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Cálculo Diferencial e Integral I: Axioma del supremo y sus aplicaciones

Introducción

Durante toda esta unidad hemos visto una serie de propiedades que cumple el conjunto de los reales $\r$, sin embargo, debemos añadir a la lista una relacionada con la completitud de $\r$:el Axioma del Supremo. Para ello comenzaremos hablando de la completitud de $\r$, lo enunciaremos y veremos algunas de sus consecuencias.

Una idea de completitud en $\r$

La completitud de los reales afirma que el conjunto $\r$ rellena a toda la recta numérica sin dejar agujeros. Por lo que cada número real tiene asignado un punto de la recta real:
$$punto \quad en \quad la \quad recta = número \quad real$$
Previamente hemos hecho uso de esta idea al representar gráficamente al conjunto $\r$ utilizando una recta. En el curso veremos dos enunciados que enunciaran esta propiedad: el Axioma del Supremo y Completitud por Cortaduras de Dedekind.

Consideramos cómo parte de nuestro conjunto de propiedades al Axioma del Supremo, por lo que el que enunciado utilizando Cortaduras de Dedekind será un tema adicional para esta unidad.

Axioma del Supremo

Axioma del Supremo: Si $A \subseteq \r$ no vacío y $A$ es acotado superiormente entonces existe $\alpha \in \r$ tal que:
$$\alpha = sup(A)$$

Pese a lo simple que pueda parecer, más adelante veremos su importancia, ya que muchos resultados y propiedades de $\r$ son consecuencia de este.

Hablemos del ínfimo

Veremos que el enunciado anterior tiene como una de sus consecuencias a su análogo, hablando ahora del ínfimo de un conjunto.

Teorema del ínfimo: Si $A \subseteq \r$ no vacío y $A$ es acotado inferiormente entonces existe $\beta \in \r$ tal que:
$$\beta= inf(A)$$

Demostración:
Sea $A \neq \emptyset$ acotado inferiormente. Ahora consideremos el siguiente conjunto:
$$ B = \left\{ -x \in \r | x \in A \right\}$$

Cómo $A$ es acotado inferiormente entonces existe $m \in \r$ que es cota inferior de $A$. Así se cumple la siguiente desigualdad para todos los $x \in A$:

$m \leq x \Leftrightarrow -m \geq -x$ para toda $-x \in B$.
Por tanto, $-m$ es cota superior de $B$. Concluimos así que $B$ es no vacío y acotado superiormente. Aplicando el Axioma del Supremo tenemos que existe $\alpha = sup(B)$.

Recordemos que por definición $\alpha$ cumple:

  • $\alpha$ es cota superior de $B$ para cualquier $-x \in B$.
  • Es la menor de las cotas superiores de $B$ y $-x \leq \alpha$.

Del último punto observamos que:
$$x \geq -\alpha \quad \forall x \in A$$
$\Rightarrow -\alpha$ cota inferior de $A$
Nos falta ver que $- \alpha$ es la mayor de las cotas inferiores de $A$.

Supongamos que no lo cumple $\Rightarrow \exists a > -\alpha$ donde $a$ es cota inferior de $A$. Vemos que:
$$a > -\alpha \Leftrightarrow -a < \alpha$$
por lo que para todo $x \in A$:
$$ a \leq x $$
así para cualquier $-x \in B$:
$$ -a \geq -x$$
$\Rightarrow -a$ es cota superior de $B$ y es menor que $\alpha$la menor cota superior de $B \contradiccion$ lo cual es una contradicción.

$\square$

$\mathbb{N}$ y $\r$ no acotados superiormente

Teorema: El conjunto $\mathbb{N}$ no es acotado superiormente.

Demostración: Procederemos por contradicción. Supongamos que $\mathbb{N}$ es acotado superiormente por lo que existe $M \in \r$ tal que $M$ es cota superior de $\mathbb{N}$. Aplicando el Axioma del Supremo existe:
$$\alpha = sup(\mathbb{N})$$

entonces:

  • $\alpha$ es cota superior de $\mathbb{N}$
  • $\alpha$ es la menor de las cotas superiores de $\mathbb{N}$

Como para toda $n \in \mathbb{N}$:
$$n \leq \alpha$$
Y $n+1 \in \mathbb{N}$ entonces:
$$n+1 \leq \alpha \Leftrightarrow n \leq \alpha -1$$

Ya que para toda $n \in \mathbb{N}$ se cumple:
$$n \leq \alpha -1$$

donde vemos que $\alpha -1$ es cota superior de $\mathbb{N}$ y además:
$$\alpha -1 < \alpha \quad \contradiccion$$
lo que contradice la definición de $\alpha$.

$\square$

Corolario: El conjunto $\r$ no es acotado superiormente

Demostración: Procederemos por contradicción, por lo que supongamos que $\r$ es un conjunto acotado superiormente. Ya que sabemos $\mathbb{N} \subseteq \r$ y $\r$ es acotado tendríamos que:
$\mathbb{N}$ es acotado $\contradiccion$ lo cual es una contradicción al teorema anterior.

$\square$

Propiedad de Arquímedes

Teorema( Propiedad de Arquímedes): Si $x >0$ y $y \in \r$ entonces existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $$y < Nx$$

Demostración (Por contradicción): Suponemos que no se cumple, es decir,
$\exists x >0$ y $y \in \r$ tal que $\forall n \in \mathbb{N}$ ocurre que $y > nx$
Ya que $x>0$ entonces para cualquier $n \in \mathbb{N}$:
$$\frac{y}{x} > n$$
por lo que $\frac{y}{x}$ es cota superior de $\mathbb{N}$.

Concluimos que $\mathbb{N}$ es acotado superiormente lo que sabemos es una contradicción.

$\square$

Corolario: Para todo $x >0$ existe $n \in \mathbb{N}$ tal que
$$ \frac{1}{n} < x$$

Demostración: Ejercicio como Tarea moral.

