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Álgebra Moderna I: Palabras.

Introducción

En la entrada anterior tomamos un grupo $G$ y un subconjunto $X \subset G$ y, logramos encontrar al mínimo subgrupo de $G$ que contuviera a $X$. Este conjunto resultó ser la intersección de todos los subgrupos contenidos en $G$ que, a su vez, contuvieran a $X$. Recordemos que se llama el subgrupo de $G$ generado por $X$ y se denota

\begin{align*}
\left< X\right> = \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H.
\end{align*}

Sin embargo, esto no nos dice mucho sobre los elementos de $X$. Ilustremos un poco lo que tenemos. Tomemos un grupo $G$, un subconjunto $X \subset G$ y al generado $x \subset \left<X\right> \subset G$. Entonces, si nos tomamos $x_1,x_2,x_3 \in X$, sabemos que todas las potencias de esos elementos están en el generado de $X$. Es decir, para todas $q,r,s \in \z$, $x_1^q, x_2^r, x_3^s \in \left<X\right>$. Más aún, las diferentes multiplicaciones de esos elementos también están en $\left<X\right>$, por ejemplo, si nos tomamos $x_1^1, x_3^{-2}, x_2^{3}$ y $x_1^{-4}$, el elemento

\begin{align}\label{palabra}
x_1^{-4} x_3^{-2} x_1^1 x_2^{3}
\end{align}

está en $\left<X\right>$, por ser una multiplicación de elementos del conjunto. Entonces, en el generado de $X$ estarán todos los elementos de $X$, las potencias de esos elementos y todas las multiplicaciones entre las potencias.

Al elemento \eqref{palabra} la llamamos palabra en $X$ y es lo que estudiaremos en esta entrada. Además, las palabras pueden ser una descripción del generado, sin embargo, esta descripción no es igual a la de álgebra lineal porque hay que recordar que el subgrupo en general no es abeliano. En consecuencia, existen palabras que no se pueden simplificar más de lo que están.

Nuestra primera aproximación a las palabras

Definición. Sea $G$ un grupo, $X$ un subconjunto de $G$. Una palabra en $X$ es, o bien el neutro $e$, o bien un elemento de la forma

$x_1^{\alpha_1}, \dots, x_n^{\alpha_n}$

con $n \in \n^+$, $x_1,\dots, x_n, \alpha_1, \dots, \alpha_n \in \z$.

Notación. Denotamos por $W_x$ al conjunto de todas las palabras en $X$.

Ejemplos

  1. Sea $G = D_2(4)$ el grupo diédrico formado por las simetrías de cuadrado. Sea $a$ la rotación de $\pi/2$ y $b$ la reflexión con respecto al eje $x$.
    $ba^3 b a^{-1} b^{-4} a$ es una palabra en $\{a, b\}$.
    En este caso, la palabra sí se puede simplificar como:
    \begin{align*}
    b a^3 b a^{-1}b^{-4} a &= ba^3ba^{-1} e a \\
    & = b a^3 b a^{-1} a \\
    & = ba^3 b
    \end{align*}
    Para la primera igualdad, recordemos que $b$ es la rotación por $\pi/2$, entonces al rotarlo $4$ veces, el cuadrado recupera su estado inicial, por eso $b^{-4} = b^{4} = e$.

    Notación. Usaremos la notación $D_2(4)$ para denotar las simetrías del cuadrado (que tiene 4 vértices) y el grupo diédrico tiene 8 elementos. Otros autores pueden escribir simplemente $D_8$, pero esto se puede confundir con el grupo de las simetrías de un octágono.
  2. Consideremos el conjunto $H = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$. Este conjunto es llamado el grupo de los cuaterniones o cuaternios y se suele denotar por $Q$ o $Q_8$ porque tiene 8 elementos.
    Las operaciones en el conjuto se definen como:
    \begin{align*}
    1 a &= a 1 = a &\forall a \in H \\
    (-1) a &= a (-1) = -a & \forall a \in H
    \end{align*}
    Además, las multiplicaciones no son conmutativas y están definidas así:
    $\begin{align*}
    ij &= k, \quad jk = i, \quad ki =j, \\
    ji &= -k, \quad kj = -i, \quad ik=-j, \\
    i^1 &= j^2 = k^2 = -1
    \end{align*}$

    Primero, podemos considerar el conjunto de palabras de $j$:
    \begin{align*}
    W_{j} = \{j,-1,-j, +1\}
    \end{align*}
    podemos considerar la palabra $j^5j^{-2} j^{3} j^{-4}$, resolviendo las potencias podemos concluir que esta palabra es igual a $-1$ (verificarlo quedará como ejercicio).

    También podemos considerar el conjunto de palabras de $j$ y $k$:
    \begin{align*}
    W_{j,k} = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k \}
    \end{align*}

Palabras y el Subgrupo generado por $X$ $\left(\left< X \right>\right)$

Lema. Sea $G$ un grupo y $X$ un subconjunto de $G$. $W_X$ es un subconjunto de $G$ que contiene a $X$.

Demostración.
Caso 1, cuando $X = \emptyset$.
En este caso, $W_x = \{e\} \leq G$ y $X = \emptyset \subset \{e\} = W_x$.

Caso 2, cuando $X \neq \emptyset$.
P.D. $W_x \leq G$.
Por definición $e \in W_X$.
Sean $a, b \in W_X$, entonces

\begin{align*}
a &= x_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n} & \alpha_1, \dots, \alpha_n, \beta_1, \dots, \beta_m \in \z \\
b &= y_1^{\beta_1} \dots y_m^{\beta_m} & x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_m \in X\\
&& n,m \in \n^+
\end{align*}

Entonces, podemos tomar $ab^{-1}$ y verificar quién es

\begin{align*}
a b^{-1} &= (a_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n})(y_1 \dots y_m^{\beta_m})^{-1} \\
& = x_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n}y_m^{-\beta} \dots y_1^{-\beta_1} \in W_X
\end{align*}

Por lo tanto $W_X \leq G$.

