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Álgebra Moderna I: Introducción al curso

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

¡Un curso salvaje de Álgebra Moderna ha aparecido!

El concepto de grupo como tal se da en el siglo XIX. Nace de varios problemas que se estaban trabajando en distintas áreas de las matemáticas, como por ejemplo, en la Teoría de los números, en la Geometría de transformaciones lineales y en el Análisis de las transformaciones continuas.

Un origen alternativo del término grupo está en la búsqueda de soluciones para ecuaciones de distintos grados. Desde el siglo XVIII a.C. los babilonios tenían su propia manera de encontrar las soluciones de ecuaciones de 1ro y 2do grado. Más adelante, en el siglo III d.C. el matemático Diofanto introduce en Grecia una notación algebraica y avanza con el estudio del problema de las soluciones de ecuaciones de grados mayores a dos.

Siglos después, en el siglo VIII, el árabe Al-Juarismi da métodos básicos para resolver ecuaciones polinomiales usando justificaciones geométricas. Después de él, se da un estancamiento para resolver ecuaciones de grado mayor.

En el siglo XVI se da un avance gracias a cuatro matemáticos: Niccolò Fontana Tartaglia, Gerolamo Cardano, su alumno Lodovico Ferrari y Scipione del Ferro. La historia cuenta que Tartaglia encuentra la forma de resolver ecuaciones de grado tres usando radicales, es decir, una fórmula general para resolverlas a partir de los coeficientes usando operaciones básicas como la suma, la resta, la multiplicación y la división. Después de contarle a Cardano, Tartaglia le pide que guarde el secreto. Pero Del Ferro también encuentra una solución al problema y al igual que Tartaglia se le dice a Cardano, así que Cardano piensa que ya no es necesario guardar el secreto de Tartaglia y decide publicar en su libro Ars Magna las soluciones a las ecuaciones de tercer grado, así como la solución a las ecuaciones de grado cuatro descubiertas por su discípulo Ferrari.

Para las ecuaciones de grado cinco no hay avance en mucho tiempo. Fue en el siglo XVIII Joseph-Louis Lagrange retoma el problema y utiliza permutaciones de las raíces de un polinomio para crear una ecuación auxiliar y tratar de encontrar así la solución a ecuaciones de quinto grado usando radicales. A pesar de que no logra resolver el problema, su trabajo es muy importante y retomado más adelante.

A finales de este mismo siglo, Niels Henrik Abel y Paolo Ruffini retoman el trabajo de Lagrange y se dan cuenta que existen ecuaciones de grado cinco que no son solubles con radicales, su trabajo se resume en el Teorema de Abel-Ruffini.

Quién sí logra entender completamente el problema y definir qué ecuaciones de grado cinco (o mayor) tienen soluciones y cuáles no se pueden resolver con radicales fue Évariste Galois. En este camino descubre lo que ahora conocemos como Teoría de grupos, aunque es hasta 1844 que Augustin Louis Cauchy introduce la notación actual que usamos para esta rama del Álgebra.

Esto es precisamente lo que vamos a estudiar en este semestre, no en sí la resolución de ecuaciones, si no la parte básica de la Teoría de grupos. Es posible que ya estés familiarizado con alguna de las estructuras que trataremos porque daremos por hecho que posees conocimientos de Álgebra Superior I, Álgebra Superior II, Álgebra Lineal I y Álgebra Lineal II.

Sobre la estructura del curso

El curso consiste en 48 entradas divididas por temas importantes y agrupadas en cinco unidades:

  • Unidad 1: Grupos y Subgrupos
  • Unidad 2: Permutaciones
  • Unidad 3: Grupo cociente y Homomorfismos
  • Unidad 4: Acciones y Teoremas de Sylow
  • Unidad 5: Jordan Hölder y el Teorema fundamental

Cada una de las entradas está dividida en cuatro secciones importantes: Introducción, Tarea moral, Más adelante… y Entradas relacionadas.

En la Introducción se pretende dar una motivación a los temas que se verán, además de relacionar la entrada actual con la entrada anterior. Luego, durante el desarrollo de la entrada, el contenido también se divide en secciones, estas secciones dependen de la duración y de los temas que se traten.

En la sección de Tarea moral se dejan ejercicios para que repases los temas de la entrada en la que están. Más adelante… es una sección en la que queremos relacionar los temas vistos con futuras entradas.

Por último, la sección de Entradas relacionadas se explica por sí sola. Ahí podrás encontrar las entradas anterior y siguiente inmediatas a la entrada que estás leyendo, un enlace que te llevará directamente a la lista de otros cursos que pueden serte de utilidad y uno para ir a la página de presentación de este curso.

Materiales o videos recomendados

A lo largo de las entradas dejamos algo de material extra porque te puede proporcionar mejor perspectiva y parecer interesante. Aquí recopilamos todo ese material y agregamos algo más para que puedas acceder a él de manera más fácil.

