Álgebra Lineal II: Repaso de formas bilineales y formas cuadráticas

Introducción

Aunque en previas entradas ya se ha hablado de formas bilineales y formas cuadráticas, retomaremos su estudio en esta entrada y nos dedicaremos a probar algunas propiedades que previamente no fueron demostradas.

También nos familiarizaremos con algunos tipos especiales de formas bilineales e intentaremos extender las definiciones ya dadas, esta vez para espacios vectoriales cuyo campo sea $\mathbb{C}$

Formas bilineales

Definición
Sean $V$ un espacio vectorial en $\mathbb{R}$, una forma bilineal es una función $b: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ tal que:

  • Para cualquier $x \in V$ la función $b(x, \cdot) : V \rightarrow \mathbb{R}$ que envía $v$ a $b(x,v)$ es lineal.
  • Para cualquier $y \in V$ la función $b(\cdot, y) : V \rightarrow \mathbb{R}$ que envía $v$ a $b(v,y)$ es lineal.

Además, $b$ se llamará simétrica si $b(x,y)=b(y,x)$ para cualquier par $x,y \in \mathbb{R}$.
Observación


Sean $x_1, \dots x_n \in V$, $y_1, \dots y_m \in V$ y $a_1, \dots a_n, c_1, \dots c_m \in \mathbb{R}$ entonces, para cualquier forma bilineal $b$ en $V$ tenemos que
\begin{align*} b(\sum_{i=1}^n a_ix_i,\sum_{j=1}^m c_jy_j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m a_icjb(x_i,y_j)\end{align*}

Solución
Escribamos la suma completa en la primera entrada de $b$
\begin{align*} b(\sum_{i=1}^n a_ix_i,\sum_{j=1}^m c_jy_j)=b(a_1x_1+ \dots + a_nx_n, \sum_{j=1}^m c_jy_j) \end{align*}
Usando la linealidad en la primera entrada de $b$ tenemos
\begin{align*} a_1b(x_1, \sum_{j=1}^m c_jy_j)+ \dots +a_nb(x_n, \sum_{j=1}^m c_jy_j)\end{align*}
Por lo que
\begin{align*} b(\sum_{i=1}^n a_ix_i,\sum_{j=1}^m c_jy_j)=\sum_{i=1}^n a_ib(x_i, \sum_{j=1}^m c_jy_j) \end{align*}
Procediendo de manera similar en la segunda entrada ahora
\begin{align*} b(\sum_{i=1}^n a_ix_i,\sum_{j=1}^m c_jy_j)=\sum_{i=1}^n a_ib(x_i,c_1y_1+ \dots + c_my_m) \end{align*}
\begin{align*}=\sum_{i=1}^n a_ic_1b(x_i,y_1)+\dots \sum_{i=1}^n a_ic_mb(x_i,y_m)=\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n a_ic_jb(x_i,y_j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m a_ic_jb(x_i,y_j) \end{align*}
También cabría notar que, el conjunto de formas bilineales es un subespacio vectorial del espacio de funciones de $V \times V \rightarrow \mathbb{R} $ y a su vez, tiene con subespacio vectorial el conjunto de formas bilineales simétricas.

Formas cuadráticas

Definición
Sea $V$ espacio vectorial en $\mathbb{R}$ una forma cuadrática es una función $q: V \rightarrow \mathbb{R}$ tal que existe una forma bilineal $b: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ que cumple \begin{align*}q(x)=b(x,x) \end{align*}.
Recordemos también que puede existir una forma cuadrática que tenga más de una forma bilineal asignada, es decir, que existan dos formas bilineales distintas que definan la misma forma cuadrática
\begin{align*} \forall x \in V \; \; \; \; b_1(x,x)=b_2(x,x) \text{ ? }\end{align*}
Tristemente sí, pensemos en lo siguiente, definamos a $V=\mathbb{R}^2$ y
\begin{align*} b_1(x,y)=x_1y_2-x_2y_1 \; \; \; \; \text{ y } \; \; \; \; b_2(x,y)=x_2y_1-x_1y_2 \end{align*}
de donde
\begin{align*} b_1(x,x)=x_1x_2-x_2x_1=0=x_2x_1-x_1x_2=b_2(x,x) \end{align*}
por lo que $b_1$ y $b_2$ tendrían la misma forma cuadrática asignada.