Ejercicio

Sean $A \subseteq \r$ y $\lambda >0$ con $\alpha = sup(A)$. Para el conjunto
$$\lambda A := \left\{ x:x=\lambda a; a \in A \right\}$$
prueba que existe $sup(\lambda A)$ y que $sup(\lambda A)= \lambda \alpha$.
Demostración:

Sea $a \in A$ entonces se sigue que $a \leq \alpha$ así al multiplicar por $\lambda >0$:
$$\Rightarrow \lambda a \leq \lambda \alpha$$

Ya que $\lambda a =x \in \lambda A \Rightarrow \lambda A$ es acotado superiormente y $\lambda \alpha$ es cota superior.

Aplicando el Axioma del Supremo afirmamos que existe $\beta := sup(\lambda A)$ y además:
$$\beta \leq \lambda \alpha$$

Falta probar que $\beta \geq \lambda \alpha$
Si tomamos $x \in \lambda A$ entonces $x = \lambda a$ y $\lambda a \leq \beta$:
$$\Rightarrow a \leq \frac{\beta}{\lambda}$$

Y por la definición de supremo se sigue:
$$\alpha \leq \frac{\beta}{\lambda} \Leftrightarrow \lambda \alpha \leq \beta$$
Así concluimos:
$$\therefore \beta = \lambda \alpha$$
$$\therefore \lambda sup(A) = sup(\lambda A)$$

$\square$

Otras aplicaciones

A continuación sólo enunciaremos un teorema en el cual el Axioma del Supremo es aplicado. Dado que en este punto no hemos revisado los conceptos de sucesión ni de límite, más adelante se verá su demostración.

Teorema: Si $\{ a_n \}$ es una sucesión en $\mathbb{R}$ no decreciente y acotada superiormente
$\Rightarrow \{ a_n \}$ es una sucesión convergente.

Tarea moral

  • Demuestra que para todo $x >0$ existe $n \in \mathbb{N}$ tal que
    $$ \frac{1}{n} < x$$
  • Prueba que si $a<b$ e $I=(a,b)$es un intervalo en $\r$ entonces $sup(I)=b$ y $inf(I)=a$.
    HINT: Utiliza el resultado anterior y procede haciendo uso de las respectivas definiciones.
  • Sean $A,B \subseteq \r$ con $\alpha = sup(A)$ y $\beta=sup(B)$. Definimos el siguiente conjunto
    $$ A+B := \left\{ x:x=a+b; a \in A, b \in B \right\}$$
    Demuestra que existe $sup(A+B)$ y que $sup(A+B)= \alpha + \beta$.

Más adelante

En la próxima entrada veremos un poco sobre las Cortaduras de Dedekind y la completitud de $\r$, este será considerado como un tema adicional para esta unidad.

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Cálculo Diferencial e Integral I:Supremo e ínfimo.

Introducción

Ya hemos visto los conceptos de máximo, mínimo, cota superior e inferior de un conjunto en $\r$. En esta entrada definiremos formalmente el concepto de supremo e ínfimo de un conjunto, veremos que los revisados previamente se encuentran relacionados. Adicionalmente, demostraremos algunas proposiciones útiles y algunos ejemplos en los cuáles aplicaremos las definiciones respectivas.

Supremo e ínfimo primera definición

Definición: Sea $A \subseteq \r$ con $A\neq \emptyset$. Decimos que $\alpha \in \r$ es:

  • El supremo de $A \Leftrightarrow$
    • $\alpha$ es cota superior de $A$
    • $\alpha$ es la mínima cota superior. Si $\beta$ es cota superior de $A \Rightarrow \alpha \leq \beta$.
  • El ínfimo de $A \Leftrightarrow$
    • $\alpha$ es cota inferior de $A$
    • $\alpha$ es la máxima cota inferior. Si $\beta$ es cota inferior de $A \Rightarrow \beta \leq \alpha$.

Retomemos el último ejemplo visto en la entrada pasada:

$$A= \left\{\frac{1}{n}: n\in \mathbb{N} \right\}$$

  • El conjunto de cotas superiores de $A$ esta dado por:
    $$[1, \infty)$$
    tiene elemento mínimo y es 1. Esto nos indica que existe una mínima cota superior.
  • El conjunto de cotas inferiores de $A$ esta dado por:
    $$(- \infty, 0]$$
    tiene elemento máximo y es 0. Esto nos indica que existe una máxima cota inferior.

Dadas las observaciones anteriores ahora podemos decir que:

  • El supremo de $A$ es $1$: $$sup(A)=1$$
  • El ínfimo de $A$ es $0$: $$inf(A)=0$$

Observación: El supremo o el ínfimo de un conjunto puede o no pertenecer al conjunto.

Más adelante veremos ejemplos donde realizaremos las demostraciones necesarias para nuestras afirmaciones, por ahora con lo expuesto será suficiente.

Unicidad del supremo y el ínfimo

Teorema: Sea $A \subseteq \r$ con $A\neq \emptyset$. El supremo y el ínfimo de $A$ son únicos.

Demostración (Unicidad del supremo): Supongamos que existen $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ tales que:
$\alpha_{1} = sup(A)$ y $\alpha_{2}=sup(A)$.

Para $\alpha_{1}$ tenemos que para toda $a \in A, a\leq \alpha_{1}$. Y cómo $\alpha_{1}$ es mínima cota superior entonces $\forall M$ cota superior de $A, \alpha_{1}\leq M$ Así en particular ocurre que: $\alpha_{1}\leq \alpha_{2}$ es cota superior.

Análogamente para $\alpha_{2}$ tenemos que: $\alpha_{2} \leq M$
$\Rightarrow \alpha_{2}\leq \alpha_{1}$ es cota superior.

Debido a que $\alpha_{1}\leq \alpha_{2}$ y $\alpha_{2}\leq \alpha_{1}$ concluimos:
$$\alpha_{1}=\alpha_{2}$$
$\therefore$ El supremo de $A$ es único.

