Ecuaciones Diferenciales I: Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

Por Omar González Franco

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La vida es buena por sólo dos cosas, descubrir y enseñar las matemáticas.
– Simeon Poisson

Introducción

Bienvenidos a la primera clase del curso, en esta entrada conoceremos qué son las ecuaciones diferenciales, cómo clasificarlas y presentaremos una parte de la terminología elemental que usaremos a lo largo del curso.

Las leyes del universo están escritas en el lenguaje de las matemáticas. Muchos de los fenómenos naturales que ocurren en el universo involucran cambios y si logramos crear modelos matemáticos que los describan, sin duda, la derivada será una herramienta fundamental que estará presente. Sabemos que la derivada $\dfrac{dy}{dx} = f'(x)$ de la función $f$ es la razón a la cual la cantidad $y = f(x)$ está cambiando respecto de la variable independiente $x$, es natural, entonces, que las ecuaciones que involucran derivadas se usen frecuentemente para describir el universo cambiante. Una ecuación que relacione una función desconocida con una o más de sus derivadas se llama ecuación diferencial.

Ecuaciones diferenciales

Al tratarse de un curso introductorio, sólo trabajaremos con ecuaciones diferenciales que contienen sólo una variable independiente, estas ecuaciones tienen un nombre particular.

El reto al que nos enfrentamos con las ecuaciones diferenciales es hallar la función involucrada que depende de la variable independiente. Supongamos que tenemos la función

$$y = f(x) = 2e^{x^{2}}$$

Esta función es derivable en todo $\mathbb{R}$, si la derivamos obtenemos otra función dada de la siguiente forma.

$$\dfrac{dy}{dx} = f'(x) = 4xe^{x^{2}}$$

Este resultado se puede reescribir como

$$\dfrac{dy}{dx} = 2x(2e^{x^{2}})$$

Podemos observar que lo que está entre paréntesis es de nuevo la función $y = 2e^{x^{2}}$ , si la sustituimos obtenemos como resultado la siguiente ecuación.

$$\dfrac{dy}{dx} = 2xy$$

Este resultado corresponde a una ecuación diferencial ordinaria, pues contiene la derivada de la variable dependiente $y$ con respecto a la variable independiente $x$, esto es $\dfrac{dy}{dx}$.

Ahora imagina que lo primero que vemos es la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = 2xy$ y lo que debemos de hacer es obtener la función $f(x) = y$. ¿Cómo la obtendrías?. ¡Este es el reto!.

Básicamente el objetivo del curso será desarrollar distintos métodos para resolver los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias que se puedan presentar, analizaremos las circunstancias en las que aparecen y la forma en que surgen con el fin de describir o modelar fenómenos físicos en términos matemáticos.

Notación

En la mayor parte del curso utilizaremos la notación de Leibniz.

$$\dfrac{dy}{dx}, \hspace{0.4cm} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}, \hspace{0.4cm} \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}, \hspace{0.4cm} \cdots,$$

En este caso la expresión $\dfrac{d}{dx}$ sirve como un operador que indica una derivación de la variable dependiente $y$ con respecto a la variable independiente $x$.

En ocasiones para ser más compactos utilizaremos la notación prima o también conocida como notación de Lagrange.

$$y^{\prime}, \hspace{0.4cm} y^{\prime \prime}, \hspace{0.4cm} y^{\prime \prime\prime}, \hspace{0.4cm} \cdots$$

En el caso de esta notación, a partir de la cuarta derivada ya no se colocan primas, sino números entre paréntesis, dicho número indica el grado de la derivada.

$$y^{(4)}, \hspace{0.4cm} y^{(5)}, \hspace{0.4cm} \cdots, \hspace{0.4cm} y^{(n)}$$

En este curso haremos mayor uso de la notación de Leibniz debido a que indica con claridad las variables independientes y dependientes. Por ejemplo, en la ecuación

$$\dfrac{dx}{dt} + 8x = 0$$

se observa de forma inmediata que el símbolo $x$ representa a la variable dependiente, mientras que $t$ a la variable independiente.

Cuando se trata de resolver problemas en contextos del mundo real relacionados con Física o ingeniería por ejemplo, es común utilizar la notación de Newton.

$$\dot{y}, \hspace{0.4cm} \ddot{y}, \hspace{0.4cm} \dddot{y}, \hspace{0.4cm} \cdots$$

Es común utilizar esta notación cuando la variable independiente corresponde al tiempo $t$.

$$\dfrac{dy}{dt} = \dot{y}(t)$$

Clasificación de las ecuaciones diferenciales

Para comenzar será importante clasificar a las ecuaciones diferenciales por tipo, orden y linealidad.

  • Clasificación por tipo

Un primer tipo de ecuaciones diferenciales son las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) que, como se definieron anteriormente, son aquellas que relacionan una función desconocida de una variable independiente con sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias son:

$$\dfrac{dy}{dx} + 5y = e^{x}, \hspace{1cm} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -\dfrac{dy}{dx} + 6y = 0 \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{dx}{dt} + \dfrac{dy}{dt} = 2x + y$$

Otro tipo de ecuaciones diferenciales son las Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP), estas ecuaciones presentan las derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales son:

$$\dfrac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}} + \dfrac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}} = 0, \hspace{1cm} \dfrac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}} = \dfrac{\partial^{2}z}{\partial t^{2}} -2\dfrac{\partial z}{\partial t} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial u}{\partial y} = – \dfrac{\partial v}{\partial x}$$

En este curso no estudiaremos a las ecuaciones diferenciales parciales.

  • Clasificación por orden

El orden de una ecuación diferencial representa el orden de la derivada más alta presente en la ecuación. Así, la ecuación

$$\dfrac{d^{2} y}{dx^{2}} + 5 \left( \dfrac{dy}{dx}\right) ^{3} -4y = e^{x}$$

es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Importante, no confundir orden de la derivada con el grado o potencia de las derivadas.

Una EDO de $n$-ésimo orden se puede expresar como una variable dependiente empleando la forma general

$$F(x, y, y^{\prime}, \cdots , y^{(n)}) = 0 \tag{1} \label{1}$$

Donde $F$ es una función con valores reales de $n + 2$ variables. Por motivos teóricos debemos suponer que es posible resolver la EDO anterior únicamente para la derivada de mayor grado $y^{(n)}$ en términos de las $n + 1$ variables restantes, es decir, suponemos que se puede resolver la siguiente ecuación.

$$\dfrac{d^{n}y}{dx^{n}} = f(x, y, y^{\prime}, \cdots , y^{(n – 1)}) \tag{2} \label{2}$$

Donde $f$ es una función continua con valores reales. A la ecuación (\ref{2}) se le denomina forma normal de (\ref{1}). En ocasiones será útil utilizar las formas normales

$$\dfrac{dy}{dx} = f(x, y) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = f(x, y, y^{\prime})$$

para representar ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden, respectivamente.

