Archivo del Autor: Eduardo Vera Rosales

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones de Bernoulli y Riccati

Introducción

En las últimas entradas hemos estudiado algunas ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden y hemos revisado algunos métodos para resolver este tipo de ecuaciones. En esta ocasión veremos dos tipos de ecuaciones no lineales, que mediante un cambio de variable apropiado pueden convertirse en una ecuación lineal, las cuales ya sabemos resolverlas. Nos referimos a las ecuaciones de Bernoulli y Riccati, que deben su nombre a Jakob Bernoulli (1655-1705) y Jacopo Francesco Riccati (1676-1754).

Ecuación de Bernoulli

En el video resolveremos la ecuación de Bernoulli en su forma general y posteriormente revisaremos un ejemplo de este tipo de ecuaciones.

Ecuación de Riccati

En este video resolvemos la ecuación de Riccati en su forma general haciendo un cambio de variable que lleva a una ecuación lineal de primer orden. Luego, resolvemos un ejemplo de una ecuación de Riccati.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Encuentra la expresión general para la solución $y(t)$ a la ecuación de Bernoulli $\frac{dy}{dt}+p(t)y=q(t)y^{n}$.
  • Resuelve la ecuación de Bernoulli $\frac{dy}{dt}-\frac{1}{3t}y=e^{x}y^{4}$.
  • Verifica que la ecuación logística $\frac{dP}{dt}=k(1-\frac{P}{N})P$ es una ecuación tipo Bernoulli y resuélvela.
  • Verifica que $y_{1}(t)=t$ es una solución particular a la siguiente ecuación de Riccati y encuentra su solución general: $\frac{dy}{dt}=1+t^{2}-2ty+y^{2}$.
  • Las ecuaciones de Bernoulli y Riccati se pueden relacionar mediante un cambio de variable. Sea $y_{1}(t)$ una solución particular a la ecuación de Riccati. Haz el cambio de variable $y(t)=y_{1}(t)+v(t)$ y transforma la ecuación de Riccati en una ecuación de Bernoulli.

Más adelante

Hemos terminado el análisis de diversos tipos de ecuaciones no lineales de primer orden. Es tiempo de justificar toda la teoría que desarrollamos mediante el Teorema de existencia y unicidad, como lo hicimos con las ecuaciones lineales de primer orden.

Existen diversas versiones de este Teorema; nosotros demostraremos el Teorema de existencia y unicidad de Picard para ecuaciones de primer orden. Demostrarlo no es tan sencillo como para el caso lineal, por lo que tendremos que desarrollar algunas herramientas extra tales como las iteraciones de Picard, que nos ayudarán a encontrar una solución al problema de condición inicial, vía una ecuación integral que defina a nuestra función $y(t)$.

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones exactas

Introducción

En la entrada anterior comenzamos el estudio de las ecuaciones no lineales de primer orden. En particular, resolvimos ecuaciones diferenciales que llamamos separables. Ahora, en esta nueva entrada resolveremos otro tipo de ecuaciones no lineales que llamaremos ecuaciones diferenciales exactas, que podemos escribir en la forma $M(t,y)+N(t,y)\frac{dy}{dt}=0$ y donde las funciones $M$ y $N$ cumplen ciertas condiciones que hacen a la ecuación exacta.

Por otro lado, muchas veces las funciones $M$ y $N$ no cumplen las condiciones que hacen a la ecuación diferencial exacta. Revisaremos entonces un método para hacer a las ecuaciones diferenciales exactas. Este método es llamado método del factor integrante, que es bastante similar al método del factor integrante para las ecuaciones lineales no homogéneas, cuyo tema puedes revisar en la entrada Ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden. Solución por factor integrante y por variación de parámetros, o ver específicamente el video relacionado aquí.

Ecuaciones exactas

En el primer video introducimos el concepto de ecuación diferencial exacta, y analizamos cuáles son las condiciones que deben satisfacer las funciones $M(t,y)$ y $N(t,y)$ para que una ecuación sea exacta, esto mediante un teorema de caracterización para este tipo de ecuaciones.

En el segundo video resolvemos un par de ejemplos de ecuaciones exactas.

Ecuaciones no exactas y método del factor integrante

En el primer video revisamos el caso cuando una ecuación no satisface las condiciones para ser exacta. Resolvemos este tipo de ecuaciones mediante el método del factor integrante, donde buscamos una función $\mu$ que al multiplicarla por la ecuación diferencial, hace a esta ecuación exacta.

