Esta es la página del curso Álgebra Moderna I que imparte la profesora Diana Avella Alaminos en la Facultad de Ciencias de la UNAM. En este curso se cubre el temario oficial de la materia viendo varios problemas y ejemplos en el camino.
Contenido
Organización del curso
El curso está dividido en cinco unidades temáticas.
- Unidad 1: Grupos y Subgrupos
- Unidad 2: Permutaciones
- Unidad 3: Grupo cociente y Homomorfismos
- Unidad 4: Acciones y Teoremas de Sylow
- Unidad 5: Jordan Hölder y el Teorema fundamental
Notas y videos del Curso
A continuación están las entradas de blog con el contenido del curso. Han sido trabajadas por la alumna Cecilia Villatoro Ramos a partir de las notas de clase de la profesora Diana Avella Alaminos. Se irán agregando los enlaces poco a poco, conforme el material esté disponible.
Estas notas a su vez se elaboraron a partir de la bibliografía abajo indicada y no pretenden presentar demostraciones originales sino organizar y unificar el material de dichos textos, agregando explicaciones, ejemplos, ejercicios, enlaces, etc., para que los alumnos lo puedan entender de forma accesible, siguiendo por completo el temario oficial de la materia, y presentando sólo lo que podría estudiarse de manera realista en un curso de un semestre con tres horas a la semana de clases con el profesor titular. Cabe mencionar que cada entrada del blog corresponde al material que puede ser impartido en aproximadamente una hora de clase.
Sugerimos al lector que desee ampliar su estudio en la materia, revisar los textos a partir de los cuales se estructuró el curso.
Los videos fueron elaborados en su totalidad por la profesora Diana Avella Alaminos.
Unidad 1: Grupos y subgrupos
Notas
- Introducción al curso
- Operación binaria
- Operación binaria asociativa y conmutativa
- Definición de Grupo
- Propiedades de grupos y Definición débil de grupo
- Asociatividad generalizada y Leyes de los exponentes
- Subgrupos
- Orden de un elemento y Grupo cíclico
- Orden de un grupo
- Teoremas sobre subgrupos y Subgrupo generado por $X$
- Palabras
Unidad 2: Permutaciones y grupo cociente
Notas
- Permutación y Grupo Simétrico
- Permutaciones disjuntas
- Factorización completa
- Misma Estructura Cíclica, Permutación Conjugada y Polinomio de Vandermonde
- Paridad de una permutación
- Producto de subconjuntos y Clases Laterales
- Relación de equivalencia dada por un subgrupo e índice de $H$ en $G$
- Teorema de Lagrange
- Caracterización de grupos cíclicos
- Subgrupo Conjugado, Subgrupo Normal y Conmutatividad Parcial
- Teoremas y Proposiciones relacionadas con subgrupo normal y grupo alternante.
- Grupo cociente
- Subgrupo conmutador
Unidad 3: Homomorfismos
Unidad 4: Acciones y Teoremas de Sylow
Notas
- Teorema de Cayley
- Una modificación al Teorema de Cayley
- Acciones
- Órbita de $x$ y tipos de acciones
- Acción Fiel y Estabilizador de un conjunto
- Ejemplos de un $G$-conjunto
- Clase de conjugación de $X$, Centro de $G$ y Ecuación de Clase
- $p$-Grupo y Teorema de Cauchy
- Consecuencias del Teorema de Cauchy
- $p$-Subgrupo de Sylow y Normalizador de $H$ en $G$
- Primer Teorema de Sylow
- Segundo Teorema de Sylow
- Tercer Teorema de Sylow
Unidad 5: Jordan Hölder y el Teorema fundamental
Notas
- Producto directo externo
- Producto directo interno
- Lemas previos al teorema fundamental de los grupos abelianos finitos.
- Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos
- Grupos simples y Series de grupos
- Teorema de Jordan Hölder
Videos del curso
Como material adicional, se elaborarán videos con problemas resueltos.
Moodle del curso
Además de las notas y videos del curso, se encuentra en construcción un curso en Moodle en donde hay mucho más material:
- Foros de discusión divididos por cada unidad temática
- Cuestionarios de opción múltiple y respuesta numérica para verificar el entendimiento de cada uno de los temas que cubrimos en el curso
- Tareas y exámenes
Para tener acceso a este material, es necesario tener una cuenta en el portal NekoMath Learn y pedir en un correo la inscripción al curso en línea.
Evaluación
La forma específica de evaluar depende de cada vez que se imparte el curso. Hay variantes entre la modalidad en línea y la modalidad presencial.
Bibliografía a partir de la cual se elaboró el curso:
- Avella D., Mendoza O., Sáenz E. C., Souto M. J., Grupos I,
Colección Papirhos IMUNAM, México, 2014, 192 págs. - Avella D., Mendoza O., Sáenz E. C., Souto M. J., Grupos II,
Colección Papirhos IMUNAM, México, 2016, 202 págs. - Fraleigh, J.B., A first course in abstract algebra, Boston, Addison-Wesley,
2003. - Herstein, I.N., Topics in algebra, New York, J. Wiley, 1975.
- Rotman, J.J., A first course in abstract algebra, New Jersey, Pren-
tice Hall, 2000. - Rotman, J.J., An introduction to the theory of groups, New York, Springer,
1995.
Bibliografía sugerida disponible en la Biblioteca digital de la UNAM:
- Bhattacharya, P. B., Jain, S. K., Nagpaul, S. R., Basic abstract algebra,
- Cambridge University Press, 1994.
- Finston, D. R., Morandi, P. J., Abstract algebra : structure and application,
- Birkh ̈auser, 2014.
- Grillet, P. A., Abstract algebra, New York : Springer, 2007.
- Grove, L. C. Algebra, New York : Academic Press, 1983.
- Lee, G.T., Abstract algebra : an introductory course, Sringer, 2018.
- Rotman, J.J., Advanced modern algebra, American Mathematical Society,
- Providence, Rhode Island, 2017.
- Smith, J. D.H., Introduction to abstract algebra, CRC Press, E.U., 2009.
- Wadsworth, A.R., Problems in abstract algebra, Providence, Rhode Island:
American Mathematical Society, 2017.
Créditos
Las siguientes personas han ayudado a crear el material de este curso:
- Diana Avella Alaminios
- Axel García
- Cecilia del Carmen Villatoro Ramos