Por ejemplo, la forma normal de la ecuación diferencial de primer orden

$$4x \dfrac{dy}{dx} + y = x$$

es

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x -y}{4x}$$

Para $x \neq 0$. En este caso la función $f$ sería

$$f(x, y) = \dfrac{x -y}{4x}$$

Mientras que la forma general de la misma ecuación es

$$F \left( x, y , \dfrac{dy}{dx} \right) = 4x \dfrac{dy}{dx} + y -x = 0$$

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden ocasionalmente se escriben en lo que se conoce como la forma diferencial.

$$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 \tag{3} \label{3}$$

Anteriormente vimos que la forma normal de la ecuación diferencial dada es

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x -y}{4x}$$

Haciendo de un abuso de notación podemos escribir a esta ecuación como

$$4x dy = (x -y) dx$$

O bien,

$$(y -x) dx + 4x dy = 0$$

Esta es la correspondiente forma diferencial, en este caso

$$M(x, y) = y -x \hspace{1cm} y \hspace{1cm} N(x, y) = 4x$$

Con este ejemplo encontramos tres formas distintas de representar a la misma ecuación diferencial. Veremos más adelante que cada forma de representación nos será de utilidad cuando intentemos encontrar a la función dependiente.

  • Clasificación por linealidad

Una ecuación diferencial ordinaria de $n$-ésimo orden (\ref{1}) es lineal si $F$ es lineal en $y, y^{\prime}, \cdots, y^{(n)}$, es decir, una EDO es lineal si se puede escribir como

$$a_{n}(x) \dfrac{d^{n}y}{dx^{n}} + a_{n -1}(x) \dfrac{d^{n -1}y}{dx^{n -1}} + \cdots + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = g(x) \tag{4} \label{4}$$

Cumpliendo las siguientes propiedades:

  • La variable dependiente $y$, así como todas sus derivadas $y^{\prime}, y^{\prime \prime}, \cdots, y^{(n)}$ son de primer grado, es decir, la potencia de cada uno de los términos que involucran a $y$ es $1$.
  • Los coeficientes $a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n}$ de $y^{\prime}, y^{\prime \prime}, \cdots, y^{(n)}$, respectivamente, así como la función $g(x)$ dependen a lo sumo de la variable independiente $x$.

Una ecuación diferencial ordinaria no lineal simplemente es una ecuación que no es lineal, es decir, que no cumple con las propiedades anteriores.

La ecuación

$$4x \dfrac{dy}{dx} + y = x$$

claramente es lineal, mientras que la ecuación

$$\dfrac{d^{2} y}{dx^{2}} + 5 \left( \dfrac{dy}{dx}\right) ^{3} -4y = e^{x}$$

es no lineal debido a que la primera derivada de la variable dependiente $y$ no es de primer grado, sino de grado $3$.

Ejemplo: Clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales.

  • $\dfrac{d^{3}y}{dx^{3}} + 3x \dfrac{dy}{dx} -5y = e^{x}$
  • $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + \sin (y) = 0$
  • $(1-y) y^{\prime} + 2y = e^{x}$

Solución:

En la ecuación

$$\dfrac{d^{3}y}{dx^{3}} + 3x \dfrac{dy}{dx} -5y = e^{x}$$

observamos que se trata de una ecuación diferencial ordinaria, pues la variable dependiente $y$ sólo depende de una variable independiente, en este caso de $x$. Por otro lado, observamos que la derivada más alta es $\dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}$ , por lo tanto el orden de la ecuación es $3$, es decir, es una ecuación diferencial de tercer orden. Finalmente vemos que se trata de una ecuación lineal, pues la potencia de los términos que involucran a $y$ es $1$ y además la función $g(x) = e^{x}$ sólo depende de la variable independiente.

En la ecuación

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + \sin (y) = 0$$

notamos que corresponde a una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden ya que la derivada más alta es $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$. En este caso la ecuación es no lineal ya que la función $\sin(y)$ no es lineal e involucra a la variable dependiente.

Finalmente, en la ecuación

$$(1-y) y^{\prime} + 2y = e^{x}$$

se observa que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y que es no lineal ya que el coeficiente de $y^{\prime}$, la función $(1 -y)$, depende de la variable dependiente.

$\square$

Como podemos notar, para deducir si una ecuación diferencial es lineal o no es conveniente escribirla en la forma (\ref{4}) y verificar las dos propiedades de linealidad.

De acuerdo a (\ref{4}), las ecuaciones diferenciales de primer orden ($n = 1$) y segundo orden ($n = 2$) se pueden escribir de forma general como

$$a_{1}(x) \frac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = g(x) \tag{5} \label{5}$$

y

$$a_{2}(x) \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + a_{1}(x) \frac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = g(x) \tag{6} \label{6}$$

Respectivamente.

Hemos concluido con esta entrada.

Tarea Moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Definir el orden de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias y establecer si son lineales o no lineales.
  • $(1 -x) y^{\prime \prime} -4xy^{\prime} + 5y = \cos(x)$
  • $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = \sqrt {1 + \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2}}$
  • $x \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}} -\left( \dfrac{dy}{dx} \right) ^{4} + y = 0$
  1. Determinar si las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden son lineales en la variable dependiente indicada comparándola con la ecuación (\ref{4}). (es decir, considera primero a una variable como dependiente de la otra y reescribe la ecuación en la forma general (\ref{4}) para deducir si es lineal o no, posteriormente intercambia al papel de las variables y vuelve a ver si la ecuación es lineal o no).
  • $(y^{2} -1) dx + x dy = 0$, $\hspace{0.5cm}$ en $y$, $\hspace{0.2cm}$ en $x$
  • $u dv + (v + uv -ue^{u}) du = 0$, $\hspace{0.5cm}$ en $v$, $\hspace{0.2cm}$ en $u$

Más adelante …

Como se mencionó, uno de los objetivos es hallar a la función involucrada que depende de la variable independiente, a esta función formalmente se le conoce como función solución de la ecuación diferencial. Antes de estudiar cómo obtener estas funciones solución será conveniente primero estudiar sus propiedades generales.

En la siguiente entrada comenzaremos a estudiar lo relacionado a la solución (o soluciones) de una ecuación diferencial.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Lineal II: Repaso de formas bilineales y formas cuadráticas

Por Diego Ligani Rodríguez Trejo

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Introducción

Aunque en previas entradas ya se ha hablado de formas bilineales y formas cuadráticas, retomaremos su estudio en esta entrada y nos dedicaremos a probar algunas propiedades que previamente no fueron demostradas.

También nos familiarizaremos con algunos tipos especiales de formas bilineales e intentaremos extender las definiciones ya dadas, esta vez para espacios vectoriales cuyo campo sea $\mathbb{C}$.

Formas bilineales

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Una forma bilineal es una función $b: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ tal que:

  • Para cualquier $x \in V$ la función $b(x, \cdot) : V \rightarrow \mathbb{R}$ que envía $v$ a $b(x,v)$ es lineal.
  • Para cualquier $y \in V$ la función $b(\cdot, y) : V \rightarrow \mathbb{R}$ que envía $v$ a $b(v,y)$ es lineal.

Definición. Una forma bilineal $b$ se llama simétrica si $b(x,y)=b(y,x)$ para cualquier par $x,y \in V$.

A partir de la definición de forma bilineal podemos saber cómo «abrir combinaciones lineales» si las tenemos en ambas entradas.

Proposición. Sea $b$ una forma bilineal en un espacio vectorial $V$ sobre $R$. Sean $x_1, \dots x_n \in V$, $y_1, \dots y_m \in V$ y $a_1, \dots a_n, c_1, \dots c_m \in \mathbb{R}$. Tenemos que:
\begin{align*} b\left(\sum_{i=1}^n a_ix_i,\sum_{j=1}^m c_jy_j\right)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m a_ic_jb(x_i,y_j)\end{align*}

Demostración. Usando la linealidad en la primera entrada de $b$ tenemos que:

$$b\left(\sum_{i=1}^n a_ix_i,\sum_{j=1}^m c_jy_j\right)=\sum_{i=1}^n a_ib\left(x_i, \sum_{j=1}^m c_jy_j\right).$$
Procediendo de manera similar en la segunda entrada de cada sumando obtenemos:

$$ \sum_{i=1}^n a_ib\left(x_i, \sum_{j=1}^m c_jy_j\right) =\sum_{i=1}^n a_i \left(\sum_{j=1}^m c_j b(x_i,y_j)\right). $$

Multiplicando el real $a_i$ por la suma de índice $j$ para que «entre a la suma» obtenemos la expresión deseada.

