Archivo del Autor: Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

Álgebra Moderna I: Permutaciones y Grupo Simétrico

Introducción

La Unidad 2 empieza con algunas definiciones nuevas. Veremos un ejemplo específico de grupo, primero definiremos qué es una permutación y luego, el conjunto de todas las permutaciones, al que llamaremos grupo simétrico junto con la composición. Este grupo es importante porque más adelante descubriremos que los grupos se pueden visualizar como subgrupos de grupos de permutaciones.

Primeras definiciones

Definición. Una permutación de un conjunto $X$ es una función biyectiva de $X$ en $X$.

Notación. El conjunto

\begin{align*}
S_X = \{\sigma: X \to X | \sigma \text{ es biyectiva}\}
\end{align*}

Si $X = \{1,…,n\}$, S_X se denota por $S_n$. Si tomamos $\alpha, \beta \in S_X$ la composición de $\alpha$ seguida de $\beta$ se denota por $\beta\alpha$.

Observación 1. $S_X$ con la composición es un grupo, se llama el Grupo Simétrico.

Observación 2. $|S_n| = n!$

Definición. Sea $\alpha \in S_n$, $i \in \{1,2,…,n\}$.

Decimos que $\alpha$ mueve a $i$ si $\alpha(i) \neq i$, y que $\alpha$ fija a $i$ si $\alpha(i) = i$. El soporte de $\alpha$ es

\begin{align*}
\text{sop }\alpha = \{i \in \{1,\dots, n\}: \alpha(i) \neq i\}.
\end{align*}

Ejemplo

Sea $\alpha \in S_{10}$, definida como

\begin{align*}
\alpha = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
8 & 3 & 1 & 7 & 2 & 6 & 4 & 5 & 9 & 10 \end{pmatrix}
\end{align*}

La matriz es una manera de representar una permutación, la fila de arriba son todos los elementos de $X= \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ y la fila de abajo son la imagen que le corresponde a cada elemento. Es decir, la matriz de $\alpha$ se puede leer como: «$\alpha$ manda al $1$ al $8$», «el $ 2 $ lo manda al $3$», etc. Entonces tenemos que, $\alpha$ mueve a $1,2,3,4,5,7,8$ y fija al $6,9,10$. Así

\begin{align*}
\text{sop } \alpha = \{1,2, 3, 4, 5, 7, 8\}.
\end{align*}

Definición de ciclo

Definición. Sea $\alpha \in S_n$. Decimos que $\alpha$ es un ciclo de longitud $r$ o un $r$ ciclo si existen $i_1, \dots, i_r \in \{1, \dots, n\}$ distintos tales que $\text{sop }\alpha = \{i_1, \dots, i_r\}$ y

\begin{align*}
\alpha(i_t) = \begin{cases}
i_{t+1} & \text{si } t \in \{1, \dots, r-1\} \\
i_1 & \text{si } t = r
\end{cases}
\end{align*}

Figura para ilustrar la definición de un ciclo.
  • Los ciclos de longitud dos se llaman transposiciones. Estos ciclos son muy importantes porque nos permitirán describir a las demás permutaciones.

Notación.

  • Si tenemos una transformación $\alpha$, tal que cada $i_j$ va a $i_{j+1}$ para cada $j \in \{1,…,r-1\}$ y $i_r$ regresa a $i_1$. Esto se denota como $\alpha = (i_1\; i_2 \; \dots \; i_r)$.
  • Además, denotamos como $r = \text{long } \alpha$ a la longitud de $\alpha$.

Ejemplos

  1. $\alpha \in S_8$ con $\alpha = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 1 & 4 & 3 & 5 & 8 & 2 & 7 & 6 \end{pmatrix}$.

\begin{align*}
\alpha &= (2 \; 4 \; 5 \; 8 \; 6) = (4 \; 5 \; 8 \; 6 \; 2) \\
& = (5 \; 8 \; 6 \; 2 \; 4) = (8 \; 6 \; 2 \; 4 \; 5) \\
& = (6 \; 2 \; 4 \; 5 \; 8)
\end{align*}

Representación de $\alpha$.

En este caso, $\alpha$ es un $5-$ciclo y $\text{long }\alpha = 5$.
Observemos que el ciclo se puede comenzar a escribir con cualquier elemento del mismo, siempre y cuando se cumpla lo establecido en la notación.

2. Ahora, consideremos $\beta \in S_8$ como

Representación de $\beta$.

\begin{align*}
\beta =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 1 & 2 & 5 & 4 & 3 & 6 & 7 & 8\end{pmatrix}
\end{align*}
entonces podemos decir que $\beta = (3 \; 5)$, porque a los otros elementos los deja fijos.

Si componemos $\beta$ con el $\alpha$ del ejemplo anterior obtenemos:

\begin{align*}
\alpha\beta &= (2 \; 4 \; 5 \; 8 \; 6) (3 \; 5) = (2 \; 4 \; 5 \; 3 \; 8 \; 6).
\end{align*}

Para verificar qué le hace la composición, tenemos que observar a dónde manda a cada elemento. Ilustremos esto con $\alpha\beta$:

  • Comenzamos con el 2 (esto es arbitrario, se puede comenzar con el que sea), observamos que $\beta$ lo deja fijo, entonces nos fijamos a dónde lo manda $\alpha$, en este caso, el 2 es mandado al 4.
  • Repetimos el proceso con el 4, $\beta$ lo deja fino y $\alpha$ lo manda al 5.
  • Ahora con el 5, $\beta$ manda al 5 en 3, entonces ahora vemos a donde manda $\alpha$ al 3, en este caso lo deja fijo.
  • Entonces ahora tenemos que observar a dónde es mandado el $3$ después de la composición. Primero, $\beta$ manda el 3 al 5 y $\alpha$ manda el 5 al 8, por lo tanto $\alpha\beta$ manda el $3$ al $8$.
  • Así continuamos con todos los elementos que aparezcan en la composición hasta terminar.

