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Ecuaciones Diferenciales I: Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden

El gran arquitecto parece ser un matemático; a aquellos que no saben matemáticas
les resulta realmente difícil sentir la profunda belleza de la naturaleza.
– Richard Feynman

Introducción

¡Hemos llegado al final de la unidad 3 del curso!.

Concluiremos presentando el teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden en el caso general.

En la primera entrada de esta unidad enunciamos el teorema de existencia y unicidad en el caso general, en esta entrada retomaremos dicho teorema con la diferencia de que lo adaptaremos a la notación vectorial que ya conocemos ya que esto tiene una enorme ventaja al momento de hacer la demostración.

La demostración de este teorema, al igual que el teorema de Picard – Lindelöf, requiere de una extensa teoría preliminar. En este caso no demostraremos dicha teoría preliminar, sólo la justificaremos ya que una enorme ventaja que tenemos es que mucho de los que vimos en la primer unidad se puede extender a los sistemas de ecuaciones diferenciales, así que lo que haremos será desarrollar esta extensión generalizando los resultados para así demostrar el teorema.

Se recomienda, si lo crees necesario, revisar las tres últimas entradas de la primera unidad para recordar la teoría previa a la demostración del teorema de Picard – Lindelöf, así como la demostración misma.

Comencemos por construir el enunciado del teorema.

Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones diferenciales

Como vimos en la primer entrada de esta unidad, un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden en su forma general es de la forma

\begin{align*}
y_{1}^{\prime}(t) & = F_{1}(t, y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}) \\
y_{2}^{\prime}(t) & = F_{2}(t, y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}) \\
& \vdots \\
y_{n}^{\prime}(t) &= F_{n}(t, y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}) \label{1} \tag{1}
\end{align*}

Donde las $F_{i}$, $i = 1, 2, 3, \cdots, n$ son funciones con valores reales que dependen de las $n + 1$ variables en un intervalo $\delta$. Sabemos que

$$\mathbf{Y}(t) = \begin{pmatrix}
y_{1}(t) \\ y_{2}(t) \\ \vdots \\ y_{n}(t)
\end{pmatrix} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \mathbf{Y}^{\prime}(t) = \begin{pmatrix}
y^{\prime}_{1}(t) \\ y^{\prime}_{2}(t) \\ \vdots \\ y^{\prime}_{n}(t)
\end{pmatrix} \label{2} \tag{2}$$

Con ayuda de estos vectores podemos definir el vector

$$\mathbf{F}(t, \mathbf{Y}(t)) = \begin{pmatrix}
F_{1}(t, y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}) \\ F_{2}(t, y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}) \\ \vdots \\ F_{n}(t, y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n})
\end{pmatrix} \label{3} \tag{3}$$

De manera que el sistema de ecuaciones diferenciales (\ref{1}) se puede escribir en forma vectorial como

$$\mathbf{Y}^{\prime}(t) = \mathbf{F}(t, \mathbf{Y}(t)) \label{4} \tag{4}$$

Si el sistema de ecuaciones diferenciales (\ref{4}) esta sujeto a valores iniciales

$$\mathbf{Y}(t_{0}) = \begin{pmatrix}
y_{1}(t_{0}) \\ y_{2}(t_{0}) \\ \vdots \\ y_{n}(t_{0})
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n}
\end{pmatrix} = \mathbf{Y}_{0} \label{5} \tag{5}$$

con $b_{i}$, $i = 1, 2, \cdots, n$ constantes, entonces tenemos un problema de valores iniciales (PVI).

Definamos, por otro lado, una región $U$ como el producto cartesiano

$$\delta \times \delta_{1} \times \delta_{2} \times \delta_{3} \times \cdots \times \delta_{n} = U \in \mathbb{R}^{n + 1} \label{6} \tag{6}$$

en donde

$$t_{0} \in \delta, \hspace{0.5cm} b_{1} \in \delta_{1}, \hspace{0.5cm} b_{2} \in \delta_{2}, \hspace{0.5cm} \cdots, \hspace{0.5cm} b_{n} \in \delta_{n}$$

de tal forma que $(t_{0}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}) \in U$, es decir, $\mathbf{Y}(t_{0}) = \mathbf{Y}_{0} \in U$.

Con estos resultados, el teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden se puede enunciar de la siguiente forma.

Teorema: Sea el problema de valores iniciales

$$\mathbf{Y}^{\prime}(t) = \mathbf{F}(t, \mathbf{Y}(t)), \hspace{1cm} \mathbf{Y}(t_{0}) = \mathbf{Y}_{0} \label{7} \tag{7}$$

Con $t_{0} \in \delta$. Supongamos que $\forall$ $i,j \in \{1, 2, 3, \cdots, n\}$, $F_{i}$ y $\dfrac{\partial F_{i}}{\partial y_{j}}$ existen y son continuas en $(t, \mathbf{Y}(t)) \in U$. Entonces existe un intervalo $|t -t_{0}| < h$, tal que existe una única solución $\mathbf{Y}(t)$ del problema de valores iniciales.

Este es el teorema que demostraremos.

Ecuación integral equivalente a un PVI

Como lo hicimos con el teorema de Picard – Lindelöf, es posible mostrar que el problema de valores iniciales (\ref{7}) es equivalente a una ecuación integral. El siguiente teorema establece este resultado.

Teorema: Sea $\mathbf{F}(t, \mathbf{Y}(t))$ continua en un dominio $R \subseteq \mathbb{R}^{n + 1}$ que contenga a $(t_{0}, \mathbf{Y}_{0})$, entonces $\mathbf{Y}(t)$ es solución del problema de valores iniciales (\ref{7}) si y sólo si es solución de la ecuación integral

$$\mathbf{Y}(t) = \mathbf{Y}_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \mathbf{F}(s, \mathbf{Y}(s)) ds \label{8} \tag{8}$$

La demostración es bastante similar a la que realizamos para el caso de ecuaciones diferenciales de primer orden. Intenta hacer la demostración. A continuación presentaremos una justificación que te puede ser de ayuda en tu demostración formal.

Justificación: Consideremos el sistema

$$\mathbf{Y}^{\prime}(t) = \mathbf{F}(t, \mathbf{Y}(t))$$

Integremos de $t_{0}$ a $t$.

$$\int_{t_{0}}^{t} \mathbf{Y}^{\prime}(s) ds = \int_{t_{0}}^{t} \mathbf{F}(s, \mathbf{Y}(s)) ds \label{9} \tag{9}$$

Apliquemos el teorema fundamental del cálculo.

$$\mathbf{Y}(t) -\mathbf{Y}(t_{0}) = \int_{t_{0}}^{t} \mathbf{F}(s, \mathbf{Y}(s))ds \label{10} \tag{10}$$

Como $\mathbf{Y}(t_{0}) = \mathbf{Y}_{0}$, del resultado anterior se obtiene la ecuación integral (\ref{8})

$$\mathbf{Y}(t) = \mathbf{Y}_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \mathbf{F}(s, \mathbf{Y}(s))ds$$

$\square$

Este es nuestro primer resultado generalizado. Lo siguiente que haremos será generalizar las iteraciones (o iterantes) de Picard.

Iterantes de Picard

Definición: Sea el problema de valores iniciales

$$\mathbf{Y}^{\prime}(t) = \mathbf{F}(t, \mathbf{Y}(t)), \hspace{1cm} \mathbf{Y}(t_{0}) = \mathbf{Y}_{0}$$

con solución única en alguna región $U$, dicha solución se puede construir de forma iterativa de acuerdo a la expresión

$$\mathbf{Y}_{n}(t) = \mathbf{Y}_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \mathbf{F}(s, \mathbf{Y}_{n -1}(s))ds, \hspace{1cm} n = 1, 2, 3, \cdots \label{11} \tag{11}$$

En donde se define $\mathbf{Y}_{0}(t) = \mathbf{Y}_{0}$. Estas iteraciones son las llamadas iterantes de Picard. En su forma desglosada se pueden escribir como

\begin{align*}
\mathbf{Y}_{0}(t) &= \mathbf{Y}_{0} \\
\mathbf{Y}_{1}(t) &= \mathbf{Y}_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \mathbf{F}(s, \mathbf{Y}_{0}(s))ds \\
\mathbf{Y}_{2}(t) &= \mathbf{Y}_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \mathbf{F}(s, \mathbf{Y}_{1}(s)) ds \\
\mathbf{Y}_{3}(t) &= \mathbf{Y}_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \mathbf{F}(s, \mathbf{Y}_{2}(s)) ds \\
\vdots \\
\mathbf{Y}_{n}(t) &= \mathbf{Y}_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \mathbf{F}(s, \mathbf{Y}_{n -1}(s))ds \label{12} \tag{12}
\end{align*}

Lo interesante de las iterantes de Picard es que, cumpliendo ciertas hipótesis, éstas convergen a la solución del PVI (\ref{7}). El siguiente teorema nos ayudará a mostrar este hecho.

Teorema: Sea $\{ \mathbf{Y}_{n}(t) \}$ con $n \in \mathbb{N}$, una sucesión de funciones que converge uniformemente a una función $\mathbf{Y}(t)$ en el intervalo $\delta = [a, b]$ y sea $\mathbf{F}(t, \mathbf{Y}(t))$ una función continua en un dominio $U \subseteq \mathbb{R}^{n + 1}$, tal que $\forall$ $t \in \delta$, $\forall$ $n \in \mathbb{N}$, $(t,\mathbf{Y}_{n}(t)) \in U$, entonces

$$\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} \mathbf{F}(t, \mathbf{Y}_{n}(t)) dt = \int_{a}^{b} \lim_{n \to \infty} \mathbf{F}(t, \mathbf{Y}_{n}(t)) dt = \int_{a}^{b} \mathbf{F}(t, \mathbf{Y}(t)) dt \label{13} \tag{13}$$

La demostración para el caso de ecuaciones de primer orden la hicimos como parte de la demostración del teorema de Picard – Lindelöf. Intenta generalizar dicha demostración.

Consideremos cierto este teorema, notemos lo siguiente.

Sea $\{ \mathbf{Y}_{n}(t) \}$ una sucesión de iteraciones de Picard que convergen uniformemente a una función $\mathbf{Y}(t)$ en el intervalo $\delta$ y sea $\mathbf{F}(t, \mathbf{Y}(t))$ una función continua en $U \subseteq \mathbb{R}^{n + 1}$, tal que $\forall$ $t \in \delta$ y $\forall$ $n \in \mathbb{N}$, $(t,\mathbf{Y}_{n}(t)) \in U$, entonces

\begin{align*}
\mathbf{Y}(t) &= \lim_{n \to \infty} \mathbf{Y}_{n}(t) \\
&= \lim_{n \to \infty } \left( \mathbf{Y}_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \mathbf{F}(s, \mathbf{Y}_{n -1}(s)) ds \right ) \\
&= \mathbf{Y}_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \lim_{n \to \infty} \mathbf{F}(s, \mathbf{Y}_{n -1}(s)) ds
\end{align*}

Usando (\ref{13}) se obtiene la ecuación integral (\ref{8}).

$$\mathbf{Y}(t) = \mathbf{Y}_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \mathbf{F}(s, \mathbf{Y}(s)) ds$$

Con este resultado mostramos que si se satisfacen las hipótesis del teorema anterior, entonces la función a la que convergen las iteraciones de Picard satisface la ecuación integral (\ref{8}), lo que es equivalente a que dicha función sea solución del PVI (\ref{7}).