P.D. $X \subseteq W_X$.
Sea $x \in X$,
\begin{align*}
x = x^1 \in W_X
\end{align*}

Por lo tanto $X \subseteq W_X$.

$\square$

Teorema. Sea $G$ un grupo, $X$ un subconjunto de $G$. Entonces

$\left< X \right> = W_X$.

Demostración.
$\subseteq)$ Por el lema anterior, $W_X \in \{H \leq G : X \subset H\}$. Entonces, por nuestra definición del subgrupo generado,
\begin{align*}
\left< X \right> = \cap H \subseteq W_X
\end{align*}

$\supseteq)$ Sea $a \in W_X$, entonces $a = x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n}$ con, $n \in \n^+$, $\alpha_1, \dots, \alpha_n \in \z$ y $x_1, \dots, x_n \in X$.

Para cada $x_i \in X$, con $i \in \{1,..,0\}$, se cumple que $x_i \in \left< X \right>$, entonces $X \subseteq \left< X \right>$.
Entonces $x_i \in \left< X \right>$ para toda $i \in \{1, \dots ,n\}$, porque el generado es un subgrupo. Luego, como $\left< X\right> \leq G$, obtenemos que $x_i^{\alpha_i} \in \left< X \right>$ para toda $i \in \{1,\dots,n\}$.

Entonces, $a = x_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n} \in \left<X\right>$.

Por lo tanto, $\left< x \right> = W_x$.

$\square$

¿Quién es el orden de un producto?

Si tenemos un grupo $G$ y $a, b in G$, ya hemos hablado del orden de un elemento. Es decir, sabemos quién es $o(a)$ y $o(b)$, pero poco sabemos de $o(ab)$. Ahora podemos dar una explicación más precisa del orden de un producto, en cierto caso:

Teorema. Sea $G$ un grupo y $a, b \in G$.
Si $a$ y $b$ son de orden finito, sus ordenes son primos relativos y $ab = ba$, entonces

\begin{align*}
o(ab) &= o(a) o(b) \\
\text{y } \left< a,b \right> &= \left<ab\right>
\end{align*}

Demostración.
Sea $G$ un grupo, $a,b \in G$ de orden finito con $n = o(a)$, $m = o(b)$. Supongamos que $(n,m) = 1$ y $ab = ba$.

P.D. $o(ab) = nm$.
Entonces

\begin{align*}
(ab)^{nm} & = a^{nm} b^{nm} & \text{ porque } ab = ba \\
& = (a^n)^m(b^m)^n & \text{ propiedades de los exponentes}\\
& = e^m e^n
& = e
\end{align*}

Ya teniendo que $(ab)^{nm} = e$, tenemos que ver que $nm$ es la mínima potencia que lo cumple o ver que divide a cualquier otra potencia $k$ tal que $(ab)^k = e$.

Ahora, si $(ab)^k = e$, entonces $a^k b^k = e$. Despejando, obtenemos $a^k = b^{-k}$.

Así $(a^k)^m = (b^{-k})^m = (b^m)^{-k} = e^{-k} = e$ (porque $o(b) = m$), es decir $a^{km} = e$. Ya sabemos que $o(a) = n$, entonces $n|km$ y porque $(n,m) = 1$ entonces $n|k$.

Análogamente, si tomamos $(a^k)^n = (b^{-k})^n$ obtenemos que $m|k$.

Como $n|k$ y $m|k$ con $(n,m = 1)$, entonces $nm|k$.
Por lo tanto $o(ab) = nm$.

P.D. $\left< a,b \right> = \left< ab \right>$.
Como toda palabra en $\{ab\}$ es una palabra en $\{a, b\}$ entonces
$\begin{align*}
\left< ab \right> \subseteq \left< a, b \right>
\end{align*}$

Por otro lado, como $ab = ba$, toda palabra en $\{a,b\}$ se reduce a una de la forma $a^{i}b^{i}$ con $i, j \in \z$, y como $o(a) = n$, $o(b) = m$, la expresión $a^{i}b^{i}$ se puede reducir aún más a una expresión de la forma $a^{i}b^{i}$ con $0 \leq i < n$ y $0 \leq j < m$.

Entonces $\left< a, b \right> = \{a^{i}b^{j}: 0 \leq i < n, 0 \leq j < m\}$. Luego, $|\left<a, b\right>| \leq nm$.
Pero $\left< ab \right> \subseteq \left<a,b\right>$, entonces $|\left< ab \right>| \leq |\left< a,b \right>|$.
Así,

\begin{align*}
nm = o(ab) = |\left< ab \right>| &\leq |\left< a,b \right>| \leq nm. \\
\end{align*}

Por lo tanto $\left<ab\right> = \left< a, b \right>$

$\square$

Tarea moral

  1. En el grupo de los cuaterniones definido anteriormente, verifica que $j^5j^{-2}j^3j^{-4} = -1$.
  2. Considera $Q$, el grupo de cuaternios. Reduce la siguiente palabra a uno de sus elementos $(\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k)$,
    $\begin{align*}
    j^7k(-i)jki^2jk^{-6}
    \end{align*}$
  3. Sea $D_{2n} = \{\text{ id }, a, \dots, a^{n-1}, ab, \dots, a^{n-1}b\}$ el grupo diédrico formado por las simetrías de un polígono regular de $n$ lados, con $a$ la rotación de $\displaystyle \frac{2\pi}{n}$ y $b$ la reflexión con respecto al eje $x$.
    1. Identifica geométricamente quiénes son $\text{ id }, a, \dots, a^{n-1}, ab, \dots, a^{n-1}b$.
    2. Determina quién es el elemento $bab$ y, de modo más general, quién es el elemento $ba^{i}b$.
    3. Determina quién es el elemento $ba^i$.
  4. Considera el grupo simétrico $S_5$, $\alpha$ la permutación que manda $1$ en $2$, $2$ en $3$ y $3$ en $4$, y $\beta$ la permutación que intercambia $5$ y $5$.
    1. Encuentra $\beta \alpha$ y $\alpha \beta$.
    2. Encuentra el orden de $\alpha$, $\beta$, $\alpha\beta$ y $\beta\alpha$.
  5. Por último, te invitamos a que veas este vídeo que habla sobre las aplicaciones tecnológicas del grupo de los cuaternios. El video está en inglés, pero tiene subtítulos en inglés.

