veremos algunos ejemplos donde los aplicaremos. Estos serán de suma importancia para comenzar a hablar de ínfimos y supremos posteriormente.

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Cálculo Diferencial e Integral I: Valor absoluto y desigualdades

Por Karen González Cárdenas

Introducción

En esta entrada nos dedicaremos a resolver desigualdades con valor absoluto. Para ello retomaremos la definición del valor absoluto de un número real y utilizaremos algunos resultados que probaremos a continuación.

Un par de resultados importantes

Lema: Para todo $a \in \r$. $a \leq |a|$ y $-a \leq |a|$
Demostración: Procederemos a revisar los siguientes dos casos.
CASO 1: Si $a \geq 0$.
Por un lado tenemos por la definición de valor absoluto $|a|=a$.
$$\therefore |a|\geq a$$.
Y por otro que $a \geq 0 \geq -a$, así por transitividad se concluye que:
$$ |a| \geq a$$

CASO 2: Si $a \leq 0$.
Así se sigue que $|-a|=a$ entonces tenemos que $|a|\geq a$.
Y análogamente al caso anterior: $-a \geq 0 \geq a \Rightarrow |a|\geq a$.

$\square$

Teorema: Consideremos $a,x \in \r$.

  1. \begin{align*}
    |x|\leq a &\Leftrightarrow -a \leq x\quad y \quad x \leq a\\
    &\Leftrightarrow x\in [-a,a]
    \end{align*}
  2. \begin{align*}
    |x|\geq a &\Leftrightarrow -a \geq x\quad o \quad x \geq a\\
    &\Leftrightarrow x\in (-\infty,-a] \cup [a, \infty)
    \end{align*}

NOTA.- «$\Leftrightarrow$» se lee cómo «si y sólo si».
Demostración:
1. $\Rightarrow$: Por hipótesis tenemos que $|x|\geq a$, aplicando el lema anterior:
$$x \geq |x|\quad y \quad -x \geq |x|$$.
Por transitividad: $$x \geq a \quad y \quad -x \geq a$$
$$\therefore x \geq a\quad y \quad x \geq -a$$.

Lo anterior nos indica lo siguiente: $x \in (-\infty, a]$ y $x \in [-a,\infty)$. Así al tomar la intersección de estos intervalos, obtenemos:
$$(-\infty, a] \cap [-a,\infty) = [-a,a]$$

$\Leftarrow$: Ahora consideremos $x \in [-a,a]$. De la implicación anterior tenemos que:
$$x\in [-a,a]=(-\infty, a] \cap [-a,\infty)$$
Aplicando la respectiva definición de intervalo e intersección:
$$x \geq a\quad y \quad x \geq -a$$
Y por el lema:
$$x \geq |x|\quad y \quad -x \geq |x|$$

$\square$

El punto 2 se quedará de ejercicio para la Tarea moral. Ahora continuaremos con ejercicios de desigualdades, en ellos deberemos encontrar todos los valores que las satisfagan.

Ejercicio 1

$$|x-3|=8$$
Recordemos que debido a la definición de valor absoluto, siempre deberemos considerar casos.
Para resolver este ejercicio deberemos considerar los siguientes:
CASO 1: $x-3 \geq 0$
Por lo que $|x-3|=x-3$ y sustituyendo tenemos:
\begin{align*}
x-3 &=8\\
x&=8+3\\
x &= 11
\end{align*}
CASO 2: $x-3 < 0$
Así $|x-3|= -x+3$, por lo que se sigue:
\begin{align*}
-x+3 &=8\\
-x&=8-3\\
-x &=5\\
x&= -5
\end{align*}

De los casos anterior obtenemos que los valores de $x$ que satisfacen la igualdad son
$x =11$ o $x=-5$

Ejercicio 2

$$|3x-3| \leq 2x+1$$
Para este ejercicio aplicando el teorema tendríamos:
$-2x-1 \leq 3x-3$ y $3x-3 \leq 2x+1$.
Comenzaremos desarrollando la primera desigualdad:
\begin{align*}
-2x-1 &\leq 3x-3\\
-2x-3x &\leq -3+1\\
-5x &\leq -2\\
5x &\geq 2\\
x &\geq \frac{2}{5}
\end{align*}
$$\therefore x \in \left[\frac{2}{5}, \infty \right)$$
Y de la segunda obtenemos:
\begin{align*}
3x-3 &\leq 2x+1\\
3x-2x &\leq 1+3\\
x&\leq 4
\end{align*}
$$\therefore x \in(-\infty,4]$$

