Archivo del Autor: Eduardo Vera Rosales

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones de Bessel y Legendre

Introducción

En la entrada anterior comenzamos el estudio a algunas ecuaciones especiales de segundo orden que aparecen con frecuencia en otras áreas de estudio, principalmente en la física. En particular, encontramos soluciones por series a las ecuaciones de Hermite y Laguerre, y mencionamos cómo los polinomios de orden $n$ que llevan los mismos nombres son soluciones particulares a las ecuaciones diferenciales para $\lambda=n$, respectivamente.

Ahora es turno de revisar las ecuaciones de Bessel y Legendre, debidas a los matemáticos Friedrich Wilhelm Bessel y Adrien-Marie Legendre. Resolveremos la ecuación de Bessel alrededor del punto singular regular $t_{0}=0$ para algunos casos del valor $\lambda$. Por otra parte resolveremos la ecuación de Legendre alrededor del punto ordinario $t_{0}=0$, y mencionamos la relación de la ecuación de Legendre con los polinomios que llevan el mismo nombre.

Ecuación de Bessel

En el primer video hallamos la ecuación indicial para la ecuación de Bessel de orden $\lambda$ alrededor del punto singular regular $t_{0}=0$ $$t^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+t\frac{dy}{dt}+(t^{2}-\lambda^{2})y=0, t>0.$$ Posteriormente encontramos una solución a la misma ecuación cuando $\lambda=0$.

En el segundo video resolvemos la ecuación de Bessel de orden $\lambda=1$ bajo las mismas hipótesis del caso anterior.

Ecuación de Legendre

En el último video de la entrada resolvemos la ecuación de Legendre de forma general alrededor del punto ordinario $t_{0}=0$ y hacemos una importante observación acerca de las soluciones a dicha ecuación.

Tarea moral

  • Encuentra una segunda solución a la ecuación de Bessel de orden cero $$t^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+t\frac{dy}{dt}+t^{2}y=0$$ cerca del punto singular regular $t_{0}=0$, $t>0$.
  • Encuentra una segunda solución a la ecuación de Bessel de orden uno $$t^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+t\frac{dy}{dt}+(t^{2}-1)y=0$$ cerca del punto singular regular $t_{0}=0$, $t>0$.
  • Halla una solución a la ecuación de Bessel de orden $\frac{1}{2}$ $$t^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+t\frac{dy}{dt}+(t^{2}-\frac{1}{2})y=0$$ cerca del punto singular regular $t_{0}=0$, $t>0$.
  • Investiga los primeros cuatro polinomios de Legendre. Prueba que son solución particular a la ecuación de Legendre $$(1-t^{2})\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-2t\frac{dy}{dt}+\lambda(\lambda+1)y=0$$ alrededor del punto ordinario $t_{0}=0$ para los valores $\lambda=0,1,2,3$, respectivamente.
  • Mediante el método de soluciones por series de potencias, halla una solución a la ecuación de Legendre con $\lambda=4$ $$(1-t^{2})\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-2t\frac{dy}{dt}+20y=0.$$ En general, el $n$-ésimo polinomio de Legendre es solución a la ecuación de Legendre con $\lambda=n$.
  • Verifica que $t_{0}=1$ es un punto singular regular para la ecuación de Legendre y encuentra una solución cerca de $t_{0}=1$, $t>0$.

Más adelante

Hasta el momento hemos revisado cuatro de las seis ecuaciones especiales de segundo orden que vamos a estudiar. Finalizaremos esta serie de entradas revisando la ecuación de Chebyshev y la ecuación hipergeométrica.

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones de Hermite y Laguerre

Introducción

En entradas anteriores desarrollamos métodos para resolver la ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes variables de la forma $a_{0}(t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=0$ alrededor de puntos ordinarios y cerca de puntos singulares regulares.

Utilizaremos estos métodos para resolver en esta y en las próximas dos entradas algunas ecuaciones especiales que se encuentran en otras áreas del conocimiento, principalmente en la física. Nos enfocaremos exclusivamente en encontrar soluciones a dichas ecuaciones, por lo que no hablaremos de las aplicaciones de éstas. Iniciamos en esta entrada con las ecuaciones de Hermite y Laguerre debidas a los matemáticos Charles Hermite y Edmond Laguerre.

La ecuación de Hermite tiene la forma $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-2t\frac{dy}{dt}+\lambda y=0$$ con $t \in \mathbb{R}$ y $\lambda$ constante. Encontraremos una solución general con desarrollo en serie de potencias alrededor del punto ordinario $t_{0}=0$.