Unidad 1:
Grupos de Transformadores p(112-115)
Grupo Diédrico – Socratica
Visualización de cuaterniones – 3Blue1Brown (subtítulos en español)

Unidad 2:
¿Cómo tocar un cubo de Rubik como si fuera un piano? – M. Staff
Juego del 15 – Mathologer
Lagrange – Universidad de la Sorbona (subtítulos en español)
Grupo cociente – Mathemaniac

Unidad 3:
Homomorphism – Socratica
Homomorphism – Mathemaniac

Unidad 4:
Teorema de Cayley – Mathemaniac

Unidad 5:
Simple Groups – Socratica
La mitad de este video toca los temas vistos en la unidad 5. El resto del video te puede abrir el panorama sobre otros temas del Álgebra Moderna interesantes que no se cubren en este curso y además sirve como un cierre del curso ya que retoma lo que se menciona en esta introducción y vuelve a mencionar a Galois.

Más adelante…

Esta sección está en cada entrada para motivarte a seguir adelante con el curso y te proporciona vistazos de futuros usos a lo que hayas estudiado en la entrada. En este caso ¡tienes todo un maravilloso curso de Álgebra Moderna por explorar!

Entradas relacionadas

Álgebra Moderna I: Grupos simples y series de grupos

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Como hemos visto en las entradas anteriores, muchas pruebas de grupos se realizan por inducción sobre $|G|$ usando información de un subgrupo normal $N$ y el cociente $G/N$.

Pero para poder usar $G/N$ se requiere que exista un subgrupo normal $N$ de $G$ con $1\lneq |N| \lneq |G|.$ Y en ocasiones no existe un $N$ normal que no sea el mismo $G$ o $\{e_G\}$, entonces conviene estudiar a los grupos $G$ no triviales tales que tienen sólo dos subgrupos normales.

Por otro lado, ¿es posible tener una serie de grupos normales contenidos entre sí? A esta situación lo conocemos como una serie de composición.

Esta entrada está dedicada a los conceptos de Grupos simples y Series de composición de grupos, será útil para que, más adelante, entendamos el Teorema de Jordan Hölder.

Qué simples son los grupos simples

Definición. Sea $G$ un grupo con $G\neq \{e\}$. Decimos que $G$ es simple si sus únicos subgrupos normales son $G$ y $\{e\}$.

Ejemplo.
Sea $p\in \z^+$ un número primo, $G$ un grupo con $|G| = p$. Entonces $G$ es un grupo simple ya que si $N\unlhd G$ se tiene que $|N| \Big| |G| = p$ y así $|N| = 1$ ó $|N| = p$, esto implica que $N = \{e\}$ ó $N = G$.

Observación. Todo grupo finito simple abeliano es isomorfo a $\z_p$.

Demostración.
Sea $G$ un grupo finito simple abeliano. Dado que $G\neq\{e\}$ consideremos $a\in G, a\neq e$. Como $G$ es abeliano, todo subgrupo es normal, así
\begin{align*}
\{e\} \lneq \left< a \right> \unlhd G
\end{align*}
pero $G$ es simple, entonces $\left< a \right> = G$ y $G$ es cíclico.

Más aún, $G\cong \z_n$ con $n= |G|$. Veamos que $n$ es primo.

P. D. $n$ es primo.

Supongamos por reducción al absurdo que $n$ es compuesto, es decir $n = st$ con $s,t\in \z^+$, donde $s<n$ y $t< n$.

Entonces $a^s \neq e$ ya que $s<n = o(a)$, por lo que $\{e\} \lneq \left< a^s\right>$.

Además $$(a^s)^t = e$$ y así $o(a^s)\Big| t$, lo que implica que $o(a^s) \leq t < n$ y en consecuencia $\left< a^s\right> \lneq \; G$.

Por lo tanto $\{e\} \lneq \left< a^s\right> \lneq \; G$. Pero como $G$ es un grupo abeliano todos sus subgrupos son normales, por lo que $\left< a^s\right>$ sería un subgrupo normal de $G$ distinto de $\{e\} $ y de $G$, lo que es una contradicción.

Concluimos que $n$ es primo y así $G\cong \z_n$ con $n$ primo.

$\blacksquare$

Nota. Hay grupos simples no abelianos finitos e infinitos.

Series de grupos

Definición. Sea $G$ un grupo. Una secuencia de subgrupos
\begin{align*}
G = G_1 \geq G_2 \geq \cdots \geq G_{k+1} = \{e\}
\end{align*}
es una serie de composición para $G$ si $G_{i+1} \unlhd G_{i}$ y $G_i/G_{i+1}$ es simple para toda $i\in\{1,\dots, k\}$.
Esto cocientes se llaman factores de composición.

A pesar de que estamos dando una definición, es importante señalar que en el caso de un grupo finito es el Cuarto teorema de isomorfía el que justifica que en efecto estas series de composición existen:

Observación 1. Sean $G$ un grupo finito y $N$ un subgrupo normal propio de $G$ tal que es máximo con esta propiedad, es decir tal que si $N\leq H\lneq G$ con $H$ normal en $G$, entonces $N=H$. Se tiene que $G/N$ es simple.

Demostración.