$\square$

Relaciones entre supremos e ínfimos

Proposición: Sean $A,B \subseteq \r$ distintos del vacío. Para toda $a\in A$ y para toda $b \in B$ si se cumple $a \leq b \Rightarrow sup(A)\leq inf(B)$

Demostración:
Primero observamos que $A$ tiene supremo, ya que cómo $A \neq \emptyset$ y $B \neq \emptyset$:
$\Rightarrow \exists b_{0} \in B, \forall a\in A $ se cumple que $a \leq b_{0}$
$\Rightarrow b_{0}$ es cota superior de $A$
$\Rightarrow A \neq \emptyset$ y acotado superiormente
$\therefore \exists \alpha =sup(A) \in \r$

Ahora vemos que $B$ tiene ínfimo, esto se sigue de $B \neq \emptyset$ y $A \neq \emptyset$:
$\Rightarrow \exists a_{0} \in A, \forall b\in B$ ocurre que $a_{0} \leq b$
$\Rightarrow a_{0}$ es cota inferior de $B$
$\Rightarrow B \neq \emptyset$ y acotado inferiormente
$\therefore \exists \beta =inf(B) \in \r$

Definamos el siguiente par de conjuntos:
$$U_{A}:=\left\{ a\in \r: a \quad cota\quad superior\quad de \quad A\right\}$$
$$D_{B}:=\left\{ b\in \r: b \quad cota\quad inferior\quad de \quad B\right\}$$
Observemos que:

  1. $U_{A}$ tiene elemento mínimo.
  2. $D_{B}$ tiene elemento máximo.

Por lo que sólo nos falta verificar que $\alpha \leq \beta$:
Si tomamos $u$ cota superior de $A \Rightarrow \alpha \leq u$.
Y si tomamos $v$ cota inferior de $B \Rightarrow v \leq \beta$

Cómo por hipótesis tenemos que $\forall a \in A, \forall b\in B (a\leq b)$ obtenemos:
$\Rightarrow \forall a \in A$ ($a$ es cota inferior de $B$)
$\Rightarrow \forall a \in A$ ($a\leq \beta$)
$\Rightarrow \beta$ cota superior de $A$
$\Rightarrow \alpha \leq \beta$

$\square$

Proposición: Sean $C \subseteq A \subseteq \r$ donde $C$ es no vacío y $A$ acotado.
$\Rightarrow inf(A) \leq inf(C) \leq sup(C) \leq sup(A)$
Demostración:

Sea $C \neq \emptyset$ subconjunto de $A$, como $ C \subseteq A \Rightarrow A \neq \emptyset$.
Ya que $A$ es acotado para toda $a \in A$ ocurre que: $m \leq a \leq M$. Así si tomamos $c \in C$ tenemos:
$c \in A \Rightarrow m \leq c \leq M \Rightarrow C$ es acotado
Por lo que afirmamos que existen:
$$sup(A) \quad sup(C) \quad inf(A) \quad inf(C)$$
Observemos que $sup(A) $ al ser cota superior de $A$ y $C \subseteq A \Rightarrow \sup(A)$ es cota superior de $C$ , por lo que podemos concluir:
$$sup(C) \leq sup(A)$$
Análogamente para los ínfimos se sigue que:
$$inf(A) \leq inf(C)$$
Y cómo $inf(C) < sup(C$ obtenemos:
$$inf(A) \leq inf(C) \leq sup(C) \leq sup(A)$$

$\square$

Proposición: Sean $A’ \subseteq A \subseteq \r$ y $B’ \subseteq B \subseteq \r$ donde $A’, B’$ son distintos del vacío. Si se cumple que:

  • $\forall a\in A, \forall b \in B \quad (\alpha \leq \beta)$
  • $sup(A’)=inf(B’)$

$\Rightarrow sup(A)=inf(B)$
Demostración:

Primero observemos que $A$ y $B$ son no vacíos ya que:

  • $A’ \neq \emptyset$ y $A’ \subseteq A$
  • $B’ \neq \emptyset$ y $B’ \subseteq B$

Por lo que afirmamos la existen en $\r$:
$$sup(A) \quad inf(B)$$
Por hipótesis aplicando la proposición anterior y el Lema auxiliar tenemos:
$$sup(A’) \leq sup(A) \leq inf(B) \leq inf(B’)$$
$$\therefore sup (A) \leq inf(B)$$
Además vemos que:
$$inf(B) \leq inf(B’) = sup(A’) \leq sup(A)$$
$$\therefore inf(B) \leq sup (A) $$
Por lo que obtenemos la igualdad:
$$inf(B)= sup (A)$$

$\square$

Lema Auxiliar: Si $\forall a \in A$ y $\forall b \in B$ ocurre que $a \leq b$ entonces
$$sup(A) \leq inf(B)$$

La prueba de este resultado se dejará como Tarea moral, ahora continuaremos con una definición de supremo e ínfimo equivalente a la primera.

Supremo e ínfimo segunda definición

Definición: Sea $A \subseteq \r$ con $A\neq \emptyset$. Decimos que $\alpha \in \r$ es:

  • El supremo de $A \Leftrightarrow$
    • $\alpha$ es cota superior de $A$
    • $\forall \varepsilon > 0, \exists x_{\varepsilon} \in A$ tal que $\alpha – \varepsilon < x_{\varepsilon}$.
  • El ínfimo de $A \Leftrightarrow$
    • $\alpha$ es cota inferior de $A$
    • $\forall \varepsilon > 0, \exists x_{\varepsilon} \in A$ tal que $x_{\varepsilon} < \alpha + \varepsilon$.

Ejemplos

Veamos para
$$B=\left\{2-\frac{1}{n}: n\in \mathbb{N} \right\}$$
consideramos como candidatos $inf(B)=1$ y $sup(B)=2$.

Comenzaremos probando $inf(B)=1$ haciendo uso de la segunda definición:

  • Tenemos que probar que $1$ es cota inferior de $B$, es decir, $1 \leq x$ para toda $x \in B$.
    Sea $x \in B \Rightarrow x=2-\frac{1}{n}$ para algún $n \in \mathbb{N}$.
    \begin{align*}
    1 \leq 2- \frac{1}{n} &\Leftrightarrow 1-2 \leq – \frac{1}{n}\\
    &\Leftrightarrow -1 \leq – \frac{1}{n}\\
    &\Leftrightarrow 1 \geq \frac{1}{n}\\
    &\Leftrightarrow n \geq 1
    \end{align*}
    $\therefore 1$ es cota inferior
  • Ahora probamos que $\forall \varepsilon > 0, \exists x_{\varepsilon} \in B$ tal que $x_{\varepsilon}< 1+ \varepsilon$.
    Sea $\varepsilon >0$. Tomemos $x_{\varepsilon}=1 \in B$ entonces $1<1+\varepsilon$
    $\therefore 1$ es ínfimo de $B$.

