Cálculo Diferencial e Integral I: Sucesiones monótonas

Introducción

En esta entrada terminaremos de revisar las operaciones de sucesiones probando qué sucede con el cociente de sucesiones convergentes. Además, daremos la definición de sucesión monótona y demostraremos algunas de sus propiedades.

Cociente de sucesiones

Daremos inicio demostrando que el cociente de sucesiones convergentes converge al cociente de sus límites.

Proposición. Sean $\{b_n \}$ una sucesión en los reales tal que
$$\lim_{n \to \infty} b_n = M$$
Si además se tiene que $M \neq 0$ y $b_n \neq 0$ para todo $n \in \mathbb{R}$, entonces
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{b_n} = \frac{1}{M}$$

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$

Para $n \in \mathbb{N}$, se tiene

\begin{align*}
\left\lvert \frac{1}{b_n} – \frac{1}{M} \right\rvert &
= \left\lvert \frac{M-b_n}{M \cdot b_n} \right\rvert \\ \\
& = \frac{|M-b_n|}{|M \cdot b_n|} \\ \\
& = \frac{1}{|M \cdot b_n|} \cdot |M-b_n| \\ \\
& = \frac{1}{|M|} \cdot \frac{1}{| b_n|} \cdot |M-b_n|
\end{align*}

$$\therefore \left\lvert \frac{1}{b_n} – \frac{1}{M} \right\rvert = \frac{1}{|M|} \cdot \frac{1}{|b_n|} \cdot |M-b_n| \tag{1}$$

Sea $\frac{|M|}{2} > 0$, como $\{b_n\}$ converge a $M$, entonces existe $\n_1 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \geq n_1$ se cumple
\begin{gather*}
& |b_n-M| < \frac{|M|}{2} \\
\Rightarrow & |M-b_n| < \frac{|M|}{2} \\
\Rightarrow & |M| – |b_n | \leq |M-b_n| < \frac{|M|}{2} \\
\Rightarrow & |M|- \frac{|M|}{2} < |b_n| \\
\Rightarrow & \frac{|M|}{2} < |b_n| \\
\Rightarrow & \frac{1}{|b_n|} < \frac{2}{|M|} \tag{2}
\end{gather*}

De $(1)$ y $(2)$ se tiene que si $n \geq n_1$, entonces

\begin{align*}
\left\lvert \frac{1}{b_n} – \frac{1}{M} \right\rvert & = \frac{1}{|M|} \cdot \frac{1}{| b_n|} \cdot |M-b_n| \\ \\
& < \frac{1}{|M|} \cdot \frac{2}{|M|} \cdot |M-b_n| \\ \\
& = \frac{2}{|M|^2} \cdot |M-b_n|
\end{align*}

$$\therefore \left\lvert \frac{1}{b_n} – \frac{1}{M} \right\rvert < \frac{2}{|M|^2} \cdot |M-b_n| \tag{3}$$

Ahora consideremos $$\frac{\varepsilon}{\frac{2}{|M|^2}} > 0$$

Nuevamente, como $\{ b_n \}$ converge a $M$, existe $n_2 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \geq n_2$, entonces $$|b_n-M| < \frac{\varepsilon}{\frac{2}{|M|^2}} \tag{4}$$

Tomemos $n_0 = max\{n_1, n_2 \}$. Si $n \geq n_0$, también se cumple que $n \geq n_1$ y $n \geq n_2$ y de $(3)$ y $(4)$ se tiene que
\begin{align*}
\left\lvert \frac{1}{b_n} – \frac{1}{M} \right\rvert & < \frac{2}{|M|^2} \cdot |M-b_n| \\ \\
& = \frac{2}{|M|^2} \cdot |b_n-M| \\ \\
&< \frac{2}{|M|^2} \cdot \frac{\varepsilon}{\frac{2}{|M|^2}} \\ \\
& = \varepsilon
\end{align*}

$$ \therefore \left\lvert \frac{1}{b_n} – \frac{1}{M} \right\rvert < \varepsilon$$

$$\therefore \lim_{n \to \infty} \frac{1}{b_n} = \frac{1}{M}$$

$\square$

Sucesiones monótonas

A continuación daremos algunas definiciones referentes a la monotonía que se presenta en las sucesiones.

Definición. Sea $\{a_n \}$ una sucesión de números reales.

  • Se dice que la sucesión es creciente si satisface que $a_n \leq a_{n+1}$ para todo $n \in \mathbb{R}$. Si la desigualdad es estricta, se dice que es la sucesión es estrictamente creciente.
  • Se dice que la sucesión es decreciente si satisface que $a_n \geq a_{n+1}$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Si la desigualdad es estricta, se dice que es la sucesión es estrictamente decreciente.
  • Se dice que la sucesión es monótona si es creciente o decreciente. Si la desigualdad es estricta, se dice que es la sucesión es estrictamente monótona.

