Cálculo Diferencial e Integral I: Velocidad y aceleración

Por Karen González Cárdenas

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Introducción

Para los problemas que veremos en esta entrada, será necesario recordar algunos conceptos de la Física relacionados con el Movimiento rectilíneo uniforme que posiblemente estudiaste en el bachillerato.

Recordemos que la velocidad se encuentra expresada por:
\begin{equation*}
v=\frac{d}{t}.
\end{equation*}
Esta igualdad modela el movimiento de un punto sobre una recta en una distancia $d$ en un tiempo $t$ con una velocidad uniforme $v$.

De la ecuación anterior podemos obtener que la distancia es:
\begin{equation}
d=v \cdot t.
\end{equation}

Ahora si consideramos a un par de puntos $(d_1,t_1)$ y $(d_2,t_2)$ tales que:
\begin{align*}
d_1&=vt_1 & d_2&=vt_2\\
\end{align*}

Así al sustituir en $(1)$ tendríamos que:
$$d_2-d_1=v(t_2-t_1) \Rightarrow v=\frac{d_2-d_1}{t_2-t_1}$$

que es justo la velocidad media.

Supongamos ahora que el movimiento ya no es de velocidad uniforme y que la función de distancia recorrida del punto $p$ en un tiempo $t$ está dada como:
$$d=d(t).$$

Por lo que ahora la función de velocidad media de $p$ en un intervalo $[t_1,t_2]$ se define como:
$$\frac{d_2-d_1}{t_2-t_1}=\frac{d(t_2)-d(t_1)}{t_2-t_1}.$$

Tomemos a $t_2-t_1=h$ por lo que tenemos las siguientes conclusiones:

  • $t_2=t_1+h$ donde $h\neq 0$
  • $d(t_2)= d(t_1+h)$
  • $[t_1.t_2]=[t_1,t_1+h]$

En consecuencia la velocidad media queda:
$$\frac{d(t_1+h)-d(t_1)}{h}.$$
Aplicamos límite a la expresión anterior para obtener la velocidad instantánea (rapidez o sólo velocidad):
$$\lim_{h \to 0} \frac{d(t_1+h)-d(t_1)}{h}.$$
Generalizando al considerar cualquier tiempo $t$ observamos que:
$$\lim_{h \to 0} \frac{d(t+h)-d(t)}{h}=d'(t).$$

Concluyendo con la siguiente igualdad para la función velocidad de un punto $p$:
$$v(t)=d'(t).$$

Y a la aceleración media como:
$$a(t)=v'(t)=d \dquote (t).$$

Problema 1

Supongamos que tenemos una partícula cuyo movimiento se encuentra modelado por la función:
$$d(t)=4t^{2}-6t+6$$
con la distancia expresada en metros y el tiempo en segundos.

Se nos pide encontrar:

  1. Su distancia recorrida cuando $t=0$.
  2. Su velocidad al iniciar su movimiento.
  3. La velocidad alcanzada transcurridos 3 segundos.
  4. La velocidad final a los 5 segundos.
  5. Su aceleración.

Solución:

  1. Veamos que la podemos obtener evaluando la función de movimiento cuando $t=0$:
    $$d(0)= 4(0)^{2}-6(0)+6= 6m.$$
  2. Para la velocidad al iniciar basta derivar $d$ y evaluarla con $t=0$:
    $$v(t)=d'(t)= 8t-6.$$
    De este modo:
    $$v(0)=-6 \frac{m}{s}.$$
    Esto lo podemos ver en la gráfica de la función $v$:
  1. Evaluemos la función $v$ con $t=3$:
    \begin{align*}
    v(3)&=8(3)-6\\
    &=24-6\\
    \therefore v(3)&=18 \frac{m}{s}.
    \end{align*}
  2. Ahora cuando $t=5$:
    \begin{align*}
    v(5)&=8(5)-6\\
    &=40-6\\
    \therefore v(5)&= 34\frac{m}{s}.
    \end{align*}

Observamos con lo anterior que la velocidad es creciente.

  1. Debemos obtener la segunda derivada de la función $d$, que es equivalente a derivar la velocidad:
    \begin{align*}
    a(t)&=v \dquote (t)\\
    &= 8 \frac{m}{s^{2}}.
    \end{align*}
    Por lo que tenemos que su aceleración es constante.

Problema 2

Un proyectil es lanzado, tenemos que la función que describe la altura alcanzada al tiempo $t$ es:
$$d(t)=-3t^{2}+54t$$

¿En qué instante alcanza su altura máxima y cuál es su valor?
Solución:

Comenzaremos derivando la función $d$:
$$d'(t)=-6t+54.$$

Igualamos a cero para encontrar el máximo:
\begin{align*}
d'(t)=0 &\Leftrightarrow -6t+54=0\\
&\Leftrightarrow -t+9=0\\
&\Leftrightarrow t=9
\end{align*}

Aplicando el Criterio de la segunda derivada comprobamos que se trata de un máximo cuando $t=9$:
$$d \dquote (t)=-6 <0.$$

Así para obtener el valor de la altura basta sustituir $t=9$ en la función $d$:
\begin{align*}
d(9)&=-3(9)^{2}+54(9)\\
&=-3(81)+486\\
&=-243+486\\
&=243
\end{align*}
$\therefore$ La altura es de $243 m$.

Problema 3

Tenemos que la distancia recorrida por una partícula se expresa mediante la función:
$$d(t)=2t^{3}-5t^{2}+10t$$
donde consideramos a $d$ en metros y a $t$ en segundos.
¿Cuál es su velocidad cuando:

  • $t=1$,
  • $t=\frac{3}{2}$,
  • $t=0$ ?

Solución:
Primero obtenemos la función velocidad derivando $d$:
$$v(t)=d'(t)=6t^{2}-10t+10.$$
Ahora evaluamos los valores que nos piden:

  • Con $t=1$:
    $$v(1)=6(1)^{2}-10(1)+10=6.$$
    $$\therefore v(1)=6\frac{m}{s}.$$
  • Con $t=\frac{3}{2}$:
    $$v\left(\frac{3}{2}\right)=6\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-10\left(\frac{3}{2}\right)+10=\frac{17}{2}.$$
    $$\therefore v\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{17}{2}\frac{m}{s}.$$
  • Con $t=0$:
    $$v(0)=6(0)^{2}-10(0)+10=10.$$
    $$\therefore v(0)=10\frac{m}{s}.$$

Después de ver estos problemas, te dejamos a continuación una lista de ejercicios para que puedas practicar el tema visto en esta entrada.