Por suerte basta agregar una restricción a la forma bilineal para que tengamos esta deseada unicidad, lo que motiva el siguiente teorema.

Teorema (Identidad de polarización)

Sea $q: V \rightarrow \mathbb{R}$ una forma cuadrática, existe una única forma bilineal simétrica $b: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $q(x)=b(x,x)$ para todo $x \in V$.

Más aún, esta $b$ se puede encontrar de la siguiente manera:
\begin{align*} b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2} \end{align*}
Demostración

Por cómo fue definido forma cuadrática sabemos que existe una forma bilineal (aunque no necesariamente que ser simétrica) $B$ tal que $q(x)=B(x,x)$.
Así definamos una función
\begin{align*} b: V \times V \rightarrow \mathbb{R} \; \; \; \;\text{ con }\; \; \; \; b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2} \end{align*}.
Dado que $q(x)=B(x,x)$, podemos calcular $b$ como
\begin{align*} b(x,y)=\frac{B(x+y,x+y)-B(x,x)-B(y,y)}{2} \end{align*}
descompongamos el primer sumando por separado;
\begin{align*} B(x+y,x+y)=B(x,x+y)+B(y,x+y)=B(x,x)+B(x,y)+B(y,x)+B(y,y) \end{align*}
sustituyendo esto en $b(x,y)$ nos arroja la igualdad
\begin{align*} b(x,y) =\frac{B(x,x)+B(x,y)+B(y,x)+B(y,y)-B(x,x) -B(y,y)}{2}\end{align*}
de donde finalmente se obtiene
\begin{align*} b(x,y)=\frac{B(x,y)+B(y,x)}{2} \end {align*}.
Utilizando esto probemos la simetría, ya que
\begin{align*} b(x,y)=\frac{B(x,y)+B(y,x)}{2}=\frac{B(y,x)+B(x,y)}{2}=b(y,x) \end{align*}
además, esta misma nos permite demostrar la bilinealidad, si fijamos la primera coordenada, aún tenemos que $B(x, \cdot )$ y $B(\cdot , x)$ son lineales, por lo que
\begin{align*} b(x,\cdot)=\frac{B(x,\cdot)+B(\cdot,x)}{2} \end{align*}
también lo es (análogamente se prueba que al fijar la segunda coordenada la linealidad se mantiene)
más aún, esta igualdad nos sirve para probar que $q(x)=b(x,x)$ ya que:
\begin {align*} b(x,x)=\frac{B(x,x)+B(x,x)}{2}=B(x,x)=q(x) \end{align*}
por lo que $b$ es una forma bilineal simétrica asociada a $q$.

Finalizando con la unicidad, si suponemos que existe $b’: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ simétrica tal que $q(x)=b'(x,x)$, esta debe cumplir lo siguiente
\begin{align*} q(x+y)=b'(x+y,x+y)=b'(x,x)+2b'(x,y)+b'(y,y) \end{align*}
que a su vez al despejar a $b'(x,y)$ nos arroja
\begin{align*} b'(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2}=b(x,y) \end{align*}

$\square$

Finalicemos recordando una última definición que relaciona a $q$ con su única forma bilineal simétrica.


Definición
Sea $q: V \rightarrow \mathbb{R}$ una forma cuadrática y $b: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ su única forma bilineal simétrica tal que:
\begin{align*} b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2} \end{align*}
a $b$ se le llamará la forma polar de $q$.

Un par de ejemplos

Ejemplo
Sean $V= \mathbb{R^n}$, $x,y \in V$ tal que $x=(x_1, . . . , x_n)$ y $y =(y_1, . . . , y_n)$ y $\{a_1, . . . a_n\} \subset \mathbb{R}$ definamos $b$ como sigue:
\begin {align*} b(x,y)=a_1x_1y_1+ . . . + a_nx_ny_n \end{align*}
Probemos que así definido, $b$ es una función bilineal.