    Ahora, veamos qué sucede con $\beta\alpha$. El proceso es análogo:
    \begin{align*}
    \beta\alpha &= (3 \; 5) (2 \; 4 \; 5 \; 8 \; 6) = (3 \; 5 \; 8 \; 6 \; 2 \; 4)
    \end{align*}
    Por lo tanto $\alpha\beta \neq \beta\alpha$.

3. En $S_5$. Podemos considerar la siguiente permutación: $(1 \; 2 \; 3 \; 4)(2 \; 4 \; 5)$. A esta permutación la podemos simplificar usando el mismo procedimiento que en el ejemplo 2.

Observamos a dónde lleva cada uno de sus elementos:

  • Comencemos con el 2, la primera parte de la permutación, lleva el 2 al 4 y, la segunda parte lleva el 4 al 1.
  • Ahora veamos a dónde va el 1. La primera parte lo deja fijo y la segunda lo lleva al 2. Entonces obtenemos una permutación $(1\;2)$. Pero todavía falta ver el resto de elementos.
  • Ahora, veamos qué sucede con el 3. La primera parte lo deja fijo y la segunda lo manda al 4.
  • La primera parte de nuestra permutación manda el 4 al 5 y, el 5 se queda fijo.
  • Por último, el 5 es mandado al 2 por la primera parte de la permutación y, la segunda parte manda al 2 en el 3. Por lo tanto, el 5 regresa al 3. Esto se puede escribir como:

\begin{align*}
(1 \; 2 \; 3 \; 4)(2 \; 4 \; 5) = (1 \; 2) (3 \; 4 \; 5)
\end{align*}

Es decir:

Representación de $(1 \; 2 \; 3 \; 4)(2 \; 4 \; 5) = (1 \; 2) (3 \; 4 \; 5)$.

Este ejemplo nos da la noción de que las permutaciones se pueden simplificar.

Observación. Si $n \geq 3$, entonces $S_n$ no es abeliano.

Tarea moral

  1. Demostrar la observación 1: $S_X$ con la composición es un grupo, se llama el Grupo Simétrico.
  2. Sea $X$ un conjunto infinito, $H$ la colección de permutaciones de $S_X$ que mueven sólo un número finito de elementos y $K$ la colección de permutaciones que mueven a lo más $50$ elementos. ¿Son $H$ y $K$ subgrupos de $S_X$?
  3. Considera los siguientes elementos de $S_{10}$
    \begin{align*} \alpha &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
    10 & 4 & 3 & 2 & 9 & 7 & 5 & 1 & 6 & 8 \end{pmatrix} \\\\
    \beta &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
    10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{align*}
    Encuentra $\alpha \beta, \beta \alpha, \alpha^{-1}$ y $\beta^{-1}$.
  4. Sea $a \in S_n, $ con $n > 2$. Si $\alpha$ conmuta con toda permutación de $S_n$ ¿puedes decir quién debe ser $\alpha$?

Más adelante…

Por el momento continuaremos hablando de las permutaciones. El último ejemplo visto nos da la noción de permutaciones disjuntas, este tema es el que profundizaremos en la siguiente entrada, pero por el momento ¿puedes imaginarte de qué se trata?

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Álgebra Moderna I: Palabras.

Introducción

En la entrada anterior tomamos un grupo $G$ y un subconjunto $X \subset G$ y, logramos encontrar al mínimo subgrupo de $G$ que contuviera a $X$. Este conjunto resultó ser la intersección de todos los subgrupos contenidos en $G$ que, a su vez, contuvieran a $X$. Recordemos que se llama el subgrupo de $G$ generado por $X$ y se denota

\begin{align*}
\left< X\right> = \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H.
\end{align*}

Sin embargo, esto no nos dice mucho sobre los elementos de $X$. Ilustremos un poco lo que tenemos. Tomemos un grupo $G$, un subconjunto $X \subset G$ y al generado $x \subset \left<X\right> \subset G$. Entonces, si nos tomamos $x_1,x_2,x_3 \in X$, sabemos que todas las potencias de esos elementos están en el generado de $X$. Es decir, para todas $q,r,s \in \z$, $x_1^q, x_2^r, x_3^s \in \left<X\right>$. Más aún, las diferentes multiplicaciones de esos elementos también están en $\left<X\right>$, por ejemplo, si nos tomamos $x_1^1, x_3^{-2}, x_2^{3}$ y $x_1^{-4}$, el elemento

\begin{align}\label{palabra}
x_1^{-4} x_3^{-2} x_1^1 x_2^{3}
\end{align}

está en $\left<X\right>$, por ser una multiplicación de elementos del conjunto. Entonces, en el generado de $X$ estarán todos los elementos de $X$, las potencias de esos elementos y todas las multiplicaciones entre las potencias.

Al elemento \eqref{palabra} la llamamos palabra en $X$ y es lo que estudiaremos en esta entrada. Además, las palabras pueden ser una descripción del generado, sin embargo, esta descripción no es igual a la de álgebra lineal porque hay que recordar que el subgrupo en general no es abeliano. En consecuencia, existen palabras que no se pueden simplificar más de lo que están.

Nuestra primera aproximación a las palabras

Definición. Sea $G$ un grupo, $X$ un subconjunto de $G$. Una palabra en $X$ es, o bien el neutro $e$, o bien un elemento de la forma

$x_1^{\alpha_1}, \dots, x_n^{\alpha_n}$

con $n \in \n^+$, $x_1,\dots, x_n, \alpha_1, \dots, \alpha_n \in \z$.

Notación. Denotamos por $W_x$ al conjunto de todas las palabras en $X$.