Ejemplos. La siguientes sucesiones son decrecientes:

  • $\{\frac{1}{n}\}$
  • $\{\frac{1}{n!}\}$
  • $\{c^n\}$ si $0< c < 1$
  • $\{\frac{1}{2^n}\}$

Ejemplos. Las siguientes sucesiones son crecientes:

  • $\{n\}$
  • $\{n^2\}$
  • $\{c^n\}$ si $c > 1$
  • $\{ \sqrt{n} \}$

Una vez dada la definición, podemos probar el siguiente teorema.

Teorema. Una sucesión monótona de números reales es convergente si y solo si está acotada. Además

  1. Si $\{a_n\}$ es una sucesión creciente acotada, entonces
    $$ \lim_{n \to \infty} a_n = sup\{a_n : n \in \mathbb{N} \}$$
  2. Si $\{a_n\}$ es una sucesión decreciente acotada, entonces
    $$ \lim_{n \to \infty} a_n = inf\{a_n : n \in \mathbb{N} \}$$

Demostración.

$\Rightarrow]$ El la entrada anterior se probó que toda sucesión convergente está acotada, particularmente una sucesión convergente monótona también está acotada.

$\Leftarrow]$ Sea $\{a_n\}$ una sucesión monótona acotada. Entonces la sucesión es creciente o decreciente.

  • Caso 1. $\{a_n\}$ es creciente
    Como $\{a_n\}$ está acotada, entonces existe un número real $M$ tal que $a_n \leq M$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Sea $A = \{a_n | n \in \mathbb{N} \}$, como $A \neq \varnothing$ y está acotada, entonces existe el supremo. Definimos $\alpha = supA$.

    Sea $\varepsilon > 0$.
    Notemos que $\alpha – \varepsilon < \alpha$ y como $\alpha$ es la cota superior más pequeña del conjunto $A$, entonces $\alpha – \varepsilon$ no es cota superior de $A$. Entonces existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $$\alpha – \varepsilon < a_{n_0} \leq \alpha < \alpha + \varepsilon$$

    Si $n \geq n_0$, como $\{a_n\}$ es creicente, se tiene que
    \begin{gather*}
    & \alpha – \varepsilon < a_{n_0} \leq a_n \leq \alpha < \alpha + \varepsilon \\
    \Rightarrow & \alpha – \varepsilon < a_n < \alpha + \varepsilon \\
    \Rightarrow & -\varepsilon < a_n – \alpha < \varepsilon
    \end{gather*}
    $$\therefore |a_n – \alpha| < \varepsilon \quad \forall n \geq n_0$$
    $$\therefore \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$$
  • Caso 2. $\{a_n\}$ es decreciente
    Quedará como tarea moral .

$\square$

Gracias al teorema anterior, dado una sucesión que sea monótona, basta probar que está acotada para saber que es convergente. Más aún, si determinamos el ínfimo/supremo de tal sucesión, estaremos encontrando su límite; el siguiente ejemplo nos permitirá poner esto en práctica.

Ejemplo. Determina el siguiente límite $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$$

Demostración.

Notemos que $ 1 \leq n \leq n + 1$ para todo $n \in \mathbb{N}$.
$$\Rightarrow \sqrt{n} \leq \sqrt{n+1} $$

$$ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{n+1}} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$$

Por lo tanto se tiene que la sucesión $\{ \frac{1}{\sqrt{n}} \}$ es decreciente y tiene como supremo el $0$, por tanto, se tiene que

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$$

$\square$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

Para las siguientes sucesion

  • Sean $\{a_n\}$, $\{b_n \}$ dos sucesiones en los reales tal que $$\lim_{n \to \infty} a_n = L \text{ y } \lim_{n \to \infty} b_n = M$$
    Si además se tiene que $L \neq 0$ y $b_n \neq 0$ para todo $n \in \mathbb{R}$, entonces $$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{L}{M}$$
  • Prueba que si $\{a_n\}$ es una sucesión decreciente acotada, entonces
    $$ \lim_{n \to \infty} a_n = inf\{b_n : n \in \mathbb{N} \}$$
  • Da un ejemplo de función convergente que no sea monótona.
  • Da un ejemplo de una sucesión de números reales negativos tal que converja a cero, pero que no sea creciente.

Más adelante…

En la siguiente entrada añadiremos a nuestro arsenal más propiedades de las sucesiones convergentes con lo cual tendremos un estudio más detallado de las mismas.

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