Sean $G$ un grupo finito y $N$ un subgrupo normal de $G$ tal que es máximo con esta propiedad. Supongamos que $\mathcal{H}$ es un subgrupo normal de $G/N$ con $$\{e_{G/N}\}\leq \mathcal{H}\lneq G/N.$$ Por el Cuarto teorema de isomorfía sabemos que $\mathcal{H}=H/N$ para algún $N\leq H\lneq G.$ Además, como $\mathcal{H}\unlhd G/N$ sabemos que $H\unlhd G$. Pero al ser $N$ un subgrupo normal máximo tenemos que $N=H$ por lo cual $\mathcal{H}=N/N=\{e_{G/N}\}$. Así, $G/N$ es simple.

Observación 2. Si $G$ es finito, estas series de composición existen.

Demostración (sencilla).

Si $G$ es trivial entonces $G$ mismo es una serie de composición para $G$.

Supongamos entonces que $G$ es no trivial. Consideramos $G_1=G$ y $G_2$ un subgrupo normal propio de $G$ tal que es máximo con esta propiedad. Entonces por la observación 1 $G_1/G_2$ es simple.

Si $G_2=\{e\}$, $G_1\geq G_2$ es una serie de composición para $G$.

Si $G_2\neq\{e\}$ tomamos $G_3$ un subgrupo normal propio de $G_2$, máximo, y así sucesivamente. Como $G$ es finito este proceso termina y da lugar a una serie de composición para $G$.

$\blacksquare$

Ejemplos

Ejemplo 1. Tomemos $\z_{12}$. Notemos que en este caso el grupo es abeliano por lo que todos sus subgrupos son normales. Proponemos
\begin{align}\label{ejemplo1}
\z_{12} \unrhd \left<\bar{3}\right> \unrhd \left<\bar{6}\right> \unrhd\{\bar{0}\}.
\end{align}

Como $\left| \left<\bar{3}\right>\right| = 4$, entonces $\left| \z_{12} \Big/ \left<\bar{3}\right>\right| = \frac{12}{4} = 3$ y así $\z_{12} \Big/ \left<\bar{3}\right> \cong \z_3$ que es simple.

Sabemos que $\left| \left<\bar{6}\right> \right|= 2$, así $\left| \left<\bar{3}\right> \Big/ \left<\bar{6}\right>\right| = \frac{4}{2} = 2$ y entonces $ \left<\bar{3}\right> \Big/ \left<\bar{6}\right> \cong \z_2$ que es simple.

Finalmente $ \left<\bar{6}\right> \Big/ \{\bar{0}\} \cong \left<\bar{6}\right> \cong \z_2$ que es simple. Así $(\ref{ejemplo1})$ es una serie de composición para $\z_{12}$.

También $\z_{12} \unrhd \left<\bar{2}\right> \unrhd \left<\bar{6}\right> \unrhd \{\bar{0}\}$ lo es.

Ejemplo 2. Tomemos $D_{2(4)} = \{\text{id}, a, a^2, a^3, b, ab, a^2b, a^3b\}$. Donde $a$ es la rotación de $\frac{\pi}{4}$ y $b$ es la reflexión respecto al eje $x$.

Tenemos que
\begin{align*}
\left<a^2,b\right> = \{\text{id}, a^2, b, a^2b\}
\end{align*}
es de orden cuatro, entonces $\left[ D_{2(4)} : \left<a^2,b\right> \right] = 2$. Así $D_{2(4)} \unrhd \left< a^2, b \right>$ y $D_{2(4)}/ \left< a^2,b \right> \cong \z_2$ que es simple.

También $\left[ \left<a^2,b\right> : \left< b \right> \right] = 2$ y $ \left<a^2,b\right> / \left<b\right>\cong \z_2$ que es simple. Finalmente $\left< b \right> / \{\text{id}\} \cong \z_2$ que es simple.

Así,
\begin{align*}
D_{2(4)} \unrhd \left< a^2, b\right> \unrhd \left<b\right> \unrhd \{\text{id}\}
\end{align*}
es una serie de composición para $D_{2(4)}$.

También
\begin{align*}
D_{2(4)} \unrhd \left< a \right> \unrhd \left< a^2 \right> \unrhd \{\text{id}\}.
\end{align*}

Observación 3. En una serie de composición $G_{i-1} \unrhd G_i$ pero no necesariamente $G \unrhd G_i$.

Observación 4. Puede ser que dos grupos no isomorfos tengan los mismos factores de composición salvo isomorfía.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Considera la nota que aparece en esta entrada: hay grupos simples no abelianos finitos e infinitos.
    • Encuentra un grupo simple no abeliano finito.
    • Encuentra un grupo simple no abeliano infinito.
    • ¿Qué pasará con los grupos abelianos infinitos? ¿existirán los grupos abelianos infinitos simples?
  2. Encuentra un grupo $G$ que cumpla la observación: $G_{i-1} \unrhd G_i$ pero no necesariamente $G \unrhd G_i$.
  3. Describe un ejemplo de grupos tales que no sean isomorfos y tengan los mismos factores de composición salvo isomorfía.
  4. En cada uno de los siguientes casos encuentra todas las series de composición de $G$ y compara los factores de composición obtenidos:
    • $G = \z_{60}$.
    • $G = \z_{48}$.
    • $S_3 \times \z_2.$

Más adelante…

Estos conceptos que pueden parecer muy sencillos, al combinarlos nos dan el último teorema que veremos en este curso: el Teorema de Jordan-Hölder. Una poderosa herramienta que nos dice que los factores de composición de dos series distintas de un mismo grupo son los mismos salvo isomorfía.