Más adelante…

¡Felicidades por acabar la Unidad 1! Ya entiendes las bases de este curso, trata de recordarlas porque las estaremos usando implícitamente.
En la siguiente unidad estaremos viendo Permutaciones y Grupo Cociente, para no adelantar mucho, ambas estructuras son grupos muy importantes en el álgebra y nuestros objetos de estudio en la siguiente unidad.

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Álgebra Moderna I: Teoremas sobre subgrupos y Subgrupo generado por $ X $

Introducción

Ya vimos qué es un subgrupo cíclico generado por $\left<a\right>$. Ahora nos preguntamos si, teniendo $G$ cíclico y tomando cualquier subrgrupo $H \subset G$ ¿será cierto que $H$ también es cíclico?

Ilustremos esto con un ejemplo. Consideremos $\z$ con la suma, en este caso $\z = \left<1\right>$,

$\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$.

Entre posibles subgrupos podemos encontrar:

$\dots, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, \dots$
$\dots, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, \dots$

es decir $\left<2\right>$ y $\left<3\right>$ respectivamente. Pero también podemos observar que tanto $2$ como $3$ son la mínima potencia de $1$ que aparece en sus respectivos generados. Es decir, aunque el $1$ no esté en un subgrupo cíclico de $\z$, el subgrupo será generado por la mínima potencia de $1$ que sí sea elemento del subgrupo. En esta entrada, comenzaremos probando este resultado.

En la segunda parte de esta entrada regresaremos a nuestra problemática inicial. Si tenemos un subconjunto $X \subset G$, con $G$ un grupo, ¿cuál es el mínimo subgrupo $H \in G$ tal que $X \subset H$?

Podemos estar de acuerdo en que es posible que $X$ esté contenido en más de un subgrupo, en general estará contenido por una familia se subgrupos de $G$. A estos subgrupos los denotaremos como $H_i$ con $i \in \{1, \dots, n\}$. Entonces el mínimo subgrupo de $G$ que contenga a $X$ será la intersección de esta familia, porque sabemos que $\displaystyle X \subset \bigcap_{i \in \{1, \dots, n\}}H_i$. Esto será lo que desarrollaremos en la segunda parte de la entrada.

Los subgrupos de un grupo cíclico, es cíclico.

Teorema. Todo subgrupo de un grupo cíclico, es cíclico.

Demostración.
Sea $G$ un grupo cíclico, $H \leq G$.
Como $G$ es cíclico, entonces $G = \left< a \right>$ para algún $a \in G$.

Para ver que $H$ es cíclico tenemos que proponer un generador de $H$, este generador tiene que ser una potencia de $a$, porque $H \subset G$ y $G$ es cíclico. Por lo que dijimos en la introducción, agarraremos la menor potencia de $a$ que esté en $H$. Pero, para ello, tenemos que asegurarnos de que existen potencias positivas de $a$. Así, manejaremos dos casos.

Si $H = \{e\} = \left< e \right>$ que es cíclico.

Si $H \neq \{e\}$, sea $h \in H\setminus\{e\}$. Entonces como $H \leq G$, $h \in G = \left<a\right>$. Así $h = a^k$ para algún $k \in \z$ y como $h \neq e$ entonces $k \neq 0$.

Tenemos que $h^{-1} = a^{-k} \in H$ pues $H$ es subgrupo.

Así $a^k$, $a^{-k} \in H$ (con $k \in \z \setminus\{0\}$), entonces no importa si $k$ es positivo o negativo, siempre habrá $a$ elevado a algo positivo, es decir,

$\{n \in \z^+ | a^n \in H\} \neq \emptyset$.

Sea $m = \text{mín } \{n \in \z^+|a^n\in H\}$.
P.D. $H = \left< a^m \right>$

$\supseteq]$
Por la elección de $m$, $a^m \in H$ y entonces $\left< a^m \right> \subseteq H$.

$\subseteq]$
Sea $h \in H$. Como $H \leq G = \left<a\right>$, entonces $h = a^k$ para algún $k \in \z$.

Por el algoritmo de la división existen $q,r \in \z$ tales que $k = mq+r$ con $0 \leq r < m$.
Entonces $h = a^k = a^{mq+r} = (a^m)^q a^r$
$(a^m)^{-q}h = a^r$

Pero $a^m \in H$, $h \in H$ y $H$ es subgrupo, entonces $a^r = (a^m)^{-q}h \in H$ con $0 \leq r < m$. Para no contradecir la elección de $m$ concluimos que $r=0$.

Así $h = a^{mq} = (a^m)^q \in \left< a^m \right>$.
Por lo tanto $H = \left< a^m \right>$ y $H$ es cíclico.

$\square$

El mínimo subgrupo que contiene a cualquier subconjunto $X$

Teorema. La intersección de una familia no vacía de subgrupos de un grupo $G$ es un subgrupo de $G$.

Cuando decimos familia no vacía nos referimos a que haya al menos un grupo a intersecar. Es una condición que se pide para que a nivel conjuntista no hayaproblemas con la intersección.

Demostración.
Sea $G$ un grupo y $\{H_i | i \in I\}$ una familia de subgrupos de $G$.
P.D. $\displaystyle \bigcap_{i \in I} H_i \leq G$.

Como $H_i \leq G$ para toda $i \in I$, entonces $e \in H_i$ para toda $i \in I$ y así $\displaystyle e \in \bigcap_{i \in I} H_i$.

