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Teoría de los Conjuntos I: Repaso sobre el lenguaje de la Teoría de los Conjuntos

Introducción

Se entiende por un conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente.

Georg Cantor

Para iniciar tu aventura en la Teoría de Conjuntos es importante hacer una breve introducción al lenguaje que utiliza está misma. Profundizaremos en la definición que dio Cantor sobre un conjunto. Podremos entender que es una colección de objetos a los que podemos describir con una propiedad, más aún, está propiedad no debe ser ambigua pues es necesario poder decidir si un elemento forma parte o no del conjunto.

Un poco de lógica

Antes de navegar por la teoría de conjuntos, haremos una pequeña pero importante parada por otra de las ramas de la matemática: la lógica. Dado que en las matemáticas siempre estamos buscando la verdad de las cosas, necesitamos definir cuando un enunciado es verdadero o falso.

Definición: Una proposición es un enunciado al que podemos asignarle un único valor de verdad, ya sea verdadero o falso. A las proposiciones las denotaremos con letras: $P_1, P_2,\cdots P_n, P, Q, …, p, q, p_1, p_2, …, p_n$.

Ejemplos:

Si «$P_1= 2$ es un número par», diremos que la proposición $P_1$ es verdadera pues sabemos que $2$ en efecto es un número par.

Si «$P_2= 4$ es primo», diremos que $P_2$ es una proposición falsa.

$\square$

Una vez definido el concepto de proposición vamos a hablar acerca de conectivos lógicos y sus tablas de verdad.

Conectivos lógicos

Negación: Sea $P$ una proposición. Definimos la negación de $P$ como el enunciado: «no es cierto $P$» y lo denotamos como $\neg P$.

Dado que $P$ solo puede tomar un valor de verdad: verdadero o falso. Si $P$ es verdadero, entonces $\neg P$ es falso. Si $P$ es falso entonces $\neg P$ es verdadero. Veamos su tabla de verdad:

$P$$\neg P$
VF
FV

A continuación definiremos conectivos para dos o más proposiciones las cuales se llamaran compuestas. Si la tabla de verdad de una proposición compuesta tiene solo valores verdaderos diremos que se trata de una tautología.

Conjunción: Sean $P$ y $Q$ proposiciones. Definimos la conjunción de $P$ y $Q$ como el enunciado: «$P$ y $Q$» y lo denotamos por $P\land Q$. En este caso, $P\land Q$ es verdadero si y solo si tanto $P$ como $Q$ son verdaderos, veamos su tabla de verdad:

$P$$Q$$P\land Q$
VVV
VFF
FVF
FFF

Luego, la negación de la conjunción $\neg(P\land Q)$ es equivalente a $\neg P \vee \neg Q$ pues $\neg(P \land Q)\leftrightarrow (\neg P\vee \neg Q)$ es una tautología y lo denotamos como sigue: $\neg(P \land Q)\equiv (\neg P\vee \neg Q)$. Observemos la tabla de verdad:

$P$$Q$$\neg(P\land Q)$$\neg P \vee \neg Q $
VVFVF
VFVVV
FVVVV
FFVVV

Disyunción: Sean $P$ y $Q$ proposiciones. Definimos a la disyunción de $P$ con $Q$ como el enunciado: «$P$ o $Q$» y lo denotamos por $P\vee Q$. En este caso, $P\vee Q$ es verdadero si y solo si al menos una de las proposiciones $P$ o $Q$ es verdadera, veamos su tabla de verdad:

$P$$Q$$P\vee Q$
VVV
VFV
FFV
FFF

La negación de la disyunción $\neg(P\vee Q)$ es equivalente a $\neg P \land \neg Q$. Observemos la tabla de verdad:

$P$$Q$$\neg(P\vee Q)$$\leftrightarrow$$\neg P\land \neg Q$
VVFVF
VFFVF
FVFVF
FFVVV

Implicación: Sean $P$ y $Q$ proposiciones. Definimos a la implicación como el enunciado «$P$ implica $Q$» y lo denotamos por $P\rightarrow Q$. En este caso, «$P\rightarrow Q$» es verdadero si y solo si tanto $P$ como $Q$ son verdaderos, o bien $P$ es falso. Veamos su tabla de verdad:

$P$$Q$$P\rightarrow Q$
VVV
VFF
FVV
FFV

Podemos verificar que $\neg(P\rightarrow Q)\equiv (P\land \neg Q)$.