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Álgebra Moderna I: Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos.

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

El temario de este curso consiste principalmente en el estudio de la Teoría de grupos, comenzamos su construcción desde las operaciones binarias, estudiamos distintos tipos de grupos y funciones entre ellos (homomorfismos) y seguimos intentando describir a los grupos. El primer gran escalón de nuestro curso fueron los Teoremas de isomorfía, luego los Teoremas de Sylow y ahora llegamos al tercero: el Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos.

Otros dos teoremas fundamentales que seguramente conoces son el Teorema fundamental del álgebra y el Teorema fundamental de la aritmética, conviene recordar el segundo. Básicamente nos dice que a todo número entero lo podemos ver como un producto de primos, además nos dice que estos primos son únicos excepto por el orden en que aparecen. Este teorema es importante porque intuitivamente nos dice que los números primos son los ladrillos básicos para construir a cualquier número.

¿Cuáles son estos mismos ladrillos para los grupos abelianos finitos? En la entrada de Producto directo interno vimos un teorema en el que para ciertos casos podemos descomponer a un grupo finito $G$ en sus $p$-subgrupos de Sylow, donde cada $p$ corresponde a un factor primo del orden del grupo. ¿Qué podría ser más fundamental que eso?

Usaremos el teorema que vimos en Producto directo interno y veremos que un grupo abeliano finito $G$ es isomorfo a un producto directo de grupos ajenos a $G$ en lugar de los $p$-subgrupos de Sylow que dependen del grupo que los contiene. ¿Qué grupos finitos relacionados con primos conocemos aparte de los $p$-subgrupos? Los candidatos ideales son $\z_n$, con $n$ una potencia de un primo, que de acuerdo a lo que hemos estudiado son abelianos y finitos.

Así, el Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos nos presenta a los $\z_n$, con $n$ una potencia de un primo, como nuestros ladrillos elementales para describir cualquier grupo abeliano finito $G$.

Último lema numerado

Como prometimos en la entrada anterior, aquí está el tercer lema numerado que usaremos para demostrar el Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos.

Lema 3. Sean $p\in\z^+$ un primo y $G$ un $p$-grupo abeliano. Tenemos que $G$ es un producto directo interno de grupos cíclicos.

Demostración.
Por el segundo principio de inducción.

Sea $p\in\z^+$ un primo, $G$ un $p$-grupo abeliano.

Sea $g\in G$ un elemento de orden máximo (podemos suponer que $g\neq e$ ya que si $g = e$, entonces $G = \{e\}$).

H.I. Supongamos que todo $p$-grupo abeliano de orden menor que el orden de $G$ es un producto directo interno de grupos cíclicos.

Por el lema 2, $G$ es el producto directo de $\left< g \right>$ y un subgrupo $H$ de $G$. Entonces $|G| = |\left< g \right>|\,|H|$ lo que implica que $\displaystyle |H| = \frac{|G|}{|\left< g \right>|}$ y, esto implica que $ \displaystyle |H| < |G|$.

Además, $H$ también es un $p$-grupo abeliano. Así que por la hipótesis de inducción $H$ es el producto directo de grupos cíclicos.

Por lo tanto $G$ es producto directo de grupos cíclicos, a saber $\left< g \right>$ y los grupos cíclicos cuyo producto directo es $H$.

$\blacksquare$

Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos

Recordemos que los isomorfismos preservan la estructura algebraica de los grupos. Recordemos que los grupos $\z_n$, con $n$ una potencia de un primo, son abelianos y finitos, por lo que sólo pueden ser isomorfos a otros grupos abelianos y finitos. Más aún, todo grupo abeliano finito es isomorfo a un producto directo de este tipo de grupos.

Teorema. (Fundamental de los Grupos Abelianos Finitos) Todo grupo abeliano finito $G$ es isomorfo a un producto directo de grupos cíclicos de la forma $$\z_{p_1^{\alpha_1}} \times \cdots \times \z_{p_r^{\alpha_r}}$$ con $p_1,\dots, p_r,\alpha_1,\dots, \alpha_r \in \z^+$ y $p_1,\dots,p_r$ primos no necesariamente distintos.

Demostración.

Sea $G$ un grupo abeliano finito. Por ser $G$ abeliano todos sus subgrupos son normales, en particular sus subgrupos de Sylow.

Por el teorema de la entrada Producto directo interno, $G$ es isomorfismo al producto directo de sus subgrupos de Sylow, y por el lema 3 cada uno de ellos es un producto directo de subgrupos cíclicos. Además, como los subgrupos de Sylow son de orden una potencia de un primo, sus subgrupos también, por lo que son isomorfos a $\z_{p^\alpha}$ con $p,\alpha \in \z^+$ y $p$ un primo.