Más adelante

En la próxima entrada, veremos que haciendo uso de la derivada podemos obtener la razón de cambio de dos o más variables relacionadas en un problema.

Tarea moral

  • Una pelota es lanzada desde el suelo hacia arriba y su altura sigue la función:
    $$d(t)=30t-5t^{2}.$$
    Determina cuál es la altura máxima que alcanza la pelota.
  • La distancia recorrida por un automóvil se encuentra definida por la función:
    $$m(t)=t^{2}-3t+1$$
    donde estamos considerando a $m$ expresada en kilómetros y a $t$ en horas.
    Se requiere obtener:
    • Su distancia recorrida cuando $t=0.$
    • Su velocidad al iniciar su movimiento.
    • La velocidad alcanzada transcurridas 2 horas.
    • La velocidad final a las 6 horas.
    • Su aceleración.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior I: Introducción a números naturales

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

Hasta ahora hemos hablado de conceptos introductorios de conjuntos, lógica, funciones y relaciones. Ahora empezaremos a ver más aplicaciones de estos fundamentos matemáticos, y en esta unidad empezaremos a hablar de un concepto que muchos de nosotros usamos todos los días y uno de los conceptos clave que históricamente es la base del estudio matemático en muchas culturas: los números naturales.

Empezando a contar

Vamos a pensar en los números que nosotros usamos para contar, cuando estamos pagando algún objeto, pensamos en unidades de dinero, un objeto $x$ puede costar $10$ monedas, en una tienda, puede haber $5$ camisas, $2$ pantalones y como se agotaron los zapatos, podemos decir que hay $0$ zapatos.

A estos números que usamos para contar, les llamaremos «números naturales», el término de natural viene del hecho que es un concepto que se viene de forma intuitiva, o a que surgen naturalmente a raíz de las necesidades de las distintas culturas que han existido a lo largo de la historia. Esta idea de pensar a los números naturales es buena para tener una intuición de cómo funcionan, sin embargo vamos a abstraer un poco la idea de lo que significa un número en esta y las siguientes entradas, desde su definición hasta la forma en que se suman y se multiplican, por ejemplo.

Los axiomas de Peano

Giuseppe Peano fue un matemático del siglo XIX que llegó a formalizar el término de «número natural», explicando algunas reglas que cumplían los números naturales, antes de ver cómo se construyen estos, veamos cuáles son estas reglas o axiomas que estableció Peano.

Para Peano, los números naturales son un conjunto al que denominaremos por $\mathbb{N}$ junto con una relación $\sigma \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} $, es decir considera a una pareja de términos $( \mathbb{N} , \sigma)$ que cumplirán los siguientes axiomas:

Axioma 1. Existe un elemento especial en $ \mathbb{N} $ que denominaremos por $0$.

Axioma 2. Para cada elemento $m \in \mathbb{N} $ existirá un único elemento $n \in \mathbb{N} $ tal que $(m,n) \in \sigma$, es decir $\sigma$ es una función.

Axioma 3. Para todo número natural $n$, sucede que $\sigma(n) \neq 0$.

Axioma 4. $\sigma$ es una función inyectiva.

Axioma 5 (Primer principio de inducción). Si $S$ es un subconjunto de $ \mathbb{N} $ tal que:

  1. $0 \in \mathbb{N}$
  2. Para cada número $n \in S$, sucede que $\sigma(n) \in S$

Entonces $S=\mathbb{N}$

Normalmente a la función $\sigma$ se le conoce como la función sucesora. Pensemos en esto con la intuición que tenemos sobre el sucesor de un número. Primero notemos que podemos resumir los primeros cuatro axiomas diciendo que $\sigma$ es una función biyectiva $\sigma: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \setminus \{0\}$. Para ver eso, consideremos la siguiente proposición:

Proposición. $Im(\sigma)=\mathbb{N}\setminus \{0\}$.

Demostración. Para esta demostración, solo basta probar que $Im(\sigma) \supset \mathbb{N}\setminus \{0\}$. Ahora supongamos que $n \in Im(\sigma)$, entonces como $n \in \mathbb{N}$ sucede que $\sigma(n) \in Im(\sigma)$. Como $\mathbb{N}$ satisface los axiomas de Peano y el conjunto $Im(\sigma) \cup \{0\}$ satisface las condiciones del axioma 5, entonces $Im(\sigma) = \mathbb{N}$. De tal manera que $(Im(\sigma) \cup \{0\}) \setminus \{0\} = \mathbb{N} \setminus \{0\}$, esto debido a que $0$ no es sucesor de ningún número.

$\square$

Construcción de los números naturales

Normalmente llamamos a este conjunto de los números naturales al conjunto $\{0,1,2,3,\dots\}$ y la función sucesora es la función: $$\begin{align*}1&\xrightarrow{\sigma}2\\ 2&\xrightarrow{\sigma}3\\ 3&\xrightarrow{\sigma}4 \\&\vdots\end{align*}$$ Es decir, es la función que a cada número lo manda a su sucesor. Esta forma de pensar a los números es la habitual, y de hecho cualquier sistema numérico que satisfaga los axiomas, será equivalente a los números naturales, es decir que existe un único sistema numérico que cumpla los axiomas de Peano salvo isomorfismos. No te preocupes si no entiendes este término aún, solo es otra forma de decir que podemos pensar a los números naturales como cualquier conjunto que cumpla los axiomas.

A continuación vamos a presentar una forma conjuntista de construir a los números naturales. Para ello, nos olvidaremos un rato de los axiomas de Peano y daremos algunas definiciones.

Definición. Sea $S$ un conjunto, entonces el sucesor $\sigma(S)$ de $S$ es el conjunto $$\sigma(S)= S \cup \{S\} $$.

Por ejemplo:

  1. $\sigma(\emptyset) = \{\emptyset\}$
  2. $\sigma(\{\emptyset\}) = \sigma(\sigma(\emptyset))=\{\emptyset\} \cup \{\{\emptyset\}\}$.

Definición. Un conjunto $X$ es inductivo si:

  1. $\emptyset \in X$
  2. $x \in X \Rightarrow \sigma(x) \in X.$

Ahora definamos al conjunto $\mathbb{N}$ como el conjunto formado por $\emptyset$ y los elementos resultantes de la aplicación iterativa de la función sucesora, es decir: $$ \mathbb{N} = \{\emptyset, \sigma(\emptyset),\sigma(\sigma(\emptyset)),\sigma(\sigma(\sigma(\emptyset))),\dots \}$$ Por construcción, este es un conjunto inductivo.

