Esta es la página del curso Álgebra Moderna I que imparto en la Facultad de Ciencias de la UNAM. En este curso cubrimos el temario oficial de la materia viendo varios problemas y ejemplos en el camino.
Contenido
Organización del curso
El curso está dividido en cuatro unidades temáticas.
- Unidad 1: Grupos y Subgrupos
- Unidad 2: Permutaciones
- Unidad 3: Grupo cociente y Homomorfismos
- Unidad 4: Acciones y Teoremas de Sylow
Notas del Curso
A continuación están las entradas de blog con el contenido del curso. Han sido trabajadas por Cecilia Villatoro y yo. Se irán agregando los enlaces poco a poco durante el semestre 2022-1, conforme el material esté disponible.
Unidad 1: Grupos y Subgrupos
- Introducción al curso
- Operación binaria
- Operación binaria asociativa y conmutativa
- Definición de Grupo
- Propiedades de grupos y Definición débil de grupo
- Asociatividad generalizada y Leyes de los exponentes
- Subgrupos
- Orden de un elemento y Grupo cíclico
- Orden de un grupo
- Teoremas sobre subgrupos
- Subgrupo generado por $\left<x\right>$ y Palabras
Unidad 2: Permutaciones
- Permutación, Grupo Simétrico, Soporte, Ciclo de longitud $r$ y Disjuntas ajenas
- Permutaciones disjuntas
- Factorización completa
- Unicidad de la factorización, Misma Estructura Cíclica, Conjugada y Teorema $S_n$
- Polinomio de Vandermonde
- Paridad y signo del polinomio
- Grupo Alternante y Producto de subconuntos
- Clases laterales
- El número de elementos en las clases laterales es el mismo e Índice de un subgrupo
- Teorema de Lagrange
- Subgrupo Conjugado, Subgrupo Normal y Conmutatividad Parcial
- Teoremas y proposiciones relacionadas con lo anterior
Unidad 3: Grupo cociente y Homomorfismo
- Grupo cociente
- Subgrupo conmutador
- Homomorfismo y sus diferentes tipos
- Propiedades de isomorfismo
- Propiedades de homomorfismo
- Núcleo de un homomorfismo
- Proyección canónica y ejemplos
- Primer Teorema de Isomorfía
- Segundo Teorema de Isomorfía
- Ejemplo del Segundo Teorema de Isomorfía
- Tercer Teorema de Isomorfía
- Ejemplo del Tercer Teorema de Isomorfía
- Cuarto Teorema de Isomorfía
- Ejemplo del Cuarto Teorema de Isomorfía
Unidad 4: Acciones y Teoremas de Sylow
- Teorema de Cayley
- Teorema de existencia de un homomorfismo entre $G$ y las permutaciones
- Acciones
- Órbita de un $G$-conjunto, Acción Transitiva y ejemplos
- Acción Fiel y Estabilizador de un conjunto
- Ejemplos de un $G$-conjunto
- Clase de conjugación de $X$, Centro de $G$ y Ecuación de Clase
- $p$-Grupo y Teorema de Cauchy
- Consecuencias del Teorema de Cauchy
- $p$-Subgrupo de Sylow y Normalizador de $H$ en $G$
- Primer Teorema de Sylow
- Segundo Teorema de Sylow
- Tercer Teorema de Sylow
Videos del curso
Como material adicional, se elaborarán videos con problemas resueltos.
Moodle del curso
Además de las notas y videos del curso, se encuentra en construcción un curso en Moodle en donde hay mucho más material:
- Foros de discusión divididos por cada unidad temática
- Cuestionarios de opción múltiple y respuesta numérica para verificar el entendimiento de cada uno de los temas que cubrimos en el curso
- Tareas y exámenes
Para tener acceso a este material, es necesario tener una cuenta en el portal NekoMath Learn y pedir en un correo la inscripción al curso en línea.
Evaluación
La forma específica de evaluar depende de cada vez que se imparte el curso. Hay variantes entre la modalidad en línea y la modalidad presencial.
Bibliografía
En esta página se pueden encontrar las notas que usamos para llevar el curso. Está basado en las notas de la profesora Diana Avella de su crso de Álgebra Moderna I del semestre 2021-1.
Créditos
Las siguientes personas han ayudado a crear el material de este curso:
- Diana Avella Alaminios
- Axel García
- Cecilia del Carmen Villatoro Ramos