Cálculo Diferencial e Integral I: Propiedades de orden de los números reales.

Introducción

Comenzaremos a revisar un conjunto de propiedades muy particular que éstas nos permitirán ordenar a los números reales. De acuerdo a este orden podremos decir para un par de números reales, quién es mayor o menor que otro. Así a la lista de propiedades vista previamente le agregaremos las siguientes.

Noción de orden en $\r$

O1.-Existe un subconjunto $P\subseteq \r$ tal que para todo $a\in\r$ ocurre una y sólo una de las siguientes afirmaciones:

  • $a=0$
  • $a\in P$
  • $-a\in P$

O2.-Si $a,b \in P$ entonces $a+b \in P$.

O3.-Si $a,b \in P$ entonces $a\cdot b \in P$.

Observación: Notemos que $P$ esta conformado por los números reales positivos.

Definición: Decimos que:

  • $a>b$ si $a-b \in P$.
  • $a<b$ si $b>a$.
  • $a\geq b$ si $a-b \in P$ o $a=b$.
  • $a\leq b$ si $b-a \in P$ o $a=b$.

Tricotomía

Proposición (Tricotomía): Para cuales quiera $a,b \in \r$. Tenemos que cumple una y sólo una de la siguientes afirmaciones:

  1. $a=b$
  2. $a>b$
  3. $b>a$

Demostración:

Sean $a,b\in\r$. Como por la cerradura de la suma S1 tenemos que: $$a+(-b)= a-b\in\r$$

Por O1 se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones:

  • $a-b=0$
  • $a-b\in P$
  • $-(a-b)\in P$

Aplicando las definiciones anteriores nos quedaría:

  • $a-b=0 \Rightarrow a=b$
  • $a-b\in P \Rightarrow a>b$
  • $-(a-b)\in P\Rightarrow b-a\in P \Rightarrow b>a$

$\square$

Leyes de los signos

Definición: Diremos que $a$ es positivo si $a\in P$ y que es negativo si $-a\in P$.

Proposición(Leyes de los signos): Sean $a,b\in\r$. Se cumplen las siguientes afirmaciones:

  1. Si $a,b >0$ entonces $a\cdot b >0$.
  2. Si $a,b < 0$ entonces $a\cdot b >0$
  3. Si $a>0$, $b<0$ entonces $a\cdot b < 0$.
  4. Si $a<0$, $b>0$ entonces $a\cdot b < 0$.

Demostración:

  1. Consideremos $a>0$ y $b>0$. Así tenemos que $a\in P$ y $b\in P$ entonces por O3 $a\cdot b \in P$
    $$\therefore a\cdot b > 0$$
  2. Ahora tomemos $a< 0$ y $b<0$. Por lo que $-a\in P$ y $-b\in P$ entonces por O3 $(-a)\cdot( -b) \in P$
    $$\therefore a\cdot b > 0$$

$\square$

Algunos resultados importantes

Proposición: Sean $a,b,c,d \in \r$. Tenemos que se cumplen los siguientes resultados:

  1. Si $a>b$ entonces $a+c>b+c$.
  2. Si $a<b$ y $c<0$ entonces $ac>bc$.
  3. Si $a<b$ y $c>0$ entonces $ac<bc$.
  4. Si $a<b$ y $c<d$ entonces $a+c<b+d$.
  5. Si $a<b$ y $c>d$ entonces $a-c<b-d$.
  6. Si $a<b$ entonces $-b<-a$.

Demostración:

  1. Cómo $a>b$ esto significa que $a-b \in P$.
    Así se sigue que:
    \begin{align*}
    a-b &= a +0 -b\\
    &= a + (c -c)-b\\
    &= (a +c) – (c+b)\\
    \end{align*}
    De lo anterior concluimos que $(a +c) – (c+b) \in P$, es decir, $a +c > c+b$
  2. Tarea moral
  3. Por hipótesis tenemos que $a<b$ y $c>0$ por lo que ocurre: $b-a \in P$ y $c \in P$.
    Por O3 afirmamos que $c (b-a) \in P$. Observemos que: $c (b-a) = cb – ca = bc – ac$.
    $$\therefore bc – ac \in P$$
    $$\therefore bc>ac $$
  4. Ya que $a<b$ y $c<d$ se sigue que $b-a \in P$ y $d-c \in P$. Así por O2 tenemos:
    $$(b-a)+(d-c) \in P$$
    Notemos que:
    \begin{align*}
    (b-a)+(d-c) &= b-a+d-c\\
    &= b+d -a-c\\
    &= (b+d) – (a+c)\\
    \end{align*}
    $$\therefore (b+d) – (a+c) \in P$$
    $$\therefore b+d > a+c$$
  5. Tenemos que $a<b$ y $c>d$ $\Rightarrow b-a \in P$ y $c-d \in P$.
    Por O2 se sigue que $(b-a) + (c-d) \in P$. Y como tenemos lo siguiente:
    \begin{align*}
    (b-a) + (c-d)&= b-a + c-d\\
    &= (b-d) + (-a +c)\\
    &= (b-d) – (a-c)\\
    \end{align*}
    Así concluimos que: $(b-d) – (a-c)\in P$.
    $$ \therefore b-d > a-c$$
  6. Tarea moral

$\square$

Transitividad

Proposición (Transitividad): Para $a,b \in \r$ se cumplen las siguientes propiedades:

  1. Si $a>b$ y $b>c \Rightarrow a>c$.
  2. Si $a< b$ y $b<c \Rightarrow a<c$.

Demostración:

  1. Cómo $a>b$ y $b>c$ sabemos que $a-b \in P$ y $b-c \in P$.
    Entonces tenemos por O2 $(a-b)+(b-c)\in P$. Y cómo:
    $$(a-b)+(b-c) = a+(-b+b)-c = a-c$$
    Así $a-c \in P$ y por lo tanto $a>c$.
  2. Ya qué $b>a$ y $c>b$. Aplicando el punto anterior se sigue que:
    $$c> a \Rightarrow a < c$$

$\square$

El cuadrado de un número real

Proposición: Para todo $a\in \r$ se cumple lo siguiente:

$$a^{2} \geq 0$$

Demostración: Tomemos $a\in \r$. Por la propiedad O1 debemos considerar los siguientes tres casos.

  • Caso $a =0$:
    Cómo $a=0$, al multiplicar por $a$ en ambos lados de la igualdad tenemos:
    \begin{align*}
    a\cdot a &= 0\cdot a\\
    a\cdot a &= 0\cdot 0\\
    a^{2} &= 0\\
    \end{align*}
    Concluimos así $a^{2} \geq 0$.
  • Caso $a>0$
    Así $a\in P$ y por O3 tenemos que $a \cdot a \in P$. Por lo que $a^{2} \in P$, es decir, $a^{2}> 0$. Se concluye $a^{2} \geq 0$.
  • Caso $a< 0$
    Ahora tenemos que $-a\in P$ y por O3 que $-a \cdot -a \in P$. Así $a^{2}= (-a)(-a) \in P$, por lo que $a^{2} \geq 0$.

De los casos anteriores probamos $a^{2} \geq 0$ para todo $a\in \r$

$\square$

Tarea moral

Demuestra los puntos 3 y 4 de las Leyes de los signos.

  • Si $a>0$, $b<0$ entonces $a\cdot b < 0$.
    • Hint: Prueba $a\cdot (-b)$ es inverso aditivo de $ab$, es decir, $ab + a\cdot (-b) =0$
  • Si $a<0$, $b>0$ entonces $a\cdot b < 0$.
    • Hint: Aplica o prueba el resultado $(-a)(-b)=-(ab)$.

Prueba los puntos 2 y 6 de la sección Algunos resultados…

  • Si $a<b$ y $c<0$ entonces $ac>bc$.
  • Si $a<b$ entonces $-b<-a$.

Muestre que para $a,b \in \r$ se cumplen las siguientes propiedades:

  • Si $a>1$ entonces $a^{2} > a$.
  • Si $0<a<1$ entonces $a^{2} < a$.
  • $$a< \sqrt{ab}< \frac{a+b}{2} <b$$

Más adelante

Ya que hemos definido las propiedades de orden y varios de sus resultados más importantes. En la siguiente entrada comenzaremos por definir a los intervalos en los reales y a resolver desigualdades apoyándonos en todo lo visto en esta entrada.

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