Sea $\displaystyle a, b \in \bigcap_{i \in I}$. Tenemos que $a,b \in H_i$ para toda $i \in I$.
Como $H_i \leq G$ para toda $i \in I$, entonces $ab^{-1} \in H_i$ para $i \in I$ y así $a b^{-1} \in \displaystyle \bigcap_{i \in I}H_i$.

Por lo tanto $\displaystyle \bigcap_{i \in I} H_i \leq G$.

$\square$

Corolario. Sea $G$ un grupo y $X$ un subconjunto de $G$. Existe un subgrupo de $G$ que contiene a $X$ y que estará contenido en cualquier subgrupo de $G$ que contenga a $X$.

Demostración.
Sea $G$ un grupo y $X$ subconjunyo de $G$.
$G$ es un subgrupo de $G$ que contienen a $X$ y entonces la familia $\{H \leq G | X \subseteq H\}$ es no vacia. Entonces sí existen subgrupos de $G$ que contienen a $X$.

Consideremos $\displaystyle \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H$. Por el teorema anterior es un subgrupo de $G$ y por construcción $X \in \displaystyle \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H$.

Si $\hat{H}$ es un subconjunto de $G$ que contiene a $X$, entonces $\hat{H} \in \{H \leq G | X \subseteq H \}$, y al ser uno de los intersectados, obtenemos

$\displaystyle \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H \subseteq \hat{H}$.

$\square$

El subgrupo de $G$ generado por $X$

Para concluir esta entrada, daremos una definición que resume lo visto.

Definición. Sea $G$ un grupo y $X$ un subgrupo de $G$. El conjunto

\begin{align*}
\bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H
\end{align*}

es el subgrupo de $G$ generado por $X$ y se denota por $\left< X \right>$.

Decimos que $X$ genera a $G$ si $\left< X \right> = G$.

Observación. Sea $G$ un grupo y sea $a \in G$. Entonces

\begin{align*} \left< \{a\} \right> = \left< a \right>. \end{align*}

Demostración. Se quedará como tarea moral.

Notación. Para $a_1,\dots, a_n \in G$, el conjunto $\left< \{a_1,\dots, a_n\}\right>$ se denota por $\left< a_1, \dots, a_n \right>$.

Tarea moral

  1. Sea $G$ un grupo tal que todos sus subgrupos propios son cíclicos, entonces $G$ es cíclico. Demuestra este enunciado o encuentra un contraejemplo.
  2. Considera a los enteros con la suma. Describe a los subgrupos:
    1. $\left<\{10, 15\}\right>$ (se denota por $\left<10,15\right>$).
    2. $\left<\{9, 20\}\right>$ (se denota por $\left<9,20\right>$).
  3. Demuestra la última observación: Sea $G$ un grupo y sea $a \in G$. Entonces $\left< \{a\} \right> = \left< a \right>$. Hint: Usa la doble contención y el teorema anterior.

Más adelante…

Ya estudiamos a los elementos de la forma $a^k$ con $a \in G$, $k \in \z$ y $G$ grupo. En la siguiente entrada combinaremos varios elementos de esa forma. Estudiaremos qué son y algunas propiedades de las llamadas palabras. Además, la siguiente entrada es la última de esta unidad, ¡sigue avanzando! ya casi acabas.

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Álgebra Moderna I: Orden de un grupo

Introducción

Ya vimos qué es el orden de un elemento y el grupo cíclico generado por ese elemento. En esta entrada veremos a qué se le denomina el orden de un grupo, que en realidad es un concepto que ya conoces.

Primero repasemos cómo es el conjunto generado por $a$, éste se puede describir así:

$\{\dots, a^{-2}, a^{-1}, e, a^{1}, a^2, \dots\}$.

En esa sucesión de potencias de $a$, si el elemento $a$ tiene orden finito, eventualmente encontraremos $a^{o(a)}$. Por la entrada anterior sabemos que $o(a)$ es el mínimo entero positivo tal que $a^{o(a)} = e$. Entonces, $a^{o(a) + 1} = e a = a$. Esto nos puede indicar que en algún momento la sucesión se volverá a repetir. Entonces el rango que no tiene repeticiones sería el siguiente:

$e, a, a^2, \dots a^{o(a) -1}$.

A continuación formalizaremos esta idea, definiremos el orden de un grupo y relacionaremos el orden de un elemento con el orden del grupo generado por éste.

Definición de orden de un grupo

Definición: Sea $G$ un grupo. El orden de $G$ es la cardinalidad del conjunto $G$ y se denota por $|G|$.

Teorema: Sean $G$ un grupo y $a\in G$ un elemento de orden finito. Entonces

$|\left< a\right>| = o(a)$.

Demostración.
Sea $G$ un grupo y $a \in G$ de orden finito.

Considera que $e$ es el neutro en $G$. Primero veamos que

$\begin{align*} \left< a\right> = \{e, a, a^2, \dots, a^{o(a)-1}\} \end{align*}$.

$\subseteq]$
Sea $x \in \left< a\right>$, entonces existe algún $k \in \z $ tal que $x =a^k$.
Por el algoritmo de la división existen $q, r \in \z$ tales que

$k = o(a)q + r\;$ con $\;0 \leq r < o(a)$.

Entonces, sustituyendo el valor de $k$,

$x = a^k = a^{o(a)q + r}$.

Si seguimos realizando operaciones con los exponentes, obtenemos:

$\begin{align*}
a^{o(a)q + r} &= (a^{o(a)})^q a^r \\
&= e^q a^r &\text{ por la definición de orden}\\
&= e a^r &\text{ya que $e$ es el neutro}\\
&= a^r &\text{ya que $e$ es el neutro}
\end{align*}$

es decir, $x = a^r$ para algún $ r \in \z$, con $0\leq r < o(a)$. Entonces

$x \in \{e, a, a^2, \dots, a^{o(a)-1}\}$.

Hemos demostrado así la primera contención.