Ahora procedamos a demostrar que $sup(B)=2$:

  • $2$ es cota superior de $B$, es decir, $2 \geq x$ para toda $x \in B$.
    Tomemos $x \in B \Rightarrow x=2-\frac{1}{n}$ para algún $n \in \mathbb{N}$.
    \begin{align*}
    2 \geq 2-\frac{1}{n} &\Leftrightarrow 2-2 \geq -\frac{1}{n}\\
    &\Leftrightarrow 0 \geq -\frac{1}{n}\\
    &\Leftrightarrow 0 \leq \frac{1}{n}\\
    \end{align*}
    $\therefore 2$ es cota superior
  • Demostremos que $\forall \varepsilon > 0, \exists x_{\varepsilon} \in B$ tal que
    $2- \varepsilon < x_{\varepsilon}$.
    Sea Sea $\varepsilon >0$. Tomemos $x_{\varepsilon}= 2-\frac{1}{n}$ para algún $n \in \mathbb{N}$.
    \begin{align*}
    2- \varepsilon < 2-\frac{1}{n}&\Leftrightarrow – \varepsilon < -\frac{1}{n}\\
    &\Leftrightarrow \varepsilon > \frac{1}{n}\\
    &\Leftrightarrow (\varepsilon )n> 1\\
    &\Leftrightarrow n> \frac{1}{\varepsilon}\\
    \end{align*}
    $\therefore 2$ es supremo de $B$

$\square$

Hallar el supremo y el ínfimo del siguiente conjunto:
$$C= \left\{x: x^{2}+x+1 \geq 0 \right\}$$

Solución:
Notemos que:
\begin{align*}
x^{2}+x+1 \geq 0 &\Leftrightarrow x^{2}+x+\frac{1}{4}+1-\frac{1}{4} \geq 0\\
&\Leftrightarrow (x + \frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4} \geq 0\\
\end{align*}
Vemos que la última desigualdad la cumple cualquier número real tenemos que $C= \r$.
$\therefore$ no existe ni $sup(C)$ ni $inf(C)$

$\square$

Tarea moral

  • Prueba que la primera y segunda definición de supremo e ínfimo son equivalentes.
  • Demuestra que el ínfimo de un conjunto es único.
    HINT: La prueba es análoga a la dada para el supremo.
  • Prueba el Lema Auxiliar.
  • Para $A= \left\{\frac{1}{n}: n\in \mathbb{N} \right\}$ prueba usando la definición que prefieras que $sup(A)=1$ e $inf(A)=0$.
  • Encontrar el supremo y el ínfimo del conjunto
    $$D= \left\{x: x^{2}+x-1 < 0 \right\}$$

Más adelante

Ahora que ya hemos visto el concepto de supremo, en la siguiente entrada veremos una propiedad más que cumple el conjunto de números reales: el Axioma del Supremo. Veremos su enunciado y varias de sus aplicaciones, algunas de ellas se demostrarán en las próximas unidades.

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Cálculo Diferencial e Integral I: Cota superior e inferior de un conjunto.

Introducción

Ahora comenzaremos a ver un tema un tanto diferente a los vistos en la entrada anterior. Primero veremos los conceptos de máximo y mínimo de un conjunto, después las definiciones formales para cota superior e inferior, y terminaremos revisando algunos ejemplos donde las aplicaremos.

Máximo y mínimo de un conjunto

Definición: Sean $A,B \subseteq \r$ no vacíos. Decimos que:

  • $A$ tiene elemento máximo $\Leftrightarrow \exists a_{0} \in A$ tal que $\forall a \in A$ se cumple que: $a \leq a_{0}$
  • $B$ tiene elemento minímo $\Leftrightarrow \exists b_{0} \in B$ tal que $\forall b \in B$ se cumple que: $b_{0} \leq b$

Para darnos una idea más clara de estas definiciones veamos los siguientes ejemplos:

$$C=(0,1]$$

  1. No tiene mínimo.
  2. Tiene máximo y es 1.

Para probar estas afirmaciones haremos uso de las definiciones anteriores:
Demostración 1 (por contradicción): Supondremos que existe un elemento $c_{0} \in C$ tal que $\forall c \in A$ cumple que $c_{0} \leq c$. Por lo que se sigue que: $0<c_{0}<1$.
Observemos que $\frac{c_{0}}{2} \in C$ ya que $0<\frac{c_{0}}{2}<c_{0}$
$$\Rightarrow c_{0}\leq \frac{c_{0}}{2}<c_{0} \contradiccion$$
Lo cuál es una contradicción.

Demostración 2: Veamos que al reescribir al conjunto C tenemos:
$$C=\left\{ c\in \r|0<c \leq 1 \right \}$$
Por lo que $1\in C$ y se cumple que $\forall c\in C, c\leq 1$.

$\square$

Observación:

  • El elemento máximo de un conjunto es único.
  • El elemento mínimo de un conjunto es único.

Cota superior e inferior de un conjunto

Definición: Sea $A \subseteq \r$. Decimos que un número $M \in \r$ es:

  • Cota superior $\Leftrightarrow \forall a \in A$ se cumple que: $a\leq M$.
  • Cota inferior $\Leftrightarrow \forall a \in A$ se cumple que: $a\geq M$.

Observación: Si hay una cota superior $M \Rightarrow \forall a \in A$ ocurre que: $$ a \leq M < M+1<M+2<M+3 \ldots$$ Es decir, hay una infinidad de cotas superiores de $A$.

Ejemplo

Consideremos al conjunto:
$$E=(0,2]$$
Vemos que para todo $x\in E$ ocurre que $-2<0<x$
$$\therefore -2 \leq x$$
Por lo que podemos concluir que $-2$ es cota inferior de $E$.

Y además tenemos que $\forall x \in E$ se cumple $ x \leq 2$
$\therefore 2$ es cota superior de $E$.