Ejemplos

  1. Sea $G = D_2(4)$ el grupo diédrico formado por las simetrías de cuadrado. Sea $a$ la rotación de $\pi/2$ y $b$ la reflexión con respecto al eje $x$.
    $ba^3 b a^{-1} b^{-4} a$ es una palabra en $\{a, b\}$.
    En este caso, la palabra sí se puede simplificar como:
    \begin{align*}
    b a^3 b a^{-1}b^{-4} a &= ba^3ba^{-1} e a \\
    & = b a^3 b a^{-1} a \\
    & = ba^3 b
    \end{align*}
    Para la primera igualdad, recordemos que $b$ es la rotación por $\pi/2$, entonces al rotarlo $4$ veces, el cuadrado recupera su estado inicial, por eso $b^{-4} = b^{4} = e$.

    Notación. Usaremos la notación $D_2(4)$ para denotar las simetrías del cuadrado (que tiene 4 vértices) y el grupo diédrico tiene 8 elementos. Otros autores pueden escribir simplemente $D_8$, pero esto se puede confundir con el grupo de las simetrías de un octágono.
  2. Consideremos el conjunto $H = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$. Este conjunto es llamado el grupo de los cuaterniones o cuaternios y se suele denotar por $Q$ o $Q_8$ porque tiene 8 elementos.
    Las operaciones en el conjuto se definen como:
    \begin{align*}
    1 a &= a 1 = a &\forall a \in H \\
    (-1) a &= a (-1) = -a & \forall a \in H
    \end{align*}
    Además, las multiplicaciones no son conmutativas y están definidas así:
    $\begin{align*}
    ij &= k, \quad jk = i, \quad ki =j, \\
    ji &= -k, \quad kj = -i, \quad ik=-j, \\
    i^1 &= j^2 = k^2 = -1
    \end{align*}$

    Primero, podemos considerar el conjunto de palabras de $j$:
    \begin{align*}
    W_{j} = \{j,-1,-j, +1\}
    \end{align*}
    podemos considerar la palabra $j^5j^{-2} j^{3} j^{-4}$, resolviendo las potencias podemos concluir que esta palabra es igual a $-1$ (verificarlo quedará como ejercicio).

    También podemos considerar el conjunto de palabras de $j$ y $k$:
    \begin{align*}
    W_{j,k} = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k \}
    \end{align*}

Palabras y el Subgrupo generado por $X$ $\left(\left< X \right>\right)$

Lema. Sea $G$ un grupo y $X$ un subconjunto de $G$. $W_X$ es un subconjunto de $G$ que contiene a $X$.

Demostración.
Caso 1, cuando $X = \emptyset$.
En este caso, $W_x = \{e\} \leq G$ y $X = \emptyset \subset \{e\} = W_x$.

Caso 2, cuando $X \neq \emptyset$.
P.D. $W_x \leq G$.
Por definición $e \in W_X$.
Sean $a, b \in W_X$, entonces

\begin{align*}
a &= x_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n} & \alpha_1, \dots, \alpha_n, \beta_1, \dots, \beta_m \in \z \\
b &= y_1^{\beta_1} \dots y_m^{\beta_m} & x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_m \in X\\
&& n,m \in \n^+
\end{align*}

Entonces, podemos tomar $ab^{-1}$ y verificar quién es

\begin{align*}
a b^{-1} &= (a_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n})(y_1 \dots y_m^{\beta_m})^{-1} \\
& = x_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n}y_m^{-\beta} \dots y_1^{-\beta_1} \in W_X
\end{align*}

Por lo tanto $W_X \leq G$.

P.D. $X \subseteq W_X$.
Sea $x \in X$,
\begin{align*}
x = x^1 \in W_X
\end{align*}

Por lo tanto $X \subseteq W_X$.

$\square$

Teorema. Sea $G$ un grupo, $X$ un subconjunto de $G$. Entonces

$\left< X \right> = W_X$.

Demostración.
$\subseteq)$ Por el lema anterior, $W_X \in \{H \leq G : X \subset H\}$. Entonces, por nuestra definición del subgrupo generado,
\begin{align*}
\left< X \right> = \cap H \subseteq W_X
\end{align*}

$\supseteq)$ Sea $a \in W_X$, entonces $a = x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n}$ con, $n \in \n^+$, $\alpha_1, \dots, \alpha_n \in \z$ y $x_1, \dots, x_n \in X$.

Para cada $x_i \in X$, con $i \in \{1,..,0\}$, se cumple que $x_i \in \left< X \right>$, entonces $X \subseteq \left< X \right>$.
Entonces $x_i \in \left< X \right>$ para toda $i \in \{1, \dots ,n\}$, porque el generado es un subgrupo. Luego, como $\left< X\right> \leq G$, obtenemos que $x_i^{\alpha_i} \in \left< X \right>$ para toda $i \in \{1,\dots,n\}$.

Entonces, $a = x_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n} \in \left<X\right>$.

Por lo tanto, $\left< x \right> = W_x$.

$\square$

¿Quién es el orden de un producto?

Si tenemos un grupo $G$ y $a, b in G$, ya hemos hablado del orden de un elemento. Es decir, sabemos quién es $o(a)$ y $o(b)$, pero poco sabemos de $o(ab)$. Ahora podemos dar una explicación más precisa del orden de un producto, en cierto caso:

Teorema. Sea $G$ un grupo y $a, b \in G$.
Si $a$ y $b$ son de orden finito, sus ordenes son primos relativos y $ab = ba$, entonces

\begin{align*}
o(ab) &= o(a) o(b) \\
\text{y } \left< a,b \right> &= \left<ab\right>
\end{align*}

Demostración.
Sea $G$ un grupo, $a,b \in G$ de orden finito con $n = o(a)$, $m = o(b)$. Supongamos que $(n,m) = 1$ y $ab = ba$.

P.D. $o(ab) = nm$.
Entonces

\begin{align*}
(ab)^{nm} & = a^{nm} b^{nm} & \text{ porque } ab = ba \\
& = (a^n)^m(b^m)^n & \text{ propiedades de los exponentes}\\
& = e^m e^n
& = e
\end{align*}

Ya teniendo que $(ab)^{nm} = e$, tenemos que ver que $nm$ es la mínima potencia que lo cumple o ver que divide a cualquier otra potencia $k$ tal que $(ab)^k = e$.

