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Álgebra Moderna I: Permutaciones disjuntas

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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Introducción

Repasemos un poco el último ejemplo de la entrada anterior. En $S_5$ teníamos la composición $(1 \; 2 \; 3 \; 4)(2 \; 4 \; 5)$ y fijándonos en qué ocurre con cada elemento, concluimos que esta composición es igual a $(1 \; 2)(3 \; 4 \; 5)$. Entonces obtuvimos dos composiciones distintas para escribir a esa permutación. En el dibujo, es más claro que en la primera los dos ciclos se están entrelazando entonces es más difícil entender qué es lo que hace la permutación. Pero cuando vemos la representación de $(1 \; 2)(3 \; 4 \; 5)$ es más fácil entender qué es lo que está haciendo nuestra permutación. Así, es más conveniente trabajar con la segunda notación.

La representación de $(1 \; 2 \; 3 \; 4)(2 \; 4 \; 5) = (1 \; 2)(3 \; 4 \; 5)$

A simple vista podemos observar que $(1 \; 2 \; 3 \; 4)$ y $(2 \; 4 \; 5)$ comparten el 2, pero $(1 \; 2)$ y $(3 \; 4 \; 5)$ no comparten ningún elemento. En este caso, se dice que $(1 \; 2)$ y $(3 \; 4 \; 5)$ son ciclos disjuntos. Más aún, ¿será que cualquier permutación se puede descomponer en ciclos disjuntos? la respuesta es que sí, esto lo demostraremos también en esta entrada.

Definición de permutaciones disjuntas

Antes de definir lo que significa que dos permutaciones sean disjuntas, nos gustaría recordar la última observación de la entrada anterior.
Observación. Si $n \geq 3$, entonces $S_n$ no es abeliano.
Esto nos sirve para establecer que, en general, trabajaremos con grupos no abelianos.

Ahora sí definamos lo que son permutaciones disjuntas.
Definición. Sean $\alpha, \beta \in S_n$. Decimos que $\alpha$ y $\beta$ son disjuntas o ajenas si sop$\,\alpha \,\cap $ sop$\,\beta = \emptyset$, es decir,

\begin{align*}
\text{Si }\alpha(i) \neq i &\Rightarrow \beta(i) = i \\
\text{Si }\beta(i) \neq i & \Rightarrow \alpha(i) = i.
\end{align*}

Observación. Si $\alpha$ y $\beta$ son disjuntas, pueden fijar a un mismo elemento pero no mover a un mismo elemento.

En particular, si tenemos dos ciclos de longitud mayor a uno, podemos obtener la siguiente equivalencia.
Observación. Sean $\alpha = (i_1 \dots i_r)$ y $\beta = (j_1 \dots j_t)$ con $r,t > 1$. Entonces $\alpha$ y $\beta$ son disjuntas si y sólo si $\{i_1, \dots, i_r\} \cap \{j_1, \dots, j_t\} = \emptyset$.

Ejemplos.

  • $(1 \; 2 \; 3 \; 4)$ y $(2 \; 4 \; 5)$ no son disjuntas.
  • $(1 \; 2)$ y $(3 \; 4 \; 5)$ sí son disjuntas.

Las permutaciones disjuntas conmutan

Lema. Sean $\alpha, \beta \in S_n$. Si $\alpha$ y $\beta$ son disjuntas, entonces conmutan.

P.D. $\alpha \beta = \beta \alpha$.
Sea $i \in \{1, \dots, n\}$.

Caso 1. Cuando $\alpha(i) = i$, $\beta(i) = i$. Ambas fijan al mismo elemento, esto es posible en permutaciones disjuntas. Entonces, al componer, no importará que permutación se aplique primero.
\begin{align*}
\alpha\beta(i) = \alpha(i) = i = \beta(i) = \beta\alpha(i).
\end{align*}

Caso 2. Cuando $\alpha(i) = i$, $\beta(i) \neq i$.
Si componemos, obtenemos $\beta\alpha(i) = \beta(i)$.
Como $\beta$ es inyectiva y $\beta(i) \neq i$, entonces $\beta(\beta(i)) \neq \beta(i)$. Así $\beta$ mueve a $\beta(i)$ y como $\alpha$ y $\beta$ son disjuntas $\alpha$ fija a $\beta(i)$. Entonces
\begin{align*}
\alpha\beta(i) = \alpha(\beta(i)) = \beta(i).
\end{align*}
Por lo tanto $\beta\alpha(i) = \alpha\beta(i)$.

Caso 3. Cuando $\alpha(i) \neq i$, $\beta(i) = i$.
Este es análogo al caso 2.

