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Teoría de los Conjuntos I: Axioma de existencia, de comprensión y de extensión

Introducción

En esta entrada hablaremos de la definición no formal, pero que podremos aceptar, de un conjunto. Comenzaremos a estudiar tres de los primeros axiomas de la teoría de los conjuntos: de existencia, de extensión y el axioma esquema de comprensión. Dichos axiomas nos permitirán construir nuestros primeros conjuntos y, a su vez, ver cuando son iguales.

¿Qué es un conjunto?

En la sección anterior hicimos un recordatorio sobre la definición de conjunto que dio Georg Cantor, sin embargo, aunque parezca increíble no existe una definición formal de este concepto pues le generaría contradicciones a nuestra teoría. Si bien esto es cierto podemos aceptar una «definición» que más bien será una idea intuitiva de lo que es.

Definición: Un conjunto es una colección de objetos que comparten una propiedad, donde una propiedad es un predicado tal que para cualquier objeto es posible decidir si se cumple o no, es decir, no existen ambigüedades.

Ejemplo:

Consideremos la propiedad «$P(x)=x$ es un número entero tal que $0\leq x\leq 9$». De modo que si $A$ es el conjunto que tiene como elementos a $x$ tal que $P(x)$ es verdadero, inferimos que $A=\set{1,2,3,4,5,6,7,8,9}$. Entonces diremos que los elementos de $A$ son $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, y $9$ y lo podemos denotar como $0\in A$, $1\in A$, …, $9\in A$.

A si mismo podremos decidir si un elemento no forma parte de nuestro conjunto, como $x=10$ ya que en este caso $P(x)$ es falso. En cambio, si decimos que «$Q(x)= x$ es una persona gorda» no podremos decir quienes serán los elementos de la colección $B=\set{x : Q(x)}$. Esto último debido a que la propiedad resulta poco clara y depende de que significa ser una persona gorda. Es decir, requiere que se defina a partir de cuantos kilogramos una persona tiene esta característica.

$\square$

Primeros axiomas

Axioma de existencia: Existe un conjunto que no tiene elementos.

Hay diversas formas para describir a un conjunto que no tiene elementos, una de las propiedades que podemos utilizar es la siguiente:

«$P(x): x\not=x$»

Si lo piensas no existe nadie que cumpla esta propiedad pues cualquier objeto que demos siempre será igual a sí mismo. Una forma de imaginarnos a este conjunto es pensar en una bolsa que no tenga nada adentro, como se muestra en la siguiente imagen:

Axioma de extensión: $X=Y$ si para cualquier conjunto $x$, $x\in X$ si y sólo si $x\in Y$.

Este axioma nos permite decir cuando dos conjuntos $X$ e $Y$ son iguales, esto ocurre cuando todos los conjuntos que son elementos de $X$ también lo son de $Y$ y viceversa.

Ejemplo:

Sean $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{2,3,4,1}$, tenemos que $A=B$. En efecto, los elementos de $A$ son $1$, $2$, $3$ y $4$, y son los mismos elementos que tiene el conjunto $B$.

$\square$

Proposición: Existe un único conjunto sin elementos.

Demostración: Sean $A$ y $B$ conjuntos que no tienen elementos, veamos que $A=B$.

$\subseteq$] Sea $x\in A$, entonces $x\in B$ es verdadero por vacuidad. Por lo tanto $A\subseteq B$.

$\subseteq$] Sea $x\in B$, entonces $x\in A$ es verdadero por vacuidad. Por lo tanto $B\subseteq A$.

Por lo tanto, $A=B$.

$\square$

Definición: Al único conjunto que no tiene elementos le llamaremos conjunto vacío y será denotado por $\emptyset$.

Axioma esquema de comprensión: Sea $P(x)$ una propiedad. Para cualquier conjunto $A$ existe un conjunto $B$ tal que $x\in B$ si y sólo si $x\in A$ y satisface $P(x)$.

Antes vimos que un conjunto es una colección de elementos tales que cumplen una propiedad, sin embargo dijimos que no existía una definición formal de conjunto pues de ser así obtendríamos contradicciones en nuestra teoría y es con este último axioma que lograremos quitarlas.