Ahora, si $(ab)^k = e$, entonces $a^k b^k = e$. Despejando, obtenemos $a^k = b^{-k}$.

Así $(a^k)^m = (b^{-k})^m = (b^m)^{-k} = e^{-k} = e$ (porque $o(b) = m$), es decir $a^{km} = e$. Ya sabemos que $o(a) = n$, entonces $n|km$ y porque $(n,m) = 1$ entonces $n|k$.

Análogamente, si tomamos $(a^k)^n = (b^{-k})^n$ obtenemos que $m|k$.

Como $n|k$ y $m|k$ con $(n,m = 1)$, entonces $nm|k$.
Por lo tanto $o(ab) = nm$.

P.D. $\left< a,b \right> = \left< ab \right>$.
Como toda palabra en $\{ab\}$ es una palabra en $\{a, b\}$ entonces
$\begin{align*}
\left< ab \right> \subseteq \left< a, b \right>
\end{align*}$

Por otro lado, como $ab = ba$, toda palabra en $\{a,b\}$ se reduce a una de la forma $a^{i}b^{i}$ con $i, j \in \z$, y como $o(a) = n$, $o(b) = m$, la expresión $a^{i}b^{i}$ se puede reducir aún más a una expresión de la forma $a^{i}b^{i}$ con $0 \leq i < n$ y $0 \leq j < m$.

Entonces $\left< a, b \right> = \{a^{i}b^{j}: 0 \leq i < n, 0 \leq j < m\}$. Luego, $|\left<a, b\right>| \leq nm$.
Pero $\left< ab \right> \subseteq \left<a,b\right>$, entonces $|\left< ab \right>| \leq |\left< a,b \right>|$.
Así,

\begin{align*}
nm = o(ab) = |\left< ab \right>| &\leq |\left< a,b \right>| \leq nm. \\
\end{align*}

Por lo tanto $\left<ab\right> = \left< a, b \right>$

$\square$

Tarea moral

  1. En el grupo de los cuaterniones definido anteriormente, verifica que $j^5j^{-2}j^3j^{-4} = -1$.
  2. Considera $Q$, el grupo de cuaternios. Reduce la siguiente palabra a uno de sus elementos $(\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k)$,
    $\begin{align*}
    j^7k(-i)jki^2jk^{-6}
    \end{align*}$
  3. Sea $D_{2n} = \{\text{ id }, a, \dots, a^{n-1}, ab, \dots, a^{n-1}b\}$ el grupo diédrico formado por las simetrías de un polígono regular de $n$ lados, con $a$ la rotación de $\displaystyle \frac{2\pi}{n}$ y $b$ la reflexión con respecto al eje $x$.
    1. Identifica geométricamente quiénes son $\text{ id }, a, \dots, a^{n-1}, ab, \dots, a^{n-1}b$.
    2. Determina quién es el elemento $bab$ y, de modo más general, quién es el elemento $ba^{i}b$.
    3. Determina quién es el elemento $ba^i$.
  4. Considera el grupo simétrico $S_5$, $\alpha$ la permutación que manda $1$ en $2$, $2$ en $3$ y $3$ en $4$, y $\beta$ la permutación que intercambia $5$ y $5$.
    1. Encuentra $\beta \alpha$ y $\alpha \beta$.
    2. Encuentra el orden de $\alpha$, $\beta$, $\alpha\beta$ y $\beta\alpha$.
  5. Por último, te invitamos a que veas este vídeo que habla sobre las aplicaciones tecnológicas del grupo de los cuaternios. El video está en inglés, pero tiene subtítulos en inglés.

Más adelante…

¡Felicidades por acabar la Unidad 1! Ya entiendes las bases de este curso, trata de recordarlas porque las estaremos usando implícitamente.
En la siguiente unidad estaremos viendo Permutaciones y Grupo Cociente, para no adelantar mucho, ambas estructuras son grupos muy importantes en el álgebra y nuestros objetos de estudio en la siguiente unidad.

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Álgebra Moderna I: Teoremas sobre subgrupos y Subgrupo generado por $ X $

Introducción

Ya vimos qué es un subgrupo cíclico generado por $\left<a\right>$. Ahora nos preguntamos si, teniendo $G$ cíclico y tomando cualquier subrgrupo $H \subset G$ ¿será cierto que $H$ también es cíclico?

Ilustremos esto con un ejemplo. Consideremos $\z$ con la suma, en este caso $\z = \left<1\right>$,

$\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$.

Entre posibles subgrupos podemos encontrar:

$\dots, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, \dots$
$\dots, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, \dots$

es decir $\left<2\right>$ y $\left<3\right>$ respectivamente. Pero también podemos observar que tanto $2$ como $3$ son la mínima potencia de $1$ que aparece en sus respectivos generados. Es decir, aunque el $1$ no esté en un subgrupo cíclico de $\z$, el subgrupo será generado por la mínima potencia de $1$ que sí sea elemento del subgrupo. En esta entrada, comenzaremos probando este resultado.

En la segunda parte de esta entrada regresaremos a nuestra problemática inicial. Si tenemos un subconjunto $X \subset G$, con $G$ un grupo, ¿cuál es el mínimo subgrupo $H \in G$ tal que $X \subset H$?

Podemos estar de acuerdo en que es posible que $X$ esté contenido en más de un subgrupo, en general estará contenido por una familia se subgrupos de $G$. A estos subgrupos los denotaremos como $H_i$ con $i \in \{1, \dots, n\}$. Entonces el mínimo subgrupo de $G$ que contenga a $X$ será la intersección de esta familia, porque sabemos que $\displaystyle X \subset \bigcap_{i \in \{1, \dots, n\}}H_i$. Esto será lo que desarrollaremos en la segunda parte de la entrada.