Por otro lado, la ecuación de Laguerre tiene la forma $$t\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+(1-t)\frac{dy}{dt}+\lambda y=0$$ con $\lambda$ constante. Encontraremos una solución particular a dicha ecuación cerca del punto singular regular $t_{0}=0$ y tomando $t>0$. Finalmente veremos las dificultades para encontrar de forma explícita una segunda solución linealmente independiente a la primera, según la fórmula que encontramos en el desarrollo general del método de Frobenius.

Ecuación de Hermite

En el video encontramos la solución general a la ecuación de Hermite alrededor del punto ordinario $t_{0}=0$, además de hacer una observación importante acerca de la solución general para los casos cuando $\lambda$ es un entero par no negativo.

Ecuación de Laguerre

En el video encontramos una solución particular a la ecuación de Laguerre cerca del punto singular regular $t_{0}=0$. Posteriormente hablamos de la dificultad para encontrar una segunda solución de manera explícita, aún cuando el método de Frobenius nos ofrece la forma que debe tener esta segunda solución. Finalmente hacemos una importante observación acerca de la solución encontrada para los casos cuando $\lambda$ es un entero positivo.

Tarea moral

  • Investiga los primeros cuatro polinomios de Hermite. Prueba que son solución particular a la ecuación de Hermite cuando $\lambda=0,2,4,6$ respectivamente. En general, el $n$-ésimo polinomio de Hermite será solución particular a la ecuación de Hermite cuando $\lambda=2n$.
  • Resuelve la ecuación de Hermite $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-2t\frac{dy}{dt}+8y=0$$ alrededor del punto ordinario $t_{0}=0$, siguiendo paso a paso el método utilizado en el primer video (es decir, no uses únicamente la fórmula final del video).
  • Investiga los primeros cuatro polinomios de Laguerre. Prueba que son solución particular a la ecuación de Laguerre cuando $\lambda=0,1,2,3$ respectivamente. En general, el $n$-ésimo polinomio de Laguerre será solución particular a la ecuación de Laguerre cuando $\lambda=n$.
  • Encuentra una solución a la ecuación de Laguerre $$t\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+(1-t)\frac{dy}{dt}+4y=0$$ alrededor del punto singular regular $t_{0}=0$, siguiendo paso a paso el método de Frobenius (nuevamente, no utilices únicamente la fórmula final del segundo video).

Más adelante

Hemos encontrado soluciones a dos de las seis ecuaciones especiales que revisaremos en esta serie de entradas. En la próxima continuaremos hablando de estas funciones especiales. En particular estudiaremos las ecuaciones de Bessel y Legendre.

Hasta la próxima!

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables. Solución por series cerca de un punto singular regular

Introducción

En la entrada anterior resolvimos la ecuación diferencial de Euler, cerca del punto singular $t_{0}=0$, como un caso particular de las ecuaciones que consideraremos en esta ocasión. Vimos que la forma que tenga la solución general depende de las raíces de la ecuación cuadrática $r^{2}+(\alpha -1)r+\beta=0$.

Es turno de revisar el caso cuando queremos encontrar una solución en forma de serie cerca de un punto singular ecuación diferencial $a_{0}(t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=0$. Clasificaremos a los puntos singulares en dos tipos: regulares e irregulares. Debido a la complejidad para encontrar soluciones alrededor de puntos singulares irregulares, nos enfocaremos exclusivamente en los puntos singulares regulares, y trataremos de generalizar el método utilizado para resolver la ecuación de Euler, el cual lleva el nombre de método de Frobenius, gracias al matemático Ferdinand Georg Frobenius.

Para facilitar el desarrollo de la teoría, en esta entrada siempre supondremos que el punto singular regular sobre el que trabajaremos es $t_{0}=0$. En la práctica, si tenemos un punto singular $t_{0}\neq 0$, basta con hacer el cambio de variable $z=t-t_{0}$.

Consideraciones generales. Solución cuando la ecuación indicial tiene dos raíces distintas que no difieren por un entero

En el primer video de esta entrada damos las definiciones de punto singular regular e irregular y damos las consideraciones generales con las que trabajaremos a lo largo de toda la entrada. Además presentamos la ecuación indicial de la cual depende la forma de la solución general a la ecuación $a_{0}(t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=0$ cerca del punto singular regular $t_{0}=0$. Finalmente resolvemos el primer caso del método de Frobenius cuando la ecuación indicial $r^{2}+(b_{0}-1)r+c_{0}=0$ tiene raíces distintas que no difieren por un entero.

Solución cuando la ecuación indicial tienen raíces repetidas

En el segundo video resolvemos el segundo caso del método de Frobenius, cuando la ecuación indicial tiene dos raíces repetidas.