$\supseteq]$

Esta contención es más sencilla porque claramente

$\{e, a, a^2, \dots, a^{o(a)-1}\} \subseteq \{\dots, a^{-2}, a^{-1}, e, a, a^2, \dots\}$.

Y como $\left< a\right> = \{ a^{k}\mid k\in\mathbb{Z}\}=\{\dots, a^{-2}, a^{-1}, e, a, a^2, \dots\}$, se cumple la segunda contención y con ella la igualdad de conjuntos.

Todavía nos falta un detalle. Hasta ahora sabemos que

$\begin{align*} \left< a\right> = \{e, a, a^2, \dots, a^{o(a)-1}\} \end{align*}$

pero nada nos asegura que $|\{e, a, a^2, \dots, a^{o(a)-1}\}| = o(a)$, es decir que tenga tantos elementos como el orden de $a$. Esto lo probaremos viendo que no existen elementos repetidos.

Supongamos que $a^{i} = a^j$ para $i, j \in \{0,1,\dots, o(a)-1\}$, supongamos sin pérdida de generalidad que $i \leq j$.

Multiplicando ambos lados por $(a^i)^{-1}$ obtenemos,

$\begin{align*} a^{i}(a^{i})^{-1} &= a^j(a^{i})^{-1}\\
e &= a^{j-i}.\end{align*}$

Entonces, $e = a^{j-i}$, pero, por la elección de $i$ y de $j$ sabemos que $0 \leq j – i < o(a)$. Entonces, debido a la definición de $o(a)$ esto sólo es posible si $j-i=0$, es decir $j = i$.

Así $\left< a\right> = \{e, a, a^2, \dots, a^{o(a)-1}\}$ tiene $o(a)$ elementos. Por lo tanto

$|\left< a\right>| = o(a)$.

$\square$

Un pequeño ejemplo

Ejemplo.
Recordemos que de acuerdo a lo que se definió en un ejemplo de la entrada anterior tenemos que $U(\z_{7})$ consiste de todas las clases módulo 7 que tienen inverso multiplicativo, es decir $U(\z_{7}) = \{ \bar{n}\in\z_7\mid (n,7)=1\}$. Tenemos que $U(\z_{7}) = \{\bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}, \bar{5}, \bar{6}\}$. Sabemos que este conjunto es un grupo con la multiplicación. Observemos que en los enteros módulo 7 no todas las clases tienen inverso multiplicativo, sólo aquellas representadas por primos relativos con 7, por eso $\bar{0}$ no está en nuestro conjunto $U(\z_{7})$.

Podemos hacer algunas operaciones:

  • $(\bar{4})^2 = \overline{4^2} = \overline{16} = \bar{2}$, en este caso $(\bar{4})^2$ no es el neutro, entonces intentemos lo siguiente:
  • $(\bar{4})^3 = (\bar{4})^2\,\bar{4} = \bar{2}\, \bar{4} = \bar{8} = \bar{1}$, así $o(\bar{4}) = 3$.

Por lo tanto, $\left< \bar{4} \right> = \{\bar{1}, \bar{4}, (\bar{4})^2\} = \{\bar{1}, \bar{4}, \bar{2}\}$ , así $\left|\left< \bar{4}\right>\right| = 3$.

Consecuencias

Hasta ahora hemos visto que la cantidad de elementos que hay en el generado por $a$, es decir $\left< a\right>$, está definido por el orden de $a$, denotado por $(o(a))$. En consecuencia tenemos el siguiente corolario.

Corolario. Sea $G$ un grupo y $a\in G$. Tenemos que $a$ es de orden finito si y sólo si $\left< a\right>$ es un conjunto finito.

Demostración.
Sea $G$ un grupo y $a\in G$.

$|\Rightarrow)$ Si $a$ es de orden finito, por el primer teorema que probamos en esta entrada,

$|\left< a \right>| = o(a) \in \z^+$

$\therefore$ $|\left< a \right>|$ es finito.

$|\Leftarrow)$ Si $\left< a \right>$ es un conjunto finito, entonces
$\{\dots, a^{-1}, e, a^1, a^2, \dots\}$ tiene repeticiones.

Sean $i,j \in \z$ con $i \neq j$ tales que $a^{i} = a^j$.
Sin pérdida de generalidad supongamos que $i < j$. Multiplicando por $(a^{i})^{-1}$ en ambos lados,

$\begin{align*}a^{i} (a^{i})^{-1} &= a^{j} (a^{i})^{-1}\\
e &= a^{j-i}\end{align*}$

con $j-i \in \z^+$. Por lo tanto $a$ es de orden finito.

$\square$

Corolario. Todo elemento de un grupo finito es de orden finito.

Demostración.
Sea $G$ un grupo finito y $a\in G$.

Como $\left< a \right> \subseteq G$ y $G$ es finito, entonces $\left< a \right>$ también es finito por el corolario anterior $a$ es de orden finito.

$\square$

Tarea moral

  1. Considera $G = \left< a \right>$ un grupo cíclico infinito:
    1. Encuentra el subgrupo de $G$ con la menor cantidad de elementos posible, que tenga como elemento a $a^4$.
    2. Encuentra el subgrupo de $G$ con la menor cantidad de elementos posible, que tenga como elementos a $a^4$ y a $a^6$.
    3. Encuentra el subgrupo de $G$ con la menor cantidad de elementos posible, que tenga como elementos a $a^4$ y a $a^9$.
    4. ¿Son cíclicos? Si lo son, encuentra un generador.
  2. Sea $G$ un grupo finito. Sea $S$ el subgrupo de elementos $g$ tales que $g^5 = e$, donde $e$ es el elemento neutro de $G$. Prueba que el orden de $S$ es impar.
    Hint: si $G$ es un grupo, $a \in G$ y existe $p \in \z$ primo tal que $a^p = e$, entonces $o(a) = p$.
  3. ¿Es posible que exista un grupo infinito tal que cada elemento sea de orden finito? De ser cierto, da un ejemplo. En caso contrario prueba que. no existe tal grupo.