El caso $\alpha(i) \neq i$, $\beta(i) \neq i$ no se da pues $\alpha$ y $\beta$ son disjuntas.
Por lo tanto $\alpha\beta = \beta\alpha$.

$\blacksquare$

Toda permutación se puede descomponer en ciclos disjuntos

Comencemos como un ejemplo. Consideremos a la permutación $\alpha \in S_9$

\begin{align*}
\alpha = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
3 & 4 & 1 & 7 & 8 & 6 & 2 & 9 & 5
\end{pmatrix}.
\end{align*}

  • El 1 va al 3 y el 3 regresa al 1, entonces tenemos una transposición $(1 \; 3)$.
  • Luego, observemos que el 2 va al 4, el 4 al 7 y el 7 al 4. Así tenemos un $3-$ciclo, $(2 \; 4 \; 7)$.
  • De los números que no han aparecido hasta ahora, podemos tomar el 5, este va al 8, el 8 al 9 y el 9 regresa al 5. Entonces tenemos otro $3-$ciclo $(5 \; 8 \; 9)$.
  • Por último, el 6 queda fijo.

Esto se puede dibujar de la siguiente manera:

Representación gráfica de $\alpha$.

Pero también se puede escribir algebraicamente como:

\begin{align*}
\alpha = (1 \; 3)\,(2 \; 4 \; 7)\,(5 \; 8 \; 9)\,(6).
\end{align*}

Ahora veremos que cualquier permutación se puede descomponer en un producto de ciclos disjuntos.

Teorema. Toda permutación en $S_n$ es un ciclo o un producto de ciclos disjuntos.

Demostración.
Sea $\alpha \in S_n$. Lo demostraremos con inducción sobre sop $\alpha = k$.

Caso Base. Supongamos que $k = 0$, entonces sop $\alpha = \emptyset$. Entonces $\alpha = $id$= (1)$ que es un $1-$ciclo.

Supongamos ahora que $k > 0$.
Hipótesis de Inducción. Supongamos que si $\beta \in S_n$ y $\#$sop $\beta < k$, entonces $\beta$ es un ciclo o un producto de ciclos disjuntos.
Como $k = \#$sop $(\alpha) > 0$, existe $i \in $ sop $\alpha$. Consideremos
\begin{align*}
i , \alpha(i), \alpha^2(i), \dots
\end{align*}

Sabemos que esta lista tienen elementos repetidos ya que consiste de números en $\{1,2,\dots,n\}$. Sea
\begin{align*}
r = \text{mín}\{t \in \n | i, \alpha(i), \dots, \alpha^t(i) \text{ tiene repeticiones}\}.
\end{align*}

Por la elección de $r$
\begin{align*}
\alpha^r(i) &= \alpha^s(i) & \text{para algún } 0 \leq s < r \\
\Rightarrow \, \alpha^{r-s}(i) &= i & \text{con } 0 < r-s \leq r.
\end{align*}

Por lo tanto, $i, \alpha(i), \dots, \alpha^{r-s}(i)$ tiene repeticiones con $r-s \leq r$.

Para no contradecir la elección de $r$ tenemos que $r-s = r$. Así $s = 0$ y $\alpha^r(i) = \alpha^0(i) = i$.

Obs. Observemos que $j \in \{i, \alpha(i), \alpha^{r-1}(i)\}$ si y sólo si $\alpha(j) \in \{i, \alpha(i), \alpha^{r-1}(i)\}$. Demostraremos esto.

$|\Rightarrow)$ Supongamos que existe $0 \leq t < r$ tal que $j = \alpha^{t}(i)$, entonces $\alpha(j) = \alpha^{t+1}(i)$ donde $0 < t+1 \leq r$.

Pero en el caso donde $t+1 = r$, $\alpha(j) = \alpha^r(i) = i$.
Así, $\alpha(j) \in \{i, \alpha(i), \dots, \alpha^{r-1}(i)\}$.

$\Leftarrow)$ Supongamos que existe $0\leq t < r$ tal que $\alpha(j) = \alpha^t(i)$.

Entonces $j = \alpha^{t-1}(i)$ para $-1 \leq t-1 < r$.

Pero en el caso cuado $-1 = t-1$, $j = \alpha^{-1} = \alpha^{-1}(i) = \alpha^{-1}(\alpha^r(i)) = \alpha^{r-1}(i)$.
Así $j \in \{i, \alpha(i), \dots, \alpha^{r-1}(i)\}$.