$\square$

Obtenemos el siguiente corolario.

Corolario. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ de dimensión finita y $e_1,\ldots,e_n$ una base. Una forma bilineal $b$ queda totalmente definida por los valores $b(e_i,e_j)$ para $1\leq i \leq n$ y $1\leq j \leq n$.

Formas cuadráticas

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Una forma cuadrática es una función $q: V \rightarrow \mathbb{R}$ tal que existe una forma bilineal $b: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ que cumple \begin{align*}q(x)=b(x,x).\end{align*}

Identidad de polarización

Puede existir una forma cuadrática que tenga más de una forma bilineal asignada.

Ejemplo. Tomemos $V=\mathbb{R}^2$ y $b_1, b_2:V\times V\to \mathbb{R}$ definidas como sigue para $x=(x_1,x_2)$ y $y=(y_1,y_2)$:

\begin{align*} b_1(x,y) &=x_1y_2-x_2y_1\\ b_2(x,y)&=x_2y_1-x_1y_2. \end{align*}

De aquí:

\begin{align*} b_1(x,x) &=x_1x_2-x_2x_1=0\\ b_2(x,x)&=x_2x_1-x_1x_2=0, \end{align*}

por lo que $b_1$ y $b_2$ tendrían la misma forma cuadrática asignada.

$\triangle$

Por suerte basta agregar una restricción a la forma bilineal para que tengamos esta deseada unicidad. Esto lo afirma el siguiente teorema.

Teorema (Identidad de polarización). Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y $q: V \rightarrow \mathbb{R}$ una forma cuadrática. Existe una única forma bilineal simétrica $b: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $q(x)=b(x,x)$ para todo $x \in V$.

Más aún, esta $b$ se puede encontrar de la siguiente manera:
\begin{align*} b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2}.\end{align*}

Demostración. Por la definición de forma cuadrática, sabemos que existe una forma bilineal (no necesariamente simétrica) $B$ tal que $q(x)=B(x,x)$. Tomemos la función $b: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ dada por la siguiente fórmula: $$b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2}.$$

Dado que $q(x)=B(x,x)$, podemos calcular $b$ como \begin{align*} b(x,y)=\frac{B(x+y,x+y)-B(x,x)-B(y,y)}{2}. \end{align*}

Usando la bilinealidad de $B$, el primer sumando $B(x+y,x+y)$ es $$B(x,x+y)+B(y,x+y),$$ que a su vez es $$B(x,x)+B(x,y)+B(y,x)+B(y,y).$$

Sustituyendo esto en $b(x,y)$ y simplificando nos arroja la igualdad

\begin{align*} b(x,y) = \frac{B(x,y)+B(y,x)}{2}.\end{align*}

Esta igualdad nos dice que $b$ es combinación lineal de las formas bilineales $(x,y)\mapsto B(x,y)$ y $(x,y)\mapsto B(y,x)$, de modo que $b$ es bilineal. Además, de esta igualdad se concluye de manera inmediata que $b(x,y)=b(y,x)$. Así, $b$ es forma bilineal simétrica.

Una última aplicación de la igualdad previa nos ayuda a probar que $q(x)=b(x,x)$, ya que:

\begin {align*} b(x,x)&=\frac{B(x,x)+B(x,x)}{2}\\&=B(x,x)\\&=q(x).\end{align*}

Lo único que nos falta demostrar es la unicidad. Si tuviéramos otra forma bilineal simétrica $b’: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $q(x)=b'(x,x)$, ésta debe cumplir lo siguiente:

\begin{align*} q(x+y)&=b'(x+y,x+y)\\&=b'(x,x)+2b'(x,y)+b'(y,y).\end{align*}

Al despejar a $b'(x,y)$ obtenemos

\begin{align*} b'(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2}=b(x,y).\end{align*}

$\square$

Finalicemos recordando una última definición que relaciona a $q$ con su única forma bilineal simétrica.

Definición. Sea $q: V \rightarrow \mathbb{R}$ una forma cuadrática. A $b: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ dada por
\begin{align*} b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2} \end{align*}
se le llama la forma polar de $q$.

Más adelante…

En las siguientes entradas veremos un teorema importante que nos ayudará a entender todas las formas cuadráticas en $\mathbb{R}^n$. Un poco más adelante veremos análogos de lo que hemos hecho en $\mathbb{R}$, pero para espacios vectoriales sobre $\mathbb{C}$.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso. Sin embargo, sirven de ayuda para repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Sea $V=M_n(\mathbb{R})$ y definamos la función $b:V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $b(A,B)=\text{Tr}(AB)$. Demuestra que $b$ es una forma bilineal simétrica.
  2. Sea $V=M_n(\mathbb{R})$ y definamos la función $b’:V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $b'(A,B)=\text{Tr}(A^tB)$. Demuestra que $b’$ es una forma bilineal simétrica.
  3. Sea $V=\mathcal{C}^0[0,1]$ (El espacio vectorial de funciones reales continuas en el intervalo $[0,1]$) y $q(x): V \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $q(f)=\int_0^1f(x)^2dx$. ¿Es $q$ una forma cuadrática? Si sí, ¿quién es su forma polar?
  4. Sea $q$ una forma cuadrática en $V$ con $b$ su forma polar. Demuestra que para cualquier pareja $x,y$ en $V$ se tiene que
    \begin{align*}
    b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x-y)}{4}.
    \end{align*}
  5. Sea $q$ una forma cuadrática en $V$ con $b$ su polar. Demuestra que $\forall x,y \in V$ se tiene
    \begin{align*}
    q(x+y)+q(x-y)=2(q(x)+q(y)).
    \end{align*}
  6. ¿Por qué en esta entrada se utiliza la palabra «forma», en lugar de «función», que es normalmente utilizada? ¿Hay alguna diferencia entre una forma y una función?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Moderna I: Definición de Grupos

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Ahora sí, comenzaremos con el tema de este curso. Después de estudiar las operaciones binarias por fin veremos para qué nos sirven. Los grupos son una estructura algebraica. Están constituidos por dos partes, un conjunto y una operación ¿Puedes imaginarte de qué tipo de operación estamos hablando?

Para motivarlo, veamos cómo resolvemos esta ecuación:

\begin{align*}
x+8 & = 5\\
(x + 8) + (-8) &= 5 + (-8)\\
x + 0 &= -3\\
x &= -3.
\end{align*}

Al resolver la ecuación, formalmente estamos usando las siguientes propiedades:

  • Asociatividad.
  • Inverso aditivo.
  • Neutro.

En ese mismo orden.

En esta entrada definiremos formalmente a los grupos y daremos muchos ejemplos para que te empapes de la definición. Revisaremos los ejemplos que vimos en entradas anteriores y determinaremos cuáles son un grupo y cuáles no.

¿Qué es un grupo?