Bicondicional: Sean $P$ y $Q$ proposiciones. Definimos a la bicondicional de $P$ y $Q$ como el enunciado: «$P$ si y sólo si $Q$» y lo denotamos por «$P\leftrightarrow Q$». En este caso, $P \leftrightarrow Q$ es verdadero si y solo si $P$ y $Q$ tienen el mismo valor de verdad. Veamos su tabla de verdad:

$P$$Q$$P \leftrightarrow Q$
VVV
VFF
FVF
FFV

Podemos verificar que $\neg(P\leftrightarrow Q)\equiv (P\land \neg Q)\vee(Q\land \neg P)$.

Cuantificador universal y existencial

Ahora que hemos recordado los conectivos lógicos y sus tablas de verdad, podemos familiarizarnos con cuantificadores y sus negaciones. Para ello definamos primero lo siguiente:

Definición: Un predicado es un enunciado con una variable $x$ tal que al sustituirla se obtiene un proposición. La denotamos como $P(x)$.

Ejemplos:

  1. $P(x)= x+2=5$. Es claro que $x+2=5$ no es una proposición pues si no sabemos el valor de $x$ no podremos decir cual es su valor de verdad, sin embargo, que pasaría si a $x$ le damos el valor de $3$, entonces $x+2=3+2=5$ es verdadero y por lo tanto, una proposición.
  2. Si $Q(x)=x$ es par, sólo si definimos que valores toma $x$ sabremos si $Q(x)$ es verdadero o falso.

$\square$

Ahora que hemos definido que es un predicado, podemos hablar acerca de los cuantificadores: universal y existencial.

Definición: Sea $P(x)$ un predicado, definimos «$\exists x P(x)$» como el cuantificador existencial y se interpreta como «existe x tal que $P(x)$». La manera en que vamos a negar $\exists x P(x)$» es la siguiente: $\neg(\exists x P(x))\equiv \forall x(\neg(P(x))$».

Definición: Sea $P(x)$ un predicado, definimos «$\forall x P(x)$» como el cuantificador universal y se interpreta como «para cualquier x, $P(x)$». La manera en que vamos a negar $\forall x P(x)$» es la siguiente: $\neg(\forall x P(x))\equiv \exists x(\neg(P(x))$».

Ahora que tenemos las definiciones necesarias de lógica, comenzaremos a recordar la noción de pertenecer a un conjunto.

Elementos y pertenencia

Si tenemos que $A$ es un conjunto, para decir que un objeto es parte del conjunto utilizaremos la notación $x\in A$, que puede leerse como «$x$ es elemento de $A$» o «$x$ pertenece a $A$».

Por ejemplo, si $B=\set{1,2,3}$ podemos decir lo siguiente:

  • $1\in B$
  • $2\in B$
  • $3\in B$

Esto porque tanto $1,2$ y $3$ están dentro del conjunto $B$. Así mismo podemos decidir si un objeto forma parte de $B$ o no, si quisiera saber si $5\in B$ la respuesta que daremos será que no, la manera en que vamos a denotar la no pertenencia es la siguiente: $5\notin B$. En general, si un elemento no forma parte de un conjunto $A$ diremos que $x\notin A$ ($x$ no pertenece a $A$).

Contención e igualdad

Ahora que ya sabemos diferenciar cuando un elemento pertenece o no a un conjunto, podemos ver si un conjunto es subconjunto de otro. Sean $A$ y $B$ conjuntos, decimos que $A\subseteq B$ si y sólo si $\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)$. De modo que tendremos que $A\not\subseteq B$ si y sólo si $\exists x(x\in A$ y $x\notin B)$.

Ejemplo:

Sean $A=\set{a,b,c,d}$ y $B=\set{a,b,c,d,e,f}$. Decimos que $A\subseteq B$ pues cada elemento de $A$ es elemento de $B$. Sin embargo, $B$ no es subconjunto de $A$ pues podemos exhibir un elemento que está en $B$ pero no está en $A$, el elemento que nos funciona en este ejemplo es $e$ ya que $e\in B$ y $e\notin A$. Seguro estarás notando que existe más de un elemento ($f$ también funciona) que hace que $B\not\subseteq A$, pero basta con exhibir uno solo pues de este modo se satisface la definición.