Ahora, sea $\sigma = (i \; \alpha(i) \; \dots \; \alpha^{r-1})$. Entonces $\sigma^{-1} = (\alpha^{r-1}(i) \; \dots \; \alpha(i) \; i)$.

Sea $\alpha’ = \sigma^{-1}\alpha$. Veamos la regla de correspondencia:
Si $j \in \{i, \alpha(i), \dots, \alpha^{r-1}(i)\}$ entonces existe $0 \leq t < r$ tal que $j = \alpha^t(i)$.
\begin{align*}
\alpha'(j) &= \sigma^{-1}\alpha(j) \\
&= \sigma^{-1}\alpha(\alpha^t(i)) \\
&= \sigma^{-1}(\alpha^{t+1}(i)) \\
&= \alpha^t(i) = j.
\end{align*}

Si $j \not\in \{i, \alpha(i), \dots, \alpha^{r-1}(i)\}$, por la observación, $\alpha(j) \not\in \{i, \alpha(i), \dots, \alpha^{r-1}(i)\}$, entonces
\begin{align*}
\alpha'(j) = \sigma^{-1}\alpha(j) = \sigma^{-1}(\alpha(j)) = \alpha(j).
\end{align*}
Así sop $\alpha’ = $ sop $\alpha \setminus$ sop $\sigma$.

Entonces $\alpha’$ y $\sigma$ son disjuntos y $\#$sop $\alpha’ < \#$sop $\alpha = k$.
Por la H.I. $\alpha’$ es un ciclo o un producto de ciclos disjuntos.

Concluimos que $\alpha = \sigma\alpha’$ es un producto de ciclos disjuntos.

$\blacksquare$

Ejemplo.
Sea $\alpha \in S_{10}$ como sigue

\begin{align*}
\alpha = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
4 & 1 & 7 & 9 & 6 & 8 & 3 & 5 & 2 & 10
\end{pmatrix}.
\end{align*}

Veamos qué sucede con el $1 \in $ sop $\alpha$. Le aplicamos $\alpha$ varias veces para formar el primer ciclo.

\begin{align*}
1, \alpha(1) = 4, \alpha^2(1) = 9, \alpha^3(1) = 2, \alpha^4(1) = 1.
\end{align*}

Entonces, nombremos $\sigma$ a ese $4-$ciclo, $\sigma = (1 \; 4 \; 9 \; 2)$.

Ahora, tomemos un elemento que no esté en $\sigma$, digamos $3$. De nuevo, aplicamos $\alpha$ varias veces para descubrir el ciclo al que pertenece.
\begin{align*}
3, \alpha(3) = 7, \alpha^2(3)=3.
\end{align*}

Tenemos así una transposición $(3\; 7).$

Volvemos a tomar un número que no aparezca hasta ahora, digamos $5$. Aplicando $\alpha$ varias veces, podemos descubrir el ciclo,
\begin{align*}
5, \alpha(5) = 6, \alpha^2(5) = 8, \alpha^3(5) = 5.
\end{align*}

Ponemos ahora un $1$-ciclo por cada elemento que sea fijado por $\alpha$, en este caso sólo para el $10$.

Así, nuestra permutación quedaría como
\begin{align*}
\alpha = (1 \; 4 \; 9 \; 2 ) (3 \; 7)( 5 \; 6 \; 8)(10).
\end{align*}

$\blacksquare$

Tarea moral

  1. Demuestra la observación: Si $n \geq 3$, entonces $S_n$ no es abeliano.
  2. Encuentra dos permutaciones disjuntas $\alpha$ y $\beta$. Encuentra $\beta\alpha$ y $\alpha\beta$ ¿qué observas al comparar $\beta\alpha$? Intenta con otro ejemplo de dos permutaciones disjuntas $\alpha$ y $\beta$ y analiza lo que ocurre.
  3. Sean $\alpha$ y $\beta$ dos permutaciones que conmutan ¿podemos concluir entonces $\alpha$ y $\beta$ son disjuntas?
  4. Considera el siguiente elemento de $S_{11}$
    \begin{align*}
    \alpha = \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11\\
    5 & 8 & 2 & 6 & 4 & 1 & 3 & 7 & 9 & 11 & 10
    \end{pmatrix}.
    \end{align*}
    Encuentra una factorización en ciclos disjuntos de $\alpha$, y de $\alpha^{-1}$.

Más adelante…

Ya conocemos qué son las permutaciones disjuntas y que cualquier permutación se puede ver como multiplicación de ciclos disjuntos. También, puede que hayas notado que comenzamos a escribir los $1-$ciclos de los elementos que se quedan fijos en las permutaciones. Esto nos encamina al tema principal de la siguiente entrada, la factorización completa, que no es más que la descomposición de una permutación en ciclos disjuntos incluyendo los $1-$ciclos.

