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Álgebra Moderna I: Subgrupos

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

Introducción

Ya vimos la definición de un grupo. Es un conjunto con una operación binaria que se comporta «bien», es decir, que es asociativa, tiene un neutro y tal que todo elemento tiene un inverso.

Ahora nos interesa trabajar con una subcolección de $G$, llamémosla $H$. Estudiaremos qué se necesita para que $H$ sea un grupo en sí mismo. La idea es trabajar con la misma operación de $G$, pero ahora usando sólo los elementos de $H$. Para que la operación $*$ siga siendo binaria en $H$, necesitamos que $*$ sea cerrada en $H$. Además, necesitamos que el neutro de $G$, $e_G$, sea elemento de $H$. Porque si $e_G$ deja fijos a todos los elementos de $G$, en particular deja fijos a todos los elementos de $H$. Y la tercera condición es la de los inversos, para todo elemento en $H$, su inverso también debe estar en $H$. La asociatividad, se «hereda» al restringir la operación $*$ a $H$. De esta manera, nos podremos olvidar de $G$ y concentrarnos en $H$.

En esta entrada veremos la definición formal de subgrupos y algunos ejemplos para que quede más clara la definición y la utilidad de definir un grupo dentro de otro.

Definiendo a los subgrupos

Comencemos con la definición formal de subgrupos.

Definición. (Subgrupo)
Sea $G$ un grupo, $H$ subconjunto de $G$. Decimos que $H$ es un subgrupo de $G$ si cumple lo siguiente:

  1. El neutro $e_G$ de $G$ está en $H$, es decir, $e_G \in H$.
  2. $H$ es cerrado con la operación, es decir si $a, b \in H$, entonces, $ab\in H$.
  3. Todo elemento de $H$ tiene su inverso en $H$. Es decir, si $a \in H$, entonces $a^{-1} \in H$.

Notación. $H \leq G$ denotará que $H$ es subgrupo de $G$.

Ejemplos.

  1. Si $G$ es un grupo, $\{e\}$ y $G$ son subgrupos de $G$. Puede haber muchos más, pero al menos esos dos seguro son subgrupos.
  2. Sea $X$ un conjunto, $\cS_X = \{f:X \to X | \; f \text{ es biyectiva en } G\}$ es un grupo con la composición.
    Dado $x_0 \in X$ consideramos todos los elementos de $\cS_X$ que dejan fijo a $x_0$
    $\{f \in \cS_X \;|\; f(x_0) = x_0\}$. Este es un subgrupo de $\cS_X$.
  3. Consideremos $(\z, +)$ y su subconjunto $\{n \in \z \;|\; n \text{ es múltiplo de } 2\} \leq \z$.
    Podemos generalizarlo, dado $m\in\z$ consideremos el conjunto de todos los múltiplos de $m$. Este conjunto se denota como $m\z := \{n \in \z \;|\; n \text{ es múltiplo de } m\} \leq \z$ y se tiene que $m\z \leq \z$.

Caracterizaciones de los subgrupos

Observación 1. Dado $G$ un grupo y $H$ un subconjunto de $G$, $H$ es un subgrupo de $G$ si y sólo si

  1. $H \neq \emptyset$.
  2. Si $a,b\in H$, entonces $ab^{-1}\in H$.

Demostración. La demostración quedará como ejercicio.

Observación 2. Dado $G$ un grupo, $H$ un subconjunto de $G$, $H$ es un subgrupo de $G$ si y sólo si $H$ es un grupo con la operación restringida a $H$.

Demostración.

$|\Rightarrow)$ Supongamos que $H \leq G$.

Por el inciso 2 de la definición de subgrupo, la operación es cerrada en $H$, entonces es una operación binaria en $H$.

Por el inciso 1 de la definición, $e_G \in H$, y sabemos que $e_G * a = a * e_G$ para toda $a \in G$. En particular $e_G * a = a * e_G$ para toda $a \in H$. Así $e_G$ es neutro en $H$.

Sea $a\in H$, por el inciso 3 de la definición de subgrupo, $a^{-1}\in H$, es decir el inverso de $a$ en $G$ está en $H$, entonces existe $a^{-1} \in H$ tal que $aa^{-1} = a^{-1}a = e_G = e_H$, y así $a^{-1}$ es el inverso de $a$ en $H$.

Por lo tanto, $H$ es un grupo con la operación restringida.

$\Leftarrow |)$ Supongamos que $H$ es un grupo con la operación restrigida. Entonces, $H$ tiene un neutro $e_H \in H$.