Tarea moral

  1. Da 2 propiedades diferentes tal que para cualquier conjunto que des sean falsas y nos den otra forma de escribir al conjunto vacío.
  2. Di si $\emptyset\in emptyset$ es verdadero o falso. Argumenta tu respuesta.
  3. Prueba que si $P(x)$ es una propiedad, para todo conjunto $A$ existe un único conjunto $B$ tal que $x\in B$ si y sólo si $x\in A$ y $P(x)$. (Esto prueba que el conjunto que nos otorga el axioma de comprensión es único).

Más adelante…

En esta sección hablamos de axiomas básicos y de construcción, los cuales nos permitirán hablar de nuevos conjuntos, así mismo con ellos probaremos teoremas importantes de la teoría de los conjuntos. En la siguiente sección abordaremos una de las famosas paradojas que tiene las matemáticas en esta área, la cual es conocida como la paradoja del barbero o la paradoja de Russell.

Enlaces

En el siguiente enlace podrás encontrar más contenido acerca de los primeros axiomas de la teoría de conjuntos:

Álgebra Superior I: Leyes de De Morgan y diferencia simétrica de conjuntos

Introducción

Hasta ahora ya hemos visto cómo juntar dos conjuntos (unión), cómo encontrar elementos en común entre dos conjuntos (intersección), y hemos considerado cualquier elemento excepto los que están dentro de un conjunto (complemento). Ahora vamos a hablar de otros dos conectores: La diferencia y la diferencia simétrica. Estos dos nos permitirán a hablar de los elementos de un conjunto $A$ sin considerar los elementos de otro conjunto $B$, así como de la unión de ambos conjuntos a excepción de su intersección. Después hablaremos de algunas propiedades conocidas como las leyes de De Morgan.

La Diferencia

Habrá ocasiones en que nos interesará diferencias algunos conjuntos de otros. Por ejemplo, imagina que quieres comprar una chamarra, visitando un sitio web te das cuenta de que hay una promoción en algunas prendas, incluidas las chamarras, entonces decides que compraras una chamarra solo si tiene descuento. Considera los conjuntos que describen artículos de la página web:

$$A = \{x : x \text{ es chamarra} \} $$

$$B = \{x : x \text{ no tiene descuento} \} $$

Si solo pudiéramos distinguir entre esos dos conjuntos, a nosotros nos gustaría encontrar una chamarra $x$ del conjunto $A$ que no esté en el conjunto $B$. Esto puede describirse como:

$$\{ x: x \in A \land x \not \in B \} = \{x: x \in A \land x \in B^c \} $$

Nota ahora que esto se puede escribir como:

$$ A \cap B^c =\{x: x \in A \land x \in B^c \} $$

Esto es justamente a lo que nosotros llamamos diferencia entre conjuntos, que representa la idea de «restar conjuntos», es decir, considerar los elementos de un conjunto exceptuando los elementos que también están en otro conjunto específico.

Definición. Sean $X$ y $Y$ dos conjuntos. Definimos la diferencia de conjuntos $X/Y$ como:

$$X \setminus Y = X \cap Y^c .$$

Y gráficamente se ve de la siguiente manera:

Diferencia simétrica

Ahora imagina que en una universidad se ofrece el curso de Lógica y el curso de Teoría de Conjuntos. La universidad quiere ver cuántos alumnos se interesan únicamente por la materia de Lógica sin la Teoría de Conjuntos y viceversa para ver cuántos grupos abrir.

Puesto que la universidad piensa abrir un curso que abarca Conjuntos y Lógica para los alumnos que quieren tomar los dos cursos a la vez, por ahora no nos interesan los alumnos que estén en la intersección del conjunto de alumnos que quieren tomar el curso de Lógica con el conjunto de alumnos que quieren tomar el curso de Teoría de Conjuntos. Dicho de otra manera, si el conjunto de los alumnos interesados en un curso de Lógica lo representamos por $L$ y al conjunto de los alumnos interesados en un curso de Teoría de Conjuntos lo representamos por $C$, entonces los alumnos que están interesados en un curso de Lógica y no de Conjuntos es $L \setminus C$ y el conjunto de alumnos que están interesados en un curso de Conjuntos y no de Lógica es $C \setminus L$.