Ahora bien, para que las iterantes de Picard converjan a la solución del PVI (\ref{7}) deben satisfacer las hipótesis del teorema anterior por lo que es necesario que exista un dominio $U$ en el que $(t,\mathbf{Y}_{n}(t)) \in U$ y en el que la sucesión de iteraciones $\{ \mathbf{Y}_{n}(t) \}$ converja. Debemos encontrar este dominio, para hacerlo generalicemos algunos resultados más.

Funciones Lipschitzianas

Un primer resultado que usaremos es el siguiente.

Teorema: Supongamos que $\mathbf{F}(t, \mathbf{Y}(t))$ es una función continua en una región $R \in \mathbb{R}^{n + 1}$, tal que $|t -t_{0}| \leq a$ y $\left\|\mathbf{Y}(t) -\mathbf{Y}_{0} \right\| \leq b$ y sea $I$ un intervalo en $\mathbb{R}$ definido como

$$I = \{ t \in \mathbb{R} : |t -t_{0}|< h \} \label{14} \tag{14}$$

con $h \in \mathbb{R}$, entonces $\exists$ $M > 0$, tal que $\forall$ $n \in \mathbb{N}$ y $\forall$ $t \in \mathbf{I}$.

$$\left\| \mathbf{Y}_{n}(t) -\mathbf{Y}_{0} \right\| \leq M |t -t_{0}| \label{15} \tag{15}$$

En este teorema podemos describir a la región $R$ como

$$R = \{ (t, \mathbf{Y}(t)) \in \mathbb{R}^{n + 1} : |t -t_{0}| \leq a, \left\|\mathbf{Y}(t) -\mathbf{Y}_{0} \right\| \leq b \} \label{16} \tag{16}$$

En esta región garantizamos que las iterantes de Picard están todas contenidas.

Un resultado más que necesitaremos tiene que ver con que $\mathbf{F}(t, \mathbf{Y}(t))$ sea una función lipschitziana respecto a la segunda variable. Recordando la definición que dimos para el caso de ecuaciones de primer orden, podemos definir una función lipschitziana como sigue.

Definición: Sean $U \in \mathbb{R}^{n + 1}$ y $\mathbf{F}: U \in \mathbb{R}^{n + 1} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$. Se dice que $\mathbf{F} = \mathbf{F}(t, \mathbf{Y}(t))$ es una función lipschitziana en $U$ respecto de la segunda variable si existe una constante $L$, tal que

$$\left\| \mathbf{F}(t,\mathbf{Y}(t)) -\mathbf{F}(t, \mathbf{Y}_{0}(t)) \right\| \leq L \left\| \mathbf{Y}(t) -\mathbf{Y}_{0}(t) \right\| \label{17} \tag{17}$$

$L$ es la correspondiente constante de Lipschitz.

Un resultado sumamente útil para determinar si una función es lipschitziana es el siguiente.

Teorema: Sea $U$ un dominio convexo y $\mathbf{F}(t, \mathbf{Y}(t))$ una función tal que $\dfrac{\partial F}{\partial y_{i}}$, $i = 1, 2, \cdots ,n$ existe en $U$ y $\left\| \dfrac{\partial F}{\partial \mathbf{Y}} \right\| \leq L$, entonces $\mathbf{F}$ es una función lipschitziana respecto de la segunda variable en $U$.

Intenta generalizar la demostración.

Una herramienta más que necesitamos generalizar es el criterio mayorante de Weierstrass.

Criterio mayorante de Weierstrass: Sea $\{ \mathbf{Y}_{n}(t) \}$, $n \in \mathbb{N}$, una sucesión de funciones. Supongamos que para cada $\{ \mathbf{Y}_{n}(t) \}$ existe una constante positiva $M_{k}$, tal que:

  • $\left\| \mathbf{Y}_{k}(t) \right\| \leq M_{k}$, $\forall$ $k \geq 1$ y $\forall$ $t \in \delta$
  • La serie $\sum_{k = 0}^{\infty}M_{k}$ converge.

Entonces la serie $\sum_{k = 0}^{\infty} \mathbf{Y}_{k}(t)$ converge uniformemente en $\delta$ a una función $\mathbf{Y}(t)$.

Finalmente, recordemos el lema de Gronwall.

Lema de Gronwall: Sean $g: \delta \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ y $t_{0} \in \delta$, tales que

$$0 \leq g(t) \leq \alpha + \beta \int_{t_{0}}^{t} g(s) ds \label{18} \tag{18}$$

$\forall$ $t \in \delta$ con $\alpha, \beta \geq 0$ constantes, entonces $g(t) \leq \alpha e^{\beta (t -t_{0})}$.

Este resultado no requiere de generalización, lo usaremos de esta forma.

Todo lo anterior corresponde a la teoría preliminar que debemos conocer para lograr demostrar el teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. Lo visto corresponde a una generalización de la teoría preliminar al teorema de Picard – Lindelöf, por lo que las demostraciones a los resultados de esta entrada serán prácticamente una generalización de las demostraciones vistas para el caso de ecuaciones de primer orden. De tarea moral intenta demostrar todos estos resultados para lograr convencerte del siguiente resultado.

Demostración del teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden

Teorema: Sea el problema de valores iniciales

$$\mathbf{Y}^{\prime}(t) = \mathbf{F}(t, \mathbf{Y}(t)), \hspace{1cm} \mathbf{Y}(t_{0}) = \mathbf{Y}_{0}$$

Con $t_{0} \in \delta$. Supongamos que $\forall$ $i,j \in \{1, 2, 3, \cdots, n\}$, $F_{i}$ y $\dfrac{\partial F_{i}}{\partial y_{j}}$ existen y son continuas en $(t, \mathbf{Y}(t)) \in U$. Entonces existe un intervalo $|t -t_{0}| < h$, tal que existe una única solución $\mathbf{Y}(t)$ del problema de valores iniciales.

Demostración: Comenzaremos por mostrar la existencia de la solución.

Consideremos las hipótesis del teorema y las dos primeras iteraciones de Picard $\mathbf{Y}_{1}(t)$ y $\mathbf{Y}_{0}(t)$, sabemos que ambas son continuas en el intervalo $I$ definido en (\ref{14}), entonces existe $M > 0$, tal que

$$\left\| \mathbf{Y}_{1}(t) -\mathbf{Y}_{0}(t) \right\| \leq M \label{19} \tag{19}$$

Queremos demostrar que la norma de la diferencia entre iterantes de Picard esta acotada, es decir, que $\forall$ $n \in \mathbb{N}$ y $\forall$ $t \in \mathbf{I}$,

$$\left\| \mathbf{Y}_{n}(t) -\mathbf{Y}_{n -1}(t) \right\| \leq M \left ( \dfrac{(L |t -t_{0}|)^{n -1}}{(n -1)!} \right) \label{20} \tag{20}$$

La prueba la haremos por inducción. El caso $n = 1$ ya lo vimos en (\ref{19}). Supongamos que es cierto para $n = k$.

$$\left\| \mathbf{Y}_{k}(t) -\mathbf{Y}_{k -1}(t) \right\| \leq M \dfrac{(L |t -t_{0}|)^{k -1}}{(k -1)!} \label{21} \tag{21}$$

Esta es nuestra hipótesis de inducción. Queremos probar que

$$\left\| \mathbf{Y}_{k + 1}(t) -\mathbf{Y}_{k}(t) \right\| \leq M \dfrac{(L |t -t_{0}|)^{k}}{k!} \label{22} \tag{22}$$

Usando la forma de la iteraciones de Picard (\ref{12}), notemos lo siguiente.

\begin{align*}
\left\| \mathbf{Y}_{k + 1}(t) -\mathbf{Y}_{k}(t) \right\| &= \left\| \left( \mathbf{Y}_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \mathbf{F}(s, \mathbf{Y}_{k}(t)) ds \right) -\left( \mathbf{Y}_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \mathbf{F}(s, \mathbf{Y}_{k -1}(s)) ds \right) \right\| \\
&= \left\| \int_{t_{0}}^{t} \mathbf{F}(s, \mathbf{Y}_{k}(t)) -\mathbf{F}(s, \mathbf{Y}_{k -1}(s)) ds \right\| \\
&\leq \int_{t_{0}}^{t} \left\| \mathbf{F}(s, \mathbf{Y}_{k}(s)) -\mathbf{F}(s, \mathbf{Y}_{k -1}(s)) \right\| ds
\end{align*}

Como $\mathbf{F}$ es lipschitziana con respecto de la segunda variable, entonces se satisface (\ref{17}), de manera que

$$ \int_{t_{0}}^{t} \left\| \mathbf{F}(s, \mathbf{Y}_{k}(s)) -\mathbf{F}(s, \mathbf{Y}_{k -1}(s)) \right\| ds \leq \int_{t_{0}}^{t} L \left\| \mathbf{Y}_{k}(s) -\mathbf{Y}_{k -1}(s) \right\| ds \label{23} \tag{23}$$

Así,

\begin{align*}
\left\| \mathbf{Y}_{k + 1}(t) -\mathbf{Y}_{k}(t) \right\| &\leq \int_{t_{0}}^{t} L \left\| \mathbf{Y}_{k}(s) -\mathbf{Y}_{k -1}(s) \right\| ds \\
&= L \int_{t_{0}}^{t} \left\| \mathbf{Y}_{k}(s) -\mathbf{Y}_{k -1}(s) \right\| ds
\end{align*}

Usemos la hipótesis de inducción (\ref{21}).

\begin{align*}
\left\| \mathbf{Y}_{k + 1}(t) -\mathbf{Y}_{k}(t) \right\| &\leq L \int_{t_{0}}^{t} M \dfrac{(L |s -t_{0}|)^{k -1}}{(k -1)!} ds \\
&= \dfrac{ML^{k}}{(k -1)!} \int_{t_{0}}^{t} |s -t_{0}|^{k -1} ds \\
&= \dfrac{ML^{k}}{(k -1)!} \dfrac{|t -t_{0}|^{k}}{k} \\
&= M \dfrac{(L |t -t_{0}|)^{k}}{k!}
\end{align*}

Esto es,

$$ \left\| \mathbf{Y}_{k + 1}(t) -\mathbf{Y}_{k}(t) \right\| \leq M \dfrac{(L |t -t_{0}|)^{k}}{k!}$$

Hemos obtenido (\ref{22}) que es lo que queríamos probar.