Con esto en mente, podemos entonces pensar a estos números naturales como a los conjuntos $$\begin{align*}&\emptyset\\
&\{\emptyset\} \\
&\{ \emptyset \} \cup \{\{ \emptyset \}\} = \{\emptyset,\{\emptyset\}\}\\
&\{ \emptyset \} \cup \{\{ \emptyset \}\} \cup \{ \{ \emptyset \} \cup \{\{ \emptyset \}\} \}= \{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\} \\ &\dots \end{align*}$$

Uniendo con los axiomas de Peano

Ahora veremos que de hecho estos conjuntos cumplen los axiomas de Peano.

Teorema. $\mathbb{N}$ cumple los axiomas de Peano.

Demostración. Recordemos que primero deberíamos demostrar que $\sigma: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \setminus \emptyset$ es una función biyectiva. Para ello, notemos que es inyectiva, para probar esto, supongamos que $n,m \in \mathbb{N}$ tales que $\sigma(n)=\sigma(m)$. Como $n \in \sigma(n)$ entonces $n \in \sigma(m)$. Esto significa que $n \in m \lor n=m$. De la misma manera $m \in m \lor n=m$. De manera que al cumplirse las dos condiciones al mismo tiempo sucede que $(n \in m \land m \in n) \lor m=n$. La primera condición resulta en una contradicción de la teoría de conjuntos que no revisaremos en este curso1.
Además. $\sigma$ también es suprayectiva, pues recordemos que por construcción, cada elemento de $\mathbb{N}\setminus(\emptyset)$ es de la forma $\sigma(n)$. Así que si consideramos cualquier elemento $m \in \mathbb{N}\setminus(\emptyset) $ existirá $n \in \mathbb{N}$ tal que $\sigma(n)=m$. De esta forma, la función es biyectiva.

Ahora, para ver que se cumple el quinto axioma, recordemos que $ \mathbb{N}$ es un conjunto inductivo. Ahora, veamos que si $\emptyset$ es nuestro elemento como en el axioma 1, se cumple del primer al cuarto axioma. Además, se cumplirá el quinto axioma, pues el $0$ de este conjunto es $\emptyset$. Así, el conjunto satisface los axiomas de Peano.

$\square$

Para usar la notación normal de los números naturales, vamos a escribir la numeración normal que conocemos:
$$\begin{align*}
&0 \rightarrow\emptyset\\
&1 \rightarrow \{\emptyset\} \\
&2 \rightarrow \{\emptyset,\{\emptyset\}\}\\
&3 \rightarrow \{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\} \\ &\dots \end{align*}$$

Notas

  1. En particular la contradicción de la demostración es con un axioma que se llama el axioma de regularidad, este axioma se revisa en cursos específicos de Teoría de Conjuntos o en cursos de Lógica y Conjuntos

Más adelante…

El quinto axioma de Peano que también se le conoce como primer principio de inducción como está definido es muy útil para pensar algunas cosas de las matemáticas que tienen que ver con números naturales. Es incluso tan importante este axioma que existe un tipo de demostración matemática que no hemos revisado y será el uso de este axioma para las «demostraciones por inducción».

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. ¿Cuál es el sucesor del conjunto $\{1,\{2,3\}\}$?
  2. Demuestra que para cada conjunto $S$, $\sigma(S)$ tiene al menos un elemento.
  3. Demuestra que para cualquier conjunto $X$, $|X|=n$ si y solo si existe una biyección entre $X$ y $n$.

Entradas relacionadas

  • Ir a Álgebra Superior I
  • Entrada anterior del curso: Problemas de cardinalidad de conjuntos finitos
  • Siguiente entrada del curso: Principio de inducción en los números naturales

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Cálculo Diferencial e Integral I: Problemas de optimización

Por Karen González Cárdenas

2 respuestas

Introducción

Ya que hemos revisado dos criterios importantes para determinar si un punto crítico de una función es un máximo o un mínimo, en esta entrada veremos que la obtención de los mismos tiene variadas aplicaciones prácticas.

En algunos problemas podría resultar fácil determinar la función que deseamos optimizar (maximizar o minimizar) ya que puede ser conocida previamente. Sin embargo, nos podemos enfrentar a casos más complicados donde no resulte inmediato obtenerla y expresarla en términos de una variable. Es por eso que damos las siguientes recomendaciones generales:

  • Identifica la función de la cual se desea encontrar su máximo o su mínimo.
  • En caso de que la función resulte ser de dos o más variables, observa los datos dados en el problema que te permitan expresarlas en función de una sola variable.
  • Si el problema lo necesita, realiza una representación gráfica del planteamiento.

Problema 1

Encuentra dos números cuya suma sea $40$ y su producto sea máximo.
Solución:

Sabemos que:
\begin{equation}
x+y=40.
\end{equation}
Y lo que nos piden maximizar es el producto:
$$P=xy.$$
Para obtener la función a maximizar debemos poner a la variable $y$ en términos de $x$, por ello nos apoyaremos en la primera ecuación:
\begin{equation}
y=40-x.
\end{equation}
Sustituyendo lo anterior tenemos que la función a maximizar:
\begin{align*}
P(x)&=x(40-x)\\
&=40x-x^{2}\\
\therefore P(x)&=40x-x^{2}.
\end{align*}

Comencemos por buscar los valores críticos de la función, en consecuencia, derivamos una vez $P(x)$:
$$P'(x)=40-2x.$$
Ahora igualamos a cero la primera derivada:
\begin{align*}
P'(x)=0 &\Leftrightarrow 40-2x=0\\
&\Leftrightarrow 20-x=0\\
&\Leftrightarrow x=20
\end{align*}

Para obtener el máximo utilizaremos el Criterio de la primera derivada, así cuando:
Caso 1: $x<20$
\begin{align*}
P'(19)&= 40-2(19)\\
&=2 \tag{que es positivo}
\end{align*}

Caso 2: $x>20$
\begin{align*}
P'(21)&=40-2(21)\\
&=-2 \tag{que es negativo}
\end{align*}
Concluimos que $P$ tiene un máximo cuando $x=20$.

Para obtener el valor de $y$ sustituimos en $(2)$:
$$y=40-20 \Rightarrow y=20.$$

Por lo tanto los números buscados son $x=20$ y $y=20$.

Observamos que en el problema anterior no fue necesario realizar algún dibujo que nos facilitara su solución. En los siguientes problemas veremos que una representación gráfica puede ser de gran utilidad.

Problema 2

De los rectángulos con perímetro fijo, ¿Cuál tiene el área máxima?