Nota ahora que entre los dos conjuntos, hay $(L \setminus C) \cup (C \setminus L)$ alumnos que no tomarán el curso de Conjuntos y Lógica pero si una materia en alguna de esas dos disciplinas. A este conjunto lo llamamos la diferencia simétrica o unión disyuntiva entre conjuntos.

Definición . Sean $X$ y $Y$ dos conjuntos. La diferencia simétrica o unión disyuntiva de los conjuntos $X$ y $Y$ se define como:

$$X \vartriangle Y = (X \setminus Y) \cup (Y \setminus X) $$

Y gráficamente se ve como:

Leyes de De Morgan

Una vez que ya definimos los operadores que vamos a usar en la teoría de conjuntos, vamos a anotar una propiedad importante de los conjuntos que tiene su contraparte en la lógica proposicional. Y nos habla de cómo encontrar el complemento de la unión y la intersección.

Teorema (Leyes de De Morgan). Sean $X$ y $Y$ dos conjuntos dentro del conjunto universal $U$. Entonces:

  1. $(X \cap Y)^c = X^c \cup Y^c$
  2. $(X \cup Y)^c = X^c \cap Y^c$

Demostración. En esta entrada, solo demostraremos la primera parte, la segunda parte tendrá un argumento muy similar a la demostración que presentaremos a continuación.

Para demostrar que $(X \cup Y)^c = X^c \cap Y^c$, necesitaremos considerar un elemento $x$ y probar que $x \in (X \cup Y)^c$ si y solo si $ x\in X^c \cap Y^c$. Para ello, nota lo siguiente:

\begin{align*}
x \in (X \cap Y)^c &\Leftrightarrow x \in \{x \in U : \neg(x \in X \cap Y) \} \\
&\Leftrightarrow x \in \{x \in U: \neg (x \in X \land x \in Y) \} \\
&\Leftrightarrow x \in \{x \in U: \neg( x \in X ) \lor \neg (x \in Y) \} \ \ \ \ \text{ ( Por las leyes de De Morgan de la lógica)} \\
&\Leftrightarrow x \in \{x \in U: x \in X^c \lor x \in Y^c \}\\
&\Leftrightarrow x \in X^c \cup Y^c
\end{align*}

De esta manera, $(X \cap Y)^c = X^c \cup Y^c$. De manera análoga se cumple la otra proposición.

$\square$

Este teorema lo que nos quiere decir es que la forma de encontrar el complemento de la unión es intersectando el complemento de los conjuntos, y el complemento de la intersección es la unión de los complementos.

Corolario. Las siguientes proposiciones se cumplen con $X,Y,Z$ tres conjuntos:

  1. $(X \cup Y \cup Z)^c = X^c \cap Y^c \cap Z^c $
  2. $(X \cap Y \cap Z)^c = X^c \cup Y^c \cup Z^c$

Demostración. De manera similar al teorema anterior, solo demostraremos el primer inciso.

Para esto, notemos que:

\begin{align*}
(X \cup Y \cup Z)^c &= (X \cup Y)^c \cap Z^c \\
&= X^c \cap Y^c \cap Z^c
\end{align*}

De manera análoga se cumple la segunda proposición.

$\square$

Más adelante, tendremos herramienta matemática para demostrar que las leyes no solo se cumplen para la dos o tres variables, sino que para una cantidad arbitraria de términos. En otras palabras, podremos demostrar que:

Proposición. Sea $X = \{X_1,X_2,\dots,X_n\}$ una colección finita de conjuntos. Entonces:

  1. $(X_1 \cup X_2 \cup \dots \cup X_n)^c = X_1^c \cap X_2^c \cap \dots \cap X_n^c $
  2. $(X_1 \cap X_2 \cap \dots \cap X_n)^c = X_1^c \cup X_2^c \cup \dots \cup X_n^c$

Por ahora, nos quedaremos únicamente en el caso de tres variables. A este punto, conviene también decir que a veces encontrarás en la literatura la el término $X_1 \cup X_2 \cup \dots \cup X_n$ escrito como $\bigcup_{i=1}^nX_i$ y esta es únicamente una forma de notación que representa la unión de una colección de conjuntos. De manera similar, $X_1 \cap X_2 \cap \dots \cap X_n = \bigcap_{i=1}^nX_i $. De esta manera, la proposición anterior se resume en:

  1. $\big( \bigcup_{i=1}^n X_i \big)^c = \bigcap_{i=1}^n X_i^c$
  2. $\big( \bigcap_{i=1}^n X_i \big)^c = \bigcup_{i=1}^n X_i^c$

Otras propiedades de los conjuntos

A continuación anotamos otras propiedades que tienen los conjuntos, algunas de las cuales ya hemos revisado. Sean $X,Y$ y $Z$ tres conjuntos en el conjunto universal $U$, la siguiente tabla resume algunas propiedades que se cumplen.