Aquí hay que hacer una observación. En principio no sabemos que el neutro de $G$ y el neutro de $H$ son el mismo, porque $e_H$ es un neutro restringido a $H$ y puede no serlo fuera del subconjunto. Además, que sean distintos no rompe la unicidad del neutro ya que $e_H$ es el neutro en $H,$ no en $G$ así que no estamos hablando de dos neutros distintos en $G;$ y si $e_G$ es el neutro en $G,$ pero $e_G \not\in H,$ de nuevo no se rompe la unicidad pues sólo hay un neutro en $H$. Así, lo primero que tenemos que demostrar, es que $e_H = e_G$. Las siguientes operaciones las realizaremos en $G$, porque no podemos asegurar que $e_G$ es un elemento de $H$.

$\begin{align*}
e_H e_G &= e_H & e_G \text{ es neutro en } G \\
&= e_H e_H & e_H \text{ es neutro en } H
\end{align*}$

Entonces $e_H e_G = e_H e_H$ y por la cancelación en $G$, $e_G = e_H$. Así $e_G \in H$.

Sean $a,b \in H$. Como $H$ es un grupo con la operación restringida, esta operación es una operación binaria en $H$ y por tanto cerrada. Así $ab\in H$.

Sea $a\in H$, como $H$ es un grupo con la operación restringida, $a$ tiene un inverso en $H$, digamos $\hat{a} \in H$, tal que $a \hat{a} = \hat{a} a = e_H$.

Sea $a^{-1}$ el inverso de $a$ en $G$, entonces $aa^{-1} = a^{-1}a = e_G$. Como $e_H = e_G$

$\begin{align*}
a \hat{a} &= a a^{-1}\\
\hat{a} &= a^{-1} & \text{por la ley de cancelación en } G
\end{align*}$

Así $a^{–1} \in H$.

Por lo tanto $H \leq G$.

$\blacksquare$

Caracterización de subgrupos finitos

Ya teniendo la definición de subgrupo, podemos considerar sólo subconjuntos finitos de un grupo $G$. En este caso basta pedir sólo dos condiciones al subconjunto para que sea un subgrupo: que sea no vacío y que sea cerrado bajo la operación.

Proposición. Sea $G$ un grupo, $H$ un subconjunto finito de $G$, no vacío. $H$ es un subgrupo de $G$ si y sólo si $ab \in H \quad \forall a,b \in H$.

Demostración. Sea $G$ un grupo. Consideremos $H$ un subconjunto finito no vacío de $G$.

$|\Rightarrow)$ Supongamos que $H\leq G$, entonces se cumple la definición de subgrupo. En particular se cumple el inciso 2, es decir, el producto en $H$ es cerrado.

$\Leftarrow|)$ Supongamos que el producto en $H$ es cerrado.
Como $H\neq \emptyset$ consideremos $h \in H$.

Como el producto de $H$ es cerrado, tenemos que $h^n \in H$ para toda $n \in \z^+$. Entonces los elementos de la lista: $h, h^2, h^3, \cdots$ están en $H$, y como $H$ es finito debe haber repeticiones.

Sean $l, m \in \z^+$ con $l < m$ tales que $h^l = h^m$. Como $h^l \in G$ consideremos su inverso $h^{-l} \in G$. Multiplicando por $h^{-l}$ tenemos que

$h^m h^{-l} = h^l h^{-l} = e_G$

Por las leyes de los exponentes

$h^{m-l} = e_G\quad$ con $\; m-l \in \z^+$

Recordemos que $h^n \in H$ para toda $n \in \z^+$, entonces $e_G \in H$.
Además, $h h^{m-l-1} = e_G$. Entonces tenemos dos casos.
Si $m-l-1 = 0$, entonces $h=e_G\in H$ y $h$ es su propio inverso.
Si $m-l-1\in \z^+$, entonces $h^{m-l-1} \in H$, y como $h h^{m-l-1} = e_G$, entonces $h^{m-l-1}$ es el inverso de $H$.

Así $H$ es cerrado bajo inversos y por lo tanto $H$ es un subgrupo de $G$.

Tarea moral

  1. Demuestra que el ejemplo 2 de la definición de subgrupo efectivamente es un subrupo de $\cS_X$.
  2. Para que un subconjunto $H$ de un grupo $G$ sea un subgrupo ¿es necesario pedir que $H$ tenga al neutro o se puede deducir de la condición de cerradura bajo producto y de la cerradura de los inversos?
  3. Demuestra la observación 1.
  4. Prueba o da un contraejemplo: un subconjunto $H$ de un grupo $G$ es un subgrupo si y sólo si $H$ es no vacío y para cualesquiera dos elementos $a,b \in H$ se tiene que $ab \in H$.
  5. De acuerdo las definiciones en los ejemplos importantes de matrices, prueba que
    • $SL(2, \r) \leq GL(2,\r)$
    • $GL(2, \mathbb{Q}) \leq GL(2,\r)$
  6. Investiga lo que es el diagrama reticular o diagrama de Hasse de los subgrupos de un grupo.