Solución
Para probar que $b$ es bilineal, probaremos que alguna de las funciones $b (x, \cdot)$ o $b (\cdot, y)$ son lineales para algún $x$ o $y \in \mathbb{R}^n$ fijos, siendo la otra análoga, probemos solamente para la primera de estas.
Sean $p,q \in \mathbb{R}$ y $\lambda \in \mathbb{R}$ tenemos que:
\begin{align*} b(x,\lambda p+q)=a_1x_1(\lambda p_1 + q_1) + a_2x_2(\lambda p_2 + q_2)+ \dots a_nx_n(\lambda p_n + q_n) \end{align*}
ya que todos los miembros de esta operación son números reales, utilicemos las propiedades distributiva y conmutativa lo que nos daría que:
\begin{align*} b(x,\lambda p+q)=\lambda a_1x_1p_1 + \lambda a_2x_2 p_2 + \dots \lambda a_nx_n p_n + a_1x_1q_1+a_2x_2q_2+ \dots + a_nx_nq_n \\
\\
=\lambda (a_1x_1p_1 + a_2x_2 p_2 + \dots a_nx_n p_n)+ (a_1x_1q_1+a_2x_2q_2+ \dots a_nx_nq_n)=\lambda b(x,p) + b(x,q). \end{align*}

$\square$

En particular, si tenemos que $a_1, \dots , a_n =1$ podemos observar que $b$ es el producto interno canónico de $\mathbb{R}^n$.

Un no ejemplo
Sea $q: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ dada como sigue
\begin{align*} q(x,y)=x^2+y^2-8x \end{align*}
¿Es $q$ una forma cuadrática?

Solución
La respuesta es que no, supongamos que $q$ sí es una forma cuadrática, entonces se debe tener que existe $b$ su forma polar que debe cumplir
\begin{align*} b((x,y),(x,y))=x^2+y^2-8x \end{align*}
para cualquier par de $(x,y) \in \mathbb{R}$ en particular, dado un par $(x,y)$ debemos tener que la igualdad anterior también se cumple para $(-x,-y)$
\begin{align*} x^2+y^2-8x=b((x,y),(x,y))=-(-b((x,y),(x,y)))=b(-(x,y),-(x,y))=b((-x,-y),(-x,-y)) \end{align*}
ahora calculando el último término de esta igualdad tenemos que
\begin{align*} b((-x,-y),(-x,-y))=x^2+y^2-8(-x)=x^2+y^2+8x \end{align*}
finalicemos juntando los extremos de esta larga cadena de igualdades
\begin{align*} x^2+y^2-8x=x^2+y^2+8x \end{align*}
por lo que
\begin{align*} 16x=0 \end{align*}
Para todo $x \in \mathbb{R}$, lo cual es claramente falso.

Este error nació de suponer que $q$ era una forma cuadrática.

Por lo tanto $q$ no es forma cuadrática.

$\square$

Más adelante

En las siguientes entradas veremos un par de teoremas importantes acerca de formas cuadráticas, así como su relación con matrices, incluso extenderemos las definiciones aquí vistas a funciones que no estén definidas únicamente en $\mathbb{R}$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso. Sin embargo, sirven de ayuda para repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Sea $V=M_n(\mathbb{R})$ y definamos $b:V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ la función dada por $b(A,B)=Tr(AB)$, demuestra que $b$ es una forma bilineal simétrica.
  2. Sea $V=M_n(\mathbb{R})$ y definamos $b’:V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ la función dada por $b'(A,B)=Tr(A^tB)$, demuestra que $b’$ es una forma bilineal simétrica.
  3. Sea $V=\mathcal{C}^0[0,1]$ (El espacio vectorial de funciones reales continuas en el intervalo $[0,1]$) y $q(x): V \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $q(f)=\int_0^1f(x)^2dx$ ¿Es $q$ una forma cuadrática?
  4. Sea $q$ una forma cuadrática en $V$ con $b$ su polar, demuestra que $\forall x,y \in V$
    \begin{align*}
    b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x-y)}{4}
    \end{align*}.
  5. Sea $q$ una forma cuadrática en $V$ con $b$ su polar, demuestra que $\forall x,y \in V$
    \begin{align*}
    q(x+y)+q(x-y)=2(q(x)+q(y))
    \end{align*}.
  6. ¿Por qué en esta entrada se empieza a utilizar la palabra forma, en lugar de función, que es normalmente utilizada? ¿Hay alguna diferencia entre una forma y una función?

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