En el segundo video resolvemos un par de ejemplos por el método del factor integrante.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Verifica que la ecuación diferencial $2t+y^{2}+(2ty)\frac{dy}{dt}=0$ es exacta y encuentra su solución.
  • Encuentra la solución al problema de condición inicial para la ecuación del ejercicio anterior para $y(1)=0$.
  • Determina el valor de $a$ para que la ecuación diferencial $\frac{1}{t^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{at+2}{y^{3}}\frac{dy}{dt}=0$ sea exacta y encuentra su solución.
  • Verifica que $\mu(t)=t$ y $\mu(t,y)=\frac{1}{ty(2t+y)}$ son factores integrantes para la ecuación $3ty+y^{2}+(t^{2}+ty)\frac{dy}{dt}=0$. Es decir, una ecuación diferencial puede tener más de un factor integrante.
  • Encuentra la condición para que un factor integrante $\mu$ de $M(t,y)+N(t,y)\frac{dy}{dt}=0$ dependa únicamente de $y$ y encuentra la expresión para $\mu(y)$. (Recuerda los pasos que seguimos en el tercer video de esta entrada para el caso $\mu(t)$).
  • Verifica que la ecuación $3t^{2}y+2ty+y^{3}+(t^{2}+y^{2})\frac{dy}{dt}=0$ no es exacta; encuentra un factor integrante para esta ecuación y resuélvela.

Más adelante

En la siguiente entrada continuaremos con el estudio a las ecuaciones no lineales de primer orden y revisaremos dos ecuaciones no lineales particulares: la ecuación de Bernoulli y la ecuación de Riccati.

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones no lineales de primer orden separables

Introducción

En entradas anteriores resolvimos por diversos métodos ecuaciones diferenciales de primer orden lineales, es decir, de la forma $a_{0}(t)\frac{dy}{dt}+a_{1}(t)y=g(t)$. Es turno de estudiar ecuaciones que no pueden escribirse en la forma anterior, las cuales llamamos no lineales. En particular, en esta entrada resolveremos ecuaciones que se pueden escribir en la forma $\frac{dy}{dt}=f(y)g(t)$, como un caso particular de ecuaciones no lineales, a las que llamaremos ecuaciones separables.

Ecuaciones separables de primer orden

En el primer video la ecuación diferencial no lineal separable en su forma general y posteriormente, en el segundo video, resolvemos ejemplos de este tipo de ecuaciones.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Resuelve el problema de condición inicial $\frac{dy}{dt}=t^{2}y^{3}$ ; $y(0)=1$.

Considera la ecuación $\frac{dy}{dt}=\frac{t^{2}+3ty+y^{2}}{t^{2}}$.

  • Expresa el lado derecho de la ecuación como una función $f(\frac{y}{t})$.
  • Haz el cambio de variable $y=tv$ y reescribe la ecuación diferencial en términos de $t$ y $v$.
  • Resuelve la ecuación diferencial del punto anterior.
  • ¿Cuál es la solución a la ecuación diferencial original?
Ecuaciones separables
Comportamiento de las soluciones a la ecuación diferencial

Considera la ecuación del modelo logístico de poblaciones $\frac{dP}{dt}=k(1-\frac{P}{N})P$, donde $k>0$ y $N$ es la capacidad de soporte. (Para mayor referencia de esta ecuación, revisa la siguiente entrada, o ve directamente el video que forma parte de este mismo curso aquí).

  • Resuelve la ecuación si $k=1$ y $N=10$.
  • Resuelve el problema de condición inicial con los mismos valores del punto anterior y $y(1)=5$.

Más adelante

En la siguiente entrada veremos otro caso particular de ecuaciones no lineales de primer orden, que son las ecuaciones exactas que en general tienen la forma $M(t,y)+N(t,y)\frac{dy}{dt}=0$. Veremos que condiciones deben satisfacer las funciones $M(t,y)$ y $N(t,y)$ para que la ecuación sea exacta, y también qué podemos hacer cuando este par de funciones no satisfacen las propiedades que requerimos para la exactitud de la ecuación diferencial. Por supuesto, resolveremos la ecuación en su forma general, así como ejemplos.

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales de primer orden

Introducción

En las entradas anteriores hemos estudiado las soluciones a ecuaciones de primer orden desde dos distintos puntos de vista, el cualitativo y el analítico. En el camino hemos encontrado un comportamiento similar en las soluciones, como es el que el problema de condición inicial tenga una solución, o que las curvas solución no se intersectan en el plano. Estos comportamientos no son una casualidad, y están justificados por el Teorema de existencia y unicidad que nos dice que el problema de condición inicial tiene una y sólo una solución definida en un intervalo $(a,b)$. Este teorema, en su versión para ecuaciones lineales sustenta el trabajo que hemos realizado en los últimos videos.

Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales de primer orden

En el video demostramos la versión del Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales de primer orden.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Resuelve el problema de condición inicial $\frac{dy}{dt}=\frac{y}{t}$ ; $y(t_{0})=y_{0}$, con $t_{0}\neq 0$, $y_{0}\neq 0$.
  • Resuelve el problema de condición inicial inicial $\frac{dy}{dt}=\frac{y}{t}$ ; $y(0)=0$.
  • Resuelve el problema de condición inicial $\frac{dy}{dt}=\frac{y}{t}$ ; $y(0)=y_{0}$, con $y_{0}\neq 0$.
  • ¿Contradicen las soluciones de los ejercicios anteriores el Teorema de existencia y unicidad?
  • Esboza las soluciones a la ecuación diferencial.

Más adelante

Con esta entrada terminamos el estudio a las ecuaciones lineales de primer orden. En la siguiente entrada comenzaremos a estudiar ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden. En particular veremos un caso especial de estas ecuaciones, a las que llamaremos ecuaciones separables.

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden. Solución por factor integrante y por variación de parámetros

Introducción

En la entrada anterior comenzamos el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. En particular, resolvimos el caso cuando la función $g(t)$ que aparece en la ecuación $a_{0}(t) \frac{dy}{dt}+a_{1}(t)y=g(t)$ es la función constante cero.

Ahora veremos el caso no homogéneo, es decir, cuando la función $g(t)$ no es cero. Resolveremos esta ecuación por dos vías distintas. El primer método es mediante la búsqueda de una función que dependa de la variable independiente $t$ que nos ayude a simplificar la ecuación. A esta función la llamaremos factor integrante. El segundo método, llamado variación de parámetros, utiliza la solución general a la ecuación homogénea asociada, para encontrar a su vez la solución general a la ecuación no homogénea.

Vamos entonces a comenzar el estudio de estas ecuaciones.

Solución a ecuación lineal no homogénea por factor integrante

En el primer video resolvemos la ecuación diferencial $a_{0}(t) \frac{dy}{dt}+a_{1}(t)y=g(t)$ como un caso general por el método de factor integrante. En el segundo video resolvemos algunas ecuaciones por el mismo método.

Solución a ecuación lineal no homogénea por variación de parámetros

En el primer video resolvemos de forma general la ecuación lineal no homogénea, pero ahora por el método de variación de parámetros. En el segundo video resolvemos dos ecuaciones por este método, una de ellas la resolvimos en la sección anterior por el método de factor integrante, esto para comprobar que los dos métodos llevan a la misma solución.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Prueba que la expresión de la solución general para la ecuación lineal homogénea es un caso particular de la solución general de la ecuación lineal no homogénea.
  • Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales por los métodos de factor integrante y variación de parámetros:
  1. $\frac{dy}{dt}=y+t^{2}$
  2. $\frac{dy}{dt}+y+t+t^{2}+t^{3}=0$
  • Intenta resolver la ecuación $t^{2}\frac{dy}{dt}+y=\frac{1}{t}$ con $t>0$, por el método de variación de parámetros. ¿Qué dificultades se presentan? Esto muestra que habrá ocasiones en que alguna ecuación diferencial no podrá ser resuelta por ciertos métodos.
  • Sean $y_{1}$ y $y_{2}$ soluciones a las ecuaciones diferenciales $\frac{dy}{dt}+p(t)y=q_{1}(t)$ y $\frac{dy}{dt}+p(t)y=q_{2}(t)$. Prueba que $c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$ es solución a la ecuación $\frac{dy}{dt}+p(t)y=c_{1}q_{1}(t)+c_{2}q_{2}(t)$, donde $c_{1}$ y $c_{2}$ son constantes.
  • Cuando resolvimos la ecuación lineal no homogénea por variación de parámetros, encontramos una forma explícita para la suma de soluciones $y_{H}+y_{P}$ donde $y_{H}$ es solución general a la ecuación homogénea y $y_{P}$ es una solución particular a la ecuación no homogénea, y afirmamos que esta nueva solución es la misma que encontramos por el método del factor integrante. Ahora supongamos por un momento que no conocemos el método del factor integrante. Argumenta por qué $y_{H}+y_{P}$ es solución general a la ecuación no homogénea. (Hint: Utiliza el ejercicio anterior).
  • Resuelve la ecuación diferencial $\frac{dT}{dt}=-50(T(t)-30)$ con condición inicial $T(0)=75$.

Más adelante

Hasta el momento hemos estudiado diversos tipos de ecuaciones diferenciales desde un punto de vista cualitativo y también analítico. Sin embargo, muchos de los resultados a los que hemos llegado tienen una justificación que aún no hemos revisado a detalle. Dicha justificación está dada por el famoso Teorema de existencia y unicidad.

En la siguiente entrada demostraremos una primera versión de este teorema, enfocado en ecuaciones lineales de primer orden, que son las ecuaciones que hemos estudiado en los últimos videos.

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