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Álgebra Moderna I: Definición de Grupos

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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Introducción

Ahora sí, comenzaremos con el tema de este curso. Después de estudiar las operaciones binarias por fin veremos para qué nos sirven. Los grupos son una estructura algebraica. Están constituidos por dos partes, un conjunto y una operación ¿Puedes imaginarte de qué tipo de operación estamos hablando?

Para motivarlo, veamos cómo resolvemos esta ecuación:

\begin{align*}
x+8 & = 5\\
(x + 8) + (-8) &= 5 + (-8)\\
x + 0 &= -3\\
x &= -3
\end{align*}

Al resolver la ecuación, formalmente estamos usando las siguientes propiedades:

  • Asociatividad
  • Inverso aditivo
  • Neutro

En ese mismo orden.

En esta entrada definiremos formalmente a los grupos y daremos muchos ejemplos para que te empapes de la definición. Revisaremos los ejemplos que vimos en entradas anteriores y determinaremos cuáles son un grupo y cuáles no.

¿Qué es un grupo?

Definición. Sea $G$ un conjunto con una operación binaria $*$. Decimos que $(G,*)$ es un grupo si

  1. La operación $*$ es asociativa, es decir, $(a * b)*c = a*(b*c) \quad \forall a,b,c \in G$
  2. Existe $e \in G$ tal que $e*a = a*e = a \quad \forall a \in G$.
    A $e$ se le llama neutro en $G$.
  3. Para toda $a \in G$ existe $\tilde{a} \in G$ tal que $a*\tilde{a} = \tilde{a}*a=e$.
    En este caso, $\tilde{a}$ se llama inverso de a.

Si además * es conmutativa, es decir $a*b = b*a \quad \forall a,b \in G$, decimos que $(G,*)$ es un grupo abeliano.

Nota. Sea $G$ conjunto con una operación binaria $*$:

  • Si $G \neq \emptyset$, $(G,*)$ se llama magma.
  • Si $G\neq \emptyset$ y se cumple 1, $(G,*)$ se llama semigrupo.
  • Si se cumplen 1 y 2, $(G,*)$ se llama monoide.

Repaso de ejemplos anteriores

Veamos de nuevo algunos ejemplos de las entradas anteriores y comprobemos si cumplen con la definición de grupo.

  • $G : = \z^+$, $a*b = \text{máx}\{a,b\}$.
    • En la entrada anterior vimos que $*$ es asociativa y conmutativa.
    • $1$ es el neutro.
      Demostración. $1*a = a*1 = \text{máx}\{1,a\} = a \quad \forall a \in \z^+$. $\blacksquare$
    • $2$ no tiene inverso.
      Demostración. $2*a = \text{máx}\{2,a\} \geq 2 \quad \forall a \in \z^+$, por lo que $2 * a \neq 1 \quad a \in \z^+$.

$\therefore (\z^+,*)$ NO es un grupo. $\blacksquare$

  • $G:= \z^+$, $a*b = a$.
    • No tiene neutro, si existiera $e \in \z^+$ neutro, entonces para toda $a\in\z^+$, por la definción de la operación $e*a = e$, pero la definición de neutro requiere que $e*a = a$. Entonces, esto implica que $e = a$ y como esto no es necesariamente cierto, pues $a$ es un entero positivo cualquiera, obtenemos una contradicción.

$\therefore (\z^+,*)$ NO es un grupo. $\blacksquare$

  • $(\cM_{2\times 2}(\z), +)$ es un grupo abeliano, la demostración queda como ejercicio.
  • $(\{ f \; | \; f:\r \to \r\}, \circ)$ no es un grupo, pues aunque $\mathrm{id}_{\r}$ es neutro, no todo elemento tiene inverso, como se ve en Álgebra Superior I.
  • $(S_3, \circ)$ es un grupo no abeliano. Generalizaremos este ejemplo más adelante y le llameremos grupo simétrico.
  • $\cS = \{2,4,6\}$ con la operación
$*$$2$$4$$6$
$2$$2$$4$$6$
$4$$4$$4$$6$
$6$$6$$6$$6$

Si observamos la tabla, podemos concluir que:

  • $2$ es neutro.
  • $4$ y $6$ no tienen inversos.

Por lo tanto, NO es un grupo.

$\blacksquare$

  • $\cS = \{2,4,6\}$ con la operación
$*$$2$$4$$6$
$2$$2$$2$$2$
$4$$4$$4$$4$
$6$$6$$6$$6$
  • No hay un neutro.