Definición. Sea $G$ un conjunto con una operación binaria $*$. Decimos que $(G,*)$ es un grupo si

  1. La operación $*$ es asociativa, es decir, $(a * b)*c = a*(b*c) \quad \forall a,b,c \in G$
  2. Existe $e \in G$ tal que $e*a = a*e = a \quad \forall a \in G$.
    A $e$ se le llama neutro en $G$.
  3. Para toda $a \in G$ existe $\tilde{a} \in G$ tal que $a*\tilde{a} = \tilde{a}*a=e$.
    En este caso, $\tilde{a}$ se llama inverso de a.

Si además * es conmutativa, es decir $a*b = b*a \quad \forall a,b \in G$, decimos que $(G,*)$ es un grupo abeliano.

Nota. Sea $G$ conjunto con una operación binaria $*$:

  • Si $G \neq \emptyset$, $(G,*)$ se llama magma.
  • Si $G\neq \emptyset$ y se cumple 1, $(G,*)$ se llama semigrupo.
  • Si se cumplen 1 y 2, $(G,*)$ se llama monoide.

Repaso de ejemplos anteriores

Veamos de nuevo algunos ejemplos de las entradas anteriores y comprobemos si cumplen con la definición de grupo.

  • $G : = \z^+$, $a*b = \text{máx}\{a,b\}$.
    • En la entrada anterior vimos que $*$ es asociativa y conmutativa.
    • $1$ es el neutro.
      Demostración. $1*a = a*1 = \text{máx}\{1,a\} = a \quad \forall a \in \z^+$. $\blacksquare$
    • $2$ no tiene inverso.
      Demostración. $2*a = \text{máx}\{2,a\} \geq 2 \quad \forall a \in \z^+$, por lo que $2 * a \neq 1 \quad a \in \z^+$.

$\therefore (\z^+,*)$ NO es un grupo. $\blacksquare$

  • $G:= \z^+$, $a*b = a$.
    • No tiene neutro, si existiera $e \in \z^+$ neutro, entonces para toda $a\in\z^+$, por la definción de la operación $e*a = e$, pero la definición de neutro requiere que $e*a = a$. Entonces, esto implica que $e = a$ y como esto no es necesariamente cierto, pues $a$ es un entero positivo cualquiera, obtenemos una contradicción.

$\therefore (\z^+,*)$ NO es un grupo. $\blacksquare$

  • $(\cM_{2\times 2}(\z), +)$ es un grupo abeliano, la demostración queda como ejercicio.
  • $(\{ f \; | \; f:\r \to \r\}, \circ)$ no es un grupo, pues aunque $\mathrm{id}_{\r}$ es neutro, no todo elemento tiene inverso. Esto porque no toda función es biyectiva, como se ve en Álgebra Superior I.
  • $(S_3, \circ)$ es un grupo no abeliano. Generalizaremos este ejemplo más adelante y le llamaremos grupo simétrico.
  • $\cS = \{2,4,6\}$ con la operación
$*$$2$$4$$6$
$2$$2$$4$$6$
$4$$4$$4$$6$
$6$$6$$6$$6$

Si observamos la tabla, podemos concluir que:

  • $2$ es neutro.
  • $4$ y $6$ no tienen inversos.

Por lo tanto, NO es un grupo.

$\blacksquare$

  • $\cS = \{2,4,6\}$ con la operación
$*$$2$$4$$6$
$2$$2$$2$$2$
$4$$4$$4$$4$
$6$$6$$6$$6$
  • No hay un neutro.

Como no hay neutro, ni siquiera tiene sentido pensar en la existencia de inversos. Por lo tanto, NO es un grupo.

$\blacksquare$

  • $\cS = \{1,-1\}$ con la operación
$*$$1$$-1$
$1$$1$$-1$
$-1$$-1$$1$
  • El $1$ es el neutro.
  • La operación es asociativa.
  • $1$, $-1$ son sus propios inversos.
  • Además, la operación conmuta, porque la operación es el producto usual.

Por lo tanto es un grupo abeliano.

$\blacksquare$

  • $(\z, +)$ es un grupo.
  • Sea $K$ un campo y $K^* = K \setminus \{0_K\}$. Si consideramos $(K^*, \cdot)$ tenemos un grupo abeliano. Le quitamos el $0_K$ pues es el único número que no tiene inverso multiplicativo.
  • $\mathbb{S}’ = \{z \in \mathbb{C} \; |\; |z|= 1\}$. Es decir, los complejos con norma igual a $1$. Es un grupo abeliano con el producto.
Representación geométrica del conjunto.
  • Dentro de los complejos podemos considerar $$\Gamma_n = \left\{ \xi^k \; | \; 0 \leq k < n \text{, con } \xi = e^{\frac{2\pi i}{n}} \right\}.$$ Geométricamente corresponden a los vértices de un polígono regular de $n$ lados y algebraicamente son las raíces $n$-ésimas de la unidad. Forman un grupo abeliano con el producto.
Representación geométrica del conjunto cuando $n= 6$.

Ejemplos importantes de matrices

Los siguientes son ejemplos de algunos grupos importantes. Recuérdalos porque son ejemplos que serán recurrentes en futuras entradas. Recuerda que no todas las matrices tienen inverso multiplicativo y que el producto de matrices no es conmutativo. Para refrescar tu memoria, puedes consultar las entradas de matrices inversas y operación de matrices.

  1. $$GL(n,\r) = \{A \in \cM_{n\times n}(\r) \;|\; \det A \neq 0\},$$ con el producto usual es un grupo no abeliano. Este par ordenado $(GL(n,\r), \cdot)$ es conocido como el grupo lineal general de matrices $n\times n$ con coeficientes en $\r$.
  2. $$SL(n,\r) = \{A \in \cM_{n\times n}(\r) \;|\; \det A = 1\},$$ con el producto usual es un grupo no abeliano. Este es el grupo lineal especial de matrices $n\times n$ con coeficientes en $\r$.
  3. $$SO(n,\r) = \{A \in \cM_{n\times n}(\r) \; | \; AA^t = I_n, \; \det A = 1\},$$ con el producto usual es un grupo no abeliano. A éste se le conoce como grupo ortogonal especial de matrices $n\times n$ con coeficientes en $\r$.
  4. $$O(n, \r) = \{A \in \cM_{n\times n}(\r) \; |\; AA^t = I_n\},$$ con el producto usual es un grupo no abeliano. Este es conocido como el grupo ortogonal de matrices $n\times n$ con coeficientes en $\r$.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Determina, en cada uno de los siguientes casos, si el sistema descrito es grupo o no. En caso negativo, señala cuál o cuáles de los axiomas de grupo no se verifican. En caso afirmativo demuestra que es un grupo:
    • $G = \r \setminus \{-1\}$, $a*b := a+b+ab$.
    • $G = \r^*$, $a*b = |a|b$.
    • $G = \{r \in \mathbb{Q} \;|r\text{ se puede expresar como }\; r = \frac{p}{q} \text{ con } (p,q)= 1 \text{ y } q \text{ impar}\}$, $a*b = a+b$ (la adición usual).
    • Sea $X$ un conjunto. Considera $G = \mathcal{P}(X)$ el conjunto potencia de $X$ con la operación binaria $A \triangle B = (A \cup B)\setminus (A \cap B)$ para todo $A,B \in \mathcal{P}(X)$.
  2. Demuestra la siguientes afirmaciones referentes a grupos, dadas en los ejemplos anteriores:
    • $(\cM_{2\times 2}(\z), +)$ es un grupo abeliano.
    • $(S_3, \circ)$ es un grupo no abeliano.
    • $(\z, +)$ es un grupo.
    • $(K^*, \cdot)$ con $K$ un campo, es un grupo abeliano.
    • $(\Gamma_n, \cdot)$ es un grupo abeliano, con $\cdot$ el producto.
  3. Demuestra por qué los ejemplos importantes de matrices son grupos no abelianos.