Como $|t -t_{0}| \leq h$, observemos que

$$M \dfrac{(L |t -t_{0}|)^{k}}{k!} \leq M \dfrac{(Lh)^{k}}{k!} \label{24} \tag{24}$$

y sabemos que

$$\sum_{k = 0}^{\infty} M \dfrac{(Lh)^{k}}{k!} = Me^{Lh} \label{25} \tag{25}$$

Como $M$, $L$ y $h$ son valores fijos, entonces $Me^{Lh}$ es una valor fijo lo que muestra que la serie

$$\sum_{k = 0}^{\infty} M \dfrac{(Lh)^{k}}{k!} < \infty \label{26} \tag{26}$$

Es decir, la serie es convergente. Consideremos la sucesión de diferencias de iterantes de Picard consecutivas $\{ \mathbf{Y}_{n}(t) -\mathbf{Y}_{n -1}(t) \}$, $n \in \mathbb{N}$. De los resultados anteriores sabemos que

$$\left\| \mathbf{Y}_{k}(t) -\mathbf{Y}_{k -1}(t) \right\| \leq M \dfrac{(Lh)^{k -1}}{(k -1)!} \label{27} \tag{27}$$

y como $\forall$ $t \in I$,

$$\sum_{k = 1}^{\infty} M \dfrac{(Lh)^{k -1}}{(k -1)!} = M e^{Lh}$$

entonces, por el criterio mayorante de Weierstrass, se tiene que

$$\sum_{k = 1}^{\infty}(\mathbf{Y}_{k}(t) -\mathbf{Y}_{k -1}(t)) < \infty \label{28} \tag{28}$$

es decir, converge uniformemente en $I$ a una función, digamos $\hat{\mathbf{Y}}(t)$. Así

$$\mathbf{Y}_{0} + \sum_{k = 1}^{\infty}(\mathbf{Y}_{k}(t) -\mathbf{Y}_{k -1}(t)) < \infty \label{29} \tag{29}$$

también converge uniformemente en $I$ a una función, digamos $\mathbf{Y}(t)$. La sucesión de sumas parciales converge uniformemente en $I$. Para $k = 1$ en (\ref{29}) se tiene la suma parcial $S_{1}$ como

$$S_{1} = \mathbf{Y}_{0} + [\mathbf{Y}_{1}(t) -\mathbf{Y}_{0}(t)] = \mathbf{Y}_{1}(t) \label{30} \tag{30}$$

Ya que $ \mathbf{Y}_{0}(t) = \mathbf{Y}_{0}$. Para $S_{2}$, se tiene

$$S_{2} = \mathbf{Y}_{0} + [\mathbf{Y}_{1}(t) -\mathbf{Y}_{0}(t)] + [\mathbf{Y}_{2}(t) -\mathbf{Y}_{1}(t)] = \mathbf{Y}_{2}(t) \label{31} \tag{31}$$

Así sucesivamente obtendremos que

$$S_{n} = \mathbf{Y}_{n}(t) \label{32} \tag{32}$$

Por lo tanto, la sucesión de iteraciones de Picard converge uniformemente en $I$ a una función $\mathbf{Y}(t)$, esto significa que $\mathbf{Y}(t)$ es solución de la ecuación integral

$$\mathbf{Y}(t) = \mathbf{Y}_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \mathbf{F}(s, \mathbf{Y}(s)) ds$$

y por lo tanto, $\mathbf{Y}(t)$ es solución del problema de condición inicial.

Con esto queda demostrada la existencia de la solución del PVI. Concluyamos con la demostración de la unicidad.

Sea $\mathbf{Y}(t)$ la solución del PVI (\ref{7}) y supongamos que existe otra función $\mathbf{Z}(t)$ que también es solución del PVI, entonces

$$\mathbf{Y}(t) = \mathbf{Y}_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \mathbf{F}(s, \mathbf{Y}(s)) ds$$

y

$$\mathbf{Z}(t) = \mathbf{Y}_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \mathbf{F}(s, \mathbf{Z}(s)) ds \label{33} \tag{33}$$

Notemos lo siguiente.

\begin{align*}
\left\| \mathbf{Y}(t) -\mathbf{Z}(t) \right\| &= \left\| \int_{t_{0}}^{t} \mathbf{F}(s, \mathbf{Y}(s)) -\mathbf{F}(s, \mathbf{Z}(s)) ds \right\|\\
&\leq \int_{t_{0}}^{t} \left\| \mathbf{F}(s, \mathbf{Y}(s)) -\mathbf{F}(s, \mathbf{Z}(s)) \right\| ds \\
&\leq L \int_{t_{0}}^{t} \left\| \mathbf{Y}(s) -\mathbf{Z}(s) \right\|ds
\end{align*}

En donde se ha aplicado nuevamente la propiedad de $\mathbf{F}$ de ser lipschitziana con respecto de la segunda variable.

Definamos la función escalar

$$g(t) = \left\| \mathbf{Y}(t) -\mathbf{Z}(t) \right\|$$

Entonces el resultado anterior se puede escribir como

$$g(t) \leq L \int_{t_{0}}^{t} g(s) ds \label{34} \tag{34}$$

Notemos que esta expresión se parece a la desigualdad (\ref{18}) del lema de Gronwall con $\alpha = 0$ y $\beta = L$. Usando este lema, se obtiene

$$0 < g(t) = \left\| \mathbf{Y}(t) -\mathbf{Z}(t) \right\| \leq 0 e^{L(t -t_{0})} = 0 \label{35} \tag{35}$$

De donde necesariamente debe ocurrir que

$$\left\| \mathbf{Y}(t) -\mathbf{Z}(t) \right\| = 0 \label{36} \tag{36}$$

Por lo tanto, ambas funciones tienen que ser iguales.

$$\mathbf{Y}(t) = \mathbf{Z}(t) \label{37} \tag{37}$$

Y es así como queda demostrada la unicidad de la solución. Y, por lo tanto, queda demostrado el teorema.

$\square$

Con esto concluimos la tercera unidad del curso.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Demostrar formalmente los teoremas vistos en la teoría preliminar de esta entrada.
    Puedes guiarte de las demostraciones hechas en la primera unidad generalizando los resultados.

Más adelante…

Hemos concluido con la unidad 3 del curso.

La siguiente y última unidad del curso será un complemento de esta unidad 3, ya que hemos estudiado a los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden desde una perspectiva analítica y es posible construir toda una teoría geométrica y cualitativa de estos mismos sistemas.

En la siguiente unidad estudiaremos la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales.

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Introducción

Nos estamos acercando al final de la unidad 3 del curso.

En esta unidad estudiamos los sistemas lineales de primer orden con coeficientes constantes tanto homogéneos como no homogéneos, es por ello que en esta entrada demostraremos los teoremas de existencia y unicidad para estos sistemas lineales en particular.

Es interesante la enorme utilidad que tiene definir la exponencial de una matriz, este concepto nos ha permitido desarrollar distintos métodos de resolución y no solo ello, ahora nos permitirá demostrar estos teoremas de existencia y unicidad.

Comencemos con el caso homogéneo.

Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales homogéneos

Recordemos que estamos estudiando sistemas lineales homogéneo con coeficientes constantes, es decir, la matriz $\mathbf{A}$ es de la forma

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix} \label{1} \tag{1}$$

con $a_{ij}$, $i, j \in \{ 1, 2, 3, \cdots, n \}$ constantes.

Teorema: Sea el problema con valores iniciales

$$\mathbf{Y}^{\prime} = \mathbf{AY}; \hspace{1cm} \mathbf{Y}(t_{0}) = \mathbf{Y}_{0} \label{2} \tag{2}$$

Con $t_{0} \in \mathbb{R}$, entonces existe una única solución a este problema y está dada por

$$\mathbf{Y}(t) = e^{(t -t_{0}) \mathbf{A}} \mathbf{Y}_{0} \label{3} \tag{3}$$

Demostración: Recordemos que ya demostramos que la función (\ref{3}) es solución del sistema homogéneo para el caso $t_{0} = 0$, lo mismo podemos hacer para cualquier $t_{0}$, con ello estaremos mostrando la existencia. Consideremos la función (\ref{3}).

$$\mathbf{Y}(t) = e^{(t -t_{0}) \mathbf{A}} \mathbf{Y}_{0}$$

Con $t_{0} \in \mathbb{R}$. La derivada de esta función vectorial es

$$\mathbf{Y}^{\prime} = \mathbf{A} e^{(t -t_{0}) \mathbf{A}} \mathbf{Y}_{0} = \mathbf{A} \left( e^{(t -t_{0}) \mathbf{A}} \mathbf{Y}_{0} \right) = \mathbf{AY}$$

Esto muestra que es solución del sistema, veamos que efectivamente satisface los valores iniciales evaluando en $t_{0}$.

$$\mathbf{Y}(t_{0}) = e^{(t_{0} -t_{0}) \mathbf{A}} \mathbf{Y}_{0} = e^{\mathbf{0}} \mathbf{Y}_{0} = \mathbf{I} \cdot \mathbf{Y}_{0} = \mathbf{Y}_{0}$$

Con esto queda demostrado que la función $\mathbf{Y}(t) = e^{(t -t_{0})\mathbf{A}} \mathbf{Y}_{0}$ es solución del problema con valores iniciales, es decir, existe.

Para demostrar la unicidad supongamos que $\mathbf{X}(t)$ es otra solución del problema de valores iniciales. Consideremos una función derivable dada de la siguiente forma.

$$\mathbf{Z}(t) = e^{-(t -t_{0}) \mathbf{A}} \mathbf{X}(t) \label{4} \tag{4}$$

Si derivamos esta función obtenemos lo siguiente.

$$\mathbf{Z}^{\prime} = -\mathbf{A} e^{-(t -t_{0}) \mathbf{A}} \mathbf{X} + e^{-(t -t_{0}) \mathbf{A}} \mathbf{X}^{\prime} \label{5} \tag{5}$$

Como $\mathbf{X}$ es solución del sistema, entonces se satisface que $\mathbf{X}^{\prime} = \mathbf{AX}$. Sustituimos en la ecuación anterior.

\begin{align*}
\mathbf{Z}^{\prime} &= -\mathbf{A} e^{-(t -t_{0}) \mathbf{A}} \mathbf{X} + e^{-(t -t_{0}) \mathbf{A}} \left( \mathbf{AX} \right) \\
&= -\mathbf{A} e^{-(t -t_{0}) \mathbf{A}} \mathbf{X} + \left( e^{-(t -t_{0}) \mathbf{A}} \mathbf{A} \right) \mathbf{X} \\
&= -\mathbf{A} e^{-(t -t_{0}) \mathbf{A}} \mathbf{X} + \mathbf{A} e^{-(t -t_{0}) \mathbf{A}} \mathbf{X} \\
&= \mathbf{0}
\end{align*}

En donde hemos hecho uso de la propiedad

$$e^{-(t -t_{0}) \mathbf{A}} \mathbf{A} = \mathbf{A} e^{-(t -t_{0}) \mathbf{A}} \label{6} \tag{6}$$

Justifica este hecho.

El calculo anterior muestra que $\mathbf{Z}^{\prime}(t) = \mathbf{0}$, esto implica que $\mathbf{Z}(t)$ es una matriz constante. Evaluemos $t_{0}$ en (\ref{4}).

$$\mathbf{Z}(t_{0}) = e^{-(t_{0} -t_{0}) \mathbf{A}} \mathbf{X}(t_{0})$$

Como $\mathbf{X}$ satisface el problema de valores iniciales, entonces $\mathbf{X}(t_{0}) = \mathbf{Y}_{0}$. Sustituimos en el resultado anterior.

$$\mathbf{Z}(t_{0}) = e^{\mathbf{0}} \mathbf{Y}_{0} = \mathbf{I} \cdot \mathbf{Y}_{0} = \mathbf{Y}_{0} \label{7} \tag{7}$$

Hemos probado que $\mathbf{Z}$ es una matriz constante y que $\mathbf{Z}(t_{0}) = \mathbf{Y}_{0}$, entonces

$$\mathbf{Z}(t) = \mathbf{Y}_{0} \label{8} \tag{8}$$

para todo $t \in \mathbb{R}$. Sustituyendo (\ref{4}) en (\ref{8}), se tiene

$$e^{-(t -t_{0}) \mathbf{A}} \mathbf{X} = \mathbf{Y}_{0} \label{9} \tag{9}$$

Multipliquemos $e^{(t -t_{0}) \mathbf{A}}$ en ambos lados de esta ecuación por el lado izquierdo.

$$e^{(t -t_{0}) \mathbf{A}} e^{-(t -t_{0}) \mathbf{A}} \mathbf{X} = e^{(t -t_{0}) \mathbf{A}} \mathbf{Y}_{0} \label{10} \tag{10}$$

Por un lado,

$$e^{(t -t_{0}) \mathbf{A}} e^{-(t -t_{0}) \mathbf{A}} \mathbf{X} = \mathbf{I} \cdot \mathbf{X} = \mathbf{X}(t) \label{11} \tag{11}$$

Por otro lado, de (\ref{3}) se tiene que

$$e^{(t -t_{0}) \mathbf{A}} \mathbf{Y}_{0} = \mathbf{Y}(t) \label{12} \tag{12}$$

Entonces (\ref{10}) queda como

$$\mathbf{X}(t) = \mathbf{Y}(t) \label{13} \tag{13}$$

Es decir, la solución es única.