Propiedad
Asociatividad de los conjuntos\begin{align*}
X \cup (Y \cup Z) &= (X \cup Y) \cup Z \\
X \cap (Y \cap Z) &= (X \cap Y) \cap Z
\end{align*}
Distributividad de la unión y la intersección\begin{align*}
X \cap (Y \cup Z) &= (X \cap Y) \cup (X \cap Z) \\
X \cup (Y \cap Z) &= (X \cup Y) \cap (X \cup Z)
\end{align*}
Idempotencia de la unión e intersección\begin{align*}
X \cup X = X = X \cap X
\end{align*}
Conmutatividad de unión e intersección\begin{align*}
X \cup Y = Y \cup X \\
X \cap Y = Y \cap X
\end{align*}
Leyes de identidad de unión\begin{align*}
X \cup \emptyset &= X \\
X \cup U &= U
\end{align*}
Leyes de identidad de intersección\begin{align*}
X \cap \emptyset &= \emptyset \\
X \cap U &= X
\end{align*}
Unión de complementos\begin{align*}
X \cup X^c = U
\end{align*}
Intersección de complementos\begin{align*}
X \cap X^c = \emptyset
\end{align*}
\begin{align*}
(X^c)^c = X
\end{align*}
Leyes de De Morgan\begin{align*}
(X \cap Y)^c &= X^c \cup Y^c\\
(X \cup Y)^c &= X^c \cap Y^c
\end{align*}

Y para resumir los operadores entre conjuntos, se encuentra la siguiente imagen:

Notas

*: En la literatura, también puedes encontrar la diferencia entre dos conjuntos $X$ y $Y$ escrita como $X – Y$ en lugar de $X \setminus Y$.

Tarea moral

  1. Sean $P, Q, R, S$ cuatro proposiciones y $A = \{x: (P(x) \land Q(x)) \lor R(x) \}$, $B = \{x: (R(x) \land \neg P(x)) \lor S(x) \}$, $C = \{ x: S(x)\}$. Encuentra:
    • $A \cup B$
    • $B^c$
    • $A \setminus B$
    • $A \cap (B \cap C)$
    • $A \vartriangle C$
  2. Demuestra que $(X \cup Y)^c = X^c \cap Y^c$
  3. Demuestra que $(X^c)^c = X$
  4. Describe al conjunto $(X \vartriangle Y)^c \setminus (X \setminus Y)^c$ en términos de complementos, la unión y la intersección.

Más adelante…

Con esta entrada acabamos la primer unidad. Hasta ahora hemos sentado las bases matemáticas de la teoría de conjuntos, en la siguiente unidad vamos a seguir hablando de conjuntos, pero introduciremos un nuevo concepto: las relaciones entre conjuntos. Estas nos permitirán empezar a hablar de funciones, un recurso muy utilizado en todas las áreas de las matemáticas.

Entradas relacionadas

Cálculo Diferencial e Integral I: Conjuntos infinitos (Adicional)

Introducción

En esta última entrada de la unidad veremos un poco sobre la cardinalidad de un conjunto, un par de definiciones para decir cuando un conjunto es infinito o finito y algunos teoremas útiles. Dado que se trata de un tema adicional varios de los teoremas y resultados sólo serán enunciados.

Cardinalidad de un conjunto

Definición (Cardinalidad): Sea $A$ un conjunto. Definimos a la cardinalidad de $A$ cómo el número de elementos de $A$ y la denotaremos como:
$$|A|$$

Ejemplo: Sea $A= \left\{ 1,2,3,g,y,b \right\}$ así tenemos que su cardinalidad sería:
$$|A|=6$$

Definición: Decimos que $|A| \leq |B|$ si existe una función $f: A \rightarrow B$ inyectiva.