Más adelante…

Después de tantas definiciones y ejemplos, comenzaremos a ver más teoremas y demostraciones. En la siguiente entrada profundizaremos en las propiedades de grupos derivadas de su definición. Además, veremos un teorema conocido como la «Definición débil de Grupo».

Entradas relacionadas

Álgebra Superior I: Cuantificadores existenciales y universales

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

4 respuestas

Introducción

Hasta ahora hemos visto proposiciones, variables proposicionales, conectores y fórmulas lógicas. Por ello, ya podemos decir cómo se manejan las proposiciones al combinarlas o qué significa que dos proposiciones sean equivalentes.

Sin embargo, hasta ahora no hemos trabajado con tanto rigor los objetos a los que nos referimos dentro de una proposición. Por ejemplo cuando decimos la proposición «Este número es impar» puede que sea o no verdadera, pero esto depende de una cosa: el contexto. ¿A qué número nos estamos refiriendo? Podríamos estar en la siguiente conversación: «Hay números distintos a los múltiplos de 2, por ejemplo el 3. Este número es impar.» A esto último, estando en contexto, ya le podríamos asociar un valor de verdad.

En general esto no es así. Podemos ir variando a qué número nos referimos. En ocasiones las proposiciones tienen una variable y, dependiendo el valor de esa variable, cambian su significado o su valor de verdad. En esta entrada formalizamos estas ideas y hablamos de cuantificadores, que nos permitirán «recorrer» todos los valores posibles de una variable.

Términos variables y predicados

Volvamos a nuestro ejemplo. Al tomar la proposición $P$ «el número es impar», podríamos referirnos al $1$, $2$, $3$, $80$ o $20,000$. Así, es más conveniente pensar en que la proposición depende de una variable como sigue:

$P(\text{el número})$ = «$\text{el número}$ es impar».

Visto de esta manera, $P(2)$ es la proposición «$2$ es impar». En general $P(x)$ es la proposición «$x$ es impar» y esta hace referencia a que el número es una variable que puede tomar distintos valores «permitidos». Observa que en este caso no tendría sentido decir si $P(\text{azul})$ es verdadero o falso. A este tipo de proposiciones que tienen una variable (o más), se les llama predicados.

¿Notas que tenemos que ponernos de acuerdo sobre cuál es el contexto sobre el que estamos hablando al momento de asignarle un valor a nuestra variable? Esto debido a que no podríamos decir que «azul es impar» o «la luna es impar». A este «conjunto» dentro del cual pueden tomar valores nuestras variables le llamamos universo de discurso. Aunque suena algo sofisticado, puedes pensarlo como el contexto al que nos estamos acoplando.

Es muy importante siempre tener claro el universo de discurso cuando usamos predicados. No será lo mismo estar hablando de número pares, que de números enteros. Sabemos que todos los números pares no son impares. Mientras que algunos números enteros son impares. Estas palabras enfatizadas son las que nos van a permitir hablar más sobre cómo es nuestro universo de discurso. No es lo mismo que solo un objeto del universo cumpla un predicado (tenga valor de verdad verdadero) a que todos los objetos de nuestro universo las cumplan.

Cuantificador universal

Cuando tenemos un predicado $P(x)$, no podemos decir si es verdadero o falso hasta que no hayamos decidido quién es exactamente el objeto $x$ dentro de nuestro universo de discurso del que estamos hablando. Pero lo que sí podemos hacer es pensar en si ninguno, alguno o todos los elementos de dicho universo de discurso hacen que $P(x)$ sea verdadero, o no. A esto se le llama cuantificar un predicado.

El primer cuantificador que nos interesa es el cuantificador universal que transforma un predicado en una afirmación de que todo objeto de nuestro universo de discurso hace que la proposición $P(x)$ sea verdadera. Dicho cuantificador universal puede pensarse como agregar un «Para todo $x$ en el universo de discurso,» antes del predicado $P(x)$ que nos interesa. Lo que esto hace es que transforma el predicado $P(x)$ en la proposición $\forall x: P(x)$, la cual acordamos que es cierta siempre y cuando cualquier objeto $x$ de nuestro universo de discurso hace que $P(x)$ sea cierta. Entonces la veracidad de $\forall x: P(x)$ depende fuertemente tanto de:

  • La proposición $P(x)$
  • El universo de discurso en el que estemos.

Cotidianamente también decimos simpemente «Para todo $x$, $P(x)$», pero es muy importante que el universo de discurso sea claro.

Veamos un ejemplo poco a poco. Consideremos el siguiente predicado:

$$P(x)= \text{$x$ es múltiplo de $2$.}$$

Este predicado no tiene ningún valor de verdad. Lo podemos pensar como que es una proposición cuyo contenido depende de una variable $x$ que no hemos decidido. Ahora acordemos como universo a los números múltiplos de $4$. A partir de ello, podemos crear la siguiente proposición con el cuantificador universal $\forall$:

$$\forall x \text{ múltiplo de $4$}: P(x).$$

En palabras «todo múltiplo de $4$ es múltiplo de $2$». Al cuantificar el predicado, ya se convierte en una proposición. ¿Es verdadera? Sí, en efecto, sin importar cuál $x$ tomemos que sea múltiplo de $4$, cumplirá que es múltiplo de $2$.

Pero, ¡cuidado! Podríamos estar trabajando en otro universo de discurso, donde los objetos que nos interesan son todos los enteros. Si ese fuera el caso, al cuantificar universalmente tendríamos lo siguiente:

$$\forall x \text{ entero}: P(x).$$

Esta es una proposición, pero es falsa, pues podemos encontrar un entero, digamos $5$, para el cual $P(5)=\text{$5$ es múltiplo de $2$.}$ es falso. Por ello, la proposición con el cuantificador es falsa.

Algunos otros ejemplos de cómo podemos usar este cuantificador son los siguientes. Observa cómo se deja claro el universo de discurso.

  • $\forall x$ número par, $x$ es múltiplo de 2.
  • $\forall x$ grupo cíclico, $x$ es generado por un único elemento.
  • $\forall x$ año bisiesto, $x$ tiene 366 días.
  • $\forall (x,y)$ vector en $\mathbb{R}^2$, $\norm{x+y}\leq\norm{x}+\norm{y}.$ *

Recuerda que ahora no es necesario que conozcamos a la perfección el universo de discurso del que estamos hablando en estos ejemplos. En estas entradas no nos interesa estudiar a los pares, a los grupos cíclicos, o a los años bisiestos. Los ponemos como ejemplos únicamente para ver que las ideas de lógica aplican a todos ellos. Por ejemplo para el segundo ejemplo el objetivo es que entiendas que siempre que consideremos un grupo cíclico (sea lo que signifique un grupo o un grupo cíclico), ese grupo es generado por un único elemento (sea lo que signifique que un grupo se genere por un único elemento). En este caso nuestro universo de discurso serán los grupos cíclicos, mientras que $P(x)$ es el predicado «$x$ es generado por un único elemento». En estos renglones sólo nos interesa entender cuándo estamos hablando de un universo de discurso, un cuantificador y un predicado.