Tarea Moral

  • Demuestra que si $p$ y $q$ son proposiciones, entonces $p\rightarrow q$ es equivalente a $\neg q\rightarrow \neg p$.
  • Demuestra que $\neg(p\rightarrow q)\equiv (p\land \neg q)$ y $\neg(p\leftrightarrow q)\equiv [(p\land \neg q)\vee (q\land \neg p )]$
  • Sea $B=\set{a,b,c,\set{a,b}}. Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) $a\in B$,

b) $\set{a,b} \in B$,

c) $\set{b,c} \in B$.

  • Si $A= \set{1,2,3}$, di quienes son los elementos de $A$ y además da todos los subconjuntos de $A$.
  • Demuestra que si $A$ es un conjunto cualquiera, entonces $A\subseteq A$.

Más adelante…

En la siguiente entrada podrás encontrar contenido referente a la definición de conjunto y los primeros axiomas de Zermelo-Fraenkel para la Teoría de los Conjuntos, ahí tendrás que tener algunos conocimientos acerca de lógica para entender la notación que usaremos en adelante. Sin embargo ya hemos sentado las bases necesarios en esta entrada.

Otros enlaces:

Los siguientes enlaces te servirán para revisar con mejor detalle el tema

Álgebra Superior I: Condicionales y dobles condicionales

Introducción

Hemos hablado en las últimas entradas de tres conectores muy importantes: la negación, la conjunción y la disyunción. Sin embargo, como recordarás en la introducción al tema, mencionamos más de tres conectores. Ha llegado el momento en que veamos a los dos conectores restantes: la implicación y la doble implicación.

Pensar en consecuencias

Para introducir mejor la implicación, pensemos en qué significa la palabra sin algún contexto matemático. ¿Qué se te viene a la mente cuando oyes la palabra «implicación»? Quizá se te venga a la mente «consecuencia», que a su vez significa cosas o acciones que derivan otras más.

Un ejemplo es el siguiente: ¿qué implicación tiene que se acabe la pila de un celular? Pues en principio se apaga el teléfono. Entonces podríamos decir «Si se acaba la pila del celular entonces se apagará». Otro ejemplo: ¿qué consecuencias tiene llegar tarde a una cita médica? Pues muy probablemente se cancelará. Esto mismo lo podemos decir así: «Si llego tarde a una cita médica entonces la cancelarán». Un último ejemplo sería el siguiente: «Si sube el nivel de dióxido de carbono en la atmósfera entonces los polos se derretirán».

Todas estas oraciones son ejemplos de condicionales, y para entender su estructura, volvamos al primer ejemplo. Pensemos en las proposiciones
\begin{align*}
P &= \text{El celular se queda sin pila.}\\
Q &= \text{El celular se apaga.}
\end{align*}

Podemos reescribir la oración «Si se acaba la pila del celular entonces se apagará» como «Si pasa $P$ entonces pasa $Q$». Observa que siempre que pase $P$, entonces pasará $Q$. Esto lo escribiremos como $P \Rightarrow Q$ y se lee «$P$ implica $Q$». Lo que estamos diciendo con esta oración es que si el valor de verdad de $P$ es verdadero entonces el valor de verdad de $Q$ es verdadero.

Observa que si al celular no se le acaba la pila, entonces no tendría porqué apagarse, entonces si $P$ es falso, $Q$ puede ser falso y no hay problema. También puede pasar que apagues el celular, pero no necesariamente sea porque se le acabó la pila, entonces si $P$ es falso, $Q$ también puede ser verdadero y no hay algún problema con ello. El único problema sería decir que se le acabó la pila al celular y sigue prendido, eso sería algo que no puede suceder, porque sabemos que «Si se acaba la pila del celular entonces se apagará».

Todo esto lo resumimos en la tabla de verdad de la siguiente sección.