Misma cardinalidad

Definición: Sean $A,B$ conjuntos. Decimos que $A$ y $B$ tienen la misma cardinalidad $$|A|=|B|$$ si existe una función $f: A \leftrightarrow B$ biyectiva.

Ejemplo: Si consideramos los intervalos $[0,1]$ y $(0,1)$. Vemos que:
$$|[0,1]| = |(0,1)|$$
Primero tomamos los valores $0$ y $1$ en el intervalo $[0,1]$ y los enviamos a los valores $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{2}$ respectivamente en el intervalo $(0,1)$.

Ahora consideramos los valores de la forma $\frac{1}{n}$ con $n \in \mathbb{N}$ y $n \geq 2$. A estos valores los enviaremos a los de la forma $\frac{1}{x+2}$. De este modo lo que haremos será enviarlos al $(0,1)$ cómo en el ejemplo de la siguiente imagen:

Y por último, a los valores restantes los enviamos a ellos mismos en el intervalo $(0,1)$

Así la función biyectiva sería $f: [0,1] \leftrightarrow (0,1)$:
\begin{equation*}
f(x)=
\begin{cases}
x &\text{si $x \neq 0,1,\frac{1}{n}$ con $n\geq 2$}\\
\frac{1}{2} & \text{si $x= 1$}\\
\frac{1}{3} &\text{si $x=0$}\\
\frac{1}{x+2} &\text{si $x = \frac{1}{n}$ con $n\geq 2$}\\
\end{cases}
\end{equation*}

Conjuntos finitos e infinitos

Definición (1): Sea $A$ un conjunto.

  • $A$ es finito si existe una función biyectiva $f: A \leftrightarrow \left\{1,2, \cdots , N \right\}$ para algún $N \in \mathbb{N}$.
  • $A$ es infinito si no es finito

Definición (2): Sea $A$ un conjunto.

  • $A$ es infinito si existe $A’ \subset A$ subconjunto propio de A y una función biyectiva $f: A’ \leftrightarrow A$.
  • $A$ es finito si no es infinito.

Teorema: Sean $A,B$ conjuntos no vacíos. Si $A \subseteq B$ entonces
$$|A| \leq |B|$$
Demostración: Proponemos a la función $f: A \rightarrow B$ como $f(x)=x$. Observamos que $f$ es inyectiva y cumple que para todo $x \in A$ se sigue que $x \in B$. Por definición se sigue que $|A| \leq |B|$

$\square$

Observación: Si $A,B$ son conjuntos infinitos puede ocurrir que $A \subset B$ y que $|A|=|B|$

Teorema: Sean $A,B$ conjuntos finitos.

  • Si $A \cap B = \emptyset$ entonces:
    $|A \cup B|= |A|+|B|$
  • Si $A \cap B \neq \emptyset$ entonces:
    $|A \cup B|= |A|+|B|-|A \cap B|$

Definición (3): Un conjunto $A$ es infinito si existe $B \subseteq A$ tal que
$$|B|=|\mathbb{N}|$$

Conjuntos numerables

Definición: Sea $A$ un conjunto no vacío. Decimos que $A$ es numerable si $|A|=|\mathbb{N}|$ es decir si existe una función biyectiva:
$$f: A \rightarrow \mathbb{N}$$

Observación: Todo conjunto finito es numerable.

Teorema: Sean $A,B$ conjuntos. Si $A$ es finito y $B$ es infinito numerable entonces $A \cup B$ es numerable.
Demostración: Cómo $A$ es finito consideremos que tiene $m$ elementos.
$$A = \left\{ a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{m} \right\}$$
Y cómo $B$ es infinito y numerable entonces es de la forma:
$$B = \left\{ b_{1}, b_{2}, \cdots , b_{n}, \cdots \right\}$$
Así al considerar la unión $A \cup B$ tendríamos:
$$A \cup B = \left\{ a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{m}, b_{1}, b_{2}, \cdots , b_{n}, \cdots \right\}$$
Tenemos los siguientes dos casos:

  • Si $A\cap B = \emptyset$ y consideramos la siguiente indización:
    $$A \cup B = \left\{ a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{m}, b_{m+1}, b_{m+2}, \cdots , b_{m+n}, b_{m+n+1}, \cdots \right\}$$
    Vemos $|A \cup B|=|\mathbb{N}|$
  • Si $A\cap B \neq \emptyset$. Supongamos que tenemos $k$ elementos en la intersección, es decir:
    $$a_{1}= b_{1}, a_{2}= b_{2}, \cdots , a_{k}= b_{k}$$
    $$A = \left\{ a_{1}, a_{2}, \cdots ,a_{k}, a_{k+1}, \cdots, a_{m} \right\}$$
    Así consideramos la siguiente indización para la unión:
    $$A \cup B = \left\{ a_{k+1}, a_{k+2}, \cdots , a_{m}, b_{1}, b_{2}, \cdots , b_{n}, \cdots \right\}$$
    Observamos que $|A \cup B|=|\mathbb{N}|$

$\square$

Teorema: Sean $A,B$ conjuntos. Si $A$ y $B$ son infinitos y numerables entonces $A\cup B$ es infinito y numerable.

Teorema: Si $A$ y $B$ son conjuntos infinitos y numerables entonces $A \cup B$ es infinito y numerable.
Demostración: Primero vemos que $A \cup B$ es infinito ya que al ocurrir que:

  • $A \subseteq A \cup B$ con $A$ infinito y numerable
  • $B \subseteq A \cup B$ con $B$ infinito y numerable

por definición (3) concluimos que $A \cup B$ es infinito.

Nos falta ver que $A \cup B$ es numerable, Ya que $A$ es numerable podemos escribirlo de la siguiente manera:
$$A = \left\{ a_{1}, a_{2}, \cdots \right\}$$
análogamente para $B$:
$$B = \left\{ b_{1}, b_{2}, \cdots \right\}$$
por lo que la unión se vería como:
$$A \cup B= \left\{ a_{1}, b_{1},a_{2}, b_{2},a_{3},b_{3} \cdots, a_{n}, b_{n}, \cdots \right\}$$
Observemos que si consideramos la siguiente indización:
$$A \cup B= \left\{ a_{1}, b_{2},a_{3}, b_{4},a_{5},b_{6} \cdots, a_{2n-1}, b_{2n}, \cdots \right\}$$

el conjunto tiene una relación biunívoca con el conjunto de los naturales.
Veamos que sucede en los siguientes casos:

  • Si $A \cap B = \emptyset \Rightarrow |A \cup B|=|\mathbb{N}|$
  • Si $A \cap B \neq \emptyset$. Consideremos que existen k elementos en la intersección, por lo que serían de la forma:
    $$a_{1}= b_{1}, a_{2}= b_{2}, \cdots , a_{k}= b_{k}$$
    Por lo que ahora la unión se vería como:
    $$A \cup B= \left\{ a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots,a_{k}, a_{k+1}, b_{k+1},a_{k+2}, b_{k+2} \cdots, a_{k+n}, b_{k+n}, \cdots \right\}$$
    y si consideramos la siguiente nueva indización:
    $$A \cup B= \left\{ a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots,a_{k}, a_{k+1}, b_{k+2},a_{k+3}, b_{k+4} \cdots, a_{k+(2n-1)}, b_{k+2n}, \cdots \right\}$$
    Tenemos que tiene una relación relación biunívoca con $\mathbb{N}$ por lo que también se cumple que $|A \cup B|=|\mathbb{N}|$.

$\square$

A continuación enunciaremos un teorema que generaliza el resultado sobre conjuntos numerables ya visto.

Teorema: Sean $A ,B$ y $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{N}, \cdots $ conjuntos no vacíos.

  • Si $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{N}$ son numerables $\Rightarrow \begin{multline*} \bigcup_{i=1}^{N} A_{i} \end{multline*}$ es numerable.
  • Si $A_{1}, A_{2}, \cdots$ son numerables $\Rightarrow \begin{multline*} \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \end{multline*}$ es numerable.

Más adelante

Ahora que hemos concluido con la unidad relacionada a los Números reales, en la próxima iniciaremos el tema de funciones definiendo que es el dominio, rango y regla de correspondencia de una función.