Cuantificador existencial

El cuantificador «para todo» establece que una proposición es verdadera para todos los objetos de un universo de discurso. Pero esto no siempre pasa. Por ejemplo, pensemos en que nuestro universo de discurso es $$A=\{\text{pescados, reptiles, aves, piedras, felinos}\}$$ y nuestro predicado $P(x)$ es «Los gatos son $x$». En este caso no todas las formas de asignar un objeto del universo a la variable $x$ darán proposiciones verdaderas. Los gatos no son pescados, reptiles ni mucho menos piedras o aves. Pero los gatos sí son felinos. En este caso la asignación $x=\text{felinos}$ será la única en la que se cumpla el esquema proposicional.

El cuantificador existencial permite enunciar una proposición que acordamos que se vuelve verdadera cuando uno (o más) de los objetos del universo de discurso hacen que obtengamos una proposición verdadera. Así, una vez acordado un universo de discurso y un predicado $P(x)$, diremos que la proposición $\exists x:P(x)$ es verdadera cuando logremos encontrar algún $x$ para el cual $P(x)$ sea verdadera.

En palabras, esto se dice a veces como «existe $x$ en el universo de discurso que cumple $P(x)$», o simplemente como «existe $x$, $P(x)$», cuando el universo de discurso se sobreentiende.

Algunos ejemplos del uso de este cuantificador son los siguientes:

  • $\exists n$ número entero que es solución a $n^2=4$.
  • $\exists n$ número entero que cumple $e^{i\pi}+n=0.$ **

Nuevamente, es muy importante que se acuerde el universo de discurso para poder concluir la veracidad de una proposición que involucra un cuantificador existencial. Por ejemplo, la proposición

$$\exists x \text{ número real}: x^2=-1$$

es falsa, pues no existe tal real (al elevar un real al cuadrado siempre queda mayor o igual a cero), mientras que la proposición

$$\exists x \text{ número complejo}: x^2=-1$$

es verdadera, pues el número complejo $x=i$ cumple que $x^2=-1$ es verdadero.

Cuantificador «existe un único»

El cuantificador «existe» tiene una variante más restrictiva. Cuando decimos que existe al menos un elemento en nuestro universo de discurso que cumple una propiedad, también tenemos que puede haber $2$, $3$ o $20$ elementos que lo cumplen. Por ejemplo: «$\exists n$ número entero que es solución a $n^2=4$» tiene dos posibilidades, pues al tomar $n=-2$ o $n=2$ el predicado se transforma en una proposición verdadera.

Pero es muy frecuente en matemáticas que se busque que uno y sólo un elemento que haga verdadero a a un predicado. Para referirnos a estas ocasiones, usamos el cuantificador «$\exists!$», que se lee como «existe un único«. Por ejemplo, sabemos que el único número primo par es 2. Así que podríamos decir: «$\exists! x$ número entero que es primo y par».

La regla de asignación de verdad es que $\exists! x: P(x)$ será verdadera si hay un único $x$ del universo de discurso que haga que $P(x)$ sea verdadera. Si no hay, o hay más de uno, entonces $\exists! x:P(x)$ será falsa.

Otros ejemplos (algunos informales) de su uso son:

  • $\exists!x$ día de la semana tal que $x$ empieza con la letra L
  • $\exists!x$ número real tal que $x$ es neutro aditivo. ***
  • $\exists!n$ número entero que cumple $e^{i\pi}+n=0.$

¿Observas que la última oración se parece mucho al último ejemplo del cuantificador anterior? Y con esto no estamos contradiciendo nada, en el ejemplo anterior solo estamos diciendo «Existe un número entero $n$ que es solución a $e^{i\pi}+n=0$» con lo que queremos decir que existe al menos uno, mientras que en el último ejemplo, decimos «Existe un único número entero $n$ que es solución a $e^{i\pi}+n=0$». Aquí, el objetivo solo es ser más específicos, lo que quiere decir que sólo estamos dando información extra acerca de la proposición.

Tabla resumen de conjunciones y cuantificadores

A continuación resumimos en una tabla varios símbolos lógicos que hemos discutido.

Negaciones$\neg$
Conjunciones$\land$
Disyunciones$\lor$
Implicaciones$\Rightarrow$
Dobles implicaciones$\Leftrightarrow$
Para todos los casos$\forall$
Para al menos un caso$\exists$
Para un único caso$\exists!$

Combinando conectores y cuantificadores

Habiendo conocido los distintos cuantificadores, podríamos hacer afirmaciones un poco más extensas usando otros conectores lógicos en los predicados que usamos. Por ejemplo, pensemos en que nuestro universo de discurso son los números enteros. Consideremos los predicados $P(x)=x<0$ y $Q(x)=x<1$. Entonces podríamos decir

$$\forall \text{$x$ número entero: } (P(x) \Rightarrow Q(x))$$

En palabras: «Para todo número entero $x$, si $x$ es menor a 0, entonces $x$ es menor a 1». Esto es una afirmación verdadera.

También podríamos poner algo del estilo

$$\exists \text{$x$ número entero: } (x+3=8) \land (x^2-2=23).$$

Esta también es una afirmación verdadera pues $x=5$ es un número entero que cumple la proposición $x+3=8$ y la proposición $x^2-2=23$.

También podemos tener predicados con más de una variable e irlos cuantificando poco a poco. Por ejemplo, pensemos nuevamente a los números enteros como nuestro universo de discurso y $P(x,y)$ como la afirmación $x+y=0$. Tenemos que $P(2,-2)$ es verdadero, mientras que $P(2,2)$ es falso, pues es falso que $2+2=0$. Podemos cuantificar a $y$ con un existencial de unicidad para obtener lo siguiente: $$\exists ! y: P(x,y).$$ Esto todavía no es una proposición de la que podamos saber si es cierta o verdadera. Aunque $y$ ya está cuantificado, $x$ sigue siendo variable. Lo que sí es que entonces es un predicado que de la variable $x$ y ahora podemos cuantificarlo con respecto a $x$ para obtener, por ejemplo,

$$\forall x: (\exists! y: P(x,y)).$$

Aquí estaríamos diciendo «para cada número entero $x$, existe un único número entero $y$ tal que $x+y=0$». Dicho de otra forma, cada vez que consideramos un número entero $x$, digamos $3$, existirá un único número entero $y$ que cumplirá la ecuación $x+y=0$. En este caso ese número $y$ es $-3$, pues dijimos que $x=3$ y sólo hay un número que al sumarlo a $3$ nos da $0$.

Entender estas dobles cuantificaciones será crucial para entender, por ejemplo, la definición de límite en Cálculo Diferencial e Integral I.

Notas

Estas son algunas anotaciones del artículo y no es necesario que las sepas, únicamente son curiosidades o temas por aparte que forman parte de la cultura matemática.

* Esta se conoce como la desigualdad del triángulo y nos dice básicamente que la suma de la longitud de dos lados de un triángulo siempre será mayor a la longitud del tercer lado.

** Esta afirmación está relacionada con la llamada identidad de Euler y algunos piensan que es una de las ecuaciones más hermosas de las matemáticas. En otros cursos como Álgebra Superior 2 o Variable Compleja 1 puede que vuelvas a ver esta identidad con su demostración.

*** El único neutro aditivo es el $0$, y esto quiere decir que al sumarle este a cualquier otro número, dará el mismo número.