Tabla de verdad de la implicación

$P$$Q$$P \Rightarrow Q$
$0$$0$$1$ 
$0$$1$$1$ 
$1$$0$ $0$
$1$$1$ $1$

Quizá sigas teniendo dificultades para entender porqué si $P$ es falso, $Q$ puede tener cualquier valor y seguir haciendo la expresión verdadera. Para ello, piensa en lo siguiente: lo que dice la implicación es que siempre que pase la primera condición $P$, también llamada hipótesis, ocurrirá $Q$, también conocida como tesis. Puede ser que se cumpla $Q$ y no se cumpla $P$, pero eso no contradice lo que dice la implicación, o puede que igual no se cumpla ni $Q$ ni $P$. Lo único que nos dice la implicación es que siempre que se cumpla $P$ va a tener como consecuencia que se cumpla $Q$. Entonces el único caso en donde desobedecemos a la implicación (donde es falsa), es cuando pasa $P$ y no pasa $Q$, que corresponde al penúltimo renglón de la tabla de verdad.

Condiciones suficientes y necesarias

El siguiente y último conector que vamos a ver es la doble implicación. A diferencia de la implicación, asumimos que para que una proposición sea verdadera, es necesaria que la otra también y viceversa. Para esto, refiramos a la doble implicación como una equivalencia lógica $P \Leftrightarrow Q = (P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)$. En otras palabras decimos que hay una doble implicación entre $P$ y $Q$ si $P$ implica $Q$ y además $Q$ implica $P$.

Además de este nombre, algunas formas de referirse a la doble implicación que encontrarás serán:

  • «$P$ es equivalente a $Q$»
  • «Una condición necesaria y suficiente para $Q$ es $P$»
  • «$P$ si y sólo si $Q$»

Esta última se utiliza mucho en enunciados matemáticos como proposiciones y teoremas.

Tabla de verdad de la doble implicación

$P$$Q$$P \Rightarrow Q$$Q \Rightarrow P$$(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)$$P\Leftrightarrow Q$
$0$$0$ $1$$1$$1$  $1$ 
$0$$1$$1$ $0$ $0$ $0$ 
$1$$0$  $0$$1$ $0$ $0$
$1$$1$  $1$$1$ $1$   $1$

Nota que la doble implicación es verdad cuando los valores de $P$ y $Q$ son ambos verdaderos o ambos falsos. Esto quiere decir que en este caso si alguno es verdadero, entonces los dos son verdaderos, mientras que si uno es falso, los dos lo serán.

La implicación en términos de otros conectores

El hecho de que hayamos aprendido los primeros tres conectores (negación, conjunción y disyunción) antes que estos no es coincidencia. Resulta que la implicación y la doble implicación se «pueden construir» a partir de los primeros tres. Con esto nos referimos a que la implicación es equivalente a una expresión hecha únicamente por los anteriores.

Para ello, primero recuerda cómo construimos la implicación. La única forma en que la implicación $P \Rightarrow Q$ sea falsa es que $P$ sea verdadero y $Q$ falso. Entonces si $P$ es falso, no importa qué valor tome $Q$. De esta forma, cada vez que $\neg P$ sea verdad, la implicación también será verdadera. Pero si $P$ es verdadero, entonces $Q$ debe serlo también. Eso lo podemos expresar como $\neg P \lor Q$ que quiere decir «$P$ no pasa o $Q$ es verdadero» y coincide con lo que acabamos de decir. Para convencerte de eso, revisa con cuidado la siguiente tabla.

$P$$Q$$\neg P$ $\neg P \lor Q$$P \Rightarrow Q$
$0$$0$ $1$$1$  $1$ 
$0$$1$$1$  $1$ $1$ 
$1$$0$  $0$ $0$ $0$
$1$$1$  $0$ $1$   $1$

Entonces $\neg P \lor Q = P \Rightarrow Q$. Entonces cada vez que digamos que «Una cosa implica la otra», podemos pensarlo como «La negación de la primera cosa o la otra». Siempre es útil regresar a ejemplos concretos. Piensa cuidadosamente por qué es lo mismo decir «si llueve el piso se moja» y decir «no llueve o el piso está seco».

La contrapositiva de una implicación

Una propiedad que más adelante nos servirá sobre la implicación es el hecho de que en ocasiones es más sencillo trabajar con las negaciones de las proposiciones que con las proposiciones normales. No te preocupes si no entiendes a qué nos referimos con esto, más adelante lo veremos con más calma.

