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En esta entrada les contaré una solución sencilla a una de las partes del Problema 6 de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de este año. El problema dice lo siguiente:
Se tienen $n\geq 2$ segmentos en el plano tales que cada par de segmentos se intersectan en un punto interior a ambos, y no hay tres segmentos que tengan un punto en común. Mafalda debe elegir uno de los extremos de cada segmento y colocar una rana mirando hacia el otro extremo. Luego silbará $n-1$ veces. En cada silbido, cada rana saltará inmediatamente hacia adelante hasta el siguiente punto de intersección sobre su segmento. Las ranas nunca cambian las direcciones de sus saltos. Mafalda quiere colocar las ranas de tal forma que nunca dos de ellas ocupen al mismo tiempo el mismo punto de intersección.
A) Demuestra que si $n$ es impar, Mafalda siempre puede lograr su objetivo.
B) Demuestra que si $n$ es par, Mafalda nunca logrará su objetivo
Es un lindo problema de geometría combinatoria y se puede jugar con él. El objetivo de esta entrada es dar una solución muy sencilla a la Parte A que fue propuesta durante las reuniones de jurado. Para disfrutar un poco esta solución es recomendable intentarlo un rato antes de pasar a la siguiente sección. La solución de la Parte B y otras soluciones se pueden ver en www.imo-official.org (hay que buscarlas en el menú de Problemas).