Más adelante…

En la siguiente entrada seguiremos profundizando en los subgrupos. Especialmente analizaremos cuántas veces podemos multiplicar un elemento por sí mismo sin que se repita el resultado. En el caso en que se trate de un subgrupo finito el hecho de que existan repeticiones en las potencias de un elemento se puede justificar con los argumentos que se dieron en la prueba de la última proposición que vimos.

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Álgebra Moderna I: Definición de Grupos

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

Introducción

Ahora sí, comenzaremos con el tema de este curso. Después de estudiar las operaciones binarias por fin veremos para qué nos sirven. Los grupos son una estructura algebraica. Están constituidos por dos partes, un conjunto y una operación ¿Puedes imaginarte de qué tipo de operación estamos hablando?

Para motivarlo, veamos cómo resolvemos esta ecuación:

\begin{align*}
x+8 & = 5\\
(x + 8) + (-8) &= 5 + (-8)\\
x + 0 &= -3\\
x &= -3
\end{align*}

Al resolver la ecuación, formalmente estamos usando las siguientes propiedades:

  • Asociatividad
  • Inverso aditivo
  • Neutro

En ese mismo orden.

En esta entrada definiremos formalmente a los grupos y daremos muchos ejemplos para que te empapes de la definición. Revisaremos los ejemplos que vimos en entradas anteriores y determinaremos cuáles son un grupo y cuáles no.

¿Qué es un grupo?

Definición. Sea $G$ un conjunto con una operación binaria $*$. Decimos que $(G,*)$ es un grupo si

  1. La operación $*$ es asociativa, es decir, $(a * b)*c = a*(b*c) \quad \forall a,b,c \in G$
  2. Existe $e \in G$ tal que $e*a = a*e = a \quad \forall a \in G$.
    A $e$ se le llama neutro en $G$.
  3. Para toda $a \in G$ existe $\tilde{a} \in G$ tal que $a*\tilde{a} = \tilde{a}*a=e$.
    En este caso, $\tilde{a}$ se llama inverso de a.

Si además * es conmutativa, es decir $a*b = b*a \quad \forall a,b \in G$, decimos que $(G,*)$ es un grupo abeliano.

Nota. Sea $G$ conjunto con una operación binaria $*$:

  • Si $G \neq \emptyset$, $(G,*)$ se llama magma.
  • Si $G\neq \emptyset$ y se cumple 1, $(G,*)$ se llama semigrupo.
  • Si se cumplen 1 y 2, $(G,*)$ se llama monoide.

Repaso de ejemplos anteriores

Veamos de nuevo algunos ejemplos de las entradas anteriores y comprobemos si cumplen con la definición de grupo.

  • $G : = \z^+$, $a*b = \text{máx}\{a,b\}$.
    • En la entrada anterior vimos que $*$ es asociativa y conmutativa.
    • $1$ es el neutro.
      Demostración. $1*a = a*1 = \text{máx}\{1,a\} = a \quad \forall a \in \z^+$. $\blacksquare$
    • $2$ no tiene inverso.
      Demostración. $2*a = \text{máx}\{2,a\} \geq 2 \quad \forall a \in \z^+$, por lo que $2 * a \neq 1 \quad a \in \z^+$.

$\therefore (\z^+,*)$ NO es un grupo. $\blacksquare$

  • $G:= \z^+$, $a*b = a$.
    • No tiene neutro, si existiera $e \in \z^+$ neutro, entonces para toda $a\in\z^+$, por la definción de la operación $e*a = e$, pero la definición de neutro requiere que $e*a = a$. Entonces, esto implica que $e = a$ y como esto no es necesariamente cierto, pues $a$ es un entero positivo cualquiera, obtenemos una contradicción.

$\therefore (\z^+,*)$ NO es un grupo. $\blacksquare$

  • $(\cM_{2\times 2}(\z), +)$ es un grupo abeliano, la demostración queda como ejercicio.
  • $(\{ f \; | \; f:\r \to \r\}, \circ)$ no es un grupo, pues aunque $\mathrm{id}_{\r}$ es neutro, no todo elemento tiene inverso, como se ve en Álgebra Superior I.
  • $(S_3, \circ)$ es un grupo no abeliano. Generalizaremos este ejemplo más adelante y le llameremos grupo simétrico.
  • $\cS = \{2,4,6\}$ con la operación
$*$$2$$4$$6$
$2$$2$$4$$6$
$4$$4$$4$$6$
$6$$6$$6$$6$

Si observamos la tabla, podemos concluir que:

  • $2$ es neutro.
  • $4$ y $6$ no tienen inversos.

Por lo tanto, NO es un grupo.