Conjuntos acotados

Definición: Consideremos $A, B \subseteq \r$. Decimos que:

  • $A$ es acotado superiormente $\Leftrightarrow \exists M\in \r$ tal que $\forall a \in A$, $a \leq M$.
  • $B$ es acotado inferiormente $\Leftrightarrow \exists m\in \r$ tal que $\forall b \in B$, $m \leq b$.
  • $A$ es acotado $\Leftrightarrow \exists m,M \in \r$ tal que $\forall a \in A$: $m \leq a \leq M$.
  • $A$ es acotado $\Leftrightarrow \exists M \in \r$ tal que $\forall a \in A$: $|a| \leq M$.

Lema: Para cualesquiera $A,B \subseteq \r$. Si $A\subseteq B$ y $B$ es acotado entonces $A$ es acotado.

Demostración: Como tenemos que $B$ es acotado existe $M>0$ tal que para todo $b\in B$:
$$|b|\leq M$$
CASO 1 $A\neq\emptyset$: Como $A \subseteq B$ entonces para todo $a \in A$ existe $b \in B$ tal que $a=b$.
$\therefore a \in A, a=b \Rightarrow |a|=|b|\leq M$$
CASO 2 $A= \emptyset$: Sabemos que $A =\emptyset\subseteq B$ por lo que se sigue $A$ es acotado por vacuidad.

$\square$

Ejemplo

Si tenemos: $$A= \left\{\frac{1}{n}: n\in \mathbb{N} \right\}$$

Observamos que:

  • $A$ es acotado superiormente ya que para todo $n\in \mathbb{N}$:
    $$1<n \Leftrightarrow \frac{1}{n} \leq 1$$
    $\therefore 1$ es cota superior de $A$.
  • $A$ tiene elemento máximo. Tenemos que $\forall n\in \mathbb{N}: \frac{1}{n} \leq 1$
    Así para $n=1$ ocurre que $\frac{1}{1} \leq 1$.
    $\therefore 1$ es máximo de $A$.
  • El conjunto de cotas superiores de $A$ esta dado por:
    $$[1, \infty)$$
    tiene elemento mínimo y es 1. Esto nos indica que existe una mínima cota superior.
  • $A$ es acotado inferiormente. Vemos que para todo $n\in \mathbb{N}, \frac{1}{n} > 0$ por lo que $0 \notin A$. Concluimos así que $\forall a\in A, 0 \leq \frac{1}{n}$.
    $\therefore 0$ es cota inferior de $A$
  • El conjunto de cotas inferiores de $A$ esta dado por:
    $$(- \infty, 0]$$
    tiene elemento máximo y es 0. Esto nos indica que existe una máxima cota inferior.
  • $A$ no tiene elemento mínimo. Si suponemos que existe un elemento $a_{0} \in A$ tal que $\forall n\in \mathbb{N}, a_{0} \leq \frac{1}{n}$. Tenemos que $a_{0}$ sería de la forma
    $a_{0} = \frac{1}{n_{0}} > 0$
    $\Rightarrow 0< \frac{1}{2n_{0}}<\frac{1}{n_{0}}$ con $\frac{1}{2n_{0}} \in A$.
    De lo anterior vemos que $a_{0}$ no es mínimo $\Rightarrow \frac{1}{n_{0}}\leq\frac{1}{2n_{0}} \contradiccion$

$\square$

Tarea moral

  • Demuestra que:
    • El elemento máximo de un conjunto es único.
    • El elemento mínimo de un conjunto es único.
  • Prueba que son equivalentes las definiciones para $A$ acotado:
    $\exists m,M \in \r$ tal que $\forall a \in A$: $m \leq a \leq M \Leftrightarrow \exists M \in \r$ tal que $\forall a \in A$: $|a| \leq M$.
  • Para el conjunto $D=(-\infty, 1)$ demuestra que se cumplen las siguientes afirmaciones:
    • D no tiene elemento mínimo
    • D no tiene elemento máximo
    • D es acotado superiormente
    • D no tiene cotas inferiores

Más adelante

Ahora que ya hemos revisado los conceptos de máximo, mínimo y cotas superiores e inferiores de un conjunto en $\r$ tenemos los antecedentes necesarios para comenzar a hablar de supremos e ínfimos.

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Cálculo Diferencial e Integral I: Raíz cuadrada y desigualdades.

Introducción

Ahora veremos el concepto de raíz cuadrada, su definición formal, resultados útiles y ejercicios de desigualdades donde se vea involucrada.

Definición de raíz cuadrada de un número real

Definición (Raíz cuadrada): Sea $x \in \r$ tal que $x \geq 0$. Definiremos a la raíz cuadrada de $x$ como sigue:
$$\sqrt{x}=y \Leftrightarrow x= y^{2}$$

Para dejar más clara la definición observemos el siguientes ejemplo:

  • Si $x =9$ tenemos que para $\sqrt{9}$
    • $\sqrt{(3)^{2}}= 3$
    • $\sqrt{(-3)^{2}}= 3$

Observaciones

  1. Para toda $x \in \r$ con $x>0$. Observamos que la raíz cuadra de $x$ tiene una rama positiva y una rama negativa, es decir, $$-\sqrt{x} \leq 0 , \sqrt{x} \geq 0$$.
  2. Para $y \in \r$ tenemos que $\sqrt{y^{2}} =|y|$
  3. $|y^{2}|=y^{2}$
    $|y^{2}|=|y|^{2}$

Demostración de 1: Si consideramos $x=y^{2}$ donde $y^{2}\geq 0$. Así al sustituir y aplicar la raíz cuadrada se sigue que:
\begin{equation*}
\sqrt{y^{2}}=
\begin{cases}
y &\text{si $y \geq 0$}\\
-y & \text{si $y< 0$}
\end{cases}
\end{equation*}

Demostración de 2: Vemos que esto se sigue de a observación anterior ya que
\begin{equation*}
|y|=
\begin{cases}
y &\text{si $y \geq 0$}\\
-y & \text{si $y< 0$}
\end{cases}
\end{equation*}
$$\therefore \sqrt{y^{2}} =|y|$$