Los subgrupos de un grupo cíclico, es cíclico.

Teorema. Todo subgrupo de un grupo cíclico, es cíclico.

Demostración.
Sea $G$ un grupo cíclico, $H \leq G$.
Como $G$ es cíclico, entonces $G = \left< a \right>$ para algún $a \in G$.

Para ver que $H$ es cíclico tenemos que proponer un generador de $H$, este generador tiene que ser una potencia de $a$, porque $H \subset G$ y $G$ es cíclico. Por lo que dijimos en la introducción, agarraremos la menor potencia de $a$ que esté en $H$. Pero, para ello, tenemos que asegurarnos de que existen potencias positivas de $a$. Así, manejaremos dos casos.

Si $H = \{e\} = \left< e \right>$ que es cíclico.

Si $H \neq \{e\}$, sea $h \in H\setminus\{e\}$. Entonces como $H \leq G$, $h \in G = \left<a\right>$. Así $h = a^k$ para algún $k \in \z$ y como $h \neq e$ entonces $k \neq 0$.

Tenemos que $h^{-1} = a^{-k} \in H$ pues $H$ es subgrupo.

Así $a^k$, $a^{-k} \in H$ (con $k \in \z \setminus\{0\}$), entonces no importa si $k$ es positivo o negativo, siempre habrá $a$ elevado a algo positivo, es decir,

$\{n \in \z^+ | a^n \in H\} \neq \emptyset$.

Sea $m = \text{mín } \{n \in \z^+|a^n\in H\}$.
P.D. $H = \left< a^m \right>$

$\supseteq]$
Por la elección de $m$, $a^m \in H$ y entonces $\left< a^m \right> \subseteq H$.

$\subseteq]$
Sea $h \in H$. Como $H \leq G = \left<a\right>$, entonces $h = a^k$ para algún $k \in \z$.

Por el algoritmo de la división existen $q,r \in \z$ tales que $k = mq+r$ con $0 \leq r < m$.
Entonces $h = a^k = a^{mq+r} = (a^m)^q a^r$
$(a^m)^{-q}h = a^r$

Pero $a^m \in H$, $h \in H$ y $H$ es subgrupo, entonces $a^r = (a^m)^{-q}h \in H$ con $0 \leq r < m$. Para no contradecir la elección de $m$ concluimos que $r=0$.

Así $h = a^{mq} = (a^m)^q \in \left< a^m \right>$.
Por lo tanto $H = \left< a^m \right>$ y $H$ es cíclico.

$\square$

El mínimo subgrupo que contiene a cualquier subconjunto $X$

Teorema. La intersección de una familia no vacía de subgrupos de un grupo $G$ es un subgrupo de $G$.

Cuando decimos familia no vacía nos referimos a que haya al menos un grupo a intersecar. Es una condición que se pide para que a nivel conjuntista no hayaproblemas con la intersección.

Demostración.
Sea $G$ un grupo y $\{H_i | i \in I\}$ una familia de subgrupos de $G$.
P.D. $\displaystyle \bigcap_{i \in I} H_i \leq G$.

Como $H_i \leq G$ para toda $i \in I$, entonces $e \in H_i$ para toda $i \in I$ y así $\displaystyle e \in \bigcap_{i \in I} H_i$.

Sea $\displaystyle a, b \in \bigcap_{i \in I}$. Tenemos que $a,b \in H_i$ para toda $i \in I$.
Como $H_i \leq G$ para toda $i \in I$, entonces $ab^{-1} \in H_i$ para $i \in I$ y así $a b^{-1} \in \displaystyle \bigcap_{i \in I}H_i$.

Por lo tanto $\displaystyle \bigcap_{i \in I} H_i \leq G$.

$\square$

Corolario. Sea $G$ un grupo y $X$ un subconjunto de $G$. Existe un subgrupo de $G$ que contiene a $X$ y que estará contenido en cualquier subgrupo de $G$ que contenga a $X$.

Demostración.
Sea $G$ un grupo y $X$ subconjunyo de $G$.
$G$ es un subgrupo de $G$ que contienen a $X$ y entonces la familia $\{H \leq G | X \subseteq H\}$ es no vacia. Entonces sí existen subgrupos de $G$ que contienen a $X$.

Consideremos $\displaystyle \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H$. Por el teorema anterior es un subgrupo de $G$ y por construcción $X \in \displaystyle \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H$.

Si $\hat{H}$ es un subconjunto de $G$ que contiene a $X$, entonces $\hat{H} \in \{H \leq G | X \subseteq H \}$, y al ser uno de los intersectados, obtenemos

$\displaystyle \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H \subseteq \hat{H}$.

$\square$

El subgrupo de $G$ generado por $X$

Para concluir esta entrada, daremos una definición que resume lo visto.

Definición. Sea $G$ un grupo y $X$ un subgrupo de $G$. El conjunto

\begin{align*}
\bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H
\end{align*}

es el subgrupo de $G$ generado por $X$ y se denota por $\left< X \right>$.

Decimos que $X$ genera a $G$ si $\left< X \right> = G$.

Observación. Sea $G$ un grupo y sea $a \in G$. Entonces

\begin{align*} \left< \{a\} \right> = \left< a \right>. \end{align*}

Demostración. Se quedará como tarea moral.

Notación. Para $a_1,\dots, a_n \in G$, el conjunto $\left< \{a_1,\dots, a_n\}\right>$ se denota por $\left< a_1, \dots, a_n \right>$.

Tarea moral

  1. Sea $G$ un grupo tal que todos sus subgrupos propios son cíclicos, entonces $G$ es cíclico. Demuestra este enunciado o encuentra un contraejemplo.
  2. Considera a los enteros con la suma. Describe a los subgrupos:
    1. $\left<\{10, 15\}\right>$ (se denota por $\left<10,15\right>$).
    2. $\left<\{9, 20\}\right>$ (se denota por $\left<9,20\right>$).
  3. Demuestra la última observación: Sea $G$ un grupo y sea $a \in G$. Entonces $\left< \{a\} \right> = \left< a \right>$. Hint: Usa la doble contención y el teorema anterior.