$\square$

Con este teorema queda justificado el método de valores y vectores propios que presentamos en esta unidad para resolver sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes.

Ahora demostremos el teorema de existencia y unicidad para el caso no homogéneo.

Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales no homogéneos

Teorema: Sea el problema de valores iniciales

$$\mathbf{Y}^{\prime} = \mathbf{AY} + \mathbf{G}; \hspace{1cm} \mathbf{Y}(t_{0}) = \mathbf{Y}_{0} \label{14} \tag{14}$$

Con $t_{0} \in \mathbb{R}$, entonces existe una única solución a este problema y esta dada por

$$\mathbf{Y}(t) = e^{(t -t_{0}) \mathbf{A}} \mathbf{Y}_{0} + e^{t \mathbf{A}} \int_{t_{0}}^{t} e^{-s \mathbf{A}} G(s) ds \label{15} \tag{15}$$

Demostración: Sea $\mathbf{Y}(t)$ una función arbitraría definida en un intervalo común $\delta$ que es solución del problema de valores iniciales (\ref{14}), entonces

$$\mathbf{Y}^{\prime} = \mathbf{AY} + \mathbf{G} \label{16} \tag{16}$$

y

$$\mathbf{Y}(t_{0}) = \mathbf{Y}_{0} \label{17} \tag{17}$$

Multipliquemos ambos lados de la ecuación (\ref{16}) por $e^{-t \mathbf{A}}$ por el lado izquierdo.

\begin{align*}
e^{-t \mathbf{A}} \mathbf{Y}^{\prime} &= e^{-t \mathbf{A}} \mathbf{AY} + e^{-t \mathbf{A}} \mathbf{G} \\
e^{-t \mathbf{A}} \mathbf{Y}^{\prime} -e^{-t \mathbf{A}} \mathbf{AY} &= e^{-t \mathbf{A}} \mathbf{G} \\
e^{-t \mathbf{A}} \mathbf{Y}^{\prime} -\mathbf{A} e^{-t \mathbf{A}} \mathbf{Y} &= e^{-t \mathbf{A}} \mathbf{G} \label{18} \tag{18}
\end{align*}

Notemos que

$$\left( e^{-t \mathbf{A}} \mathbf{Y} \right)^{\prime} = e^{-t \mathbf{A}} \mathbf{Y}^{\prime} -\mathbf{A} e^{-t \mathbf{A}} \mathbf{Y} \label{19} \tag{19}$$

Entonces el resultado (\ref{18}) se puede escribir como

$$\left( e^{-t \mathbf{A}} \mathbf{Y} \right)^{\prime} = e^{-t \mathbf{A}} \mathbf{G} \label{20} \tag{20}$$

Integremos de $t_{0}$ a $t$ y usemos el teorema fundamental del cálculo.

$$e^{-t \mathbf{A}} \mathbf{Y}(t) -e^{-t_{0} \mathbf{A}} \mathbf{Y}(t_{0}) = \int_{t_{0}}^{t}e^{-s \mathbf{A}} \mathbf{G}(s) ds \label{21} \tag{21}$$

Multipliquemos ambos lados de esta ecuación por $e^{t \mathbf{A}}$ por el lado izquierdo y sustituyamos los valores iniciales (\ref{17}).

\begin{align*}
e^{t \mathbf{A}} e^{-t \mathbf{A}} \mathbf{Y}(t) -e^{t \mathbf{A}} e^{-t_{0} \mathbf{A}} \mathbf{Y}_{0} &= e^{t \mathbf{A}} \int_{t_{0}}^{t} e^{-s \mathbf{A}} \mathbf{G}(s) ds \\
\mathbf{Y}(t) -e^{(t -t_{0}) \mathbf{A}} \mathbf{Y}_{0} &= e^{t \mathbf{A}} \int_{t_{0}}^{t} e^{-s \mathbf{A}} \mathbf{G}(s) ds
\end{align*}

Si despejamos a la función $\mathbf{Y}(t)$ obtenemos finalmente que

$$\mathbf{Y}(t) = e^{(t -t_{0}) \mathbf{A}} \mathbf{Y}_{0} + e^{t \mathbf{A}} \int_{t_{0}}^{t} e^{-s \mathbf{A}} \mathbf{G}(s) ds \label{22} \tag{22}$$

Como la función $\mathbf{Y}(t)$ fue arbitraría, con el proceso realizado estamos mostrando tanto la existencia como la unicidad de esta solución.

$\square$

Con este teorema queda justificado el método de variación de parámetros visto en la entada anterior.

Hemos concluido con esta entrada.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Resolver los siguientes problemas con valores iniciales.
  • $\mathbf{Y}^{\prime}(t) = \begin{pmatrix}
    1 & 10 \\ 6 & -3
    \end{pmatrix} \mathbf{Y}(t), \hspace{1cm} \mathbf{Y}(0) = \begin{pmatrix}
    2 \\ 0
    \end{pmatrix}$
  • $\mathbf{Y}^{\prime}(t) = \begin{pmatrix}
    1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & -2
    \end{pmatrix} \mathbf{Y}(t), \hspace{1cm} \mathbf{Y}(0) =\begin{pmatrix}
    1 \\ -4 \\ 6
    \end{pmatrix}$
  1. Resolver los siguientes problemas con valores iniciales.
  • $\mathbf{Y}^{\prime}(t) = \begin{pmatrix}
    3 & -1 \\ -1 & 3
    \end{pmatrix} \mathbf{Y}(t) + \begin{pmatrix}
    4 e^{2t} \\ 4 e^{4t}
    \end{pmatrix}, \hspace{1cm} \mathbf{Y}(0) = \begin{pmatrix}
    1 \\ 1
    \end{pmatrix}$
  • $\mathbf{Y}^{\prime}(t) = \begin{pmatrix}
    1 & -1 \\ 1 & -1
    \end{pmatrix} \mathbf{Y}(t) + \begin{pmatrix}
    1/t \\ 1/t
    \end{pmatrix}, \hspace{1cm} \mathbf{Y}(1) = \begin{pmatrix}
    2 \\ -1
    \end{pmatrix}$

Más adelante…

En la siguiente y última entrada de esta unidad justificaremos el teorema de existencia y unicidad de los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden lineales y no lineales. Es decir, el resultado general de los sistemas de ecuaciones diferenciales.

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden

Introducción

Vamos a concluir la tercera unidad del curso revisando el teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden, en su forma general, es decir, para sistemas lineales y no lineales que satisfagan las hipótesis del teorema. Hasta el momento únicamente demostramos el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales con coeficientes constantes, pero es importante demostrar la versión general al igual que hicimos para las ecuaciones de primer orden.

Lo primero que veremos es que un sistema de ecuaciones de la forma $$\begin{alignedat}{4} \dot{x}_{1} &= F_{1}(t,x_{1},x_{2},…,x_{n}) \\ \dot{x}_{2} &= F_{2}(t,x_{1},x_{2},…,x_{n}) \\ & \; \; \vdots \notag \\ \dot{x}_{n} &= F_{n}(t,x_{1},x_{2},…,x_{n}) \end{alignedat}$$ se puede escribir en forma abreviada como sigue: $$\dot{\textbf{X}}(t)=\textbf{F}(t,\textbf{X}(t))$$ donde $\textbf{F}$ es el vector conformado por las funciones $F_{i}$ del sistema, con $i \in \{1,…,n\}$. Si además agregamos la condición inicial $\textbf{X}(t_{0})=\textbf{Y}$, entonces podemos ver que el sistema se reduce a una expresión muy similar al problema de condición inicial $$\frac{dy}{dt}=f(t,y(t)) \,\,\,\,\, ; \,\,\,\,\, y(t_{0})=y_{0}$$ salvo que ahora $\textbf{X}$ es una función que toma valores en $\mathbb{R}^{n}$, y $\textbf{F}$ es una función de $\mathbb{R}^{n+1}$ a $\mathbb{R}^{n}$.

Afortunadamente la mayoría de los lemas y teoremas que usamos para demostrar el teorema de existencia y unicidad para ecuaciones de primer orden se pueden extender a funciones de varias variables, por lo que la demostración será muy similar a la demostración de este último teorema.

Antes de iniciar te dejo la entrada correspondiente al teorema de existencia y unicidad de Picard, para que te familiarices con él y te sea más fácil ver los videos de esta entrada.

El teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden. Ecuación integral asociada

Enunciamos el teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden, analizamos las similitudes que existen con el teorema de existencia y unicidad de Picard, y vemos que resolver el problema de condición inicial es equivalente a resolver la ecuación integral $$\textbf{X}(t)=\textbf{Y}+\int_{t_{0}}^{t} \textbf{F}(s, \textbf{X}(s)) \, ds.$$

Demostración de la existencia de la solución al problema de condición inicial

Demostramos la existencia de una solución al problema de condición inicial estudiando bajo qué circunstancias converge uniformemente la sucesión de iteraciones de Picard del problema. En dado caso que esto último suceda, la función a la cual convergen las iteraciones será solución a la ecuación integral del video anterior.

Demostración de la unicidad de la solución al problema de condición inicial

Concluimos la demostración del teorema probando la unicidad de la solución al problema de condición inicial.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Sea $\textbf{F}(t,\textbf{X}(t))$ continua en un dominio $E \subseteq \mathbb{R}^{n+1}$ que contenga a $(t_{0},\textbf{Y})$. Demuestra que $\textbf{X}(t)$ es solución al problema de condición inicial $$\dot{\textbf{X}}(t)=\textbf{F}(t,\textbf{X}(t)) \,\,\,\,\, ; \,\,\,\,\, \textbf{X}(t_{0})=\textbf{Y}$$ si y sólo si es solución a la ecuación integral $$\textbf{X}(t)=\textbf{Y}+\int_{t_{0}}^{t} \textbf{F}(s,\textbf{X}(s)) \, ds.$$
  • Considera el problema de condición inicial $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \textbf{X} + \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} \,\,\,\,\, ; \,\,\,\,\, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}.$$ Calcula las iteraciones de Picard correspondientes al problema. ¿Convergen a alguna función? En caso afirmativo, muestra que dicha función es solución al problema de condición inicial.
  • Supongamos que $\textbf{F}(t,\textbf{X}(t))$ es continua en $$R:=\{(t,x_{1},…,x_{n}) \in \mathbb{R}^{n+1} : |t-t_{0}| \leq a, \lVert \textbf{X}(t) – \textbf{Y} \rVert \leq b, \, \, a, b \in \mathbb{R}\}.$$ Demuestra que existe $M > 0$ y $h \in \mathbb{R}$ tal que $$\lVert \textbf{X}^{n}(t)-Y \rVert \leq M |t-t_{0}|, \forall n \in\mathbb{N}, \forall t \in I_{h} \subseteq \mathbb{R}.$$ Recuerda que $\textbf{X}^{n}(t)$ es la $n$-ésima iteración de Picard correspondientes al problema de condición inicial que estudiamos a lo largo de la entrada. (Hint: La prueba es similar al lema análogo que probamos en este video para el teorema de existencia y unicidad de Picard).
  • Consideremos el problema de condición inicial $$a\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+b\frac{dy}{dt}+cy=0 \,\,\,\,\, ; \,\,\,\,\, y(t_{0})=y_{0} \,\,\,\,\, ; \,\,\,\,\, \frac{dy}{dt}(t_{0})=y_{1}$$ con $a,b,c$ constantes. ¿Si el sistema de ecuaciones asociado satisface el teorema de existencia y unicidad, entonces el problema de condición inicial original tiene una única solución?