Por lo que al tomar la intersección de ambos intervalos nos queda que los valores que satisfacen la desigualdad son:
$$ x \in (-\infty,4] \cap \left[\frac{2}{5}, \infty \right)= \left [\frac{2}{5}, 4 \right]$$


$$\therefore x \in \left [\frac{2}{5}, 4 \right]$$

Ejercicio 3

$$|2x+1|-|3x+2|<1$$
Debido a que tenemos dos valores absolutos, para resolver este ejercicio necesitaremos considerar los siguientes casos:

  1. $2x+1 \geq 0$ y $3x+2 \geq 0$
  2. $2x+1 \leq 0$ y $3x+2 \leq 0$
  3. $2x+1 \geq 0$ y $3x+2 \leq 0$
  4. $2x+1 \leq 0$ y $3x+2 \geq 0$

Nuestra solución final será la unión de todas las soluciones obtenidas en los casos anteriores.

CASO 1: $2x+1 \geq 0$ y $3x+2 \geq 0$

Desarrollando las desigualdades:
\begin{align*}
2x+1 \geq 0\quad &y \quad 3x+2 \geq 0\\
\Rightarrow 2x \geq -1 \quad &y \quad 3x \geq -2\\
\Rightarrow x \geq -\frac{1}{2} \quad &y \quad x \geq -\frac{2}{3}\\
\end{align*}


$$\Rightarrow x \geq -\frac{1}{2}$$

Aplicando el valor absoluto obtenemos:
\begin{align*}
|2x+1|-|3x+2|<1 &\Rightarrow 2x+1-(3x+2) <1\\
&\Rightarrow 2x+1-3x-2-1<0\\
&\Rightarrow -x -2 <0\\
&\Rightarrow x+2>0\\
&\Rightarrow x> -2
\end{align*}
Por lo que al tomar la siguiente intersección tenemos que la solución de este caso es:
$$\left[-\frac{1}{2}, \infty \right) \cap (-2, \infty)= \left[-\frac{1}{2}, \infty \right)$$

CASO 2: $2x+1 \leq 0$ y $3x+2 \leq 0$
Tendríamos que:
\begin{align*}
2x+1 \leq 0\quad &y \quad 3x+2 \leq 0\\
\Rightarrow 2x \leq -1 \quad &y \quad 3x \leq -2\\
\Rightarrow x \leq -\frac{1}{2} \quad &y \quad x \leq -\frac{2}{3}\\
\end{align*}

$$\Rightarrow x \leq -\frac{2}{3}$$
Al sustituir tenemos:
\begin{align*}
|2x +1|-|3x+2|<1 &\Rightarrow -(2x+1)-(-(3x+2))<1\\
&\Rightarrow -2x-1+3x+2-1<0\\
&\Rightarrow x <0
\end{align*}

Así tenemos la solución:
$$ (-\infty, 0) \cap \left(-\infty, -\frac{2}{3} \right) = \left(-\infty, -\frac{2}{3} \right) $$

CASO 3: $2x+1 \geq 0$ y $3x+2 \leq 0$
Ahora se sigue que:
\begin{align*}
2x+1 \geq 0\quad &y \quad 3x+2 \leq 0\\
\Rightarrow 2x \geq -1 \quad &y \quad 3x \leq -2\\
\Rightarrow x \geq -\frac{1}{2} \quad &y \quad x \leq -\frac{2}{3}\\
\end{align*}
Así observamos:
$$\left(-\infty, -\frac{2}{3} \right) \cap \left[-\frac{1}{2}, \infty \right) = \emptyset$$

CASO 4: $2x+1 \leq 0$ y $3x+2 \geq 0$
Desarrollando:
\begin{align*}
2x+1 \leq 0 \quad y \quad 3x+2 \geq 0\\
\Rightarrow 2x \leq -1 \quad y \quad 3x \geq -2\\
\Rightarrow x \leq -\frac{1}{2} \quad y \quad x \geq -\frac{2}{3}\\
\end{align*}

$$\Rightarrow -\frac{2}{3} \leq x \leq -\frac{1}{2}$$
Aplicando la definición del valor absoluto:
\begin{align*}
|2x+1|-|3x+2|<1 &\Rightarrow -(2x+1) – (3x+2) < 1\\
&\Rightarrow -2x-1-3x-2-1< 0\\
&\Rightarrow -5x -4 < 0\\
&\Rightarrow 5x+4 > 0\\
&\Rightarrow 5x> -4\\
&\Rightarrow x > -\frac{4}{5}
\end{align*}
Concluimos que la solución a este caso es:
$$\left[-\frac{2}{3}, -\frac{1}{2} \right] \cap \left[-\frac{4}{5}, \infty \right)= \left[-\frac{2}{3}, -\frac{1}{2} \right]$$