Solución cuando al ecuación indicial tiene raíces que difieren por un entero

Finalizamos esta serie de videos con el último caso del método de Frobenius, cuando la ecuación indicial tiene dos raíces que difieren por un entero.

Tarea moral

  • Prueba que si $r_{1}$, $r_{2}$ son raíces complejas de la ecuación indicial $r^{2}+(b_{0}-1)r+c_{0}=0$, entonces $F(r_{1}+k)$ y $F(r_{2}+k)$ no se anulan para cualquier $k\geq1$. Por lo tanto la solución general a la ecuación diferencial tiene la misma forma que cuando consideramos raíces reales que no difieren por un entero, pero con valores complejos.
  • Encuentra una expresión para la solución general del ejercicio anterior pero con valores únicamente reales.
  • Muestra que las soluciones $y_{1}(t)$, $y_{2}(t)$ encontradas en el caso cuando la ecuación indicial tiene raíces repetidas, son linealmente independientes.
  • Encuentra los radios de convergencia para cada solución dada en forma de series en esta entrada. (Hint: Las demostraciones son análogas al caso de radios de convergencia para soluciones por series de potencias alrededor de puntos ordinarios).

Más adelante

Hemos concluido de desarrollar la teoría que involucra soluciones en series, tanto alrededor de un punto ordinario como cerca de un punto singular regular. Como te pudiste dar cuenta en esta entrada no resolvimos ejemplos, ya que en las siguientes entradas emplearemos esta teoría para resolver algunas ecuaciones especiales que se usan principalmente en la física. En la siguiente entrada en particular, estudiaremos las ecuaciones de Hermite y Laguerre.

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuación de Euler

Introducción

En la entrada anterior desarrollamos la teoría de soluciones en series de potencias alrededor de un punto ordinario de la ecuación diferencial $a_{0}(t)\frac{d^{2}{y}}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=0$. En cierta forma el teorema de existencia de soluciones con desarrollo en series de potencias alrededor del punto ordinario que probamos nos facilitó las cosas.

Sin embargo, cuando tenemos puntos singulares la teoría falla. Es por eso que debemos encontrar un método alternativo para estudiar soluciones alrededor de puntos singulares a nuestra ecuación diferencial. Antes de comenzar de manera general, lo primero que haremos será considerar una ecuación diferencial en particular, con $t_{0}=0$ como punto singular, la cual es bastante sencilla de resolver: esta es la ecuación de Euler, debido al famoso matemático Leonhard Euler (si no lo conoces o quieres saber acerca de él, te dejo el siguiente enlace a su biografía), y que tiene la forma $$t^{2}\frac{d^{2}{y}}{dt^{2}}+\alpha t\frac{dy}{dt}+\beta y=0$$ donde $\alpha$ y $\beta$ son constantes.

Resolveremos esta ecuación y en la próxima entrada trataremos de generalizar este mismo resultado a una clase más general de ecuaciones con puntos singulares.

Vamos a comenzar!

Leonhard Euler
Leonhard Euler

Ecuación de Euler

En el primer video resolvemos de manera general la ecuación de Euler para cualquier intervalo que no contenga al punto singular $t_{0}=0$, y en el segundo video resolvemos un ejemplo particular de este tipo de ecuaciones.

Tarea moral

  • Prueba que si $(\alpha -1)^{2}-4\beta=0$ entonces $W[t^{r_{1}}, t^{r_{1}}\ln{t}]\neq0$, donde $r_{1}$ es la única raíz de la ecuación cuadrática $r^{2}+(\alpha -1)r+\beta=0$. Por tanto, la solución general a la ecuación de Euler cuando $(\alpha -1)^{2}-4\beta=0$ y $t>0$ es $y(t)=c_{1}t^{r_{1}}+c_{2}t^{r_{1}}\ln{t}$.
  • Si $(\alpha -1)^{2}-4\beta<0$ entonces las raíces $r_{1}$ y $r_{2}$ a la ecuación $r^{2}+(\alpha -1)r+\beta=0$ son complejas. Prueba que $t^{r_{1}}$ y $t^{r_{2}}$ son efectivamente soluciones a la ecuación de Euler, y que además son linealmente independientes. Por tanto, la solución general a la ecuación de Euler cuando $(\alpha -1)^{2}-4\beta<0$ y $t>0$ es $y(t)=c_{1}t^{r_{1}}+c_{2}t^{r_{2}}$. (Sigue el hint dado en el video para hacer las cuentas más sencillas).
  • La solución general encontrada en el problema anterior es una función de variable compleja. Haz elecciones adecuadas de $c_{1}$ y $c_{2}$ para ver que si $r_{1}=a+bi$ y $r_{2}=a-bi$, entonces $t^{a}cos(b\ln{t})$ y $t^{a}sin(b\ln{t})$ son soluciones a la ecuación de Euler para el caso del ejercicio anterior. Prueba que éstas son soluciones linealmente independientes, y por tanto $y(t)=k_{1}t^{a}cos(b\ln{t})+k_{2}t^{a}sin(b\ln{t})$ es solución general a la ecuación de Euler, donde $y$ es una función de valores reales.
  • Resolver la ecuación $$t^{2}\frac{d^{2}{y}}{dt^{2}}+2t\frac{dy}{dt}+4y=0$$ tanto para $t>0$ como para $t<0$.
  • Resuelve el problema de condición inicial $$t^{2}\frac{d^{2}{y}}{dt^{2}}-7t\frac{dy}{dt}+9y=0$$ con condiciones $y(1)=0$, $\frac{dy}{dt}(1)=2$, $t>0$.