$\square$

Algunos resultados importantes

Teorema: Para $x,y \in \r$ donde $x \geq 0$ y $y \geq 0$.
$$x \leq y \Leftrightarrow x^{2} \leq y^{2}$$

Demostración:
$\Rightarrow$): Cómo tenemos por hipótesis $x \leq y$ vemos que al multiplicar por $x$ obtendríamos
$$x \leq y \Rightarrow x^{2} \leq xy$$
Y si multiplicamos por $y$:
$$x \leq y \Rightarrow xy \leq y^{2}$$
Así por transitividad:
$$\Rightarrow x^{2} \leq y^{2}$$
$\Leftarrow$): Ahora tenemos cómo hipótesis que $x^{2} \leq y^{2}$. Y esto es equivalente a decir
$$0 \leq y^{2}-x^{2} \Leftrightarrow (y+x)(y-x) \geq 0$$

Por lo que debemos considerar los casos en que:
I. $y+x \geq 0$ y $y-x \geq 0$
De la segunda desigualdad concluimos $y \geq x$.

O el caso II.$y+x \leq 0$ y $y-x \leq 0$
Vemos que este caso no tiene sentido.
$$\therefore y \geq x$$

$\square$

Corolario: Para $x \geq 0$, $y \geq 0$.
$$x\leq y \Leftrightarrow \sqrt{x} \leq \sqrt{y}$$
Demostración:
Tomemos $a = \sqrt{x}$ y $b=\sqrt{y}$.
$\Rightarrow$):
Entonces $a^{2}=(\sqrt{x})^{2}$ y $b^{2}=(\sqrt{y})^{2}\Rightarrow a^{2}=x$ y $b^{2}=y$
Y cómo por hipótesis $x\leq y$
\begin{align*}
&\Rightarrow a^{2} \leq b^{2}\\
&\Rightarrow a \leq b\\
&\Rightarrow \sqrt{x} \leq \sqrt{y}
\end{align*}
$\Leftarrow$):
Ahora cómo por hipótesis $\sqrt{x} \leq \sqrt{y}$
\begin{align*}
&\Rightarrow a \leq b\\
&\Rightarrow a^{2} \leq b^{2}\\
&\Rightarrow x \leq y
\end{align*}

$\square$

Corolario: Para cualesquiera $x,y \in \r$.
$$|x|^{2}\leq y \Leftrightarrow |x| \leq \sqrt{y}$$
Demostración:
Aplicando el corolario anterior tenemos las siguientes equivalencias
\begin{align*}
|x|^{2}\leq y &\Leftrightarrow \sqrt{|x|^{2}} \leq \sqrt{y}\\
&\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{y}\\
&\Leftrightarrow |x| \leq \sqrt{y}\\
\end{align*}

$\square$

A continuación resolveremos ejercicios de desigualdades donde se encontraran involucrados la raíz cuadrada y el valor absoluto.

Ejercicio 1

Encuentra los valores $x$ que cumplan la desigualdad:

$$2x^{2}<|x-1|$$

Por el valor absoluto presente sabemos que debemos tomar casos, por lo que tenemos:

CASO 1: $x-1\geq 0 \Rightarrow x\geq 1$

Sustituyendo nos queda:
\begin{align*}
2x^{2}<|x-1|&\Rightarrow 2x^{2}< x-1\\
&\Rightarrow 2x^{2}- x+1<0\\
\end{align*}
Aplicando la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:
\begin{align*}
x &=\frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 -4(2)(1)}}{2(2)}\\
&=\frac{1 \pm \sqrt{1-8}}{4}\\
&=\frac{1 \pm \sqrt{-7}}{4}\\
\end{align*}
Pero cómo $\sqrt{-7}$ no tiene solución en $\r$. Tenemos que la solución de este caso es:
$$[1,\infty) \cap \emptyset= \emptyset$$

CASO 2: $x-1\leq 0 \Rightarrow x\leq 1$
Por lo que tendríamos:
\begin{align*}
2x^{2}<|x-1|&\Rightarrow 2x^{2}< -(x-1)\\
&\Rightarrow 2x^{2}+x-1<0\\
\end{align*}

Y por la fórmula general se sigue:
\begin{align*}
x&=\frac{-1\pm \sqrt{(1)^2 -4(2)(-1)}}{2(2)}\\
&=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{4}\\
&=\frac{-1\pm 3}{4}\\
\end{align*}
$$\therefore x_{1}=\frac{1}{2}, x_{2}=-1$$
Sustituyendo lo anterior tenemos que:
$$2x^{2}+x-1<0 \Rightarrow \left(x-\frac{1}{2} \right)(x+1)<0$$

Dado lo anterior notamos que para que el producto satisfaga la desigualdad hay que considerar el siguiente par de casos:
CASO 2.1: $x-\frac{1}{2}>0$ y $ x+1<0$
De donde $x>\frac{1}{2}$ y $ x<-1$. Al considerar la intersección vemos que ocurre:
$$\left(\frac{1}{2}, \infty \right) \cap (-\infty,-1)= \emptyset$$

CASO 2.2: $x-\frac{1}{2}<0$ y $ x+1>0$
Ahora tendríamos que $x<\frac{1}{2}$ y $ x>-1$. Y la solución sería:
$$\left(-1,\frac{1}{2} \right)$$

Concluimos así que la solución del CASO 2 esta dada por:
$$\left[\emptyset \cup \left(-1, \frac{1}{2} \right) \right] \cap (-\infty, 1)=\left(-1,\frac{1}{2} \right)$$

Finalmente la solución total es:
$$\left(-1,\frac{1}{2} \right)\cup \emptyset =\left(-1,\frac{1}{2} \right)$$


Ejercicio 2

$$x^{2}-4x-1 >0$$

Factorizando:
\begin{align*}
x &=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2 -4(1)(-1)}}{2(1)}\\
&=\frac{4\pm \sqrt{16+4}}{2}\\
&=\frac{4\pm \sqrt{20}}{2}\\
&=\frac{4\pm 2\sqrt{5}}{2}\\
&= 2\pm 2\sqrt{5}
\end{align*}
$$\therefore x_{1}=2+\sqrt{5}, x_{2}=2-\sqrt{5}$$