Más adelante…

Ya estudiamos a los elementos de la forma $a^k$ con $a \in G$, $k \in \z$ y $G$ grupo. En la siguiente entrada combinaremos varios elementos de esa forma. Estudiaremos qué son y algunas propiedades de las llamadas palabras. Además, la siguiente entrada es la última de esta unidad, ¡sigue avanzando! ya casi acabas.

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Álgebra Moderna I: Orden de un grupo

Introducción

Ya vimos qué es el orden de un elemento y el grupo cíclico generado por ese elemento. En esta entrada veremos a qué se le denomina el orden de un grupo, que en realidad es un concepto que ya conoces.

Primero repasemos cómo es el conjunto generado por $a$, éste se puede describir así:

$\{\dots, a^{-2}, a^{-1}, e, a^{1}, a^2, \dots\}$.

En esa sucesión de potencias de $a$, si el elemento $a$ tiene orden finito, eventualmente encontraremos $a^{o(a)}$. Por la entrada anterior sabemos que $o(a)$ es el mínimo entero positivo tal que $a^{o(a)} = e$. Entonces, $a^{o(a) + 1} = e a = a$. Esto nos puede indicar que en algún momento la sucesión se volverá a repetir. Entonces el rango que no tiene repeticiones sería el siguiente:

$e, a, a^2, \dots a^{o(a) -1}$.

A continuación formalizaremos esta idea, definiremos el orden de un grupo y relacionaremos el orden de un elemento con el orden del grupo generado por éste.

Definición de orden de un grupo

Definición: Sea $G$ un grupo. El orden de $G$ es la cardinalidad del conjunto $G$ y se denota por $|G|$.

Teorema: Sean $G$ un grupo y $a\in G$ un elemento de orden finito. Entonces

$|\left< a\right>| = o(a)$.

Demostración.
Sea $G$ un grupo y $a \in G$ de orden finito.

Considera que $e$ es el neutro en $G$. Primero veamos que

$\begin{align*} \left< a\right> = \{e, a, a^2, \dots, a^{o(a)-1}\} \end{align*}$.

$\subseteq]$
Sea $x \in \left< a\right>$, entonces existe algún $k \in \z $ tal que $x =a^k$.
Por el algoritmo de la división existen $q, r \in \z$ tales que

$k = o(a)q + r\;$ con $\;0 \leq r < o(a)$.

Entonces, sustituyendo el valor de $k$,

$x = a^k = a^{o(a)q + r}$.

Si seguimos realizando operaciones con los exponentes, obtenemos:

$\begin{align*}
a^{o(a)q + r} &= (a^{o(a)})^q a^r \\
&= e^q a^r &\text{ por la definición de orden}\\
&= e a^r &\text{ya que $e$ es el neutro}\\
&= a^r &\text{ya que $e$ es el neutro}
\end{align*}$

es decir, $x = a^r$ para algún $ r \in \z$, con $0\leq r < o(a)$. Entonces

$x \in \{e, a, a^2, \dots, a^{o(a)-1}\}$.

Hemos demostrado así la primera contención.

$\supseteq]$

Esta contención es más sencilla porque claramente

$\{e, a, a^2, \dots, a^{o(a)-1}\} \subseteq \{\dots, a^{-2}, a^{-1}, e, a, a^2, \dots\}$.

Y como $\left< a\right> = \{ a^{k}\mid k\in\mathbb{Z}\}=\{\dots, a^{-2}, a^{-1}, e, a, a^2, \dots\}$, se cumple la segunda contención y con ella la igualdad de conjuntos.

Todavía nos falta un detalle. Hasta ahora sabemos que

$\begin{align*} \left< a\right> = \{e, a, a^2, \dots, a^{o(a)-1}\} \end{align*}$

pero nada nos asegura que $|\{e, a, a^2, \dots, a^{o(a)-1}\}| = o(a)$, es decir que tenga tantos elementos como el orden de $a$. Esto lo probaremos viendo que no existen elementos repetidos.

Supongamos que $a^{i} = a^j$ para $i, j \in \{0,1,\dots, o(a)-1\}$, supongamos sin pérdida de generalidad que $i \leq j$.

Multiplicando ambos lados por $(a^i)^{-1}$ obtenemos,

$\begin{align*} a^{i}(a^{i})^{-1} &= a^j(a^{i})^{-1}\\
e &= a^{j-i}.\end{align*}$

Entonces, $e = a^{j-i}$, pero, por la elección de $i$ y de $j$ sabemos que $0 \leq j – i < o(a)$. Entonces, debido a la definición de $o(a)$ esto sólo es posible si $j-i=0$, es decir $j = i$.

Así $\left< a\right> = \{e, a, a^2, \dots, a^{o(a)-1}\}$ tiene $o(a)$ elementos. Por lo tanto

$|\left< a\right>| = o(a)$.

$\square$

Un pequeño ejemplo

Ejemplo.
Recordemos que de acuerdo a lo que se definió en un ejemplo de la entrada anterior tenemos que $U(\z_{7})$ consiste de todas las clases módulo 7 que tienen inverso multiplicativo, es decir $U(\z_{7}) = \{ \bar{n}\in\z_7\mid (n,7)=1\}$. Tenemos que $U(\z_{7}) = \{\bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}, \bar{5}, \bar{6}\}$. Sabemos que este conjunto es un grupo con la multiplicación. Observemos que en los enteros módulo 7 no todas las clases tienen inverso multiplicativo, sólo aquellas representadas por primos relativos con 7, por eso $\bar{0}$ no está en nuestro conjunto $U(\z_{7})$.