Más adelante…

Cuando estamos hablando de cuantificadores, también nos van a interesar sus negaciones. Por ejemplo, ¿a qué nos referiremos cuando digamos $\neg (\forall x P(x))$? ¿o cuando digamos $\neg (\exists x (P(x) \Rightarrow Q(x)))$? Lo primero que tenemos que entender es qué quiere decir negar un cuantificador universal y uno existencial. Eso es justo lo que estudiaremos en la siguiente entrada.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Imagina que definitivamente quieres comprar un helado. Cuando vas a la heladería, sólo venden un sabor. Esto tiene desventajas, por supuesto. Pero, ¿qué ventajas tiene que sólo haya un sabor de helado? Enlista todas las que puedas.
  2. En los ejemplos siguientes encuentra el universo de discurso y su predicado.
    1. $\forall x$ número par,$x$ es múltiplo de 2.
    2. $\forall x$ año bisiesto, $x$ tiene 366 días.
    3. $\forall (x,y)$ vector en $\mathbb{R}^2$, $\norm{x+y}\leq\norm{x}+\norm{y}$.
  3. Considera el predicado $P(x)=«x$ es múltiplo de 11». Da cuatro universos de discurso tales que los siguientes enunciados sean ciertos:
    • $\forall x P(x)$
    • $\exists x P(x)$
    • $\exists! x P(x)$
    • $\nexists x P(x)$
  4. Considera la proposición: $P(x,y,z)$ = «$x^3+y^3=z^3$». ¿Cuál de los siguientes enunciados representa la oración «No existen números enteros $x,y,z$ que cumplen $P(x,y,z)$»?:
    • $\forall x (\exists y (\exists z P(x,y,z)))$
    • $\nexists (x,y,z)P(x,y,z)$
    • $\forall x (\nexists(y,z)P(x,y,z))$
    • $\nexists x (\forall (x,y) P(x,y,z))$
  5. ¿El ejercicio anterior sólo tiene una solución? Si hay más de una opción correcta, ¿cómo argumentarías que dos enunciados representan el mismo enunciado?

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Superior I: Condicionales y dobles condicionales

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

Hemos hablado en las últimas entradas de tres conectores muy importantes: la negación, la conjunción y la disyunción. Sin embargo, como recordarás en la introducción al tema, mencionamos más de tres conectores. Ha llegado el momento en que veamos a los conectores condicionales: la implicación y la doble implicación.

Pensar en consecuencias

Para introducir mejor la implicación, pensemos en qué significa la palabra sin algún contexto matemático. ¿Qué se te viene a la mente cuando oyes la palabra «implicación»? Quizá se te venga a la mente «consecuencia», que a su vez significa cosas o acciones que derivan otras más.

Un ejemplo es el siguiente: ¿qué implicación tiene que se acabe la pila de un celular? Pues en principio se apaga el teléfono. Entonces podríamos decir «Si se acaba la pila del celular, entonces se apagará». Otro ejemplo: ¿qué consecuencias tiene llegar tarde a una cita médica? Pues muy probablemente se cancelará. Esto mismo lo podemos decir así: «Si llego tarde a una cita médica, entonces la cancelarán». Un último ejemplo sería el siguiente: «Si sube el nivel de dióxido de carbono en la atmósfera, entonces los polos se derretirán».

Todas estas oraciones son ejemplos de condicionales, y para entender su estructura, volvamos al primer ejemplo. Pensemos en las proposiciones
\begin{align*}
P &= \text{El celular se queda sin pila.}\\
Q &= \text{El celular se apaga.}
\end{align*}

Podemos reescribir la oración «Si se acaba la pila del celular entonces se apagará» como «Si pasa $P$, entonces pasa $Q$». Observa que siempre que pase $P$, entonces pasará $Q$. Esto lo escribiremos como $P \Rightarrow Q$ y se lee «$P$ implica $Q$». Lo que estamos diciendo con esta oración es que si el valor de verdad de $P$ es verdadero entonces el valor de verdad de $Q$ es verdadero.

Observa que si al celular no se le acaba la pila, entonces no tendría porqué apagarse, entonces si $P$ es falso, $Q$ puede ser falso y no hay problema. También puede pasar que apagues el celular, pero no necesariamente sea porque se le acabó la pila, entonces si $P$ es falso, $Q$ también puede ser verdadero y no hay algún problema con ello. El único problema sería decir que se le acabó la pila al celular y sigue prendido, eso sería algo que no puede suceder, porque sabemos que «Si se acaba la pila del celular, entonces se apagará».

Todo esto lo resumimos en la tabla de verdad de la siguiente sección.

Tabla de verdad de la implicación

Dadas proposiciones $P$ y $Q$, pensamos en la implicación $P\Rightarrow Q$ como la proposición que tiene la siguiente tabla de verdad.

$P$$Q$$P \Rightarrow Q$
$0$$0$$1$ 
$0$$1$$1$ 
$1$$0$ $0$
$1$$1$ $1$

Quizá sigas teniendo dificultades para entender porqué si $P$ es falso, $Q$ puede tener cualquier valor y seguir haciendo la expresión verdadera. Para ello, piensa en lo siguiente: lo que dice la implicación es que siempre que pase la primera condición $P$, también llamada hipótesis, ocurrirá $Q$, también conocida como tesis. Puede ser que se cumpla $Q$ y no se cumpla $P$, pero eso no contradice lo que dice la implicación, o puede que igual no se cumpla ni $Q$ ni $P$. Lo único que nos dice la implicación es que siempre que se cumpla $P$ va a tener como consecuencia que se cumpla $Q$. Entonces el único caso en donde desobedecemos a la implicación (donde es falsa), es cuando pasa $P$ y no pasa $Q$, que corresponde al penúltimo renglón de la tabla de verdad.

Condiciones suficientes y necesarias

El siguiente y último conector que vamos a ver es la doble implicación. A diferencia de la implicación, asumimos que para que una proposición sea verdadera, es necesaria que la otra también y viceversa. Para esto, refiramos a la doble implicación como una equivalencia lógica $P \Leftrightarrow Q :\equiv (P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)$. En otras palabras decimos que hay una doble implicación entre $P$ y $Q$ si $P$ implica $Q$ y además $Q$ implica $P$.

Además de este nombre, algunas formas de referirse a la doble implicación que encontrarás serán:

  • «$P$ es equivalente a $Q$»
  • «Una condición necesaria y suficiente para $Q$ es $P$»
  • «$P$ si y sólo si $Q$»

Esta última se utiliza mucho en enunciados matemáticos como proposiciones y teoremas.

Tabla de verdad de la doble implicación

$P$$Q$$P \Rightarrow Q$$Q \Rightarrow P$$(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)$$P\Leftrightarrow Q$
$0$$0$ $1$$1$$1$  $1$ 
$0$$1$$1$ $0$ $0$ $0$ 
$1$$0$  $0$$1$ $0$ $0$
$1$$1$  $1$$1$ $1$   $1$

Nota que la doble implicación es verdad cuando los valores de $P$ y $Q$ son ambos verdaderos o ambos falsos. Esto quiere decir que en este caso si alguno es verdadero, entonces los dos son verdaderos, mientras que si uno es falso, los dos lo serán.

La implicación en términos de otros conectores

El hecho de que hayamos aprendido los primeros tres conectores (negación, conjunción y disyunción) antes que estos no es coincidencia. Resulta que la implicación y la doble implicación se «pueden construir» a partir de los primeros tres. Con esto nos referimos a que la implicación es equivalente a una expresión hecha únicamente por los anteriores.