Un ejemplo de esto es verificar la siguiente proposición: «Si un número al cuadrado es par, entonces el número es par». A primera vista no es tan fácil verificar directamente esta proposición que es de la forma $P \Rightarrow Q$. Resulta que la forma en que se comprueba esto es con una equivalencia de la implicación. Para llegar a esta equivalencia, como primer paso, notaremos que podemos poner a la implicación en términos de la negación. Para esto, vamos a usar el resultado anterior para encontrar lo que buscamos.

Recordemos que $\neg P \lor Q = P \Rightarrow Q$, y la conjunción es conmutativa, es decir $\neg P \lor Q = Q \lor \neg P$.

¿Podemos ver esto de otra forma?

Pues resulta que sí. Veamos a $Q$ como la negación de la negación de $Q$, dicho de otra forma, $Q = \neg \neg Q$. Esto último nos ayuda a ver la equivalencia de otra forma: $Q \lor \neg P =\neg \neg Q \lor \neg P$. El siguiente paso es pensar a $\neg Q$ como un término por sí mismo y a $\neg P$ como otro término. Dicho de otra forma agrupemos términos para ver la equivalencia de manera distinta: $$Q \lor \neg P =\neg (\neg Q) \lor (\neg P).$$ Ahora, pensemos a $\neg Q$ como una proposición y a $\neg P$ como otra. La expresión está diciendo «La negación de $\neg Q$ una cosa o $\neg P$» ¿Suena familiar? Esto justamente es la equivalencia de la implicación. Dicho de otra manera, fíjate que tenemos una equivalencia:

$$Q \lor \neg P =\neg (\neg Q) \lor (\neg P) = \neg Q \Rightarrow \neg P.$$

Es decir,

$$P \Rightarrow Q = \neg Q \Rightarrow \neg P.$$

Cuando tenemos una implicación de la forma $P\Rightarrow Q$, a la proposición equivalente $\neg Q \Rightarrow \neq P$ le llamamos la contrapositiva.

Regresando al ejemplo inicial de esta sección, la proposición «Si un número al cuadrado es par, entonces el número es par» podemos pensarla como «Si un número es impar entonces su cuadrado es impar», lo cual es mucho más fácil de verificar. En entradas posteriores retomaremos esta forma de pensar. Por lo mientras es suficiente que entiendas que la implicación es equivalente a su contrapositiva.

El caso en donde todo es verdadero

Antes de terminar esta entrada, introduciremos un concepto que resultará útil cuando llegue el momento de estudiar inferencias. Para ello, observa la tabla de verdad de la proposición $((Q \Rightarrow P) \land Q) \Rightarrow P$:

$P$$Q$$Q \Rightarrow P$$Q \Rightarrow P \land Q$$(Q \Rightarrow P \land Q) \Rightarrow P$
$0$$0$ 1 0
$0$$1$ 0 0 1
$1$$0$ 1 0 1
$1$$1$ 1 1

¿Notas algo peculiar? Toda la columna de nuestra regla de inferencia es verdadera. Esto quiere decir que no importa qué valores tomen nuestras premisas, siempre es verdadera la expresión. A esto en matemáticas le llamamos una tautología.

Sucede algo que une aún más los conceptos de tautología y doble condicional. ¿Recuerdas que las proposiciones $\neg(P \land Q) = \neg P \lor \neg Q$ son equivalentes? Pues veamos ahora sus tablas de verdad:

$P$$Q$$P \land Q$$\neg (P \land Q)$$\neg P$$\neg Q$$\neg P \lor \neg Q$$\neg (P \land Q)\Leftrightarrow (\neg P \lor \neg Q)$
$0$$0$ 01 111
$0$$1$ 01 101 1
$1$$0$ 01 011 1
$1$$1$ 10000 1

Hemos agregado una última columna, la correspondiente a $\neg (P \land Q))\Leftrightarrow (\neg P \lor \neg Q)$. ¡Es una tautología! Esto sucede siempre: dos proposiciones o expresiones $P, Q$ son equivalentes siempre que $P \Leftrightarrow Q$ sea una tautología.