Así, $G$ es isomorfo a un producto directo de la forma
\begin{align*}
\z_{p_1^{\alpha_1}} \times \cdots \times \z_{p_r^{\alpha_r}}
\end{align*}
con $p_1,\dots,p_r,\alpha_1,\dots, \alpha_r \in\z^+$, $p_1,\dots,p_r$ primos no necesariamente distintos.

$\blacksquare$

Apreciemos cómo la demostración de los lemas anteriores, nos facilitaron la demostración de este teorema fundamental.

Ejemplo.

Sea $G$ un grupo abeliano de orden $180 = 4\cdot 45 = 2^2\cdot 3^2 \cdot 5$.

Entonces, de acuerdo con el Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos, $G$ es isomorfo a alguno de

  • $\z_2\times\z_2\times\z_3\times\z_3\times\z_5$,
  • $\z_4\times\z_3\times\z_3\times\z_5$,
  • $\z_2\times\z_2\times\z_9\times\z_5$ ó
  • $\z_4\times\z_9\times\z_5$.

Podría ser isomorfo a cualquiera de ellos, pero para saber a cuál requeriríamos más información. De cualquier modo este primer análisis nos ayuda mucho a entender cómo debe ser el grupo.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Si $G$ es un grupo abeliano finito, definimos $v_k(G)$ como el número de elementos de $G$ de orden $k$.
    Prueba que si dos grupos finitos abelianos, $G$ y $G^*$ son isomorfos si y sólo si $v_k(G) = v_k(G^*)$ para todo entero $k$. (Este resultado no es cierto para grupos no abelianos).
  2. Prueba el Teorema Fundamental de la Aritmética aplicando el Teorema Fundamental de Grupos Abelianos Finitos a $G = \z_n$, con $n\in\n$.
  3. Usa el Teorema Fundamental de Grupos abelianos finitos para describir a…
    • Un grupo de orden $144.$
    • Un grupo de orden $360.$
    • Un grupo de orden $2783.$
  4. Encuentra para cuáles $n \in \z^+$ los grupos de orden $n$ son cíclicos.
  5. Prueba que $A$ es un grupo abeliano finito de orden $n$ si y sólo si para cada $d$ divisor de $n$, hay a lo más $d$ elementos $a\in A$ tales que $a^d = 1_A.$

Más adelante…

Esta entrada fue un tema muy anticipado. Ahora comenzaremos otro tema que, aunque sea corto, es igual de importante que el Teorema fundamental de grupos finitos abelianos. De hecho, comparte que también es semejante con el Teorema fundamental de la aritmética. Comenzaremos a estudiar el Teorema de Jordan-Hölder

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Álgebra Moderna I: Lemas previos al teorema fundamental de los grupos abelianos finitos.

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

2 respuestas

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Como dijimos en la primera entrada de esta unidad, uno de los temas a los que queremos llegar es el Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos. En esta entrada enumeramos tres lemas para que sea más sencillo identificarlos y que serán útiles en la demostración del Teorema fundamental. En los tres lemas se considerará $G$ un $p$-grupo abeliano y se hablará de elementos de orden máximo (o mínimo) en algún grupo refiriéndose a elementos cuyo orden es mayor (o menor) o igual que el orden de los demás elementos del grupo en cuestión.

El primer lema nos dice que si tomamos un elemento de orden máximo $g$ en $G$ y un $p$-subgrupo, tal que $\left< g\right>$ no es todo $G$ y luego tomamos un elemento de orden mínimo $h$ en $G\setminus\left< g\right>$, entonces el orden de $h$ es $p$.

El segundo lema nos dice que si tenemos un elemento de orden máximo $g$ en $G$, podemos ver a $G$ como el producto directo interno del generado de $g$ y un $H$ subgrupo de $G$.

El tercer lema nos dice que cualquier $p$-subgrupo abeliano es producto directo interno de grupos cíclicos.

En esta entrada enunciamos y probamos los primeros dos lemas, el tercero está en la siguiente entrada.

El orden de un elemento mínimo

Lema 1. Sean $p\in\z^+$ un primo y $G$ un $p$-grupo abeliano. Sea $g\in G$ un elemento de orden máximo. Si $\left<g\right> \lneq G$ ($\left<g\right>$ es subgrupo propio de $G$) y $h$ es un elemento de orden mínimo en $G\setminus \left<g\right>$, entonces $o(h)=p$ y $\left< g\right> \cap \left< h\right> = \{e\}$.

Demostración.
Sean $p\in \z^+$ un primo y $G$ un $p$-grupo abeliano.

Por la definición de $p$-grupo $|G| = p^n$ para algún $n\in \n$.

Sea $g\in G$ de orden máximo. Como $|G|=p^n$, sabemos que $o(g)$ divide a $ |G| = p^n$ y así $o(g) = p^m$ con $m\leq n$.

Observemos que
\begin{align}\label{eq:uno}
a^{p^m} = e \text{ para toda } a\in G,
\end{align}
ya que para toda $a\in G$, $o(a)=p^l$ con $l\leq m$ (debido a que $o(g)=p^m$ es máximo).