Solución:
Consideremos a $P$ como el perímetro fijo y a $A$ el área del rectángulo, de lo anterior observamos:
\begin{align*}
A&=xy & P&=2x+2y
\end{align*}

Para obtener la función a maximizar despejamos del perímetro a la variable $y$:
\begin{align*}
P=2x+2y &\Rightarrow P-2x=2y\\
&\Rightarrow \frac{P}{2}-x=y
\end{align*}

Así la función sería:
\begin{align*}
f(x)&=x\left( \frac{P}{2}-x \right)\\
\therefore f(x)&= \frac{P}{2}x-x^{2}.
\end{align*}

Ahora buscaremos los puntos críticos de $f$ derivando una vez:
$$f'(x)=\frac{P}{2}-2x.$$
E igualando la derivada a cero:
\begin{align*}
f'(x)=0 &\Leftrightarrow \frac{P}{2}-2x =0\\
&\Leftrightarrow \frac{P}{2}=2x \\
&\Leftrightarrow \frac{P}{4}=x
\end{align*}

Para determinar que es máximo utilizaremos el Criterio de la segunda derivada, por lo que derivamos una segunda vez a la función:
$$f \dquote (x)=-2 < 0.$$
Por lo que $f$ tiene un máximo cuando $x=\frac{P}{4}$.

Obtenemos el valor de $y$ sustituyendo $x=\frac{P}{4}$:
\begin{align*}
y&=\frac{P}{2}-\frac{P}{4}\\
&=\frac{P}{4}
\end{align*}

Concluimos que el rectángulo buscado es aquel que tiene lados $x=\frac{P}{4}$ y $y=\frac{P}{4}$.

Problema 3

Calcular el radio y la altura de los cilindros de volumen máximo y mínimo que puedan inscribirse en un cono con un radio de $6 cm$ y $12 cm$ de altura. En la siguiente imagen podemos ver más claro el planteamiento anterior:

Solución:
Tenemos que el radio está dado por $BC$ y que la altura por $AB$:
\begin{align*}
BC&= 6 & AB&=12
\end{align*}
Además el volumen de un cilindro está dado por la ecuación:
$$V=\pi x^{2}y.$$
donde $x$ es el radio y $y$ la altura.

Lo que queremos calcular es:
\begin{align*}
BE&=x & BD&=y
\end{align*}

Observemos que de la imagen anterior tenemos

de donde el triángulo formado por los puntos $A, B, C$ es semejante con el triángulo formado por $F,E,C$:
$$\triangle ABC \sim \triangle FEC.$$

Por lo que tenemos la siguiente igualdad:
$$\frac{BC}{EC}=\frac{AB}{FE}.$$
Sustituimos $BC=6$ y $AB =12$:
$$\frac{6}{EC}=\frac{12}{FE}.$$
Además, como tenemos que para $EC$ se cumple la igualdad:
\begin{align*}
EC&=BC-BE\\
&=6 -x \tag{por $BE=x$}
\end{align*}

Por lo anterior y recordando que $y=FE$ se sigue:
$$ \frac{6}{6-x}=\frac{12}{y}.$$

Despejando a $y$ de la igualdad anterior:
\begin{align*}
\frac{6}{6-x}=\frac{12}{y} &\Leftrightarrow \frac{6y}{6-x}=12\\
&\Leftrightarrow 6y = 12(6-x)\\
&\Leftrightarrow y=\frac{72-12x}{6}\\
&\Leftrightarrow y = 12-2x
\end{align*}

Obtenemos la función a maximizar sustituyendo $y=12-2x$ en $V=\pi x^{2}y$:
\begin{align*}
V(x)&=\pi x^{2}(12-2x )\\
&=12\pi x^{2}-2\pi x^{3}
\end{align*}

Derivemos $V(x)$:
$$V'(x)=24\pi x -6\pi x^{2}.$$

Igualemos a cero para obtener los valores críticos:
\begin{align*}
V'(x)=0 &\Leftrightarrow 24\pi x -6\pi x^{2}=0\\
&\Leftrightarrow 4x-x^{2} \tag{dividimos entre $6\pi$}\\
&\Leftrightarrow x(4-x)=0\\
&\Leftrightarrow x=0 \quad \text{o}\quad x=4
\end{align*}

Determinaremos si se trata de un máximo o un mínimo utilizaremos el Criterio de la segunda derivada considerando:
$$V \dquote (x)=24\pi-12\pi x.$$

Veamos para $x=0$:
$$V \dquote (0)=24 \pi > 0,$$
por lo que en consecuencia $V$ tiene un mínimo.

Ahora para $x=4$:
$$V \dquote (4)=-24\pi <0,$$
por lo tanto $V$ tiene un máximo.

Para obtener las dimensiones recordemos que:
$$y=12-2x.$$

Cilindro con volumen mínimo
$$x=0 \quad \text{y} \quad y=12-2(0)=12$$

Cilindro con volumen máximo
$$x=4 \quad\text{y}\quad y=12-2(4)=4$$

Problema 4

Hallar los puntos sobre la gráfica de la función $f(x)=x^{3}$ cuyas abscisas difieren en $k$ unidades tal que la recta que los une tenga pendiente mínima:

Solución:
La pendiente de la recta que une el par de puntos de la imagen está dada por:
\begin{align*}
m&=\frac{(x-k)^{3}-x^{3}}{(x-k)-x}.\\
\end{align*}

Ahora simplificando lo anterior obtenemos la función a minimizar:
$$m(x)=3x^{2}-3kx+k^{2}.$$

Derivamos e igualamos a cero:
$$m'(x)=6x-3k \Rightarrow 6x-3k=0$$
Por lo que veamos si cuando $x=\frac{k}{2}$ se trata de un mínimo usando el Criterio de la segunda derivada:
$$m\dquote (x)=6 >0.$$

Concluimos que $m$ tiene un mínimo cuando $x=\frac{k}{2}$ y hallamos los puntos sustituyendo en $f(x)=x^{3}$:
$$f\left(\frac{k}{2}\right)=\left(\frac{k}{2}\right)^{3}=\frac{k^{3}}{8}.$$

Por lo que los puntos que cumplen son de la forma:
$$\left(\frac{k}{2},\frac{k^{3}}{8}\right).$$

A continuación, te presentamos una lista de ejercicios que te permitirán reforzar lo visto en esta entrada, verás que algunos de ellos tienen planteamientos similares.

Más adelante

Ya que hemos revisado algunos problemas que involucran obtener el máximo o mínimo de una función en distintos planteamientos, en la próxima entrada veremos problemas relacionados con los temas de velocidad y aceleración donde igualmente el uso de la derivada será fundamental para su solución.