Tarea moral

  1. Escribe las siguientes frases en lógica proposicional:
    • Si hoy es lunes, entonces mañana será viernes.
    • El caos implica el orden.
    • Para que crezcan las plantas, tienes que regarlas.
    • Hoy es lunes si mañana es martes y mañana es martes si hoy es lunes.
    • Hoy es lunes si y sólo si mañana es martes.
  2. Verifica que siempre «Una cosa siempre se implica a sí misma», es decir, verifica que si $P$ es una proposición, entonces $P \Rightarrow P$ siempre es verdadera.
  3. Haz la tabla de verdad de la implicación $P\Rightarrow Q$ y de su contrapositiva $\neg Q \Rightarrow \neg P$ para convencerte de que en verdad son equivalentes.
  4. ¿Cómo verificarías que  $P \Leftrightarrow Q = (\neg Q \lor P)\land(\neg P \lor Q)$? Recuerda que la doble implicación $P \Leftrightarrow Q$ es equivalente a $(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)$.
  5. Verifica que la doble condicional es conmutativa, es decir $P \Leftrightarrow Q = Q \Leftrightarrow P $. ¿La condicional es conmutativa?

Más adelante…

Recuerda el ejemplo que mencionamos anteriormente «Un número al cuadrado es par si el número es par», no especificamos de qué número se trataba, sin embargo hay una infinidad de números los cuales podemos tomar como ejemplo para verificar la propiedad. Entonces podemos decir «$1^2$ es par si $1$ es par» o «$38^2$ es par si $38$ es par», o en general podemos decir «$x^2$ es par si $x$ es par». ¿Pero quién es $x$? ¿Qué valores puede tomar? En la siguiente entrada veremos algo conocido como cuantificadores. Estos ampliarán el poder de las proposiciones introduciendo variables dentro de las proposiciones. Con ello, se puede cambiar el objeto al que se refiere una proposición y, dependiendo de esto, su valor de verdad.

Entradas relacionadas

Álgebra Superior I: Problemas de proposiciones y conectores

Introducción

En esta entrada, presentaremos únicamente problemas resueltos de proposiciones y conectores. Con ayuda de ellos podrás poner en práctica lo visto con anterioridad y entender mejor las propiedades de los conceptos vistos.

Problemas resueltos

Problema 1. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones?

  • ¿Qué día es hoy?
  • Toda función derivable es continua.
  • ¿El día de hoy lloverá?
  • ¿Cuántos números primos existen?
  • ¡Que gusto verte!
  • Todo espacio vectorial tiene dimensión finita.
  • El libro habla sobre historia universal.

Solución. Veamos cada oración con cuidado.

¿Qué día es hoy?

No es proposición. Esta oración es una pregunta, por lo cuál no puede tener asignado algún valor de verdad, pues no denota información que puede ser cierta o falsa (ojo: al responder la pregunta con por ejemplo «Hoy es lunes» esta respuesta tiene valor de verdad, pues podríamos decir que es lunes o no, pero en sí, la pregunta no tiene un valor de verdad por lo que no es proposición).

Toda función derivable es continua.

es proposición. Independientemente de que sepas qué es una función derivable o qué es una función continua, sabes que esta solo tiene dos opciones: o es cierta o no lo es. Esto es lo que le da el atributo de ser proposición (además es proposición matemática), pues se le puede asignar un valor de verdad.

¿El día de hoy lloverá?

No es proposición. Nuevamente como el primer ejemplo, la pregunta no carga consigo algún valor de verdad, puesto que la pregunta no está afirmando o negando algo, sino está preguntando algo sin decir que será de una u otra manera. Otro caso sería si la oración fuera «El día de hoy lloverá» (¿Notas que ya no tiene signos de interrogación?) que sí es una proposición.

¿Cuántos números primos existen?

No es una proposición. Esto debido a que es una pregunta que no afirma o niega algún hecho.

¡Que gusto verte!

No es una proposición. Esta es una expresión, y no se le puede asignar un valor de verdad. Este tipo de oraciones que denotan expresiones no son proposiciones.