Más adelante…

En las siguientes entradas estudiaremos más resultados y consecuencias que se derivan de todas las definiciones que hemos dado.

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Álgebra Moderna I: Propiedades de grupos y Definición débil de grupo

Introducción

Cuando se estudian campos vectoriales u otras estructuras algebraicas primero se definen ciertas propiedades básicas y después, otras propiedades importantes que se desprenden de las primeras. Ahora, vamos a ver propiedades de los grupos. Dentro de los grupos mencionamos la existencia de un neutro, asociatividad e inverso. Pero de ahí se desprenden otras propiedades que vamos a usar como la cancelación, la unicidad de los neutros, etc.

Propiedades de grupos

Propiedades. Sea $(G,*)$ un grupo, entonces

  1. Para cualesquiera $x, a, b \in G$, se tiene que $$x*a = x*b \Rightarrow a = b,$$ también se vale cancelar por la derecha, $$a*x = b*x \Rightarrow a = b.$$ Estas propiedades son conocidas como las leyes de cancelación.
  2. El neutro en $(G,*)$ es único.
  3. Cada $a \in G$ tiene un único inverso y se denota por $a^{-1}$.
  4. Para toda $a \in G$, $(a^{-1})^{-1} = a$.

Demostración. 1. Sean $x,a,b \in G$.
Supongamos que $x*b = x*b$. Sea $\tilde{x} \in G$ inverso de $x$. Tenemos que

$\begin{align*}
\text{ }\\
\Rightarrow \\
\Rightarrow\\
\Rightarrow
\end{align*}$

$\begin{align*}
\tilde{x} * (x * a) = \; & \tilde{x} * (x * b) & \text{ }\\
(\tilde{x} * x) * a = \; & (\tilde{x} * x) * b & \text{por la asociatividad}\\
e* a = \; & e * b & \text{por ser $\tilde{x}$ el inverso de $x$}\\
a = \;& b & \text{por ser $e$ el neutro}
\end{align*}$

La cancelación por la derecha es análoga y se deja como ejercicio.

2. Sean $e, e’ \in G$ neutros

$\begin{align*}
e \;{=}\; & e * e’ & \text{ por ser $e’$ un neutro}\\
{=}\; & e’ & \text{ por ser $e$ un neutro}\\
\end{align*}$

$\therefore \; e= \; e’$

3. Sea $a\in G$. Supongamos que $\hat{a}, \tilde{a} \in G$ son inversos de a, entonces:

$\begin{align*}
\hat{a} \;{=}\; & e * \hat{a} & \text{ por ser $e$ el neutro}\\
= \; &(\tilde{a} * a)* \hat{a} & \text{ por ser $\tilde{a}$ un inverso de $a$}\\
=\; & \tilde{a} * (a * \hat{a}) & \text{ por la asociatividad}\\
=\; & \tilde{a} * e & \text{por ser $\hat{a}$ un inverso de $a$}\\
=\; &\tilde{a} & \text{ por ser $e$ el neutro}
\end{align*}$

$\therefore \hat{a} = \tilde{a}$

4. Sea $a \in G$.
Como $(a^{-1})^{-1}$ es el inverso de $a^{-1}$ tenemos que

$a^{-1} * (a^{-1})^{-1} = e$

Como $a^{-1}$ es el inverso de $a$ tenemos que

$a^{-1} * a = e$

Así $a^{-1}*(a^{-1})^{-1} = a^{-1} *a$, entonces por la propiedad 1 podemos cancelar el elemento $a^{-1}$ por la izquierda y concluir que $(a^{-1})^{-1} = a$.

$\square$

Definición débil de grupo

Teorema. Sea $G$ un conjunto, $*$ una operación binaria en $G$. Supongamos que

  1. $*$ es asociativa,
  2. existe $e \in G$ tal que $e*a = a $ para toda $a \in G$ y
  3. $\forall a \in G$ existe $ \tilde{a} \in G$ tal que $\tilde{a}*a=e$,

entonces $(G,*)$ es un grupo. A partir de ahora, a las propiedades $2$ y $3$ de la definición débil de grupo las denotaremos como $2’$ y $3’$ respectivamente para dejar que los números $2$ y $3$ denoten las propiedades de la definición de grupo.

Demostración. Supongamos que $(G,*)$ cumple $1, 2’$ y $3’$.
Sea $a \in G$, por $3’$, existe $\tilde{a} \in G$ tal que $\tilde{a} * a = e$.
Tenemos que $\tilde{a}$ es un inverso izquierdo de $a$. Veamos primero que $\tilde{a}$ es también un inverso derecho de $a$, es decir que $a * \tilde{a} = e$.

$\begin{align*}
\tilde{a} * (a * \tilde{a}) \;=\;& (\tilde{a} * a) * \tilde{a} & \text{por la asociatividad}\\
= \; & e * \tilde{a} & \text{por la propiedad }3’\\
= \;& \tilde{a} & \text{ por la propiedad } 2’\\
\end{align*}$

$\Rightarrow \tilde{a} * (a * \tilde{a}) = \tilde{a}$.

Por $3’$ existe $b \in G$ tal que $b*\tilde{a}=e$. Multiplicando $ \tilde{a} * (a * \tilde{a}) = \tilde{a}$ a la izquierda por $b$ tenemos que

$\begin{align*}
\text{ }\\
\Rightarrow \\
\Rightarrow\\
\Rightarrow
\end{align*}$

$\begin{align*}
b * (\tilde{a} * (a * \tilde{a})) =\;& b * \tilde{a} & \text{ }\\
(b * \tilde{a}) * (a * \tilde{a}) = \;& b * \tilde{a} & \text{por la asociatividad}\\
e * (a * \tilde{a}) =\;& e & \text{ya que $b$ es un inverso izquierdo de $\tilde{a}$}\\
a * \tilde{a}=\;& e &\text{ya que $e$ es un neutro izquierdo.}
\end{align*}$

Así, $\tilde{a}$ es también un inverso derecho de $a$.