Finalizamos considerando como solución total a la unión de los intervalos obtenidos en los cuatro casos:
$$\left(-\infty, -\frac{2}{3} \right) \cup\left[-\frac{2}{3}, -\frac{1}{2} \right] \cup \left[-\frac{1}{2}, \infty \right) = (-\infty, \infty)$$

Observemos que para la resolución de este tipo de desigualdades, siempre deberemos considerar los casos correspondientes a los signos del argumento de la función valor absoluto, es decir, cuando el argumento es positivo y cuando es negativo. En la sección de Tarea moral encontrarás ejercicios que te ayudarán a reforzar lo visto en esta entrada.

Tarea moral

Demuestra el punto 2 del teorema:
\begin{align*}
|x|\geq a &\Leftrightarrow -a \geq x\quad o \quad x \geq a\\
&\Leftrightarrow x\in (-\infty,-a] \cup [a, \infty)
\end{align*}

Encuentra los valores que satisfacen las siguientes desigualdades:

  • $|x-3|< 8$
  • $|3x-3| > 2x+1$
  • $|x-1||x+2|=3$
  • $|x-1|+|x-2|> 1$

Más adelante

Ahora que ya hemos visto el procedimiento para encontrar los valores que satisfacen una desigualdad con valor absoluto, en la siguiente entrada lo utilizaremos para continuar resolviendo ejercicios que lo involucren adicionando el concepto de raíz cuadrada de un número real. Veremos que el valor absoluto está relacionado con la definición formal de raíz cuadrada y algunos resultados útiles.

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Cálculo Diferencial e Integral I: Valor absoluto. Desigualdad del triángulo

Por Karen González Cárdenas

Introducción

En esta entrada veremos una función muy particular: el valor absoluto. Esta nos permitirá «medir la distancia» entre un par de números reales. Finalizaremos con la demostración de la Desigualdad del triángulo y algunas de sus consecuencias. Esta desigualdad es usada en las demostraciones de Límite y Continuidad que veremos más adelante.

Definición formal

Definición (Valor absoluto): Para todo $x\in \r$ definimos la función valor absoluto cómo sigue:
\begin{equation*}
|x|=
\begin{cases}
x &\text{si $x \geq 0$}\\
-x & \text{si $x< 0$}
\end{cases}
\end{equation*}

Recordando las propiedades de orden, la definición quedaría de la siguiente manera:
\begin{equation*}
|x|=
\begin{cases}
x &\text{si $x =0$ ó $x\in P$}\\
-x & \text{si $-x\in P$}
\end{cases}
\end{equation*}
Esta última nos será de utilidad para la demostración de la desigualdad del triángulo que veremos más adelante.

Midiendo distancias

Si observamos la definición del valor absoluto, notamos que asocia a cualquier número real a su distancia respecto al cero. Veámoslo en los ejemplos siguientes:

  • $|-3|=3$
  • $|14|= 14$

En consecuencia, si consideramos la distancia entre cualquier par de números reales tendríamos la siguiente definición.

Definición: Para cualesquiera $a,b \in \r$ tenemos que están a distancia $|a-b|$.
Observemos que la distancia siempre será positiva o cero.

Desigualdad del triángulo

Para todo $a,b \in \r$ se cumple la siguiente desigualdad:
$$|a+b| \leq |a|+|b|$$

Demostración: Dada la definición del valor absoluto, debemos considerar casos sobre los signos de $a$ y $b$.
CASO 1: $a \geq 0$ y $b \geq 0$.
Recordemos que $P$ es cerrado bajo la suma, por lo que tenemos lo siguiente:
\begin{align*}
|a+b|&= a + b\\
&= |a|+|b|
\end{align*}
La última igualdad se sigue de $a = |a|$ y $b = |b|$.