Entonces la desigualdad que queremos resolver sería:
$$(x – (2+\sqrt{5}))(x-(2-\sqrt{5}))>0$$

Para que el producto cumpla con la condición de ser mayor que cero debemos considerar los casos:
CASO 1: $x-2-\sqrt{5} >0$ y $x-2+\sqrt{5} >0$
$\Rightarrow x>2+\sqrt{5}$ y $x>2-\sqrt{5}$
$\Rightarrow x>2+\sqrt{5}$

CASO 2: $x-2-\sqrt{5} <0$ y $x-2+\sqrt{5} <0$
$\Rightarrow x<2+\sqrt{5}$ y $x<2-\sqrt{5}$
$\Rightarrow x<2-\sqrt{5}$


De los casos anteriores obtenemos que nuestro conjunto solución es:
$$(-\infty, 2-\sqrt{5}) \cup (2+\sqrt{5}, \infty)$$

Ahora que ya hemos revisado estos ejercicios, te invitamos a poner en práctica los procedimientos vistos con los siguientes ejercicios.

Tarea moral

Prueba que:

  • $|y^{2}|=y^{2}$
  • $|y^{2}|=|y|^{2}$

Obtén todos los valores de $x$ que satisfagan las siguientes desigualdades:

  • $-5x^{2} + 2x +|x|-1 \leq 3$
  • $x^{2}-4x-1<0$
  • $-7x^{2}+2x+|x|<-4$

Más adelante

En la siguiente entrada veremos las cotas de un conjunto en $\r$. Definiremos formalmente los conceptos de cota superior e inferior y veremos algunos ejemplos donde los aplicaremos. Estos serán de suma importancia para comenzar a hablar de ínfimos y supremos posteriormente.

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Cálculo Diferencial e Integral I: Valor absoluto y desigualdades.

Introducción

En esta entrada nos dedicaremos a resolver desigualdades con valor absoluto. Para ello retomaremos la definición del valor absoluto de un número real y utilizaremos algunos resultados que probaremos a continuación.

Un par de resultados importantes

Lema: Para todo $a \in \r$. $a \leq |a|$ y $-a \leq |a|$
Demostración: Procederemos a revisar los siguientes dos casos.
CASO 1: Si $a \geq 0$.
Por un lado tenemos por la definición de valor absoluto $|a|=a$.
$$\therefore |a|\geq a$$.
Y por otro que $a \geq 0 \geq -a$, así por transitividad se concluye que:
$$ |a| \geq a$$

CASO 2: Si $a \leq 0$.
Así se sigue que $|-a|=a$ entonces tenemos que $|a|\geq a$.
Y análogamente al caso anterior: $-a \geq 0 \geq a \Rightarrow |a|\geq a$.

$\square$

Teorema: Consideremos $a,x \in \r$.

  1. \begin{align*}
    |x|\leq a &\Leftrightarrow -a \leq x\quad y \quad x \leq a\\
    &\Leftrightarrow x\in [-a,a]
    \end{align*}
  2. \begin{align*}
    |x|\geq a &\Leftrightarrow -a \geq x\quad o \quad x \geq a\\
    &\Leftrightarrow x\in (-\infty,-a] \cup [a, \infty)
    \end{align*}

NOTA.- «$\Leftrightarrow$» se lee cómo «si y sólo si».
Demostración:
1. $\Rightarrow$: Por hipótesis tenemos que $|x|\geq a$, aplicando el lema anterior:
$$x \geq |x|\quad y \quad -x \geq |x|$$.
Por transitividad: $$x \geq a \quad y \quad -x \geq a$$
$$\therefore x \geq a\quad y \quad x \geq -a$$.

Lo anterior nos indica lo siguiente: $x \in (-\infty, a]$ y $x \in [-a,\infty)$. Así al tomar la intersección de estos intervalos, obtenemos:
$$(-\infty, a] \cap [-a,\infty) = [-a,a]$$

$\Leftarrow$: Ahora consideremos $x \in [-a,a]$. De la implicación anterior tenemos que:
$$x\in [-a,a]=(-\infty, a] \cap [-a,\infty)$$
Aplicando la respectiva definición de intervalo e intersección:
$$x \geq a\quad y \quad x \geq -a$$
Y por el lema:
$$x \geq |x|\quad y \quad -x \geq |x|$$

$\square$

El punto 2 se quedará de ejercicio para la Tarea moral. Ahora continuaremos con ejercicios de desigualdades, en ellos deberemos encontrar todos los valores que las satisfagan.

Ejercicio 1

$$|x-3|=8$$
Recordemos que debido a la definición de valor absoluto, siempre deberemos considerar casos.
Para resolver este ejercicio deberemos considerar los siguientes:
CASO 1: $x-3 \geq 0$
Por lo que $|x-3|=x-3$ y sustituyendo tenemos:
\begin{align*}
x-3 &=8\\
x&=8+3\\
x &= 11
\end{align*}
CASO 2: $x-3 < 0$
Así $|x-3|= -x+3$, por lo que se sigue:
\begin{align*}
-x+3 &=8\\
-x&=8-3\\
-x &=5\\
x&= -5
\end{align*}

De los casos anterior obtenemos que los valores de $x$ que satisfacen la igualdad son
$x =11$ o $x=-5$

Ejercicio 2

$$|3x-3| \leq 2x+1$$
Para este ejercicio aplicando el teorema tendríamos:
$-2x-1 \leq 3x-3$ y $3x-3 \leq 2x+1$.
Comenzaremos desarrollando la primera desigualdad:
\begin{align*}
-2x-1 &\leq 3x-3\\
-2x-3x &\leq -3+1\\
-5x &\leq -2\\
5x &\geq 2\\
x &\geq \frac{2}{5}
\end{align*}
$$\therefore x \in \left[\frac{2}{5}, \infty \right)$$
Y de la segunda obtenemos:
\begin{align*}
3x-3 &\leq 2x+1\\
3x-2x &\leq 1+3\\
x&\leq 4
\end{align*}
$$\therefore x \in(-\infty,4]$$

Por lo que al tomar la intersección de ambos intervalos nos queda que los valores que satisfacen la desigualdad son:
$$ x \in (-\infty,4] \cap \left[\frac{2}{5}, \infty \right)= \left [\frac{2}{5}, 4 \right]$$


$$\therefore x \in \left [\frac{2}{5}, 4 \right]$$

Ejercicio 3

$$|2x+1|-|3x+2|<1$$
Debido a que tenemos dos valores absolutos, para resolver este ejercicio necesitaremos considerar los siguientes casos:

  1. $2x+1 \geq 0$ y $3x+2 \geq 0$
  2. $2x+1 \leq 0$ y $3x+2 \leq 0$
  3. $2x+1 \geq 0$ y $3x+2 \leq 0$
  4. $2x+1 \leq 0$ y $3x+2 \geq 0$

Nuestra solución final será la unión de todas las soluciones obtenidas en los casos anteriores.