Todo espacio vectorial tiene dimensión finita.

es una proposición. Esta es una proposición matemática la cual puede ser verdadera o falsa, pues afirma que todo espacio vectorial (no es necesario que sepas que es un espacio vectorial) cumple la propiedad de tener dimensión finita (tampoco es necesario que sepas que significa esto). Entonces podemos decir «Es cierto que todo espacio vectorial tiene dimensión finita» o «Es falso que todo espacio vectorial tiene dimensión finita».

El libro habla sobre historia universal.

es una proposición. Observa que para decidir si es verdad o no deberíamos saber de qué libro estamos hablando, pero independientemente de eso, se puede decir que la oración es verdadera o falsa, es decir, se le puede asignar un valor de verdad.

$\square$

Problema 2. ¿Son equivalentes $\neg Q$ y $(\neg P \land Q) \lor \neg Q)$?

Solución. No lo son, para ello, nota que no coinciden en su tabla de verdad. Estamos indicando en verde las columnas de las expresiones que nos interesan.

$P$$Q$$\neg P$ $\neg Q$$\neg P \land Q$$(\neg P \land Q) \lor \neg Q)$
$0$$0$ $1$$1$ $0$  $1$ 
$0$$1$$1$  $0$  $1$ $1$ 
$1$$0$  $0$ $1$  $0$ $1$
$1$$1$  $0$ $0$  $0$   $0$

Esto quiere decir que si $P$ es falso y $Q$ es verdadero,  $\neg Q$ es falso mientras que $(\neg P \land Q) \lor \neg Q)$ es verdadero, por lo que las expresiones no son equivalentes.

$\square$

Problema 3. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a $\neg (P \lor (Q \land R))$?

  • $ P \lor (\neg Q \lor \neg R)$
  • $\neg P \land (\neg Q \lor \neg R)$
  • $\neg P \land (\neg Q \land \neg R)$

Para la que es equivalente, justifica por qué lo es. Para las que no son equivalentes, encuentra valores de verdad de $P$, $Q$ y $R$ que haga que las expresiones sean diferentes.

Solución. Una técnica que podríamos usar son las tablas de verdad, sin embargo sería una tabla grande, pues en principio hay 8 combinaciones para los valores de verdad de $P,Q$ y $R$. Por esta razón, mejor haremos uso de las propiedades de los conectores que ya hemos demostrado.

Primero veamos de qué forma podríamos cambiar la forma en que pensamos a $\neg (P \lor (Q \land R))$. ¿Notas que hay una negación al principio de la proposición? Algo natural sería tratar de «distribuirla», pero recuerda que cuando «distribuimos» la negación, aplicamos las leyes de De Morgan. Entonces,

$$\neg (P \lor (Q \land R)) = \neg P \land \neg(Q \land R) $$

Ahora vamos a fijarnos en $\neg P \land \neg(Q \land R)$. Y vamos a notar que podemos aplicar nuevamente las leyes de De Morgan, ahora para distribuir la negación del segundo paréntesis. Dicho de otra manera,

$$\neg P \land \neg (Q \land R) = \neg P \land (\neg Q \lor \neg R)$$

Nota que para esto, la negación se distribuyó entre $Q$ y $R$. Así, hemos mostrado que

\begin{align*}
\neg (P \lor (Q \land R)) &= \neg P \land \neg(Q \land R), \text{ y que}\\
\neg P \land \neg (Q \land R) &= \neg P \land (\neg Q \lor \neg R).
\end{align*}

Ahora, recordando la propiedad transitiva de la equivalencia, tenemos que

$$\neg (P \lor (Q \land R)) = \neg P \land (\neg Q \lor \neg R)$$

Así, encontramos que la la expresión del inicio es equivalente a la segunda opción. Si quisieras, podrías hacer la tabla de verdad para verificar esto.

Veamos ahora que las otras dos proposiciones no son equivalentes. Para ello, basta encontrar valores de verdad de $P$ y $Q$ para los cuales las expresiones no tengan el mismo valor de verdad.