Más adelante

Con este teorema finalizamos la tercera unidad del curso. En la cuarta unidad comenzaremos con la teoría cualitativa de los sistemas de ecuaciones de primer orden.

Veremos que los sistemas tienen puntos de equilibrio, los clasificaremos según su estabilidad. En virtud de esto vamos a analizar el comportamiento de las soluciones cerca de puntos de equilibrio y dibujaremos el plano fase de un sistema.

Abordaremos sistemas no lineales, y aunque no los resolveremos explícitamente, veremos el comportamiento de sus soluciones cerca de sus puntos de equilibrio.

Finalmente, veremos algunos sistemas que satisfacen propiedades interesantes, como los sistemas Hamiltonianos, los disipativos, entre otros.

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden con coeficientes constantes

Introducción

En la entrada anterior definimos la exponencial de una matriz $\textbf{A}$ de coeficientes constantes, denotada por $\textbf{e}^{\textbf{A}}$, demostramos sus principales propiedades, y estudiamos la relación que guarda con el sistema lineal de ecuaciones $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ y su matriz fundamental de soluciones. Con esta herramienta a nuestra disposición, podremos enunciar y demostrar el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden con coeficientes constantes.

Como mencionamos en la entrada anterior, nuestra meta es tratar de generalizar la fórmula para soluciones a ecuaciones lineales de primer orden con condición inicial, la cual es de la forma $$y(t)=e^{-\int p(t) dt} \left[\int e^{\int p(t) dt}q(t)+k_{0}\right]$$ para cierta constante $k_{0}$, y encontrar una solución al problema de condición inicial $$\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\textbf{C}$$ que se vea de la forma $$\textbf{X}(t)=\textbf{e}^{-\int \textbf{A}(t) dt} \left[\int \textbf{e}^{\int \textbf{A}(t) dt}\textbf{Q}(t)+\textbf{B}\right].$$

El teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden nos garantiza la existencia de tal solución. Además, una vez que definimos la exponencial de una matriz, ya no nos sorprenderá la notación de la fórmula anterior. Dividiremos el teorema y su demostración en dos casos: para sistemas homogéneos y para sistemas no homogéneos.

Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales homogéneos de primer orden con coeficientes constantes

En el primer video demostramos el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales homogéneos de primer orden con coeficientes constantes.

Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales no homogéneos de primer orden con coeficientes constantes

En el segundo video demostramos el mismo teorema pero ahora para sistemas lineales no homogéneos de primer orden con coeficientes constantes.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Encuentra la solución al problema de condición inicial: $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución al problema de condición inicial: $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(1)=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución al problema de condición inicial: $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}\textbf{X}+ \begin{pmatrix} t \\ 1 \end{pmatrix} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución al problema de condición inicial: $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\textbf{X}+ \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(2)=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}.$$

Más adelante

Una vez que hemos encontrado formas explícitas para las soluciones a sistemas lineales con coeficientes constantes $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q}$, debemos encontrar algún método para calcular eficientemente $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$, sin pasar por el complicado camino de calcular cada serie que conforma a la exponencial de $t\textbf{A}$. El método que desarrollaremos es una aplicación de los eigenvalores y eigenvectores (o valores y vectores propios) que quizá hayas visto en cursos de álgebra lineal.

Es por eso que, aunque no estamos en un curso de álgebra lineal, haremos un alto en el camino y revisaremos de manera muy breve estos conceptos y demás herramientas que utilizaremos muy pronto. Iremos relacionando los conceptos con los temas que nos interesan, que son los de hallar una matriz fundamental de soluciones, la exponencial de una matriz, y por supuesto resolver sistemas lineales de primer orden.

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Ecuaciones Diferenciales I: Demostración del Teorema de Existencia y Unicidad de Picard – Lindelöf

Si la gente no cree que las matemáticas son simples, es solo
porque no se dan cuenta de lo complicado que es la vida.
– John Louis von Neumann

Introducción

¡Hemos llegado al final de la primera unidad de este curso!.

Concluiremos con la demostración de uno de los teoremas más importantes dentro del campo de las ecuaciones diferenciales; el teorema de existencia y unicidad de Picard – Lindelöf. Pero antes, un poco de contexto histórico.

Este resultado fue estudiado y desarrollado entre los años 1820 y 1900 por Cauchy, Liouville, Lipschitz, Picard y Lindelöf. Entre 1820 y 1830 Cauchy probó que si $f = f(x, y)$ es una función continua y existe su derivada parcial $\dfrac{df}{dy}$ continua en cierta región $U \subset \mathbb{R}^{2}$ que contiene el punto $(x_{0}, y_{0})$, entonces existe un intervalo $\delta$ en el que un problema de valor inicial posee una única solución definida en $\delta$.

En 1838, Liouville simplificó la prueba de Cauchy introduciendo el método de las aproximaciones sucesivas, que más tarde continuarían siendo desarrolladas por Picard y que se conocerían como iterantes de Picard.

En 1876, Lipschitz mejoraría el resultado de Cauchy, sustituyendo la condición de que exista la derivada continua de $f$ por una menos fuerte, conocida como condición de Lipschitz.

Posteriormente, todo lo anterior fue ligeramente mejorado y generalizado por Picard (1890) y Lindelöf (1893), siguiendo las mismas ideas dadas por Liouville y Lipschitz.

Actualmente el método y los resultados se les atribuyen a Picard conociéndose como método de las iterantes de Picard y teorema de Picard (o más generalmente, teorema de Picard – Lindelöf).

En las dos últimas entradas hemos presentado una teoría preliminar con todas las herramientas necesarias para demostrar el teorema de Picard – Lindelöf, sin más, demostremos el teorema.

Teorema de existencia y unicidad de Picard – Lindelöf

El resultado global del teorema de existencia y unicidad de Picard – Lindelöf es el siguiente.

Teorema: Supongamos que se cumplen las siguientes tres hipótesis:

  • $U = [a, b] \times \mathbb{R}$, donde $[a, b]$ es un intervalo compacto en $\mathbb{R}$,
  • $f : U \rightarrow \mathbb{R}$ es continua en $U$, y
  • $f$ es lipschitziana en $U$ respecto de la segunda variable.

En tal situación, para cada $(x_{0}, y_{0}) \in U$ el problema de valor inicial (PVI)

\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} = f(x, y), \hspace{1cm} y(x_{0}) = y_{0} \label{1} \tag{1}
\end{align}

posee una única solución definida en el intervalo $[a, b]$.

Además, las iterantes de Picard $y_{n}: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ asociadas al PVI (\ref{1}), dadas por

$$y_{n}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} f(t, y_{n -1}(t)) dt \hspace{1cm} n= 1,2,3, \cdots, \hspace{1cm} y_{0} = y_{0}(x)$$

convergen uniformemente en el intervalo $[a, b]$ hacia la solución del PVI.

Demostración del teorema de Picard – Lindelöf

Sea $\delta = [a, b]$. Como cualquier función $y: \delta \rightarrow \mathbb{R}$ tiene su gráfica en $U$ y por hipótesis $f$ es continua en $U$, tenemos, como consecuencia del teorema sobre la ecuación integral, que $y: \delta \rightarrow \mathbb{R}$ es solución del PVI si y solo si $y(x)$ es una función continua en $\delta$ y para cada $x \in \delta$ verifica la ecuación integral

$$y(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} f(t, y(t))dt \label{2} \tag{2}$$

Necesitamos probar que esta ecuación integral sólo posee una solución continua. Para ello, al ser $U$ una banda vertical, podemos definir sin problema alguno las iterantes de Picard $y_{n}: \delta \rightarrow \mathbb{R}$, las cuales son funciones continuas que verifican $y_{n}(x_{0}) = y_{0}$.

La demostración la dividiremos en tres secciones:

  • Primero probaremos que la sucesión de iterantes $\{y_{n}\}$ converge uniformemente en el intervalo $\delta$ hacia una función continua $y: \delta \rightarrow \mathbb{R}$.
  • Posteriormente comprobaremos que esta función $y: \delta \rightarrow \mathbb{R}$ verifica la ecuación integral (\ref{2}) y, por tanto, es solución del PVI.
  • Finalmente probaremos que el PVI no posee otra solución distinta de $y: \delta \rightarrow \mathbb{R}$.

Con los primeros dos puntos estaremos demostrando la existencia de una solución al problema de valor inicial y con el tercer punto estaremos demostrando la unicidad. Es importante mencionar que en cada uno de los tres puntos anteriores, aparte de la continuidad de $f$, haremos uso de manera esencial de la condición de Lipschitz de $f$ respecto de la segunda variable.

$$|f(x, y_{1}) -f(x, y_{2})| \leq L|y_{1} -y_{2}| \label{3} \tag{3}$$

para cada par de puntos $(x, y_{1}), (x, y_{2}) \in U$. Con $L$ la constante de Lipschitz para $f$ en $U$.

Así mismo, en el primer punto utilizaremos de forma esencial que la convergencia de las iterantes es uniforme, pues no basta con la convergencia puntual.

Demostremos el primer punto.

  • Convergencia uniforme de las iterantes de Picard.

Para probar que la sucesión de iterantes $\{y_{n}\}$ converge uniformemente en el intervalo $\delta$ es conveniente expresarlas de la siguiente forma.

$$y_{n}(x) = y_{0}(x) + \sum_{m = 1}^{n}(y_{m}(x) -y_{m -1}(x)) \label{4} \tag{4}$$

Desglosa la serie anterior para que verifiques la equivalencia.

Fijado $x \in \delta$ es evidente que la sucesión numérica $\{y_{n}(x)\}$ es convergente en $\mathbb{R}$ si y sólo si la serie numérica $\sum_{m = 1}^{\infty}(y_{m}(x) -y_{m -1}(x))$ es convergente, para lo cual es suficiente con la convergencia absoluta de la serie para cada $x \in \delta$, es decir

$$\sum_{m = 1}^{\infty }|y_{m}(x) -y_{m -1}(x)|< \infty \label{5} \tag{5}$$

Si la serie (\ref{5}) fuese convergente para cada $x \in \delta$, entonces se tendría que la sucesión de iterantes converge puntualmente en $\delta$, sin embargo no es suficiente con la convergencia puntual; necesitamos algo más fuerte, como lo es la convergencia uniforme.

Para probar que la serie funcional $\sum_{m = 1}^{\infty}(y_{m}(x) -y_{m -1}(x))$ converge uniformemente en $\delta$ y, por tanto, la sucesión de iterantes, vamos a usar el criterio mayorante de Weierstrass para lo cual necesitamos probar que existen unas constantes $M_{m} \in \mathbb{R}^{+}$, tales que

$$|y_{m}(x) -y_{m -1}(x)|\leq M_{m} \label{6} \tag{6}$$

para cada $x \in \delta$, cada $m = 1, 2, 3 \cdots$, y $\sum_{m = 1}^{\infty } M_{m} < \infty$.