Tarea moral

  • Obtener dos números cuyo producto sea $16$ y cuya suma sea mínima.
  • Hallar las dimensiones del rectángulo con perímetro de $72$ unidades y de área máxima.
  • Obtener las coordenadas del punto $A$ sobre la curva $f(x)=x^{2}$ más cercano al punto $B=(3,0)$.
  • Utilizando un cartón de forma cuadrada de 12 cm de lado se desea construir una caja abierta recortando cuadrados iguales de las esquinas y doblando hacia arriba. Por lo que se te pide determinar la longitud del lado $x$ de los cuadrados de las esquinas para que la caja:
    • Tenga volumen máximo
    • Tenga volumen mínimo

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Localización de máximos y mínimos. Regiones de convexidad y puntos de inflexión

Por Karen González Cárdenas

2 respuestas

Introducción

En la sección anterior vimos cómo encontrar los máximos y mínimos de una función haciendo uso del Criterio de la primera derivada. En esta entrada veremos un criterio más que nos ayudará a localizar los puntos críticos de una función haciendo uso de la segunda derivada. Además, veremos los conceptos de convexidad, concavidad y puntos de inflexión.

Criterio de la segunda derivada

Teorema (Criterio de la segunda derivada): Sea $f:(a,b) \rightarrow \r$ una función de clase $C^{(2)}$ en un punto $x_0 \in (a,b)$ y $f'(x_0)=0$.

  1. Si $f \dquote (x_0)>0 \Rightarrow x_0$ es un mínimo local de $f$.
  2. Si $f \dquote (x_0)<0 \Rightarrow x_0$ es un máximo local de $f$.

Observación: una función $f$ es de clase $C^{(k)}$ si su k-ésima derivada existe y sus $k$ derivadas son continuas.

Demostración 2:
Para este punto queremos demostrar que existe un intervalo $(x_0-r,x_0+r)$ donde:

  • $f'(x)>0$ para toda $x \in (x_0-r, x_0)$.
  • $f'(x)<0$ para toda $x \in (x_0, x_0+r)$.

Y así por el criterio de la primera derivada tendríamos que $x_0$ es máximo local.

Por hipótesis tenemos que $f \dquote (x_0)<0$, lo que por definición de derivada sería:
$$\lim_{h \to 0}\frac{f'(x_0+h)-f'(x_0)}{h}<0$$
Así sabemos que existe una $\delta$ tal que para toda $h \in (-\delta,\delta)$ ocurre que:
$$ \frac{f'(x_0+h)-f'(x_0)}{h}<0 $$

Veamos qué ocurre en los siguientes dos casos:
Caso 1: $h<0$ entonces tendríamos que $x_0+h<x_0$ y de la desigualdad anterior se seguiría que
\begin{align*}
\frac{f'(x_0+h)-f'(x_0)}{h}<0 &\Rightarrow f'(x_0+h)-f'(x_0)>0\\
&\Rightarrow f'(x_0+h)>0\tag{donde $f'(x_0)=0$}\\
\end{align*}

Caso 2: $h>0$ se tiene que $x_0+h >x_0$ análogamente vemos que
\begin{align*}
\frac{f'(x_0+h)-f'(x_0)}{h}<0 &\Rightarrow f'(x_0+h)-f'(x_0)<0\\
&\Rightarrow f'(x_0+h)<0\tag{donde $f'(x_0)=0$}\\
\end{align*}

Concluyendo la prueba del inciso 2.

$\square$

Detengámonos un momento a realizar la siguiente observación del teorema anterior:
Observación: si $f\dquote (x)=0$ no podemos concluir nada, ya que el criterio no logra determinar si se trata de un máximo, un mínimo o ninguno de los anteriores. En este caso es necesario hacer uso de otros resultados como el Criterio de la primera derivada.

Esto sucede por ejemplo con la función $f(x)=x^{3}$ cuando $x_0=0$, ya que al evaluar su segunda derivada en $x_0$ obtenemos:
$$f \dquote (x_0)=0.$$
Al ver la gráfica de la función cúbica notamos que en el punto $x_0=0$ no tenemos un máximo local, así como no tenemos un mínimo local.

Ahora veamos que al considerar $f(x)=x^{4}$ con $x_0=0$ y su segunda derivada evaluada en $ x_0$ también ocurre que $f\dquote (x_0)=0$. Si recurrimos a visualizar su gráfica tenemos en este caso que $x_0$ es un mínimo local de $f$. Un camino alterno para determinarlo podría ser utilizar el Criterio de la primera derivada visto en la entrada anterior.

De este modo después de aplicar el Criterio de la segunda derivada al obtener $f \dquote (x_0)=0$ es necesario realizar un análisis más profundo valiéndonos de otros recursos y resultados.

Ejemplo

Utilizando el Criterio de la segunda derivada encuentra los máximos y mínimos de la siguiente función:
$$f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+1.$$

Solución:
Paso 1: Obtenemos la primera derivada de la función
\begin{align*}
f'(x)&=3x^{2}-6x-9\\
&= x^{2}-2x-3\\
&=(x-3)(x+1)\\
\therefore f'(x)&=(x-3)(x+1).
\end{align*}
Paso 2: Igualamos a cero la primera derivada para obtener los puntos críticos
\begin{align*}
f'(x)=0 &\Leftrightarrow (x-3)(x+1)=0\\
&\Leftrightarrow x- 3=0 & &\text{o} \quad (x+1)=0\\
&\Leftrightarrow x=3 & &\text{o} \quad x=-1
\end{align*}

Paso 3: Ahora obtenemos la segunda derivada de $f$
$$f \dquote (x)=2x-2.$$

Paso 4: Sustituimos los valores de los puntos críticos obtenidos en el paso 2 y aplicamos el Criterio de la segunda derivada

  • Sustituimos $x=3$ en $f \dquote (x)$:
    $$f\dquote (3)=2(3)-2=4$$
    El resultado obtenido nos dice que $f\dquote (3)>0$ por lo que $f$ tiene un mínimo en $(3,-26)$
  • Ahora para $x=-1$:
    $$f\dquote (-1)=2(-1)-2=-4$$
    Vemos que $f\dquote (-1)<0$ obteniendo un máximo de $f$ en $(-1,6)$

Convexidad y concavidad

Definición (función convexa): Sea $f:[a,b]\rightarrow \r$ una función. Decimos que $f$ es convexa en [a,b] si para cualesquiera $x,y \in [a,b]$ con $x<y$ se cumple que para todo $z\in[x,y]$:
$$f(z) \leq \frac{f(x)-f(y)}{x-y}(z-y)+f(y).$$

Lo que esta definición nos dice es que todos los puntos de la recta secante que une a $(y,f(y))$ con $(x,f(x))$ cuando $x<y$ se encuentran por arriba de la gráfica como se ve en la siguiente imagen.

