Álgebra Lineal II: Repaso de formas bilineales y formas cuadráticas

Introducción

Aunque en previas entradas ya se ha hablado de formas bilineales y formas cuadráticas, retomaremos su estudio en esta entrada y nos dedicaremos a probar algunas propiedades que previamente no fueron demostradas.

También nos familiarizaremos con algunos tipos especiales de formas bilineales e intentaremos extender las definiciones ya dadas, esta vez para espacios vectoriales cuyo campo sea $\mathbb{C}$.

Formas bilineales

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Una forma bilineal es una función $b: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ tal que:

  • Para cualquier $x \in V$ la función $b(x, \cdot) : V \rightarrow \mathbb{R}$ que envía $v$ a $b(x,v)$ es lineal.
  • Para cualquier $y \in V$ la función $b(\cdot, y) : V \rightarrow \mathbb{R}$ que envía $v$ a $b(v,y)$ es lineal.

Definición. Una forma bilineal $b$ se llama simétrica si $b(x,y)=b(y,x)$ para cualquier par $x,y \in V$.

A partir de la definición de forma bilineal podemos saber cómo «abrir combinaciones lineales» si las tenemos en ambas entradas.

Proposición. Sea $b$ una forma bilineal en un espacio vectorial $V$ sobre $R$. Sean $x_1, \dots x_n \in V$, $y_1, \dots y_m \in V$ y $a_1, \dots a_n, c_1, \dots c_m \in \mathbb{R}$. Tenemos que:
\begin{align*} b\left(\sum_{i=1}^n a_ix_i,\sum_{j=1}^m c_jy_j\right)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m a_ic_jb(x_i,y_j)\end{align*}

Demostración. Usando la linealidad en la primera entrada de $b$ tenemos que:

$$b\left(\sum_{i=1}^n a_ix_i,\sum_{j=1}^m c_jy_j\right)=\sum_{i=1}^n a_ib\left(x_i, \sum_{j=1}^m c_jy_j\right).$$
Procediendo de manera similar en la segunda entrada de cada sumando obtenemos:

$$ \sum_{i=1}^n a_ib\left(x_i, \sum_{j=1}^m c_jy_j\right) =\sum_{i=1}^n a_i \left(\sum_{j=1}^m c_j b(x_i,y_j)\right). $$

Multiplicando el real $a_i$ por la suma de índice $j$ para que «entre a la suma» obtenemos la expresión deseada.

$\square$

Obtenemos el siguiente corolario.

Corolario. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ de dimensión finita y $e_1,\ldots,e_n$ una base. Una forma bilineal $b$ queda totalmente definida por los valores $b(e_i,e_j)$ para $1\leq i \leq n$ y $1\leq j \leq n$.

Formas cuadráticas

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Una forma cuadrática es una función $q: V \rightarrow \mathbb{R}$ tal que existe una forma bilineal $b: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ que cumple \begin{align*}q(x)=b(x,x).\end{align*}

Identidad de polarización

Puede existir una forma cuadrática que tenga más de una forma bilineal asignada.

Ejemplo. Tomemos $V=\mathbb{R}^2$ y $b_1, b_2:V\times V\to \mathbb{R}$ definidas como sigue para $x=(x_1,x_2)$ y $y=(y_1,y_2)$:

\begin{align*} b_1(x,y) &=x_1y_2-x_2y_1\\ b_2(x,y)&=x_2y_1-x_1y_2. \end{align*}

De aquí:

\begin{align*} b_1(x,x) &=x_1x_2-x_2x_1=0\\ b_2(x,x)&=x_2x_1-x_1x_2=0, \end{align*}

por lo que $b_1$ y $b_2$ tendrían la misma forma cuadrática asignada.

$\square$

Por suerte basta agregar una restricción a la forma bilineal para que tengamos esta deseada unicidad. Esto lo afirma el siguiente teorema.

Teorema (Identidad de polarización). Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y $q: V \rightarrow \mathbb{R}$ una forma cuadrática. Existe una única forma bilineal simétrica $b: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $q(x)=b(x,x)$ para todo $x \in V$.