Vamos a comenzar con los casos $m = 1$ y $m = 2$, es decir, vamos a hallar las constantes $M_{1}$ y $M_{2}$, tales que

$$|y_{1}(x) -y_{0}(x)| \leq M_{1} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} |y_{2}(x) -y_{1}(x)| \leq M_{2}$$

y con estos resultados intentaremos encontrar una relación de recurrencia para las constantes $M_{m}$ para luego corroborar que $\sum_{m = 1}^{\infty } M_{m} < \infty$ y de esta manera probar la convergencia (\ref{5}).

Partiendo de la ecuación de las iterantes de Picard

$$y_{m}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} f(t, y_{m -1}(t)) dt; \hspace{1cm} y_{0} = y_{0}(x) \label{7} \tag{7}$$

las primeras iterantes son

$$y_{1}(x) = y_{0}(x) + \int_{x_{0}}^{x} f(t, y_{0}(t)) dt \hspace{1cm} y \hspace{1cm} y_{2}(x) = y_{0}(x) + \int_{x_{0}}^{x} f(t, y_{1}(t)) dt$$

de donde,

$$|y_{1}(x) -y_{0}(x)| = \left| \int_{x_{0}}^{x} f(t, y_{0}) dt \right |$$

y

$$|y_{2}(x) -y_{1}(x)| = \left| \int_{x_{0}}^{x} f(t, y_{1}(t)) -f(t, y_{0}(t))dt \right|$$

Al momento de estimar $|y_{1}(x) -y_{0}(x)|$ necesitamos hacer la siguiente consideración. La función $f$ es continua en $U$ y, por tanto, la función

$$g: \delta \rightarrow \mathbb{R}; \hspace{1cm} x \rightarrow g(x) = f(x, y_{0}(x))$$

es continua en $\delta$. Como $\delta$ es compacto, la función $g(x)$ está acotada en $\delta$, es decir, existe una constante $H > 0$, tal que

$$|g(x)| = |f(x, y_{0}(x))| \leq H$$

para cada $x \in \delta$ y, por tanto, se verifica lo siguiente.

\begin{align*}
|y_{1}(x) -y_{0}(x)| &= \left| \int_{x_{0}}^{x} f(t, y_{0}(t)) dt \right | \\
&\leq \int_{x_{0}}^{x}|f(t, y_{0}(t))| dt \\
&\leq \int_{x_{0}}^{x} H dt \\
&= H|x -x_{0}|
\end{align*}

esto es,

$$|y_{1}(x) -y_{0}(x)| \leq H|x -x_{0}| \label{8} \tag{8}$$

Si consideramos todo el intervalo $\delta = [a, b]$ podríamos obtener finalmente la estimación

$$|y_{1}(x) -y_{0}(x)| \leq H (b -a) = M_{1} \label{9} \tag{9}$$

Para poder estimar adecuadamente $|y_{2}(x) -y_{1}(x)|$ consideremos el resultado (\ref{8}), además de las siguientes dos desigualdades.

\begin{align*}
|y_{2}(x) -y_{1}(x)| &= \left| \int_{x_{0}}^{x} f(t, y_{1}(t)) -f(t, y_{0}(t))dt \right| \\
&\leq \int_{x_{0}}^{x}| f(t, y_{1}(t)) -f(t, y_{0}(t))|dt \label{10} \tag{10}
\end{align*}

y la condición de Lipschitz

$$|f(t, y_{1}(t)) -f(t, y_{0})| \leq L |y_{1}(t) -y_{0}(t)| \label{11} \tag{11}$$

Supongamos que $x > x_{0}$. Usando (\ref{10}) y (\ref{11}), además del resultado (\ref{8}), se tiene

\begin{align*}
|y_{2}(x) -y_{1}(x)| &\leq \int_{x_{0}}^{x}|f(t, y_{1}(t)) -f(t ,y_{0}(t))| dt \\
&\leq \int_{x_{0}}^{x} L |y_{1}(t) -y_{0}(t)|dt \\
&\leq LH \int_{x_{0}}^{x}|t- x_{0}|dt \\
&= LH \int_{x_{0}}^{x}(t -x_{0})dt \\
&= LH \dfrac{(x -x_{0})^{2}}{2}
\end{align*}


Por otro lado, para $x < x_{0}$, se tiene

\begin{align*}
|y_{2}(x) -y_{1}(x)| &\leq \int_{x}^{x_{0}}|f(t, y_{1}(t)) -f(t ,y_{0}(t))| dt \\
&\leq L \int_{x}^{x_{0}}|y_{1}(t) -y_{0}(t)|dt \\
&\leq LH \int_{x}^{x_{0}}|t -x_{0}|dt \\
&= LH \int_{x}^{x_{0}}(x_{0} -t)dt \\
&= LH \dfrac{(x_{0} -x)^{2}}{2}
\end{align*}

De ambos resultados, podemos afirmar que para cada $x \in \delta$

$$|y_{2}(x) -y_{1}(x)| \leq HL \dfrac{|x -x_{0}|^{2}}{2!} \label{12} \tag{12}$$

La desigualdad (\ref{8}) la podemos escribir de forma similar a (\ref{12}) de la siguiente forma.

$$|y_{1}(x) -y_{0}(x)| \leq HL^{0} \dfrac{|x -x_{0}|^{1}}{1!}$$

De estas dos relaciones establecemos una relación de recurrencia que vamos a probar por inducción sobre $m$. Proponemos que para cada $m = 1, 2, 3, \cdots$, y para cada $x \in \delta$, se cumple

$$|y_{m}(x) -y_{m -1}(x)| \leq HL^{m -1} \dfrac{|x -x_{0}|^{m}}{m!} \label{13} \tag{13}$$

La desigualdad ha sido probada anteriormente para $m = 1$ y $m = 2$. Supongamos que es cierta para $m$ y vamos a probar que es válida para $m + 1$ siguiendo el mismo razonamiento que en la obtención del caso $m = 2$. Vamos a mostrar el caso $x > x_{0}$, pero la prueba es similar para el caso $x < x_{0}$.

Si $x > x_{0}$, se tiene

\begin{align*}
|y_{m+1}(x) -y_{m}(x)| &\leq \int_{x_{0}}^{x}|f(t, y_{m}(t)) -f(t, y_{m -1}(t))|dt \\
&\leq L \int_{x_{0}}^{x}|y_{m}(t) -y_{m -1}(t)|dt \\
&\leq \dfrac{HL^{m}}{m!} \int_{x_{0}}^{x}(t -x_{0})^{m} dt \\
&= HL^{m} \dfrac{(x -x_{0})^{m + 1}}{(m+1)!}
\end{align*}

De forma similar, si $x < x_{0}$, se tiene

$$|y_{m+1}(x) -y_{m}(x)| \leq HL^{m} \dfrac{(x_{0} -x)^{m + 1}}{(m+1)!}$$

De ambos resultados concluimos que

$$|y_{m+1}(x) -y_{m}(x)| \leq HL^{m} \dfrac{|x -x_{0}|^{m + 1}}{(m+1)!}$$

Es Importante hacer énfasis que en este desarrollo ha sido fundamental que las iterantes $\{y_{n}\}$ tengan sus gráficas en una región $U$ donde $f$ es lipschitziana.

De lo obtenido anteriormente, y considerando el intervalo completo $\delta = [a, b]$, obtenemos finalmente la siguiente desigualdad.

$$|y_{m}(x) -y_{m -1}(x)| \leq \dfrac{H}{L} \dfrac{(L(b -a))^{m}}{m!} = M_{m} \label{14} \tag{14}$$

para cada $x \in \delta$ y cada $m = 1, 2, 3, \cdots$. Como el intervalo $\delta$ es acotado, entonces $M_{m} \in \mathbb{R}^{+}$ y sabemos que

$$\sum_{m = 1}^{\infty} \dfrac{(L(b -a))^{m}}{m!} = e^{L(b -a)} -1< \infty \label{15} \tag{15}$$

En definitiva,

$$\sum_{m=1}^{\infty } M_{m} < \infty$$

es decir la serie es convergente. Con esto queda probada la condición (\ref{5}) y debido a que la prueba se hizo utilizando el criterio mayorante de Weierstrass concluimos que se trata de una convergencia uniforme de las iterantes de Picard en el intervalo $\delta$ hacia una función $y: \delta \rightarrow \mathbb{R}$.

Es bien conocido que si una sucesión $y_{n}: \delta \rightarrow \mathbb{R}$, $n = 1, 2, 3, \cdots$, de funciones continuas sobre $\delta$ que convergen uniformemente en $\delta$ hacia una función $y: \delta \rightarrow \mathbb{R}$, la función límite uniforme $y$ también es continua en $\delta$.

Queda así demostrado el primer punto de la prueba. Ahora verifiquemos que la función límite uniforme $y: \delta \rightarrow \mathbb{R}$ verifica la ecuación integral (\ref{2}) siendo la solución al problema de valor inicial.

  • La existencia de la solución.

Sea $y: \delta \rightarrow \mathbb{R}$ la función obtenida anteriormente como límite uniforme de las iterantes de Picard $\{y_{n}\}$. La convergencia uniforme de $\{y_{n}\}$ hacia $y(x)$ en el intervalo $\delta$ significa que dado cualquier $\hat{\varepsilon} > 0$ existe un natural $N = N(\hat{\varepsilon})$, tal que para cada $n > N$ y cada $x \in \delta$

$$|y_{n}(x) -y(x)| < \hat{\varepsilon} \label{16} \tag{16}$$

Sabemos que la convergencia uniforme implica la convergencia puntual (pero no al revés), de manera que para cada $x \in \delta$ se cumple que

$$\lim_{n \to \infty}y_{n}(x) = y(x) \label{17} \tag{17}$$

Fijemos un $x \in \delta$. De acuerdo a (\ref{17}) y usando (\ref{7}), se tiene

$$y(x) = \lim_{n \to \infty} y_{n+1}(x) = y_{0} + \lim_{n \to \infty } \int_{x_{0}}^{x}f(t, y_{n}(t))dt$$

Por otro lado, sabemos que la función solución que satisface el PVI satisface también la ecuación integral (\ref{2}),

$$y(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} f(t, y(t))dt$$

Nuestro objetivo es probar que

$$\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{x_{0}}^{x} f(t, y_{n}(t)) dt = \int_{x_{0}}^{x}f(t, y(t))dt \label{18} \tag{18}$$

Pues de esta forma la función límite uniforme $y$ verificaría la ecuación integral y, por tanto sería solución del PVI en el intervalo $\delta$, quedando así probada la existencia de la solución.