Observación: Recordemos que, en el contexto de funciones y gráficas, una recta secante es una línea recta que intercepta a una curva en dos puntos distintos.

Una definición equivalente sería que para cualquier $\alpha \in (0,1)$ se cumple:
$$f(\alpha x+(1-\alpha)y)\leq \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y).$$

Para ver que la definición implica esto, notemos que si $z=\alpha x+(1-\alpha)y$ con $\alpha\in (0,1)$, entonces $z\leq y$ y $z\geq x$. Así, por definición, tendríamos que

\begin{align*}
f(\alpha x + (1-\alpha) y)&=f(z)\\
&\leq \frac{f(x)-f(y)}{x-y}(z-y)+f(y)\\
&=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}(\alpha x – \alpha y) + f(y)\\
&=\alpha(f(x)-f(y))+f(y)\\
&=\alpha f(x) + (1-\alpha) f(y),
\end{align*}

como afirmamos. Por otro lado, si se cumple lo que afirmamos que es una equivalencia, entonces cualquier $z\in (x,y)$ puede ser escrito como $z=\alpha x+(1-\alpha)y$ con $\alpha \in (0,1)$ (esto se puede probar, por ejemplo, por teorema del valor intermedio, pues $\alpha \mapsto \alpha x+(1-\alpha)y$ es continua, en $\alpha=0$ vale $y$ y en $\alpha=1$ vale $x$). Así, suponiendo la segunda versión tendríamos

\begin{align*}
f(z)&=f(\alpha x + (1-\alpha) y)\\
&\leq \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)\\
&=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}(z-y)+f(y),
\end{align*}

en donde en la última igualdad se hacen cuentas similares a las hechas arriba.

Otras definiciones son las siguientes:

  • Definición (función estrictamente convexa): Sea $f:[a,b]\rightarrow \r$ una función. Se dice que $f$ es estrictamente convexa si cumple la desigualdad:
    $$f(\alpha x+(1-\alpha)y)< \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y),$$ para $\alpha\in (0,1)$.
  • Definición (función estrictamente cóncava): Decimos que $f$ es estrictamente cóncava si $-f$ es estrictamente convexa.
  • Definición (función cóncava): Decimos que $f$ es cóncava si $-f$ es convexa.

La derivada y la convexidad

Teorema: Consideremos $f:(a,b)\rightarrow \r$ una función. Si $f'(x)$ es no decreciente en $(a,b)$ entonces $f$ es convexa en $(a,b)$.

Demostración:

Consideremos $x,y \in (a,b)$. Queremos demostrar que para cualquier $\alpha \in (0,1)$ se cumple la desigualdad:
$$f(\alpha x + (1- \alpha)y)\leq \alpha f(x)+ (1- \alpha)f(y).$$

Así tomemos $\alpha_0 \in [0,1]$ y probemos que:
$$f(\alpha_0 x + (1- \alpha_0)y)\leq \alpha_0 f(x)+ (1- \alpha_0)f(y).$$

Por el teorema del valor medio para la derivada tenemos que existe $p\in (x,z)$ donde podemos considerar $ z=\alpha_0x+(1-\alpha_0)y$ tal que:
$$f'(p)=\frac{f(z)-f(x)}{z-x}.$$
Análogamente existe $q \in (z,y)$ que:
$$f'(q)=\frac{f(y)-f(z)}{y-z}.$$

Por hipótesis vemos que:
$$f'(p)\leq f'(q).$$
Es decir:
$$\frac{f(z)-f(x)}{z-x}\leq \frac{f(y)-f(z)}{y-z}.$$

Y como $ z=\alpha_0x+(1-\alpha_0)y$:
\begin{align*}
&\Rightarrow \frac{f(z)-f(y)}{(\alpha_0-1)x+(1-\alpha_0)y}\leq \frac{f(y)-f(z)}{y-\alpha_0 x-(1- \alpha_0)y}\\
&\Rightarrow \frac{f(z)-f(y)}{(y-x)(1-\alpha_0)}\leq \frac{f(y)-f(z)}{\alpha_0 (y-x)}\\
&\Rightarrow \alpha_0 (f(z)-f(x)) \leq (1- \alpha_0)(f(y)-f(z))
\end{align*}
Por lo tanto si desarrollamos lo anterior:
\begin{align*}
\alpha_0 f(z)+ (1-\alpha_0)f(z)&\leq \alpha_0f(x)+(1-\alpha_0)f(y)\\
\therefore f(z)&\leq \alpha_0 f(x)+(1-\alpha_0)f(y)\\
\end{align*}
Recordando que $z=\alpha_0x+(1-\alpha_0)y$ concluimos que:
$$f(\alpha_0x+(1-\alpha_0)) \leq \alpha_0 f(x)+(1-\alpha_0)f(y).$$

$\square$

Una consecuencia del teorema anterior es el siguiente corolario:
Corolario: Sea $f: (a,b) \rightarrow \r$ una función.

  • Si $f \dquote (x) \geq 0$ entonces $f$ es convexa.
  • Si $f \dquote (x)\leq 0$ entonces $f$ es cóncava.

Así vemos que la segunda derivada nos puede ayudar a determinar los intervalos donde una función es convexa o cóncava.

Puntos de inflexión de una función

Definición (punto de inflexión): Decimos que $x_0$ es un punto de inflexión si en él la función cambia de convexa a cóncava ó de cóncava a convexa.
Para poder identificarlos usando la derivada tenemos que si $f\dquote(x_0)=0$ y $f \dquote (x_0)\neq 0$ entonces $x_0$ es un punto de inflexión.

En el siguiente ejemplo utilizaremos este criterio para identificar los puntos de inflexión de la función vista en el ejercicio anterior.

Ejemplo

Recordemos que estamos trabajando con la función:
$$f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+1 .$$
Cuyas segunda y tercera derivada son:
$$f \dquote (x)=2x-2$$
$$f ^{\prime \prime \prime}(x)=2$$
Para identificar a sus puntos de inflexión igualaremos a cero su segunda derivada y encontraremos las raíces de la misma:
\begin{align*}
f\dquote(x)=0 &\Rightarrow 2x-2=0\\
&\Rightarrow x-1=0\\
&\Rightarrow x=1
\end{align*}
Sustituimos $x=1$ en la función original:
$$f(1)=(1)^{3}-3(1)^{2}-9(1)+1=-10$$
Además, como $f^{\prime \prime \prime}((1)=2$, podemos concluir que $f$ tiene un punto de inflexión en $(1,-10)$.