Podemos hacer algunas operaciones:

  • $(\bar{4})^2 = \overline{4^2} = \overline{16} = \bar{2}$, en este caso $(\bar{4})^2$ no es el neutro, entonces intentemos lo siguiente:
  • $(\bar{4})^3 = (\bar{4})^2\,\bar{4} = \bar{2}\, \bar{4} = \bar{8} = \bar{1}$, así $o(\bar{4}) = 3$.

Por lo tanto, $\left< \bar{4} \right> = \{\bar{1}, \bar{4}, (\bar{4})^2\} = \{\bar{1}, \bar{4}, \bar{2}\}$ , así $\left|\left< \bar{4}\right>\right| = 3$.

Consecuencias

Hasta ahora hemos visto que la cantidad de elementos que hay en el generado por $a$, es decir $\left< a\right>$, está definido por el orden de $a$, denotado por $(o(a))$. En consecuencia tenemos el siguiente corolario.

Corolario. Sea $G$ un grupo y $a\in G$. Tenemos que $a$ es de orden finito si y sólo si $\left< a\right>$ es un conjunto finito.

Demostración.
Sea $G$ un grupo y $a\in G$.

$|\Rightarrow)$ Si $a$ es de orden finito, por el primer teorema que probamos en esta entrada,

$|\left< a \right>| = o(a) \in \z^+$

$\therefore$ $|\left< a \right>|$ es finito.

$|\Leftarrow)$ Si $\left< a \right>$ es un conjunto finito, entonces
$\{\dots, a^{-1}, e, a^1, a^2, \dots\}$ tiene repeticiones.

Sean $i,j \in \z$ con $i \neq j$ tales que $a^{i} = a^j$.
Sin pérdida de generalidad supongamos que $i < j$. Multiplicando por $(a^{i})^{-1}$ en ambos lados,

$\begin{align*}a^{i} (a^{i})^{-1} &= a^{j} (a^{i})^{-1}\\
e &= a^{j-i}\end{align*}$

con $j-i \in \z^+$. Por lo tanto $a$ es de orden finito.

$\square$

Corolario. Todo elemento de un grupo finito es de orden finito.

Demostración.
Sea $G$ un grupo finito y $a\in G$.

Como $\left< a \right> \subseteq G$ y $G$ es finito, entonces $\left< a \right>$ también es finito por el corolario anterior $a$ es de orden finito.

$\square$

Tarea moral

  1. Considera $G = \left< a \right>$ un grupo cíclico infinito:
    1. Encuentra el subgrupo de $G$ con la menor cantidad de elementos posible, que tenga como elemento a $a^4$.
    2. Encuentra el subgrupo de $G$ con la menor cantidad de elementos posible, que tenga como elementos a $a^4$ y a $a^6$.
    3. Encuentra el subgrupo de $G$ con la menor cantidad de elementos posible, que tenga como elementos a $a^4$ y a $a^9$.
    4. ¿Son cíclicos? Si lo son, encuentra un generador.
  2. Sea $G$ un grupo finito. Sea $S$ el subgrupo de elementos $g$ tales que $g^5 = e$, donde $e$ es el elemento neutro de $G$. Prueba que el orden de $S$ es impar.
    Hint: si $G$ es un grupo, $a \in G$ y existe $p \in \z$ primo tal que $a^p = e$, entonces $o(a) = p$.
  3. ¿Es posible que exista un grupo infinito tal que cada elemento sea de orden finito? De ser cierto, da un ejemplo. En caso contrario prueba que. no existe tal grupo.

Más adelante…

En las siguientes entradas estudiaremos más resultados y consecuencias que se derivan de todas las definiciones que hemos dado.

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Álgebra Moderna I: Orden de un elemento y Grupo cíclico

Introducción

En la entrada anterior aprendimos qué es un subgrupo, sus características y hablamos de los subgrupos finitos. Pero en general, si tenemos un conjunto $G$ y escogemos un subconjunto $X$ de $G$, $X$ no tendría por qué ser un subgrupo. A partir de esta entrada comenzaremos a estudiar qué necesitamos agregarle a $X$ para que se vuelva un subgrupo.

Particularmente, ahora hablaremos sobre el orden de un elemento y de cómo este orden puede inducir ciertos grupos y subgrupos. Por ejemplo, definiremos qué es un subconjunto generado por $a$, con $a \in G$.

El orden de un elemento

Definición. (Orden de un elemento)
Sea $G$ un grupo, $a \in G$. Si $a^k = e$ para algún $k \in \mathbb{Z}^+$ decimos que $a$ es de orden finito y en ese caso definimos el orden de $a$ como

$o(a) = \text{mín}\{k\in \z^+ \,|\, a^k = e\}$.

En caso contrario decimos que $a$ es de orden infinito.

Ejemplos.

  1. $\Gamma_8 = \{ \xi^k \, | \, 0 \leq k < 8 \}$ con $\xi=e^{\frac{\pi i}{4}}$. Entonces $o(\xi^2) = 4$.
  2. Consideremos el conjunto $V = \{ (0,0), (1,0), (0,1) (1,1)\}$ con la suma entrada a entrada módulo $2$. Éste se conoce como el grupo de Klein. Tenemos que
    • $o((1,0)) = 2$ ya que $(1,0) \neq (0,0)$ pero $2(1,0) = (1,0) + (1,0) = (0,0)$.
    • $o((0,0)) = 1$, $o((1,0)) = o((0,1)) = o((1,1)) = 2$.
  3. Consideremos $\z$, $o(0) = 1$ y para toda $a \in \z \setminus \{0\}$, $a$ es de orden infinito.

Lema. Sea $G$ un grupo, $a \in G$ de orden finito. Si $a^k = e$ para alguna $k \in \z$, entonces $o(a)$ divide a $k$.

Demostración.
Sea $a \in G$ de orden finito. Supongamos que $a^k = e$ para algún $k \in \z$.