Demostrar la relación (\ref{18}) es equivalente a probar que $\forall \varepsilon > 0$ existe $N = N(\varepsilon) \in \mathbb{N}$, tal que para cada $n > N$ y cada $x \in \delta$

$$\left|\int_{x_{0}}^{x}f(t, y_{n}(t))dt -\int_{x_{0}}^{x} f(t, y(t))dt \right| < \varepsilon \label{19} \tag{19}$$

Para probar la relación (\ref{19}) de nuevo haremos uso de la condición de Lipschitz (\ref{3}) y de la convergencia uniforme de las iterantes hacia $y$ en $\delta$ (\ref{16}).

\begin{align*}
\left|\int_{x_{0}}^{x}f(t, y_{n}(t))dt -\int_{x_{0}}^{x} f(t, y(t))dt\right| &\leq \int_{x_{0}}^{x}|f(t, y_{n}(t)) -f(t, y(t))|dt \\
&\leq \int_{a}^{b}|f(t, y_{n}(t)) -f(t, y(t))|dt \\
&\leq L \int_{a}^{b}|y_{n}(t) -y(t)|dt
\end{align*}

Dado $\varepsilon > 0$, definimos

$$\hat{\varepsilon} = \dfrac{\varepsilon }{L(b -a)} \label{20} \tag{20}$$

Con esto, la desigualdad (\ref{16}) se puede escribir como

$$|y_{n}(t) -y(t)|< \dfrac{\varepsilon }{L(b -a)} \label{21} \tag{21}$$

Usando esta desigualdad notamos que, para cada $n > N$ y cada $x \in \delta$

\begin{align*}
\left|\int_{x_{0}}^{x}f(t, y_{n}(t))dt -\int_{x_{0}}^{x} f(t, y(t))dt\right| &\leq L \int_{a}^{b}|y_{n}(t) -y(t)|dt \\
&\leq \dfrac{L}{L(b -a)} \int_{a}^{b} \varepsilon dt \\
&= \dfrac{L}{L(b -a)} \varepsilon (b -a) \\
&= \varepsilon
\end{align*}

Por lo tanto, $ \forall \varepsilon > 0$ existe $N = N(\varepsilon) \in \mathbb{N}$, tal que para cada $n > N$ y cada $x \in \delta$

$$\left|\int_{x_{0}}^{x}f(t, y_{n}(t))dt -\int_{x_{0}}^{x} f(t, y(t))dt \right| < \varepsilon$$

lo que confirma la relación (\ref{18}) que es lo que queríamos demostrar. De esta forma queda demostrada la existencia de la solución $y: \delta \rightarrow \mathbb{R}$ para el problema de valor inicial. Finalmente demostremos la unicidad de esta solución.

  • Demostración de la unicidad.

Con los dos puntos anteriores estamos convencidos de la existencia de una solución $y: \delta \rightarrow \mathbb{R}$ que satisface el problema de valor inicial (\ref{1}), así como la ecuación integral (\ref{2}). La prueba de la unicidad se basa en la suposición de la existencia de otra solución $\hat{y}: \delta \rightarrow \mathbb{R}$ que igualmente cumple con los dos puntos anteriores y el objetivo será demostrar que $\hat{y}(x) = y(x)$.

De tarea moral demostrarás que la solución $\hat{y}(x)$ es también una función límite uniforme de las mismas iterantes de Picard para cada $x \in \delta$, esto es

$$\lim_{n \to \infty}y_{n}(x) = \hat{y}(x) \label{22} \tag{22}$$

o, lo que es equivalente, mostrar que

$$\lim_{n \to \infty} |\hat{y}(x) -y_{n}(x)| = 0 \label{23} \tag{23}$$

y por la ecuación (\ref{17}) concluir que $\hat{y}(x) = y(x)$.

En esta situación se procede de manera muy similar a la prueba del primer punto en el que debemos encontrar una relación de recurrencia que acote a la cantidad $|\hat{y}(x) -y_{n}(x)|$ para cada $x \in \delta$ de la siguiente manera

$$0 \leq |\hat{y}(x) -y_{n}(x)| \leq B_{n} \label{24} \tag{24}$$

y si se prueba que

$$\lim_{n \to \infty}B_{n} = 0$$

entonces quedará probada la relación (\ref{23}).

A continuación te damos algunos hints y resultados que deberás obtener a lo largo de tu demostración.

Estudia lo que sucede con $n = 1$ y $n = 2$ y con los resultados encuentra la relación de recurrencia general para cada $n \in \mathbb{N}$, para ello considera la máxima distancia entre $\hat{y}$ y $y_{0}$, esto es

$$A = \max_{x \in \delta} |\hat{y} -y_{0}|$$

El máximo $A \in \mathbb{R}^{+}$ esta asegurado gracias a la continuidad de la función $\hat{y}$ en el intervalo compacto $\delta$. Como la gráfica de la función $\hat{y}(x)$ está contenida en $U$ y $f = f(x, \hat{y})$ es una función lipschitziana, demuestra que para cada $x \in \delta$

$$|\hat{y}(x) -y_{1}(x)| \leq L \int_{x_{0}}^{x}|\hat{y}(t) -y_{0}(t)|dt \leq AL|x -x_{0}| \label{25} \tag{25}$$

Usando este resultado demuestra que

$$|\hat{y}(x) -y_{2}(x)| \leq AL^{2} \int_{x_{0}}^{x}|t -x_{0}|dt \leq AL^{2} \dfrac{|x -x_{0}|^{2}}{2!} \label{26} \tag{26}$$

Demuestra por inducción que en general, para cada $n = 1, 2, 3, \cdots,$ y $x \in \delta$

$$|\hat{y}(x) -y_{n}(x)| \leq AL^{n} \dfrac{|x -x_{0}|}{n!} \label{27} \tag{27}$$

Este resultado te permite concluir que para cada $x \in \delta = [a, b]$

$$|\hat{y}(x) -y_{n}(x)| \leq A \dfrac{(L(b -a))^{n}}{n!} = B_{n} \label{28} \tag{28}$$

Prueba que

$$\lim_{n \to \infty} B_{n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{(L(b -a))^{n}}{n!} = 0 \label{29} \tag{29}$$

Así finalmente queda demostrada la relación (\ref{23}) y por lo tanto $\hat{y}(x) = y(x)$ para cada $x \in \delta$.

Realizar este ejercicio te servirá para consolidar mucho mejor lo que hemos realizado a lo largo de la demostración. Sin embargo, la demostración de la unicidad puede ser mucho más simple si aplicamos el lema de Gronwall. Demostremos la unicidad por esta opción.

Sean $y: \delta \rightarrow \mathbb{R}$ y $\hat{y}: \delta \rightarrow \mathbb{R}$ soluciones al PVI (\ref{1}) y la ecuación integral (\ref{2}).

$$y(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(t, y(t)) dt \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \hat{y}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(t, \hat{y}(t)) dt$$

Restemos las dos ecuaciones anteriores y consideramos su valor absoluto.

\begin{align*}
|y(x) -\hat{y}(x)| &= \left|\int_{x_{0}}^{x}f(t, y(t))dt -\int_{x_{0}}^{x}f(t, \hat{y}(t))dt \right|\\
&= \left|\int_{x_{0}}^{x}f(t, y(t)) -f(t, \hat{y}(t))dt \right| \\
&\leq \int_{x_{0}}^{x}|f(t, y(t)) -f(t,\hat{y}(t))|dt
\end{align*}

Como $f$ es una función lipschitziana respecto de la segunda variable, entonces

$$\int_{x_{0}}^{x}|f(t, y(t)) -f(t, \hat{y}(t))|dt \leq \int_{x_{0}}^{x} L|y(t) -\hat{y}(t)|dt = L \int_{x_{0}}^{x}|y(t) -\hat{y}(t)|dt$$

es decir,

$$|y(x) -\hat{y}(x)| \leq L \int_{x_{0}}^{x}|y(t) -\hat{y}(t)|dt \label{30} \tag{30}$$

Para que este resultado nos sea más familiar definamos lo siguiente.

$$h(x) = |y(x) -\hat{y}(x)| \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \alpha = 0, \hspace{0.2cm} \beta = L$$

Usando esto reescribimos a la ecuación (\ref{30}) como

$$0 \leq h(x) \leq \alpha + \beta \int_{x_{0}}^{x} h(t) dt \label{31} \tag{31}$$

Estamos en las condiciones del lema de Gronwall, pero en el caso especial en el que $\alpha = 0$, así que aplicando el corolario del lema de Gronwall podemos concluir que para cada $x \in \delta$

$$h(x) = |y(x) -\hat{y}(x)| = 0$$

lo que significa que $\forall x \in \delta$, $y(x) = \hat{y}(x)$, es decir, la solución al problema de valor inicial es única.

Con esto quedan demostrados los tres puntos de la prueba, por lo tanto concluimos que el problema de valor inicial (\ref{1}) posee una única solución en $\delta = [a, b]$ y además, las iterantes de Picard asociadas al PVI convergen uniformemente en $\delta$ hacia la solución $y: \delta \rightarrow \mathbb{R}$ del PVI.

$\square$

¡Listo!. Hemos demostrado el teorema de existencia y unicidad de Picard – Lindelöf.

Apliquemos este resultado al caso de las ecuaciones diferenciales lineales.

Existencia y unicidad en ecuaciones lineales

Apliquemos el teorema de Picard – Lindelöf al caso de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

$$\dfrac{dy}{dx} = P(x) y + Q(x); \hspace{1cm} y(x_{0}) = y_{0} \label{32} \tag{32}$$

Donde las funciones $P(x)$ y $Q(x)$ son continuas en un intervalo compacto $\delta = [a, b]$, $x_{0} \in \delta$ y $y_{0} \in \mathbb{R}$.

En este caso $U = \delta \times \mathbb{R}$ y

$$f(x, y) = P(x) y + Q(x)$$

Notemos que se verifica lo siguiente:

  • $U$ es una banda vertical de base compacta, pues $\delta$ es un intervalo compacto.
  • Como $P(x)$ y $Q(x)$ son continuas en $\delta$, entonces $f$ es continua en $U$.
  • Como $P(x)$ es continua en el intervalo $\delta$ y éste es compacto, entonces la función $P(x)$ es acotada, así que podemos fijar $L > 0$, tal que $|P(x)|< L$ para todo $x \in \delta$. Considerando esto tenemos que

\begin{align*}
|f(x, y_{1}) -f(x, y_{2})| &= |(P(x) y_{1} + Q(x)) -(P(x) y_{2} + Q(x))| \\
&= |P(x) y_{1} -P(x) y_{2}| \\
&= |P(x) ||y_{1} -y_{2}| \\
&\leq L|y_{1} -y_{2}|
\end{align*}

esto es

$$|f(x, y_{1}) -f(x, y_{2})| \leq L|y_{1} -y_{2}| \label{33} \tag{33}$$

para cada par de puntos $(x, y_{1}), (x, y_{2}) \in U$ es decir, $f$ es una función lipschitziana.

Por tanto, se cumplen las condiciones del teorema de existencia y unicidad global. En consecuencia ratificamos el resultado visto anteriormente en el que se asegura que cualquier problema de valor inicial asociado a una ecuación lineal posee solución única en el intervalo $\delta$. Además, ahora podemos afirmar que las iterantes de Picard asociadas convergen uniformemente hacia la solución del PVI.

$\square$

Un resultado importante que debemos revisar es que si dos problemas de valor inicial tienen valores iniciales muy cercanos entre sí, entonces las soluciones a cada PVI serán funciones muy próximas. A esto le llamamos dependencia continua de las soluciones respecto a condiciones iniciales. Revisemos este resultado. En la demostración será de uso esencial el lema de Gronwall.