Supongamos que $\left< g \right> \lneq G$. Consideremos un elemento $h$ de orden mínimo en $G\setminus \left< g \right>$.

Veamos primero que $o(h)=p$.

Sabemos que $o(h) = p^t$ para alguna $t\leq n$.

Sabemos que $o(h^p) = p^{t-1} < p^t = o(h)$. Así, por la elección de $h$, $h^p\in\left< g \right>$ y en consecuencia tenemos que
\begin{align}\label{eq:dos}
h^{p} = g^s \text{ para algún } s\in \mathbb{N}.
\end{align}

Entonces $(g^s)^{p^{m-1}} = (h^p)^{p^{m-1}} = h^{p^m} = e$ por (\ref{eq:uno}). Así,
\begin{align}\label{eq:tres}
o(g^s) < p^m \text{ y } g^s \text{ no genera a } \left< g \right>.
\end{align}

Sabemos que $\displaystyle o(g^s) = \frac{o(g)}{(s,o(g))}$. Si $p$ no divide a $s$, como $o(g)$ es una potencia de $p$ tendríamos que $(s, o(g)) = 1$ y así $o(g^s) = o(g) = p^m$ contradiciendo (\ref{eq:tres}). Concluimos entonces que $p|s$ es decir $s = pq$ para algún $q\in\z$.

Consideremos $a = g^{-q}h$. Tenemos que
\begin{align*}\label{eq:cuatro}
a^p = g^{-pq} h^p = g^{-s} h^p &= g^{-s}g^s &\text{ por (\ref{eq:dos})} \\
& = e.
\end{align*}

Además, si $a\in \left< g \right>$ tendríamos que $h = ag^q \in\left< g\right>$ lo cual contradice la elección de $h$.

Hemos encontrado entonces un elemento $a\not\in \left< g \right>$ con $a^p = e$. Notamos que $a\neq e$ ya que $a\not\in \left< g \right>$, entonces $a$ debe ser un elemento de orden $p$. Pero $h$ es un elemento de orden mínimo en $G\setminus \left< g \right>$ y $a\in G\setminus \left< g \right>$ con $o(a) = p$. Así, $h$ debe ser también de orden $p$.

Veamos ahora que $\left< g \right> \cap \left< h\right> = \{e\}$.

Sabemos que $\left<g\right>\cap\left<h\right>$ es un subgrupo de $\left<h\right>$ y $\left<h\right>$ es de orden $p$, entonces $\left<g\right>\cap \left<h\right>$ es de orden $1$ o $p$. Si $|\left<g\right>\cap \left<h\right>|= p$ tendríamos que $\left<g\right>\cap \left<h\right>\leq \left<h\right>$ con $|\left<g\right>\cap \left<h\right>|= p=|\left<h\right>|$, entonces $\left<g\right>\cap \left<h\right>=\left<h\right>$ lo que implica que $\left<h\right>\subseteq \left<g\right>$. En consecuencia tendríamos que $h \in \left<g\right>$, lo que contradice la elección de $h$.

Concluimos que $\left<g\right>\cap \left<h\right> = \{e\}$.

$\blacksquare$

$G$ como producto de $\left< g\right>$ y un subgrupo cualquiera

Lema 2. Sean $p\in \z^+$ un primo y $G$ un $p$-grupo abeliano. Supongamos que $g\in G$ es un elemento de orden máximo. Entonces $G$ es el producto directo interno de $\left< g\right>$ y un subgrupo $H$ de $G$.

Demostración.
Sean $p\in\z^+$ primo.

Realizaremos la demostración por el segundo principio de inducción.

H.I. Supongamos que para todo grupo abeliano $\tilde{G}$ con $|\tilde{G}| = p^k$ y $0\leq k < n$ se tiene que si $\tilde{g}\in \tilde{G}$ es de orden máximo, entonces $\tilde{G}$ es el producto directo interno de $\left< \tilde{g}\right>$ y un subgrupo $\tilde{H}$ de $\tilde{G}$.

Sea $G$ un $p$-grupo abeliano con $|G| = p^n$ para algún $n\in\n$.

Sea $g\in G$ de orden máximo. Como $|G| = p^n$, sabemos que $o(g)$ divide a $|G| = p^n$ y así $o(g) = p^m$ con $m\leq n$.

Si $G = \left<g\right>$ el resultado se cumple considerando $H=\{e\}$.

Si $\left< g \right> \lneq G$ consideremos un elemento $h$ de orden mínimo en $G\setminus \left<g\right>.$

Por el lema 1, sabemos que $o(h) = p$ y que $\left<g\right> \cap \left<h\right> = \{e\}$. Sea $H = \left< h \right>.$

Observemos que $gH$ es un elemento de orden máximo en $G/H$ ya que por (\ref{eq:uno}), $(aH)^{p^m} = a^{p^m}H = H$ para todo $a\in G$. Además $(gH)^{o(g)} =g^{o(g)}H = H $ por lo que $o(gH) \leq o(g) = p^m$, y si $o(gH)< p^m$ tendríamos que
\begin{align*}
H = (gH)^{p^{m-1}} = g^{p^{m-1}} H
\end{align*}
y así $g^{p^{m-1}} \in \left< g \right> \cap H = \{e\}$, es decir $g^{p^{m-1}}=e$ contradiciendo que $o(g) = p^m$.