Por $2’$, $e*a=a$ para toda $a\in G$, es decir $e$ es un neutro izquierdo. Veamos ahora que $e$ también es un neutro derecho probando que $a * e = a$ para toda $a \in G$.

Sea $a \in G$, por $3’$ existe $\tilde{a} \in G$ tal que $\tilde{a} * a=e$, y por lo que acabamos de probar $a * \tilde{a} = e$. Usando estas igualdades y la propiedad asociativa tenemos que

$a * e = a * (\tilde{a} * a) = (a * \tilde{a}) * a = e * a$

y como $e$ es un neutro por la izquierda, $e * a = a$. Así $a * e = a$.

Por lo tanto $(G, *)$ es un grupo.

$\square$

Tarea moral

  1. Usando la Definición débil de grupo, determina cuáles de estos conjuntos son un grupo.
    • $G = \r \setminus \{-1\}$, $a*b := a+b+ab$.
    • $G = \r^*$, $a*b = |a|b$.
    • $G = \{r \in \mathbb{Q} \;|\; r = \frac{p}{q} \text{ con } (p,q)= 1 \text{ y } q \text{ impar}\}$, $a*b = a+b$ (la adición usual).
    • Sea $X$ un conjunto. Considera $G = \mathcal{P}(X)$ el conjunto potencia de $X$ con la operación binaria $A \triangle B = (A \cup B)\setminus (A \cap B)$ para todo $A,B \in \mathcal{P}(X)$.
  2. Muestra que $G = \r^*$ con la operación $a * b = |a| b$, tiene un neutro izquierdo $e$ y para cada elemento $a$ existe $\tilde{a}$ tal que $a * \tilde{a} = e$ ¿qué puedes concluir con respecto a la definición débil de un grupo?
  3. Para el conjunto $\mathcal{S}:= \{\bigstar, \blacktriangledown, \blacklozenge, \clubsuit \}$, considera las operaciones que creaste en la tarea moral de una entrada anterior.
    • Si definiste una operación tal que $(\cS, *)$ es un grupo, comprueba las propiedades vistas en esta entrada y verifica la definición débil.
    • Si no, observa si alguna de las propiedades analizadas se cumplen con tu operación.
  4. Si quieres conocer el grupo de transformaciones lee la sección 3.1.1 del libro Introducción analítica a la geometría de Javier Bracho (página 112 a la 115).
  5. Si quieres conocer el grupo diédrico puedes ver el video Dihedral Group de Socratica. El video está en inglés. De todas maneras, después usaremos el grupo diédrico, así que lo definiremos más adelante.

Más adelante…

En la siguiente entrada generalizaremos la propiedad de la asociatividad porque hasta ahora sólo la manejamos con tres elementos. Además, seguiremos formalizando conceptos que ya conocemos intuitivamente: definiremos qué es una potencia, escribiremos las leyes de los exponentes y las demostraremos.

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Álgebra Moderna I: Definición de Grupos

Introducción

Ahora sí, comenzaremos con el tema de este curso. Después de estudiar las operaciones binarias por fin veremos para qué nos sirven. Los grupos son una estructura algebraica. Están constituidos por dos partes, un conjunto y una operación ¿Puedes imaginarte de qué tipo de operación estamos hablando?

Para motivarlo, veamos cómo resolvemos esta ecuación:

$x + 8 = 5$
$(x + 8) + (-8) = 5 + (-8)$
$x + 0 = -3$
$x = -3$

Al resolver la ecuación, formalmente estamos usando las siguientes propiedades:

  • Asociatividad
  • Inverso aditivo
  • Neutro

En ese mismo orden.

En esta entrada definiremos formalmente a los grupos y daremos muchos ejemplos para que te empapes de la definición. Revisaremos los ejemplos que vimos en entradas anteriores y determinaremos cuáles son un grupo y cuáles no.

¿Qué es un grupo?

Definición. Sea $G$ un conjunto con una operación binaria $*$. Decimos que $(G,*)$ es un grupo si

  1. La operación $*$ es asociativa, es decir, $(a * b)*c = a*(b*c) \quad \forall a,b,c \in G$
  2. Existe $e \in G$ tal que $e*a = a*e = a \quad \forall a \in G$.
    A $e$ se le llama neutro en $G$.
  3. Para toda $a \in G$ existe $\tilde{a} \in G$ tal que $a*\tilde{a} = \tilde{a}*a=e$.
    En este caso, $\tilde{a}$ se llama inverso de a.

Si además * es conmutativa, es decir $a*b = b*a \quad \forall a,b \in G$, decimos que $(G,*)$ es un grupo abeliano.

Nota. Sea $G$ conjunto con una operación binaria $*$:

  • Si $G \neq \emptyset$, $(G,*)$ se llama magma.
  • Si $G\neq \emptyset$ y se cumple 1, $(G,*)$ se llama semigrupo.
  • Si se cumplen 1 y 2, $(G,*)$ se llama monoide.

Repaso de ejemplos anteriores

Veamos de nuevo algunos ejemplos de las entradas anteriores y comprobemos si cumplen con la definición de grupo.

  • $G : = \z^+$, $a*b = \text{máx}\{a,b\}$.
    • En la entrada anterior vimos que $*$ es asociativa y conmutativa.
    • $1$ es el neutro.
      Demostración. $1*a = a*1 = \text{máx}\{1,a\} = a \quad \forall a \in \z^+$. $\square$
    • $2$ no tiene inverso.
      Demostración. $2*a = \text{máx}\{2,a\} \geq 2 \quad \forall a \in \z^+$, por lo que $2 * a \neq 1 \quad a \in \z^+$.