Ahora para definir donde la función es convexa debemos resolver la siguiente desigualdad:
\begin{align*}
f\dquote(x)>0 &\Rightarrow x-1>0\\
&\Rightarrow x>1
\end{align*}
Así $f$ es convexa en $(1, \infty)$

Y para ver donde es cóncava utilizamos:
\begin{align*}
f\dquote (x)<0 &\Rightarrow x-1<0\\
&\Rightarrow x<1
\end{align*}
Por lo que $f$ es cóncava en $(-\infty,1)$

Más adelante

Ahora que hemos visto dos criterios importantes haciendo uso de la derivada para localizar máximos y mínimos de una función, en la siguiente entrada donde hablaremos de problemas de optimización, será esencial poder identificarlos.

Tarea moral

Para cada una de las siguientes funciones obtén:

  • Máximos y mínimos.
  • Intervalos donde crece y decrece la función.
  • Intervalos donde es convexa o cóncava.
  • Puntos de inflexión.
  • Gráfica.
  1. $f(x)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$
  2. $f(x)= x^{3}(x+2)$
  3. $f(x)=\sqrt{x^{2}+36}$
  4. $f(x)=-2x^{3}+9x^{2}+60x$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Moderna I: Cuadrángulo ortocéntrico

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

En esta entrada veremos que los cuatro triángulos que se forman con los vértices de un cuadrángulo ortocéntrico, tienen la misma circunferencia de los nueve puntos y derivaremos algunas otras propiedades.

Cuadrángulo ortocéntrico

Definición. Un cuadrángulo ortocéntrico es el conjunto de puntos formado por los vértices de un triángulo y su ortocentro.

Nos referiremos a los cuatro triángulos que se pueden formar con los cuatro puntos de un cuadrángulo ortocéntrico como grupo ortocéntrico de triángulos.

Teorema 1. Cualquier punto de un cuadrángulo ortocéntrico es el ortocentro del triángulo formado por los otros tres puntos y los triángulos de este grupo ortocéntrico tienen el mismo triangulo órtico.

Demostración. Sea $\triangle ABC$ y $H$ su ortocentro.

Figura 1

Notemos que el ortocentro de $\triangle BHC$ es $A$ pues $AB \perp HC$, $AH \perp BC$ y $AC \perp HB$.

De manera análoga podemos ver que $B$ es el ortocentro de $\triangle AHC$ y $C$ es el ortocentro de $\triangle AHB$.

Por otro lado, los pares de rectas perpendiculares $AH$, $BC$; $BH$, $AC$ y $CH$, $AB$, se intersecan en $D$, $E$ y $F$, respectivamente.

Por lo tanto, estos tres puntos son fijos, así el triángulo órtico es el mismo para los cuatro triángulos $\triangle ABC$, $\triangle HAB$, $\triangle HAC$ y $\triangle HBC$.

$\blacksquare$

Corolario 1. Las circunferencias de los nueve puntos de un grupo ortocéntrico de triángulos coinciden y sus circunradios son iguales.

Demostración. Como el circuncírculo del triángulo órtico de un triángulo dado es la circunferencia de los nueve puntos, por el teorema 1, los triángulos de un grupo ortocéntrico tienen la misma circunferencia de los nueve puntos.

En la entrada anterior vimos que el radio de la circunferencia de los nueve puntos es igual a la mitad del circunradio de su triángulo de referencia.

Por lo tanto, $\triangle ABC$, $\triangle HAB$, $\triangle HAC$ y $\triangle HBC$ tienen el mismo circunradio (figura 1).

$\blacksquare$

Circuncentros

Teorema 2. Los circuncentros de un grupo ortocéntrico de triángulos forman un cuadrángulo ortocéntrico.

Demostración. Por el teorema 2 de la entrada anterior, sabemos que el circuncentro de un triángulo es la reflexión de su ortocentro respecto de $N$, el centro de los nueve puntos.

Como los triángulos de un grupo ortocéntrico tienen el mismo centro de los nueve puntos, los circuncentros $O_a$, $O_b$, $O_c$ y $O$ de $\triangle HBC$, $\triangle HAC$, $\triangle HAB$ y $\triangle ABC$ son las reflexiones de $A$, $B$, $C$ y $H$ respectivamente respecto a $N$.

Figura 2

Dado que una reflexión es una homotecia de razón $-1$ entonces las figuras $ABCH$ y $O_aO_bO_cO$ son congruentes y por lo tanto $O_aO_bO_cO$ es un cuadrángulo ortocéntrico.

$\blacksquare$

Corolario 2. Un grupo ortocéntrico de triángulos y el grupo ortocéntrico de triángulos formado por sus circuncentros tienen la misma circunferencia de los nueve puntos.

Demostración. Como las figuras $ABCH$ y $O_aO_bO_cO$ son simétricas respecto a $N$ entonces también sus circunferencias de los nueve puntos son simétricas respecto a $N$.

Como $N$ es el centro de una de estas circunferencias, entonces coinciden.

Observación. Notemos que como $O_aO_bO_cO$ es un grupo ortocéntrico de triángulos, entonces la reflexión de sus ortocentros respecto al centro de los nueve puntos $N$ será el conjunto de sus circuncentros.

Entonces $A$, $B$, $C$ y $H$ son los circuncentros de $\triangle O_bO_cO$, $\triangle O_aO_cO$, $\triangle O_aO_bO$ y $\triangle O_aO_bO_c$ respectivamente.

$\blacksquare$

Problema. Construye un triángulo $\triangle ABC$ dados el centro de los nueve puntos $N$ y los circuncentros $O_b$ y $O_c$ de los triángulos $\triangle CAH$ y $\triangle ABH$ respectivamente donde $H$ es el ortocentro de $\triangle ABC$.

Solución. $O_b$ y $O_c$ son los ortocentros de $\triangle O_aO_cO$ y $\triangle O_aO_bO$ respectivamente y si los reflejamos respecto a $N$ obtendremos a los circuncentros de sus respectivos triángulos, estos son los vértices $B$ y $C$ del triángulo requerido.

Ahora tenemos dos vértices y el centro de los nueve puntos, este problema lo resolvimos en la entrada anterior.

$\blacksquare$

Centroices

Teorema 3. Los cuatro centroides de un grupo ortocéntrico de triángulos forman un cuadrángulo ortocéntrico.

Demostración. Sea $\triangle ABC$ y $H$ su ortocentro.

Sabemos que el centro de los nueve puntos $N$ de $\triangle ABC$ divide internamente al segmento $HG$ en razón $3:1$, donde $G$ es el centroide de $\triangle ABC$.