P.D. $o(a) | k$
Por el algoritmo de la división en $\z$ existen $q,r \in \z$ tales que

$\begin{align*}
k &= o(a) \, q + r & \text{con } 0 \leq r < o(a)
\end{align*}$

Entonces

$\begin{align*}
e &= a^k \\
& = a^{o(a)q + r} \\
& = (a^{o(a)})^q a^r \\
& = e^q a^r \\
& = e a^r \\
& = a^r
\end{align*}$

Así $e = a^r$, con $0 \leq r < o(a)$. Pero $o(a)$ es el mínimo entero positivo tal que al colocarlo como exponente en $a$ da $e$, entonces $r=0$. Por lo tanto $o(a) | k$.

$\square$

Lema. Sea $G$ un grupo, $a \in G$ de orden finito. Sea $n \in \z^+$. Si se cumple que

  1. $a^n = e$
  2. $a^k = e$ con $k \in \z$ implica que $n|k$

entonces $n = o(a)$.

Demostración.
Sea $G$ un grupo, $a \in G$ de orden finito. Sea $n \in \z^+$ tal que cumple los incisos 1 y 2.

P.D. $n = o(a)$
Como se cumple el inciso 1, $a^n = e$. Entonces

$n \in \{k \in \z^+ \,|\, a^k = e\}$.


Veamos que $n$ es el elemento mínimo.
Sea $k \in \z^+$ tal que $a^k = e$. Por el inciso 2, se tiene que $n | k$, entonces $|n|\leq |k|$ pero $n, k \in \z^+$ entonces $n\leq k$.

Por lo tanto $n = \text{mín}\{k \in \z^+ \,|\, a^k = e\} = o(a)$.

$\square$

El subgrupo cíclico

Proposición. Sea $G$ un grupo y $a \in G$. El conjunto $\{a^n \,|\, n \in \z\}$ es un subgrupo de $G$.

Notación. A partir de ahora, al conjunto anterior lo denotaremos como $\left< a \right> = \{a^n \,|\, n \in \z\}$

Demostración de la proposición.
Sean $G$ un grupo y $a \in G$.

P.D. $\left< a\right> \leq G$
$e = a^0 \in \left< a \right>$
Sean $x, y \in \left< a \right>$, entonces $x = a^n$, $y = b^m$ con $n,m \in \z$.
Tenemos que $x y^{-1} = a^n(a^m)^{-1} = a^n a^{-m} = a^{n-m} \in \left< a \right>$.
Por lo tanto $\left< a \right> \leq G$.

$\square$

Definición. Sean $G$ un grupo y $a \in G$,

$\left< a \right> = \{a^n \,|\, n \in \z\}$

se llama el subgrupo cíclico de $G$ generado por $a$. Decidimos que $G$ es un grupo cíclico si $G= \left< a \right>$ para alguna $a \in G$ y en ese caso decimos que $a$ es un generador de $G$.

Ejemplo.

  1. $G = \{\xi^k \,|\, 0 \leq k < 8\}$ con $\xi=e^{\frac{\pi i}{4}}$.
    $G$ es un grupo cíclico, pues $G = \left<\xi\right>$ y $\xi$ es un generador de $G$.
    El conjugado de $\xi$, $\bar{\xi}$, es otro generador de $G$.
    $\{1,i,-1,-i\} = \left< \xi^2 \right>$ es el subgrupo cíclico de $G$ generado por $i$.
  2. $\z = \left< 1\right>$ es un grupo cíclico, $1$ y $-1$ son generadores de $\z$.
  3. Sea $V = \{(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)\}$ el grupo de Klein definido al inicio de esta entrada. Tenemos que $\left<(1,0)\right> =\{(1,0),(0,0)\}$ es un subgrupo cíclico de $V$ generado por $(1,0)$. Se puede verificar que los elementos de $V$ generan subgrupos de uno o dos elementos. Por lo tanto $V$ no es cíclico.
  4. Sea $m\in\mathbb{Z}^+$. El conjunto de unidades de $\z_{m}$ se define como las clases módulo $m$ que tienen inverso multiplicativo, o bien $ \{\overline{n} \in \z_{m} \,|\, (n,m)=1\}$ y se denota por $U(\z_{m})$. Se puede probar que éste es un grupo con el producto. Consideremos ahora el grupo $U(\z_{10}) = \{\overline{n} \in \z_{10} \,|\, (n,10)=1\}$.
    Tenemos que $U(\z_{10}) = \{\overline{1}, \overline{3}, \overline{7}, \overline{9}\}$.
    Como $\overline{3}^2 = \overline{9}$, $\overline{3}^3 = \overline{27} = \overline{7}$,
    $\overline{3}^4 =$$\overline{3}^3 \, \overline{3} = $$\overline{7}\, \overline{3}= $$\overline{21}= $$\overline{1}$, entonces $U(\z_{10}) = \left<\overline{3} \right>$ y $U(\z_{10})$ es cíclico.

Tarea moral

  1. Sea $G= GL(2, \mathbb{Q})$ (recuerda las definiciones en los ejemplos importantes de matrices). Considera las matrices
    $A = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
    Muestra que $A$ y $B$ tienen orden finito pero $AB$ no.
  2. Prueba que las siguientes 4 matrices forman un grupo multiplicativo y encuentra el orden de cada elemento.
    $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
  3. Prueba o da un contraejemplo: Si $a^k = e$, entonces $k$ es el orden de $a$.
  4. Considera el grupo diédrico formado por las simetrías de un hexágono. Sea $R$ la rotación de $\frac{2 \pi}{3}$.
    • Determina el orden de $R$.
    • Encientra otros cincos valores $k$ enteros tales que $R^k = id$ y analiza si existe alguna relación entre $o(a)$ y estos valores de $k$.

Más adelante…

Ahora ya conocemos el subgrupo generado por $a$. En las siguientes entradas profundizaremos en las características de éste, definiremos el orden de un grupo y la relación que podemos encontrar entre ambos.

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