Más aún, esta $b$ se puede encontrar de la siguiente manera:
\begin{align*} b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2}.\end{align*}

Demostración. Por la definición de forma cuadrática, sabemos que existe una forma bilineal (no necesariamente simétrica) $B$ tal que $q(x)=B(x,x)$. Tomemos la función $b: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ dada por la siguiente fórmula: $$b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2}.$$

Dado que $q(x)=B(x,x)$, podemos calcular $b$ como \begin{align*} b(x,y)=\frac{B(x+y,x+y)-B(x,x)-B(y,y)}{2}. \end{align*}

Usando la bilinealidad de $B$, descompongamos el primer sumando por separado:

\begin{align*} B(x+y,x+y)&=B(x,x+y)+B(y,x+y)\\&=B(x,x)+B(x,y)+B(y,x)+B(y,y).\end{align*}

Sustituyendo esto en $b(x,y)$ nos arroja la igualdad

\begin{align*} b(x,y) &=\frac{B(x,x)+B(x,y)+B(y,x)+B(y,y)-B(x,x) -B(y,y)}{2}\\&= \frac{B(x,y)+B(y,x)}{2}.\end{align*}

Esta igualdad nos dice que $b$ es combinación lineal de las formas bilineales $(x,y)\mapsto B(x,y)$ y $(x,y)\mapsto B(y,x)$, de modo que $b$ es bilineal. Además, de esta igualdad se concluye de manera inmediata que $b(x,y)=b(y,x)$. Así, $b$ es forma bilineal simétrica.

Una última aplicación de la igualdad previa nos ayuda a probar que $q(x)=b(x,x)$, ya que:

\begin {align*} b(x,x)&=\frac{B(x,x)+B(x,x)}{2}\\&=B(x,x)\\&=q(x).\end{align*}

Lo único que nos falta demostrar es la unicidad. Si tuviéramos otra forma bilineal simétrica $b’: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $q(x)=b'(x,x)$, ésta debe cumplir lo siguiente:

\begin{align*} q(x+y)&=b'(x+y,x+y)\\&=b'(x,x)+2b'(x,y)+b'(y,y).\end{align*}

Al despejar a $b'(x,y)$ obtenemos

\begin{align*} b'(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2}=b(x,y).\end{align*}

$\square$

Finalicemos recordando una última definición que relaciona a $q$ con su única forma bilineal simétrica.

Definición. Sea $q: V \rightarrow \mathbb{R}$ una forma cuadrática. A $b: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ dada por
\begin{align*} b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2} \end{align*}
se le llama la forma polar de $q$.

Más adelante…

En las siguientes entradas veremos un teorema importante que nos ayudará a entender todas las formas cuadráticas en $\mathbb{R}^n$. Un poco más adelante veremos análogos de lo que hemos hecho en $\mathbb{R}$, pero para espacios vectoriales sobre $\mathbb{C}$.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso. Sin embargo, sirven de ayuda para repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Sea $V=M_n(\mathbb{R})$ y definamos la función $b:V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $b(A,B)=\text{Tr}(AB)$. Demuestra que $b$ es una forma bilineal simétrica.
  2. Sea $V=M_n(\mathbb{R})$ y definamos la función $b’:V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $b'(A,B)=\text{Tr}(A^tB)$. Demuestra que $b’$ es una forma bilineal simétrica.
  3. Sea $V=\mathcal{C}^0[0,1]$ (El espacio vectorial de funciones reales continuas en el intervalo $[0,1]$) y $q(x): V \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $q(f)=\int_0^1f(x)^2dx$. ¿Es $q$ una forma cuadrática? Si sí, ¿quién es su forma polar?
  4. Sea $q$ una forma cuadrática en $V$ con $b$ su forma polar. Demuestra que para cualquier pareja $x,y$ en $V$ se tiene que
    \begin{align*}
    b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x-y)}{4}.
    \end{align*}
  5. Sea $q$ una forma cuadrática en $V$ con $b$ su polar. Demuestra que $\forall x,y \in V$ se tiene
    \begin{align*}
    q(x+y)+q(x-y)=2(q(x)+q(y)).
    \end{align*}
  6. ¿Por qué en esta entrada se utiliza la palabra «forma», en lugar de «función», que es normalmente utilizada? ¿Hay alguna diferencia entre una forma y una función?

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