Concluimos así que $gH$ es un elemento de orden máximo en $G/H$, con $G/H$ un $p$-grupo abeliano de orden $|G/H|=|G|/|H|=\frac{p^n}{p}=p^{n-1}$ que es menor que el orden de $G$.

Por H.I. sabemos que $G/H$ es el producto directo interno de $\left<gH \right>$ y un subgrupo $\tilde{H}$ de $G/H$.

Por el teorema de la correspondencia $\tilde{H} = K/H$ para algún $H\leq K \leq G$.

Veamos que $G$ es el producto directo interno de $\left< g\right>$ y $K$.

Veamos primero que $\left<g\right> \cap K = \{e\}$.

Si $x\in \left<g\right> \cap K$, entonces $xH\in \left<gH\right>\cap K/H = \left<gH\right> \cap \tilde{H}$ y como $G/H$ es el producto directo de $\left<gH\right>$ y $\tilde{H}$, entonces $\left<gH\right>\cap \tilde{H} = \{H\}$. Así, $xH \in \{H\}$, entonces $xH=H$ lo que implica que $x\in H$.

Tenemos que $x\in \left<g\right>\cap H = \{e\}$ probando que $x = e$. Así, $\left<g\right> \cap K = \{e\}$.

Veamos ahora que $G=\left<g\right> K $.

Sea $y\in G$, sabemos que $yH\in G/H = \left<gH\right>\tilde{H} = \left<gH\right>K/H$. Esto implica que
\begin{align*}
yH &= (gH)^tkH \text{ para algunos } t\in\z, k\in K\\
&= g^tkH.
\end{align*}

Entonces $(g^tk)^{-1}y = \hat{h}$ con $\hat{h}\in H$. Así $y = g^t k \hat{h}$. Como $H\leq K$ tenemos que $k\hat{h} \in K$, entonces $y\in\left<g\right>K$.

Concluimos que $\left<g\right> \cap K = \{e\}$ y $\left<g\right> K = G$.

Así, $G$ es el producto directo interno de $\left<g\right>$ y $K$.

$\blacksquare$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Considera los siguientes grupos y realiza para cada uno los ejercicios descritos a continuación:

  • $S_4.$
  • $\z_{11}.$
  • $A_5.$
  • $Q_8 = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}.$
  1. Determina si los grupos anteriores son $p$-grupos abelianos. De no serlo, considera un $p$-subgrupo abeliano de ellos.
  2. Busca (en el grupo o en el $p$-subgrupo abeliano) un elemento $g$ de orden máximo tal que $\left< g\right>$ sea un subgrupo propio y encuentra $h$ elemento de orden mínimo en el complemento de $\left< g \right>$ tal que su orden sea $p$.
  3. Describe al grupo o al $p$-subgrupo abeliano como el producto directo interno $\left<g\right>$ y un subgrupo $H$.

Más adelante…

Aunque estos lemas pueden parecer muy técnicos, su función es clara y se verá en la siguiente entrada. Como estos lemas ya están demostrados, la prueba del Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos es bastante directa. En la siguiente entrada enunciaremos y demostraremos el tercer lema que se requiere y por fin podremos enfrentarnos al Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos.

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Álgebra Moderna I: Ejemplo de Sylow

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Siendo la última entrada de la Unidad 4, está dedicada a un ejemplo que se justifica usando el Tercer Teorema de Sylow que vimos en la entrada anterior. Por lo mismo, es mucho más corta de lo que estamos acostumbrados, pero es importante para reforzar el conocimiento antes aprendido.

Ilustrando el TTS

Veamos un ejemplo del Tercer Teorema de Sylow.

Ejemplo.

Tomemos $G = S_4$ y veamos la factorización en primos del orden de $G$, $|G| = 24 = 2^3\cdot 3$.

Primero, consideremos al $3$. Notamos que $\left< (1\;2\; 3)\right>$ es un $3$-subgrupo de Sylow ya que tiene $3$ elementos y no podemos encontrar subgrupos de Sylow de $9, 27$ u otra potencia de $3$, porque esta no dividiría al orden de $G$.

Ahora nos preguntamos ¿cuál es la cantidad de $3$-subgrupos de Sylow, denotada por $r_3$? Bueno, por el Tercer Teorema de Sylow sabemos que se cumple:

\begin{align*}
r_3 \,| \, 2^3 \cdot 3 \, \text{ y } \, r_3\equiv 1 \text{(mód }3).
\end{align*}

Como $3 \equiv 0\text{(mód }3)$, entonces $r_3$ no es un múltiplo de $3$, así que $r_3$ tiene que ser un divisor de $2^3 = 8$ congruente con uno módulo $3$, por lo que $r_3 \in \{1, 4\}$.

Pero podemos encontrar $\left< (2\; 3\; 4)\right>$, otro $3$-subgrupo de Sylow diferente al anterior, así que $ r_3 = 4$. Los otros $3$-subgrupos de Sylow son $\left<(1\;3\;4)\right>$ y $\left<(1\;2\;4)\right>$.