Figura 3

Como el grupo ortocéntrico de triángulos $\triangle ABC$, $\triangle HBC$, $\triangle HAC$, $\triangle HAB$ tienen el mismo centro de los nueve puntos $N$, entonces sus respectivos centroides $G$, $G_a$, $G_b$, $G_c$ están en homotecia con $H$, $A$, $B$, $C$ respectivamente desde $N$ y la razón de homotecia es $-3$.

Como dos figuras homotéticas son semejantes, entonces $GG_aG_bG_c$ es un cuadrángulo ortocéntrico.

$\blacksquare$

Corolario 3. La circunferencia de los nueve puntos de un grupo ortocéntrico de triángulos y la circunferencia de los nueve puntos del grupo ortocéntrico formado por sus centroides son concéntricas.

Demostración. Como las figuras $HABC$ y $GG_aG_bG_c$ están en homotecia desde el centro de los nueve puntos $N$ de $\triangle ABC$ entonces sus respetivas circunferencias de los nueve puntos también están en homotecia desde $N$.

Como $N$ es el centro de una de ellas, entonces son concéntricas.

$\blacksquare$

Corolario 4. Dado un cuadrángulo ortocéntrico, el cuadrángulo ortocéntrico formado por sus circuncentros y el cuadrángulo ortocéntrico formado por sus centroides tienen el mismo centro de los nueve puntos y además existe una homotecia entre ellos con centro en este punto.

Demostración. Por los corolarios 2 y 3, $OO_aO_bO_c$ y $GG_aG_bG_c$ tienen el mismo centro de los nueve puntos que $HABC$ y son homotéticos con este último precisamente desde $N$ en razón $-1$ y $-3$ respectivamente.

Figura 4

Por lo tanto, existe una homotecia con centro en $N$ y razón $3$ que lleva a $GG_aG_bG_c$ en $OO_aO_bO_c$.

$\blacksquare$

Incentro y excentros

Teorema 4. El incentro y los excentros de un triángulo dado forman un cuadrángulo ortocéntrico y el circuncírculo del triángulo dado es la circunferencia de los nueve puntos de este grupo ortocéntrico de triángulos.

Demostración. Como las bisectrices interna y externa de los ángulos de un triángulo $\triangle ABC$ son perpendiculares entre si entonces el incentro $I$ es el ortocentro del triángulo formado por los excentros $\triangle I_aI_bI_c$ y el triángulo $\triangle ABC$ es el triángulo órtico de $\triangle I_aI_bI_c$.

Figura 5

Entonces, por el teorema 1 y corolario 1, $I_aI_bI_cI$ es un grupo ortocéntrico de puntos y su circunferencia de los nueve puntos es el circuncírculo de $\triangle ABC$.

$\blacksquare$

Proposición. El segmento que une el ortocentro de un triángulo dado con el circuncentro del triángulo formado por los excentros del triángulo dado es bisecado por el incentro del triángulo medial del triángulo dado.

Demostración. Sea $\triangle ABC$ un triángulo, $I$, $I_a$, $I_b$, $I_c$, el incentro y sus respectivos excentros, $O$ y $O_e$ los circuncentros de $\triangle ABC$ y $\triangle I_aI_bI_c$ respectivamente.

Figura 6

Por el teorema anterior, $I$ y $O$ son el ortocentro y el centro de los nueve puntos respectivamente de $\triangle I_aI_bI_c$, por lo tanto, $O$ es el punto medio de $IO_e$.

Sean $H$ y $G$ el ortocentro y el centroide respectivamente de $\triangle ABC$, como $H$, $G$ y $O$ son colineales y $G$ triseca el segmento $OH$, entonces, $G$ es el centroide de $\triangle IO_eH$.

Por lo tanto, $IG$ biseca a $O_eH$ en $I’$ y $\dfrac{IG}{2} = GI’$.

Por otro lado, sabemos que existe una homotecia con centro en $G$ y razón $\dfrac{-1}{2}$, que lleva a $\triangle ABC$, a su triangulo medial $\triangle A’B’C’$, por lo que sus respectivos incentros $I$ y $I_m$ son puntos homólogos de esta homotecia, es decir $I$, $G$ y $I_m$ son colineales y $G$ triseca al segmento $II_m$.

Como $I’$ cumple con estas características entonces $I’ = I_m$.

$\blacksquare$

Más adelante…

En la próxima entrada estudiaremos otra recta notable del triángulo, la recta de Simson, veremos que la intersección de dos rectas de Simson se intersecan en la circunferencia de los nueve puntos y que cierto conjunto de rectas de Simson forman un cuadrángulo ortocéntrico.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Muestra que las rectas de Euler de los cuatro triángulos de un grupo ortocéntrico son concurrentes.
  2. Demuestra que el simétrico del circuncentro de un triángulo con respecto a uno de los lados del triángulo coincide con el simétrico del vértice opuesto al lado considerado respecto al centro de los nueve puntos del triángulo.
  3. Muestra que los vértices de un grupo ortocéntrico de triángulos pueden ser considerados como los centroides de otro grupo ortocéntrico de triángulos.
  4. Sea $\triangle ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle A = \dfrac{\pi}{2}$, $D$ el pie de la altura por $A$, las bisectrices de $\angle BAD$ y $\angle DAC$ intersecan a $BC$ en $P$ y $P’$ respectivamente. Las bisectrices de $\angle DBA$ y $\angle ACD$ intersecan a $AD$ en $Q$ y $Q’$ respectivamente.
    $i)$ Muestra que $PP’QQ’$ es un cuadrángulo ortocéntrico,
    $ii)$ si $I$, $J$ y $K$ son los incentros de $\triangle ABC$, $\triangle ABD$ y $\triangle ADC$, muestra que $AIJK$ es un cuadrángulo ortocéntrico.
  5. Prueba que la suma de los cuadrados de dos segmentos no adyacentes que unen vértices de un cuadrángulo ortocéntrico es igual al cuadrado del circundiámetro de los triángulos de este grupo ortocéntrico.
  6.  Construye un triángulo $\triangle ABC$ dados su circuncentro $O$, y los circuncentros de los triángulos $\triangle II_bI_c$ y $\triangle II_aI_c$, donde $I$, $I_a$, $I_b$ y $I_c$ es el incentro y los excentros de $\triangle ABC$.

Entradas relacionadas

Fuentes

  • Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 109-115.
  • Johnson, R., Advanced Euclidean Geometry. New York: Dover, 2007, pp 165-167.
  • Shively, L., Introducción a la Geómetra Moderna. México: Ed. Continental, 1961, pp 58.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»