$\therefore (\z^+,*)$ NO es un grupo. $\square$

  • $G:= \z^+$, $a*b = a$.
    • No tiene neutro, si existiera $e \in \z^+$ neutro, entonces para toda $a\in\z^+$, por la definción de la operación $e*a = e$, pero la definición de neutro requiere que $e*a = a$. Entonces, esto implica que $e = a$ y como esto no es necesariamente cierto, pues $a$ es un entero positivo cualquiera, obtenemos una contradicción.

$\therefore (\z^+,*)$ NO es un grupo. $\square$

  • $(\cM_{2\times 2}(\z), +)$ es un grupo abeliano, la demostración queda como ejercicio.
  • $(\{ f \; | \; f:\r \to \r\}, \circ)$ no es un grupo, pues aunque $\mathrm{id}_{\r}$ es neutro, no todo elemento tiene inverso, como se ve en Álgebra Superior I.
  • $(S_3, \circ)$ es un grupo no abeliano. Generalizaremos este ejemplo más adelante y le llameremos grupo simétrico.
  • $\cS = \{2,4,6\}$ con la operación
$*$$2$$4$$6$
$2$$2$$4$$6$
$4$$4$$4$$6$
$6$$6$$6$$6$

Si observamos la tabla, podemos concluir que:

  • $2$ es neutro.
  • $4$ y $6$ no tienen inversos.

Por lo tanto, NO es un grupo.

$\square$

  • $\cS = \{2,4,6\}$ con la operación
$*$$2$$4$$6$
$2$$2$$2$$2$
$4$$4$$4$$4$
$6$$6$$6$$6$
  • No hay un neutro.

Como no hay neutro, ni siquiera tiene sentido pensar en la existencia de inversos. Por lo tanto, NO es un grupo.

$\square$

  • $\cS = \{1,-1\}$
$*$$1$$-1$
$1$$1$$-1$
$-1$$-1$$1$
  • El $1$ es el neutro.
  • La operación es asociativa.
  • $1$, $-1$ son sus propios inversos.
  • Además, la operación conmuta, porque la operación es el producto usual.

Por lo tanto es un grupo abeliano.

$\square$

  • $(\z, +)$ es un grupo.
  • Sea $K$ un campo y $K^* = K \setminus \{0_K\}$. Si consideramos $(K^*, \cdot)$ tenemos un grupo abeliano. Le quitamos el $0_K$ pues es el único número que no tiene inverso multiplicativo.
  • $\mathbb{S}’ = \{z \in \mathbb{C} \; |\; |z|= 1\}$. Es decir, los complejos con norma igual a $1$. Es un grupo abeliano con el producto.
Representación geométrica del conjunto.
  • Dentro de los complejos podemos considerar $$\Gamma_n = \left\{ \xi^k \; | \; 0 \leq k < n \right\},$$ con $\xi = e^{\frac{2\pi i}{n}}$. Geométricamente corresponden a los vértices de un polígono regular de $n$ lados y algebraicamente son las raíces $n$-ésimas de la unidad. Forman un grupo abeliano con el producto.

Representación geográfica del conjunto cuando $n= 6$.

Ejemplos importantes de matrices

Los siguientes son ejemplos de algunos grupos importantes. Recuérdalos porque son ejemplos que serán recurrentes en futuras entradas. Recuerda que no todas las matrices tienen inverso multiplicativo y que el producto de matrices no es conmutativo. Para refrescar tu memoria, puedes consultar las entradas de matrices inversas y operación de matrices.

  1. $$GL(n,\r) = \{A \in \cM_{n\times n}(\r) \;|\; \det A \neq 0\},$$ con el producto usual es un grupo no abeliano. Este par ordenado $(GL(n,r), \cdot)$ es conocido como el grupo lineal general.
  2. $$SL(n,\r) = \{A \in \cM_{n\times n}(\r) \;|\; \det A = 1\},$$ con el producto usual es un grupo no abeliano. Este es el grupo lineal especial.
  3. $$SO(n,\r) = \{A \in \cM_{n\times n}(\r) \; | \; AA^t = I_n, \; \det A = 1\},$$ con el producto usual es un grupo no abeliano. A éste se le conoce como grupo ortogonal especial.
  4. $$O(n, \r) = \{A \in \cM_{n\times n}(\r) \; |\; AA^t = I_n\},$$ con el producto usual es un grupo no abeliano. Este es conocido como el grupo ortogonal.

Tarea moral

  1. Determina, en cada uno de los siguientes casos, si el sistema descrito es grupo o no. En caso negativo, señala cuál o cuáles de los axiomas de grupo no se verifican. En caso afirmativo demuestra que es un grupo:
    • $G = \r \setminus \{-1\}$, $a*b := a+b+ab$.
    • $G = \r^*$, $a*b = |a|b$.
    • $G = \{r \in \mathbb{Q} \;|r\text{ se puede expresar como }\; r = \frac{p}{q} \text{ con } (p,q)= 1 \text{ y } q \text{ impar}\}$, $a*b = a+b$ (la adición usual).
    • Sea $X$ un conjunto. Considera $G = \mathcal{P}(X)$ el conjunto potencia de $X$ con la operación binaria $A \triangle B = (A \cup B)\setminus (A \cap B)$ para todo $A,B \in \mathcal{P}(X)$.
  2. Demuestra la siguientes afirmaciones referentes a grupos, dadas en los ejemplos anteriores:
    • $(\cM_{2\times 2}(\z), +)$ es un grupo abeliano.
    • $(S_3, \circ)$ es un grupo no abeliano.
    • $(\z, +)$ es un grupo.
    • $(K^*, \cdot)$ con $K$ un campo, es un grupo abeliano.
    • $(\Gamma_n, \cdot)$ es un grupo abeliano, con $\cdot$ el producto.
  3. Demuestrá por qué los ejemplos importantes de matrices son grupos no abelianos.

Más adelante…

Después de tantas definiciones y ejemplos, comenzaremos a ver más teoremas y demostraciones. En la siguiente entrada profundizaremos en las propiedades de grupos derivadas de su definición. Además, veremos un teorema conocido como la «Definición débil de Grupo».

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