Ahora nos fijamos en el primo $2$. Por el TTS, la cantidad de $2$-subgrupos de Sylow ($r_2$) tiene que cumplir,
\begin{align*}
r_2\,| \,2^3 \cdot 3 \, \text{ y } \, r_2\equiv 1 \text{(mód }2).
\end{align*}

La condición del módulo nos indica que $r_2$ es impar, por lo que tiene que ser divisor de $3$ para además se cumpla la primera condición, esto nos deja con $r_2 \in \{1,3\}.$

Busquemos estos $2$-subgrupos de Sylow. Sabemos que cada $2$-subgrupo de Sylow tiene orden igual a la máxima potencia de $2$ que divide a $|G|$, esto es 8. Sabemos que si tenemos un cuadrado y numeramos los vértices, podemos codificar cada simetría del cuadrado con una permutación de $S_4$. Recordemos que no toda permutación de $S_4$ es una simetría, pero sí al revés.

Las simetrías de un cuadrado son $8$ en total y estas simetrías pueden ser generadas por la combinación de una rotación y la reflexión con respecto al eje $x$. Como hay $8$ simetrías del cuadrado y éstas pueden ser codificadas en permutaciones de $S_4$, tendremos un subgrupo de $S_4$ de orden $8$, es decir, un $2$-subgrupo de Sylow.

Supongamos que numeramos los vértices de un cuadrado $1,\,2,\,3,\,4$ como en la imagen, entonces la rotación estará dada por $(1\;2\;3\;4)$ y la reflexión con respecto al eje $x$ sería $(2\;4)$. Así, el $2$-subgrupo de Sylow que obtenemos es $\left<(1\;2\;3\;4), (2\;4)\right>$.

Simetrías del cuadrado $1,\,2,\,3,\,4$ usando $\left<(1\;2\;3\;4), (2\;4)\right>.$

Estamos buscando todos los $2$-subgrupos de Sylow posibles, como $r_2 \in \{1,3\}$ bien podíamos pensar que $\left<(1\;2\;3\;4), (2\;4)\right>$ es el único. Pero podemos nombrar los vértices del cuadrado de manera distinta para que las simetrías de $S_4$ que le correspondan cambien y encontremos otro $2$-subgrupo de Sylow.

Numerando los vértices del cuadrado $2,\,1,\,3,\,4$ como en la imagen, encontramos que la simetrías están generadas por la rotación $(2\;1\;3\;4)$ y la reflexión $(1\;4)$. Así $\left<(2\;1\;3\;4), (1\;4)\right>$ es otro $2$-subgrupo de Sylow.

Si nos damos cuenta, lo único que hicimos en este cuadrado fue intercambiar los vértices $1$ y $2$ del cuadrado. Esto nos da un subgrupo diferente al anterior porque ese cambio no es una simetría del cuadrado.

Simetrías del cuadrado $2,\,1,\,3,\,4$ usando $\left<(2\;1\;3\;4), (1\;4)\right>.$

Pero $r_2 = 1$ o $r_2 = 3$, así que no puede haber sólo dos $2$-subgrupos de Sylow, deben ser $3$. Nos queda entonces otro $2$-subgrupo de Sylow por encontrar. Análogamente, tomamos el cuadrado numerando los vértices $1, \, 3, \, 2, \, 4$, donde sólo intercambiamos los vértices $3$ y $4$ del cuadrado original. En este caso nos encontramos que sus simetrías son generadas por $\left< (1\;3\;2\;4), (3\; 4)\right>$ y este es el último $2$-subgrupo de Sylow que nos faltaba.

Simetrías del cuadrado $1, \, 3, \, 2, \, 4$ usando $\left< (1\;3\;2\;4), (3\; 4)\right>.$

Así, encontramos todos los subgrupos de Sylow de $S_4$.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Considera el grupo de los cuaternios $Q_8$, ¿cuántos y cuáles son sus $2$-subgrupos de Sylow?
  2. Busca los $2$ y $3$-subgrupos de Sylow de $\z_6.$
  3. Sean $a, b \in G : = S_3 \times \z_4$, donde $a = ((1\; 2\; 3), [2])$ y $b = ((1\; 3), [1]).$ Considere el subgrupo $T : = \left< a, b \right> \leq G.$ Prueba que $$T = \left< a,b : a^6 = 1_G, b^2 = a^3 = (ab)^2\right>$$ y que $T$ es un grupo no abeliano con $12$ elementos.
    La notación anterior se lee como $T$ es el generado por los elementos $a$ y $b$ tales que $a^6 = 1_G, \,b^2 = a^3 = (ab)^2$.

Más adelante…

Con esta entrada no sólo concluimos en tema de los Teoremas de Sylow, si no también la unidad 4 del curso. ¡Felicidades! Sigue avanzando, ya casi acabamos.

En la siguiente unidad planeamos estudiar el Teorema Fundamental de los Grupos abelianos finitos. Pero para ello comenzaremos viendo una forma sencilla de construir nuevos grupos a partir de una cantidad finita de grupos previos.

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