CASO 2: $a < 0$ y $b < 0$.
Notemos que $-a \in P$ y $-b \in P$ por lo que $-a-b \in P$. Así se sigue que:
\begin{align*}
|a+b|&= -(a+b)\tag{por $a+b$ negativo}\\
&= -a – b\tag{por resultado 1}\\
&= (-a)+(-b)\\
&= |a|+|b|
\end{align*}
Por $|a|=-a$ y $|b|=-b$.

CASO 3: $a \geq 0$ y $b < 0$.
Para esta demostración debemos considerar dos subcasos.
SUBCASO 1: $a+b \geq 0$
Dado lo anterior aplicando la definición de valor absoluto ocurre que:
\begin{align*}
|a+b|&=a+b\\
&< a-b \tag{por resultados 2 y3}\\
\end{align*}
Como tenemos que $a-b = |a|+|b|$, concluimos:
$$|a+b|<|a|+|b|$$
SUBCASO 2: $a+b < 0$
Procederemos análogamente al subcaso anterior:
\begin{align*}
|a+b|&=-(a+b)\\
&= -a-b\\
&< a-b \tag{por resultados 2 y3}\\
\end{align*}
Ya que $a-b = |a|+|b|$, tenemos:
$$|a+b|<|a|+|b|$$

CASO 4: $a < 0$ y $b \geq 0$.
Al igual que en el caso 3, para verificar la desigualdad se deberán considerar dos subcasos. La demostración de este caso se deja como parte de la Tarea moral.

$\square$

Para poder dar por terminada la prueba, debemos demostrar los siguientes resultados auxiliares que utilizamos:

Resultados: Para cualesquiera $a,b,c \in \r$ se cumplen:

  1. $-a-b=-(a+b)$
  2. Si $b<0 \Rightarrow b<-b$
  3. Si $a<b \Rightarrow a+c < b+c$

Demostración:
1. Debemos verificar que $-a-b =(-a)+(-b)$ es inverso aditivo de $a+b$.
\begin{align*}
(a+b)+((-a)+(-b))&= (b+a)+((-a)+(-b))\\
&= ((b+a)+(-a))+(-b)\\
&= (b+(a+(-a))+(-b)\\
&= (b+0)+(-b)\\
&= b + (-b)\\
&=0
\end{align*}
Concluimos que $(-a)+(-b) = -(a+b)$

2. Ya que $b<0$ sabemos que $-b \in P$. Queremos probar que $-b-b > 0$.
Observemos que: $-b-b=(-b)+(-b)\in P$.
Por lo que afirmamos que $b<-b$.

3. Bastaría ver que $(b+c)-(a+c) \in P$. Debido a que $b-a \in P$. Observamos lo siguiente.
\begin{align*}
b-a &= (b-a)+0\\
&= (b-a) + (c-c)\\
&= (b+c)-(a+c)
\end{align*}
$$\therefore (b+c)-(a+c) \in P$$
$$\therefore b+c > a+c$$

$\square$

Consecuencias de la desigualdad del triángulo

Sean $a,b \in \r$. Se cumplen las siguientes desigualdades:

  1. $|a-b| \leq |a|+|b|$
  2. $|a|-|b|\leq |a-b|$
  3. $|b|-|a|\leq |a-b|$

En esta ocasión sólo probaremos el punto 2.

Demostración:
2. Cómo $|a|= |a+0|$, al desarrollar esta igualdad obtenemos:
\begin{align*}
|a|&= |a+0|\\
&= |a+ (b+ (-b))|\\
&= |(a-b)+b|\\
&\leq |a-b| + |b| \tag{por la desigualdad del triángulo}\\
\end{align*}
$$\therefore |a| \leq |a-b| + |b|$$
$$\therefore |a|-|b| \leq |a-b|$$

$\square$

Tarea moral

  • Propiedades del valor absoluto.
    Prueba los siguientes resultados:
    • $|a|=|-a|$
    • $|ab|=|a||b|$
    • $|\frac{1}{a}|$ con $a\neq 0$
    • $\frac{|a|}{|b|}$ con $b \neq 0$
  • Desigualdad del triángulo.
    • Realiza la prueba del CASO 4 .
    • Demuestra que:
      • $|a-b| \leq |a|+|b|$
      • $|b|-|a|\leq |a-b|$

Más adelante

En la próxima entrada comenzaremos a resolver desigualdades donde el valor absoluto se encuentra involucrado.

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