CASO 1: $2x+1 \geq 0$ y $3x+2 \geq 0$

Desarrollando las desigualdades:
\begin{align*}
2x+1 \geq 0\quad &y \quad 3x+2 \geq 0\\
\Rightarrow 2x \geq -1 \quad &y \quad 3x \geq -2\\
\Rightarrow x \geq -\frac{1}{2} \quad &y \quad x \geq -\frac{2}{3}\\
\end{align*}


$$\Rightarrow x \geq -\frac{1}{2}$$

Aplicando el valor absoluto obtenemos:
\begin{align*}
|2x+1|-|3x+2|<1 &\Rightarrow 2x+1-(3x+2) <1\\
&\Rightarrow 2x+1-3x-2-1<0\\
&\Rightarrow -x -2 <0\\
&\Rightarrow x+2>0\\
&\Rightarrow x> -2
\end{align*}
Por lo que al tomar la siguiente intersección tenemos que la solución de este caso es:
$$\left[-\frac{1}{2}, \infty \right) \cap (-2, \infty)= \left[-\frac{1}{2}, \infty \right)$$

CASO 2: $2x+1 \leq 0$ y $3x+2 \leq 0$
Tendríamos que:
\begin{align*}
2x+1 \leq 0\quad &y \quad 3x+2 \leq 0\\
\Rightarrow 2x \leq -1 \quad &y \quad 3x \leq -2\\
\Rightarrow x \leq -\frac{1}{2} \quad &y \quad x \leq -\frac{2}{3}\\
\end{align*}

$$\Rightarrow x \leq -\frac{2}{3}$$
Al sustituir tenemos:
\begin{align*}
|2x +1|-|3x+2|<1 &\Rightarrow -(2x+1)-(-(3x+2))<1\\
&\Rightarrow -2x-1+3x+2-1<0\\
&\Rightarrow x <0
\end{align*}

Así tenemos la solución:
$$ (-\infty, 0) \cap \left(-\infty, -\frac{2}{3} \right) = \left(-\infty, -\frac{2}{3} \right) $$

CASO 3: $2x+1 \geq 0$ y $3x+2 \leq 0$
Ahora se sigue que:
\begin{align*}
2x+1 \geq 0\quad &y \quad 3x+2 \leq 0\\
\Rightarrow 2x \geq -1 \quad &y \quad 3x \leq -2\\
\Rightarrow x \geq -\frac{1}{2} \quad &y \quad x \leq -\frac{2}{3}\\
\end{align*}
Así observamos:
$$\left(-\infty, -\frac{2}{3} \right) \cap \left[-\frac{1}{2}, \infty \right) = \emptyset$$

CASO 4: $2x+1 \leq 0$ y $3x+2 \geq 0$
Desarrollando:
\begin{align*}
2x+1 \leq 0 \quad y \quad 3x+2 \geq 0\\
\Rightarrow 2x \leq -1 \quad y \quad 3x \geq -2\\
\Rightarrow x \leq -\frac{1}{2} \quad y \quad x \geq -\frac{2}{3}\\
\end{align*}

$$\Rightarrow -\frac{2}{3} \leq x \leq -\frac{1}{2}$$
Aplicando la definición del valor absoluto:
\begin{align*}
|2x+1|-|3x+2|<1 &\Rightarrow -(2x+1) – (3x+2) < 1\\
&\Rightarrow -2x-1-3x-2-1< 0\\
&\Rightarrow -5x -4 < 0\\
&\Rightarrow 5x+4 > 0\\
&\Rightarrow 5x> -4\\
&\Rightarrow x > -\frac{4}{5}
\end{align*}
Concluimos que la solución a este caso es:
$$\left[-\frac{2}{3}, -\frac{1}{2} \right] \cap \left[-\frac{4}{5}, \infty \right)= \left[-\frac{2}{3}, -\frac{1}{2} \right]$$

Finalizamos considerando como solución total a la unión de los intervalos obtenidos en los cuatro casos:
$$\left(-\infty, -\frac{2}{3} \right) \cup\left[-\frac{2}{3}, -\frac{1}{2} \right] \cup \left[-\frac{1}{2}, \infty \right) = (-\infty, \infty)$$

Observemos que para la resolución de este tipo de desigualdades, siempre deberemos considerar los casos correspondientes a los signos del argumento de la función valor absoluto, es decir, cuando el argumento es positivo y cuando es negativo. En la sección de Tarea moral encontrarás ejercicios que te ayudarán a reforzar lo visto en esta entrada.

Tarea moral

Demuestra el punto 2 del teorema:
\begin{align*}
|x|\geq a &\Leftrightarrow -a \geq x\quad o \quad x \geq a\\
&\Leftrightarrow x\in (-\infty,-a] \cup [a, \infty)
\end{align*}

Encuentra los valores que satisfacen las siguientes desigualdades:

  • $|x-3|< 8$
  • $|3x-3| > 2x+1$
  • $|x-1||x+2|=3$
  • $|x-1|+|x-2|> 1$

Más adelante

Ahora que ya hemos visto el procedimiento para encontrar los valores que satisfacen una desigualdad con valor absoluto, en la siguiente entrada lo utilizaremos para continuar resolviendo ejercicios que lo involucren adicionando el concepto de raíz cuadrada de un número real. Veremos que el valor absoluto está relacionado con la definición formal de raíz cuadrada y algunos resultados útiles.

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