Como no hay neutro, ni siquiera tiene sentido pensar en la existencia de inversos. Por lo tanto, NO es un grupo.

$\blacksquare$

  • $\cS = \{1,-1\}$
$*$$1$$-1$
$1$$1$$-1$
$-1$$-1$$1$
  • El $1$ es el neutro.
  • La operación es asociativa.
  • $1$, $-1$ son sus propios inversos.
  • Además, la operación conmuta, porque la operación es el producto usual.

Por lo tanto es un grupo abeliano.

$\blacksquare$

  • $(\z, +)$ es un grupo.
  • Sea $K$ un campo y $K^* = K \setminus \{0_K\}$. Si consideramos $(K^*, \cdot)$ tenemos un grupo abeliano. Le quitamos el $0_K$ pues es el único número que no tiene inverso multiplicativo.
  • $\mathbb{S}’ = \{z \in \mathbb{C} \; |\; |z|= 1\}$. Es decir, los complejos con norma igual a $1$. Es un grupo abeliano con el producto.
Representación geométrica del conjunto.
  • Dentro de los complejos podemos considerar $$\Gamma_n = \left\{ \xi^k \; | \; 0 \leq k < n \right\},$$ con $\xi = e^{\frac{2\pi i}{n}}$. Geométricamente corresponden a los vértices de un polígono regular de $n$ lados y algebraicamente son las raíces $n$-ésimas de la unidad. Forman un grupo abeliano con el producto.
Representación geográfica del conjunto cuando $n= 6$.

Ejemplos importantes de matrices

Los siguientes son ejemplos de algunos grupos importantes. Recuérdalos porque son ejemplos que serán recurrentes en futuras entradas. Recuerda que no todas las matrices tienen inverso multiplicativo y que el producto de matrices no es conmutativo. Para refrescar tu memoria, puedes consultar las entradas de matrices inversas y operación de matrices.

  1. $$GL(n,\r) = \{A \in \cM_{n\times n}(\r) \;|\; \det A \neq 0\},$$ con el producto usual es un grupo no abeliano. Este par ordenado $(GL(n,r), \cdot)$ es conocido como el grupo lineal general.
  2. $$SL(n,\r) = \{A \in \cM_{n\times n}(\r) \;|\; \det A = 1\},$$ con el producto usual es un grupo no abeliano. Este es el grupo lineal especial.
  3. $$SO(n,\r) = \{A \in \cM_{n\times n}(\r) \; | \; AA^t = I_n, \; \det A = 1\},$$ con el producto usual es un grupo no abeliano. A éste se le conoce como grupo ortogonal especial.
  4. $$O(n, \r) = \{A \in \cM_{n\times n}(\r) \; |\; AA^t = I_n\},$$ con el producto usual es un grupo no abeliano. Este es conocido como el grupo ortogonal.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Determina, en cada uno de los siguientes casos, si el sistema descrito es grupo o no. En caso negativo, señala cuál o cuáles de los axiomas de grupo no se verifican. En caso afirmativo demuestra que es un grupo:
    • $G = \r \setminus \{-1\}$, $a*b := a+b+ab$.
    • $G = \r^*$, $a*b = |a|b$.
    • $G = \{r \in \mathbb{Q} \;|r\text{ se puede expresar como }\; r = \frac{p}{q} \text{ con } (p,q)= 1 \text{ y } q \text{ impar}\}$, $a*b = a+b$ (la adición usual).
    • Sea $X$ un conjunto. Considera $G = \mathcal{P}(X)$ el conjunto potencia de $X$ con la operación binaria $A \triangle B = (A \cup B)\setminus (A \cap B)$ para todo $A,B \in \mathcal{P}(X)$.
  2. Demuestra la siguientes afirmaciones referentes a grupos, dadas en los ejemplos anteriores:
    • $(\cM_{2\times 2}(\z), +)$ es un grupo abeliano.
    • $(S_3, \circ)$ es un grupo no abeliano.
    • $(\z, +)$ es un grupo.
    • $(K^*, \cdot)$ con $K$ un campo, es un grupo abeliano.
    • $(\Gamma_n, \cdot)$ es un grupo abeliano, con $\cdot$ el producto.
  3. Demuestrá por qué los ejemplos importantes de matrices son grupos no abelianos.

Más adelante…

Después de tantas definiciones y ejemplos, comenzaremos a ver más teoremas y demostraciones. En la siguiente entrada profundizaremos en las propiedades de grupos derivadas de su definición. Además, veremos un teorema conocido como la «Definición débil de Grupo».

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