Para ello, primero recuerda cómo construimos la implicación. La única forma en que la implicación $P \Rightarrow Q$ sea falsa es que $P$ sea verdadero y $Q$ falso. Entonces si $P$ es falso, no importa qué valor tome $Q$. De esta forma, cada vez que $\neg P$ sea verdad, la implicación también será verdadera. Pero si $P$ es verdadero, entonces $Q$ debe serlo también. Eso lo podemos expresar como $\neg P \lor Q$ que quiere decir «$P$ no pasa o $Q$ es verdadero» y coincide con lo que acabamos de decir. Para convencerte de eso, revisa con cuidado la siguiente tabla.

$P$$Q$$\neg P$ $\neg P \lor Q$$P \Rightarrow Q$
$0$$0$ $1$$1$  $1$ 
$0$$1$$1$  $1$ $1$ 
$1$$0$  $0$ $0$ $0$
$1$$1$  $0$ $1$   $1$

Entonces $\neg P \lor Q \equiv P \Rightarrow Q$. Entonces cada vez que digamos que «Una cosa implica la otra», podemos pensarlo como «La negación de la primera cosa o la otra». Siempre es útil regresar a ejemplos concretos. Piensa cuidadosamente por qué es lo mismo decir «si llueve el piso se moja» y decir «no llueve o el piso está seco».

La contrapositiva de una implicación

Una propiedad que más adelante nos servirá sobre la implicación es el hecho de que en ocasiones es más sencillo trabajar con las negaciones de las proposiciones que con las proposiciones normales. No te preocupes si no entiendes a qué nos referimos con esto, más adelante lo veremos con más calma.

Un ejemplo de esto es verificar la siguiente proposición: «Si un número al cuadrado es par, entonces el número es par». A primera vista no es tan fácil verificar directamente esta proposición que es de la forma $P \Rightarrow Q$. Resulta que la forma en que se comprueba esto es con una equivalencia de la implicación. Para llegar a esta equivalencia, como primer paso, notaremos que podemos poner a la implicación en términos de la negación. Para esto, vamos a usar el resultado anterior para encontrar lo que buscamos.

Recordemos que $\neg P \lor Q \equiv P \Rightarrow Q$, y la conjunción es conmutativa, es decir $\neg P \lor Q \equiv Q \lor \neg P$.

¿Podemos ver esto de otra forma?

Pues resulta que sí. Veamos a $Q$ como la negación de la negación de $Q$, dicho de otra forma, $Q \equiv \neg \neg Q$. Esto último nos ayuda a ver la equivalencia de otra forma: $Q \lor \neg P \equiv\neg \neg Q \lor \neg P$. El siguiente paso es pensar a $\neg Q$ como un término por sí mismo y a $\neg P$ como otro término. Dicho de otra forma agrupemos términos para ver la equivalencia de manera distinta: $$Q \lor \neg P \equiv\neg (\neg Q) \lor (\neg P).$$ Ahora, pensemos a $\neg Q$ como una proposición y a $\neg P$ como otra. La expresión está diciendo «La negación de $\neg Q$ una cosa o $\neg P$» ¿Suena familiar? Esto justamente es la equivalencia de la implicación. Dicho de otra manera, fíjate que tenemos una equivalencia:

$$Q \lor \neg P \equiv\neg (\neg Q) \lor (\neg P) \equiv \neg Q \Rightarrow \neg P.$$

Es decir,

$$P \Rightarrow Q \equiv \neg Q \Rightarrow \neg P.$$

Cuando tenemos una implicación de la forma $P\Rightarrow Q$, a la fórmula proposicional $\neg Q \Rightarrow \neq P$ le llamamos la contrapositiva.

Regresando al ejemplo inicial de esta sección, la proposición «Si un número al cuadrado es par, entonces el número es par» podemos pensarla como «Si un número es impar entonces su cuadrado es impar», lo cual es mucho más fácil de verificar. En entradas posteriores retomaremos esta forma de pensar. Por lo mientras es suficiente que entiendas que la implicación es equivalente a su contrapositiva.

El caso en donde todo es verdadero

Antes de terminar esta entrada, introduciremos un concepto que resultará útil cuando llegue el momento de estudiar inferencias. Para ello, observa la tabla de verdad de la fórmula proposicional $((Q \Rightarrow P) \land Q) \Rightarrow P$:

$P$$Q$$Q \Rightarrow P$$Q \Rightarrow P \land Q$$(Q \Rightarrow P \land Q) \Rightarrow P$
$0$$0$ 1 01 
$0$$1$ 0 0 1
$1$$0$ 1 0 1
$1$$1$ 11  1

¿Notas algo peculiar? Toda la columna final es verdadera. Esto quiere decir que no importa qué valores tomen las variables proposicionales, siempre es verdadera la expresión. A una fórmula matemática que cumpla esto le llamamos una tautología.

Sucede algo que une aún más los conceptos de tautología y doble condicional. ¿Recuerdas que las fórmulas proposicionales $\neg(P \land Q)$ y $\neg P \lor \neg Q$ son equivalentes? Pues veamos ahora sus tablas de verdad:

$P$$Q$$P \land Q$$\neg (P \land Q)$$\neg P$$\neg Q$$\neg P \lor \neg Q$$\neg (P \land Q)\Leftrightarrow (\neg P \lor \neg Q)$
$0$$0$ 01 1111 
$0$$1$ 01 101 1
$1$$0$ 01 011 1
$1$$1$ 10000 1

Hemos agregado una última columna, la correspondiente a $\neg (P \land Q))\Leftrightarrow (\neg P \lor \neg Q)$. ¡Es una tautología! Esto sucede siempre: dos fórmulas proposicionales $F_1$ y $F_2$ son equivalentes siempre que $F_1 \Leftrightarrow F_2$ sea una tautología.

Más adelante…

Recuerda el ejemplo que mencionamos anteriormente «Un número al cuadrado es par si el número es par», no especificamos de qué número se trataba, sin embargo hay una infinidad de números los cuales podemos tomar como ejemplo para verificar la propiedad. Entonces podemos decir «$1^2$ es par si $1$ es par» o «$38^2$ es par si $38$ es par», o en general podemos decir «$x^2$ es par si $x$ es par». ¿Pero quién es $x$? ¿Qué valores puede tomar? En la siguiente entrada veremos algo conocido como predicados y cuantificadores. Estos ampliarán el poder de las proposiciones introduciendo variables dentro de las proposiciones. Con ello, se puede cambiar el objeto al que se refiere una proposición y, dependiendo de esto, su valor de verdad.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Escribe las siguientes frases en lógica proposicional:
    • Si hoy es lunes, entonces mañana será viernes.
    • El caos implica el orden.
    • Para que crezcan las plantas, tienes que regarlas.
    • Hoy es lunes si mañana es martes y mañana es martes si hoy es lunes.
    • Hoy es lunes si y sólo si mañana es martes.
  2. Verifica que siempre «Una cosa siempre se implica a sí misma», es decir, verifica que si $P$ es una proposición, entonces $P \Rightarrow P$ siempre es verdadera.
  3. Haz la tabla de verdad de la implicación $P\Rightarrow Q$ y de su contrapositiva $\neg Q \Rightarrow \neg P$ para convencerte de que en verdad son equivalentes.
  4. ¿Cómo verificarías que  $P \Leftrightarrow Q \equiv (\neg Q \lor P)\land(\neg P \lor Q)$? Recuerda que la doble implicación $P \Leftrightarrow Q$ es equivalente a $(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)$.
  5. Verifica que la doble condicional es conmutativa, es decir $P \Leftrightarrow Q \equiv Q \Leftrightarrow P $. ¿La condicional es conmutativa?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»