Primero verificaremos que $ P \lor (\neg Q \lor \neg R)$ no es equivalente a $\neg (P \lor (Q \land R))$. Para ello, nota que $ P \lor (\neg Q \lor \neg R) = P \lor \neg (Q \land R)$ Y esta última es equivalente a $\neg (\neg P \land (Q \land R))$. Ahora nota que si $P$ es verdadero, entonces $\neg (\neg P \land (Q \land R))$ es verdadero, mientras que $\neg (P \lor (Q \land R))$ es falso. Si aún no te queda claro, observa el siguiente renglón de la tabla de verdad:

$P$$Q$$R$$Q \land R$$P \lor (Q \land R)$$\neg (P \lor (Q \land R))$$\neg P$$\neg P \land (Q \land R)$$\neg(\neg P \land (Q \land R))$
$1$$0$$0$$0$$1$$0$$0$$0$$1$

En el párrafo anterior estamos mostrando un caso en donde $P$ es verdadero (observa que en nuestra justificación del párrafo anterior no importa qué valores tienen $Q$ y $R$, pero en este caso observamos la combinación en donde ambos son falsos, eso no afecta el resultado) y las celdas coloreadas (que son aquellas que deseamos comparar) no coinciden. Es decir no pueden ser equivalentes porque existe al menos un caso en donde no coinciden en su tabla de verdad.

De manera similar, para probar que $\neg P \land (\neg Q \land \neg R)$ no es equivalente a $\neg (P \lor (Q \land R))$ daremos un caso en donde no se da la igualdad en las tablas de verdad. Nota que $\neg P \land (\neg Q \land \neg R) = \neg P \land \neg ( Q \lor R)$ y a su vez, $\neg P \land \neg ( Q \lor R) = \neg (P \lor (Q \lor R))$. Ahora veamos el caso particular en la siguienta tabla de verdad:

$P$$Q$$R$$Q \land R$$P \lor (Q \land R)$$\neg (P \lor (Q \land R))$$Q \lor R$$ P \lor (Q \lor R)$$ \neg (P \lor (Q \lor R))$
$0$$1$$0$$0$$0$$1$$1$$1$$0$

Esto termina el problema.

$\square$

¿Cómo le hicimos en la segunda parte para «sacar de la manga» los valores de verdad de $P$, $Q$ y $R$ que nos ayudarían a verificar que las proposiciones no eran equivalentes? La intuición fue la siguiente:

Quisiéramos un caso en que no coincidieran los valores, uno que fuera verdadero y otro falso. Veamos cómo se comporta $\neg (P \lor (Q \land R))$. Para que esta no sea equivalente a la segunda proposición, deberíamos pensar que una es verdadera y la otra falsa. Le asignaremos un valor de verdad a la primera proposición, digamos que es verdadera (entonces la segunda proposición sería falsa), y como hay una negación delante entonces $P \lor (Q \land R)$ debería ser falsa. Pon atención que tenemos un $\lor$ adentro de la expresión, el cuál es falso si las dos proposiciones que conectan son falsas, así que piensa en qué necesitan para ser falsas, y date cuenta que requieren las siguientes dos condiciones:

  • $P$ falsa
  • $Q$ o $R$ falsa

A fuerza, $P$ debe ser falsa, así que no le movemos más.

Por otro lado, vamos a ver cómo se comporta $ \neg (P \lor (Q \lor R))$. Recuerda que pensamos en un caso en que no coincidan las proposiciones, y si quedamos en que la primera proposición era verdadera, entonces esta es falsa, lo cual haría a $P \lor (Q \lor R)$ verdadera. Además también dijimos que $P$ es falsa, entonces para que toda la proposición sea verdadera, tendremos que hacer que $Q \lor R$ sea verdadera. Alguna de estas dos es falsa (también era una condición que establecimos para la veracidad de la primera proposición), digamos que $R$ es la falsa, entonces $Q$ es verdadera. De esta manera obtuvimos el ejemplo que hacía las proposiciones diferir en alguna combinación de valores de verdad.

Tarea moral

  1. Completa la tabla de verdad para verificar que $\neg (\neg P \land (Q \land R))$ no es equivalente a $\neg (P \lor (Q \land R))$. Observa cómo en todas los renglones en donde $P$ es verdadero, $\neg (\neg P \land (Q \land R))$ es distinto a $\neg (P \lor (Q \land R))$.
  2. Completa la tabla de verdad de$ \neg (P \lor (Q \lor R))$ junto a $\neg (P \lor (Q \land R))$. ¿Existen otros casos en donde sus valores de verdad sean distintos?

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