$\blacksquare$

  • $\cS = \{2,4,6\}$ con la operación
$*$$2$$4$$6$
$2$$2$$2$$2$
$4$$4$$4$$4$
$6$$6$$6$$6$
  • No hay un neutro.

Como no hay neutro, ni siquiera tiene sentido pensar en la existencia de inversos. Por lo tanto, NO es un grupo.

$\blacksquare$

  • $\cS = \{1,-1\}$
$*$$1$$-1$
$1$$1$$-1$
$-1$$-1$$1$
  • El $1$ es el neutro.
  • La operación es asociativa.
  • $1$, $-1$ son sus propios inversos.
  • Además, la operación conmuta, porque la operación es el producto usual.

Por lo tanto es un grupo abeliano.

$\blacksquare$

  • $(\z, +)$ es un grupo.
  • Sea $K$ un campo y $K^* = K \setminus \{0_K\}$. Si consideramos $(K^*, \cdot)$ tenemos un grupo abeliano. Le quitamos el $0_K$ pues es el único número que no tiene inverso multiplicativo.
  • $\mathbb{S}’ = \{z \in \mathbb{C} \; |\; |z|= 1\}$. Es decir, los complejos con norma igual a $1$. Es un grupo abeliano con el producto.
Representación geométrica del conjunto.
  • Dentro de los complejos podemos considerar $$\Gamma_n = \left\{ \xi^k \; | \; 0 \leq k < n \right\},$$ con $\xi = e^{\frac{2\pi i}{n}}$. Geométricamente corresponden a los vértices de un polígono regular de $n$ lados y algebraicamente son las raíces $n$-ésimas de la unidad. Forman un grupo abeliano con el producto.
Representación geográfica del conjunto cuando $n= 6$.

Ejemplos importantes de matrices

Los siguientes son ejemplos de algunos grupos importantes. Recuérdalos porque son ejemplos que serán recurrentes en futuras entradas. Recuerda que no todas las matrices tienen inverso multiplicativo y que el producto de matrices no es conmutativo. Para refrescar tu memoria, puedes consultar las entradas de matrices inversas y operación de matrices.

  1. $$GL(n,\r) = \{A \in \cM_{n\times n}(\r) \;|\; \det A \neq 0\},$$ con el producto usual es un grupo no abeliano. Este par ordenado $(GL(n,r), \cdot)$ es conocido como el grupo lineal general.
  2. $$SL(n,\r) = \{A \in \cM_{n\times n}(\r) \;|\; \det A = 1\},$$ con el producto usual es un grupo no abeliano. Este es el grupo lineal especial.
  3. $$SO(n,\r) = \{A \in \cM_{n\times n}(\r) \; | \; AA^t = I_n, \; \det A = 1\},$$ con el producto usual es un grupo no abeliano. A éste se le conoce como grupo ortogonal especial.
  4. $$O(n, \r) = \{A \in \cM_{n\times n}(\r) \; |\; AA^t = I_n\},$$ con el producto usual es un grupo no abeliano. Este es conocido como el grupo ortogonal.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Determina, en cada uno de los siguientes casos, si el sistema descrito es grupo o no. En caso negativo, señala cuál o cuáles de los axiomas de grupo no se verifican. En caso afirmativo demuestra que es un grupo:
    • $G = \r \setminus \{-1\}$, $a*b := a+b+ab$.
    • $G = \r^*$, $a*b = |a|b$.
    • $G = \{r \in \mathbb{Q} \;|r\text{ se puede expresar como }\; r = \frac{p}{q} \text{ con } (p,q)= 1 \text{ y } q \text{ impar}\}$, $a*b = a+b$ (la adición usual).
    • Sea $X$ un conjunto. Considera $G = \mathcal{P}(X)$ el conjunto potencia de $X$ con la operación binaria $A \triangle B = (A \cup B)\setminus (A \cap B)$ para todo $A,B \in \mathcal{P}(X)$.
  2. Demuestra la siguientes afirmaciones referentes a grupos, dadas en los ejemplos anteriores:
    • $(\cM_{2\times 2}(\z), +)$ es un grupo abeliano.
    • $(S_3, \circ)$ es un grupo no abeliano.
    • $(\z, +)$ es un grupo.
    • $(K^*, \cdot)$ con $K$ un campo, es un grupo abeliano.
    • $(\Gamma_n, \cdot)$ es un grupo abeliano, con $\cdot$ el producto.
  3. Demuestrá por qué los ejemplos importantes de matrices son grupos no abelianos.

Más adelante…

Después de tantas definiciones y ejemplos, comenzaremos a ver más teoremas y demostraciones. En la siguiente entrada profundizaremos en las propiedades de grupos derivadas de su definición. Además, veremos un teorema conocido como la «Definición débil de Grupo».

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