Más adelante

Una vez que hemos encontrado la solución general a la ecuación de Euler, lo siguiente tratar de utilizar este mismo método para resolver una clase más general de ecuaciones diferenciales con puntos singulares. Dado que algunas de estas ecuaciones serán bastante complicadas de resolver, clasificaremos los puntos singulares en dos tipos: regulares e irregulares, y nos enfocaremos exclusivamente a resolver ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares regulares.

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables. Solución por series de potencias cerca de un punto ordinario

Introducción

A lo largo de las entradas anteriores que forman parte de la segunda unidad hemos estudiado a detalle ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes, es decir, ecuaciones de la forma $a\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+b\frac{dy}{dt}+cy=g(t)$, con $a\neq 0$, y hemos desarrollado diversos métodos para resolverlas. Es momento de revisar ecuaciones lineales de segundo orden, pero ahora con coeficientes variables, es decir, del tipo $a_{0}(t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=g(t)$.

Hallar soluciones para este tipo de ecuaciones no resulta tan sencillo como para el caso con coeficientes constantes, y en ocasiones no podremos encontrar soluciones en términos de funciones elementales como polinomios, exponenciales, trigonométricas, etc., por lo que una manera de hallar soluciones es suponiendo que la solución puede escribirse como una serie de potencias alrededor de un punto dado.

Estudiaremos entonces soluciones por series de potencias en dos tipos de puntos: cuando los coeficientes tienen desarrollo en series de Taylor alrededor del punto dado, y cuando lo anterior no ocurre. En particular, en esta entrada revisaremos el primer caso. Definiremos los conceptos de puntos ordinarios y singulares, y demostraremos la existencia de soluciones en series de potencias cerca de un punto ordinario,.

Manos a la obra!

Soluciones en series de potencias cerca de un punto ordinario

En el primer video ofrecemos la definición de puntos ordinarios y puntos singulares, y probamos la existencia de soluciones en series de potencias cerca de un punto ordinario, a la ecuación diferencial $a_{0}(t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=0$. La solución encontrada será, además, la solución general a la ecuación diferencial.

Radio de convergencia de la solución en serie de potencias cerca de un punto ordinario

En el segundo video de la entrada encontramos el radio de convergencia para la solución en serie de potencias cerca de un punto ordinario.

Ejemplos

En el último video de la entrada resolvemos un par de ejemplos de ecuaciones diferenciales con coeficientes variables, con el método desarrollado a lo largo de esta misma entrada.

Tarea moral

  • ¿Qué sucede si suponemos que $a_{0}=0$ en la demostración del primer video?
  • ¿Qué pasa si suponemos que $c=1$ en la demostración del primer video?
  • Prueba que las series de potencias que aparecen en la solución general a la ecuación diferencial $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-ty=0$$ son soluciones particulares a la misma ecuación, y que estas son linealmente independientes. Por tanto, la solución general efectivamente lo es para la ecuación diferencial.
  • Encuentra la solución general a la ecuación $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-y=0$$ usando series de potencias alrededor de $t_{0}=0$.
  • Encuentra la solución al problema de valor inicial $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-ty=0$$ $$y(1)=0; \frac{dy}{dt}(1)=2$$ calculando una solución por serie de potencias alrededor de $t_{0}=1$.

Más adelante

Terminamos de estudiar las soluciones cerca de un punto ordinario. Lo siguientes será revisar el caso cuando el punto en cuestión no es un punto ordinario, es decir, es un punto singular de nuestra ecuación diferencial $a_{0}(t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=0$.

Pero antes analizaremos un caso particular sencillo de resolver: la ecuación de Euler que tiene la forma $$t^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+\alpha t\frac{dy}{dt}+\beta y=0$$

A partir de la solución para esta ecuación podremos generalizar más adelante el método a una clase más general de ecuaciones diferenciales con puntos singulares.

No se lo pierdan!

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