Dependencia continua de la condición inicial

Teorema: Sea $f = f(x,y)$ una función continua en un rectángulo $R$ de la forma

$$R = \{(x, y) \in \mathbb{R} \mid |x -x_{0}| \leq a, |y -y_{0}| \leq b, \hspace{0.2cm} a, b \in \mathbb{R} \}$$

siendo $f$ una función lipschitziana respecto de la segunda variable en $R$. Si $y(x)$ y $\hat{y}(x)$ son soluciones a los problemas de condición inicial

$$\dfrac{dy}{dx} = f(x, y); \hspace{1cm} y(x_{0}) = y_{0}$$

y

$$\dfrac{d\hat{y}}{dx} = f(x, \hat{y}); \hspace{1cm} \hat{y}(x_{0}) = \hat{y_{0}}$$

respectivamente, entonces

$$|y(x) -\hat{y}(x)| \leq |y_{0} -\hat{y}_{0}| e^{L |x -x_{0}|} \label{34} \tag{34}$$

Demostración: Como $y(x)$ y $\hat{y}(x)$ son solución de sus respectivos PVI, entonces cada solución verifica una ecuación integral.

$$y(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(t, y(t)) dt \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \hat{y}(x) = \hat{y}_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(t, \hat{y}(t)) dt$$

Vemos que

\begin{align*}
|y(x) -\hat{y}(x)| &= \left| y_{0} -\hat{y}_{0} + \int_{x_{0}}^{x} f(t, y(t)) dt -\int_{x_{0}}^{x}f(t, \hat{y}(t)) dt \right| \\
&\leq |y_{0} -\hat{y}_{0}| + \left| \int_{x_{0}}^{x} f(t, y(t)) -f(t, \hat{y}(t)) dt \right | \\
&\leq |y_{0} -\hat{y}_{0}| + \int_{x_{0}}^{x}\left| f(t, y(t)) -f(t, \hat{y}(t)) \right| dt
\end{align*}

Sabemos que $f$ es una función lipschitziana respecto de la segunda variable en $R$ de manera que

$$|f(x, y(x)) -f(x, \hat{y}(x)) | \leq L | y(x) -\hat{y}(x)| \label{35} \tag{35}$$

con $L$ la constante de Lipschitz para $f$ en $R$. Entonces,

$$|y(x) -\hat{y}(x)| \leq |y_{0} -\hat{y}_{0} | + L \int_{x_{0}}^{x} |y(t) -\hat{y}(t)|dt \label{36} \tag{36}$$

Definamos

$$0 < g(x) = |y(x) -\hat{y}(x)|, \hspace{1cm} \alpha = |y_{0} -\hat{y}_{0}| \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \beta = L$$

Con esto la desigualdad (\ref{36}) la podemos reescribir como

$$0 < g(x) \leq \alpha +\beta \int_{x_{0}}^{x}g(t) dt$$

Ahora podemos aplicar el lema de Gronwall.

$$g(x) \leq \alpha e^{\beta (x -x_{0})}$$

es decir,

$$|y(x) -\hat{y}(x)| \leq |y_{0} -\hat{y}_{0}| e^{L(x -x_{0})}$$

Que es lo que queríamos demostrar.

$\square$

De este resultado observamos que si

$$y_{0} \rightarrow \hat{y}_{0} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} |y_{0} -\hat{y}_{0}| \rightarrow 0$$

Entonces las soluciones de los PVI serán funciones muy próximas

$$|y(x) -\hat{y}(x)| \rightarrow 0 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} y(x) \rightarrow \hat{y}(x)$$

Para concluir la entrada hagamos un breve comentario sobre el resultado local del teorema de Picard y realicemos unos ejemplos al respecto.

Teorema de existencia y unicidad local

Recordemos que el resultado local del teorema de existencia y unicidad de Picard – Lindelöf establece lo siguiente.

Teorema: Supongamos que se verifican las siguientes tres hipótesis:

  • $R = \{(x, y) \in \mathbb{R} \mid |x -x_{0}| \leq a, |y -y_{0}| \leq b, \hspace{0.2cm} a, b \in \mathbb{R} \}$ y $R \subset D$,
  • $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ es continua en $R$ y
  • $f$ es lipschitziana en $R$ respecto de la segunda variable.

En tal situación, para cada $(x_{0}, y_{0}) \in R$, el problema de valor inicial

\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} = f(x, y); \hspace{1cm} y(x_{0}) = y_{0} \label{37} \tag{37}
\end{align}

posee una única solución definida en el intervalo $\delta = [x_{0} -h, x_{0} + h]$, donde

$$ h = \min \left\{a,\dfrac{b}{M} \right\} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} M \geq \max_{(x, y) \in R}|f(x, y)|$$

Además, las iterantes de Picard asociadas al PVI convergen uniformemente en el intervalo $\delta$ hacia la solución del PVI.

$$——————————————$$

La demostración a este teorema corresponde a una adaptación de la demostración vista para el caso global, teniendo en cuenta que las gráficas de las iterantes de Picard, así como la de cualquier posible solución, definidas en el intervalo $\delta = [x_{0} -h, x_{0} + h]$, están dentro del rectángulo $R$ donde la función $f$ es continua y lipschitziana respecto de la segunda variable. Los pasos claves a seguir y las técnicas son prácticamente una repetición de lo visto anteriormente cambiando la banda vertical $U = [a, b] \times \mathbb{R}$ por el rectángulo

$$R = \{(x, y) \in \mathbb{R} \mid |x -x_{0}| \leq a, |y -y_{0}| \leq b, \hspace{0.2cm} a, b \in \mathbb{R} \}$$

Para conocer sobre los detalles puedes revisar la demostración del teorema local en los videos de este mismo curso.

Finalmente, resolvamos algunos ejemplos.

Ejemplo: Mostrar que el problema de valor inicial

$$\dfrac{dy}{dx} = \sin^{2}{(x -y)}; \hspace{1cm} y(0) = 0$$

posee una única solución definida en $\mathbb{R}$.

Solución: En este caso tenemos la función $f: U = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida como

$$f(x, y) = \sin^{2}{(x -y)}$$

Es claro que $f$ es continua en la región $U = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$. La función derivada parcial $\dfrac{\partial f}{\partial y}: U \rightarrow \mathbb{R}$ está dada como

$$\dfrac{\partial f}{\partial y} = -2 \sin{(x -y) \cos{(x -y)}}$$

Como

$$|\sin{(x -y)}| \leq 1 \hspace{1cm} y \hspace{1cm} |\cos{(x -y)}| \leq 1$$

para todo $(x, y) \in U$, entonces

$$\left| \dfrac{\partial f}{\partial y} (x, y) \right| \leq 2$$

para todo $(x, y) \in U$. En consecuencia $f$ es una función lipschitziana en $U$ respecto de la segunda variable. Con esto hemos probado que se satisfacen las hipótesis del teorema de existencia y unicidad global por lo que podemos asegurar que el PVI posee una única solución definida en $\mathbb{R}$.

$\square$

Calcular las iterantes no siempre será sencillo. En el ejemplo anterior las iterantes pueden no ser fácil de desarrollar, pero debido a que satisface el teorema de Picard – Lindelöf podemos asegurar que dichas iterantes van a converger a la solución del PVI.

Ejemplo: Mostrar que aplicando el resultado global del teorema de Picard – Lindelöf al problema de valor inicial

$$\dfrac{dy}{dx} = y^{2}; \hspace{1cm} y(0) = 1$$

no es posible asegurar la existencia y unicidad de la solución.

Solución: La función $f: U = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida como

$$f(x, y) = y^{2}$$

es continua en $U = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, sin embargo su derivada parcial

$$\dfrac{\partial f}{\partial y} = 2y$$

no está acotada en $U$ por lo que $f$ no es una función lipschitziana en $U$.

Una observación más es que la solución al PVI dada por

$$y(x) = \dfrac{1}{1 -x}$$

no está definida en $\mathbb{R}$ si no en el intervalo $(-\infty, 1)$.

En definitiva, como no se cumple la tercera condición del teorema global, entonces no podemos asegurar nada sobre la existencia y unicidad de la solución del PVI.

$\square$

Veamos ahora la importancia del resultado local del teorema de existencia y unicidad de Picard – Lindelöf . Resolvamos de nuevo el ejemplo anterior, pero ahora considerando una región $R$ alrededor del punto dado por la condición inicial.

Ejemplo: Mostrar que aplicando el resultado local del teorema de Picard – Lindelöf, el problema de valor inicial

$$\dfrac{dy}{dx} = y^{2}; \hspace{1cm} y(0) = 1$$

posee una única solución. Encontrar el intervalo de existencia y unicidad.

Solución: Es claro que la función

$$f(x, y) = y^{2}$$

es continua en $\mathbb{R}^{2}$ por lo que $f$ será una función lipschitziana en cualquier conjunto $R$ convexo y compacto. Consideremos el rectángulo centrado en el valor inicial $(0, 1)$ de dimensiones $a = 2$ y $b = 1$, es decir

$$R = \{(x, y) \in \mathbb{R} \mid |x| \leq 2, |y -1| \leq 1\} = [-2, 2] \times [0, 2]$$

En la región $R$ la función $f$ si es lipschitziana y continua por lo que se satisfacen las condiciones del teorema local de existencia y unicidad de Picard. Este teorema nos dice que existe una única solución definida en el intervalo $\delta = [x_{0} -h, x_{0} + h]$ donde

$$ h = \min \left\{a,\dfrac{b}{M} \right\} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} M \geq \max_{(x, y) \in R}|f(x, y)|$$

En este caso, como el máximo valor que puede tomar $y$ en el rectángulo $R$ es $y = 2$, entonces

$$M = \max_{(x, y) \in R}|f(x, y)| = \max_{(x, y) \in R}|y^{2}| = 4$$

Usando este resultado, se tiene

$$h = \min \left\{a,\dfrac{b}{M} \right\} = \min \left\{2,\dfrac{1}{4} \right\} = \dfrac{1}{4}$$

Por lo tanto, podemos asegurar la existencia y unicidad de la solución del PVI en el intervalo

$$\delta = [x_{0} -h, x_{0} + h] = \left[ -\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4} \right]$$

Además podemos asegurar que las iterantes de Picard convergen uniformemente en el intervalo $\delta$ hacia la solución única del PVI. A saber, convergen a

$$y(x) = \dfrac{1}{1 -x}$$

$\square$

Con esto concluimos la primera unidad del curso.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Completar la demostración de la unicidad de la solución a un problema de valor inicial que cumple con las hipótesis del teorema global de existencia y unicidad. Recuerda que el objetivo es demostrar que $$\lim_{n \to \infty} |\hat{y}(x) -y_{n}(x)| = 0$$
  1. Comprobar que el problema de valor inicial $$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x}; \hspace{1cm} y(0) = 0$$ posse infinitas soluciones en cualquier intervalo $\delta$ en el que $0 \in \delta$.
    ¿Porqué no contradice esto al teorema de existencia y unicidad local?.
  1. Determinar, por el método de iterantes de Picard, la solución del siguiente problema de valor inicial: $$\dfrac{dy}{dx} = 2y(1 + x); \hspace{1cm} y(-1) = 1$$
  1. Comprobar que el mayor intervalo que proporciona el teorema local de existencia y unicidad de Picard para el problema de valor inicial $$\dfrac{dy}{dx} = 1 + x^{2}; \hspace{1cm} y(0) = 0$$ donde se asegura la existencia y unicidad de la solución, es $\delta = \left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2} \right]$.

Más adelante…

Con la demostración del teorema de existencia y unicidad de Picard – Lindelöf justificamos la teoría realizada a lo largo de esta primera unidad.

En la siguiente entrada comenzaremos la unidad 2 del curso. En dicha unidad estudiaremos las ecuaciones diferenciales de orden mayor a uno, en particular estudiaremos con mayor detalle las ecuaciones diferenciales de segundo orden.

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