Entradas relacionadas

Cálculo Diferencial e Integral I: Supremo e ínfimo

Introducción

Ya hemos visto los conceptos de máximo, mínimo, cota superior e inferior de un conjunto en $\r$. En esta entrada definiremos formalmente el concepto de supremo e ínfimo de un conjunto, veremos que los revisados previamente se encuentran relacionados. Adicionalmente, demostraremos algunas proposiciones útiles y algunos ejemplos en los cuáles aplicaremos las definiciones respectivas.

Supremo e ínfimo primera definición

Definición: Sea $A \subseteq \r$ con $A\neq \emptyset$. Decimos que $\alpha \in \r$ es:

  • El supremo de $A \Leftrightarrow$
    • $\alpha$ es cota superior de $A$
    • $\alpha$ es la mínima cota superior. Si $\beta$ es cota superior de $A \Rightarrow \alpha \leq \beta$.
  • El ínfimo de $A \Leftrightarrow$
    • $\alpha$ es cota inferior de $A$
    • $\alpha$ es la máxima cota inferior. Si $\beta$ es cota inferior de $A \Rightarrow \beta \leq \alpha$.

Retomemos el último ejemplo visto en la entrada pasada:

$$A= \left\{\frac{1}{n}: n\in \mathbb{N} \right\}$$

  • El conjunto de cotas superiores de $A$ esta dado por:
    $$[1, \infty)$$
    tiene elemento mínimo y es 1. Esto nos indica que existe una mínima cota superior.
  • El conjunto de cotas inferiores de $A$ esta dado por:
    $$(- \infty, 0]$$
    tiene elemento máximo y es 0. Esto nos indica que existe una máxima cota inferior.

Dadas las observaciones anteriores ahora podemos decir que:

  • El supremo de $A$ es $1$: $$sup(A)=1$$
  • El ínfimo de $A$ es $0$: $$inf(A)=0$$

Observación: El supremo o el ínfimo de un conjunto puede o no pertenecer al conjunto.

Más adelante veremos ejemplos donde realizaremos las demostraciones necesarias para nuestras afirmaciones, por ahora con lo expuesto será suficiente.

Unicidad del supremo y el ínfimo

Teorema: Sea $A \subseteq \r$ con $A\neq \emptyset$. El supremo y el ínfimo de $A$ son únicos.

Demostración (Unicidad del supremo): Supongamos que existen $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ tales que:
$\alpha_{1} = sup(A)$ y $\alpha_{2}=sup(A)$.

Para $\alpha_{1}$ tenemos que para toda $a \in A, a\leq \alpha_{1}$. Y cómo $\alpha_{1}$ es mínima cota superior entonces $\forall M$ cota superior de $A, \alpha_{1}\leq M$ Así en particular ocurre que: $\alpha_{1}\leq \alpha_{2}$ es cota superior.

Análogamente para $\alpha_{2}$ tenemos que: $\alpha_{2} \leq M$
$\Rightarrow \alpha_{2}\leq \alpha_{1}$ es cota superior.

Debido a que $\alpha_{1}\leq \alpha_{2}$ y $\alpha_{2}\leq \alpha_{1}$ concluimos:
$$\alpha_{1}=\alpha_{2}$$
$\therefore$ El supremo de $A$ es único.

$\square$

Relaciones entre supremos e ínfimos

Proposición: Sean $A,B \subseteq \r$ distintos del vacío. Para toda $a\in A$ y para toda $b \in B$ si se cumple $a \leq b \Rightarrow sup(A)\leq inf(B)$

Demostración:
Primero observamos que $A$ tiene supremo, ya que cómo $A \neq \emptyset$ y $B \neq \emptyset$:
$\Rightarrow \exists b_{0} \in B, \forall a\in A $ se cumple que $a \leq b_{0}$
$\Rightarrow b_{0}$ es cota superior de $A$
$\Rightarrow A \neq \emptyset$ y acotado superiormente
$\therefore \exists \alpha =sup(A) \in \r$

Ahora vemos que $B$ tiene ínfimo, esto se sigue de $B \neq \emptyset$ y $A \neq \emptyset$:
$\Rightarrow \exists a_{0} \in A, \forall b\in B$ ocurre que $a_{0} \leq b$
$\Rightarrow a_{0}$ es cota inferior de $B$
$\Rightarrow B \neq \emptyset$ y acotado inferiormente
$\therefore \exists \beta =inf(B) \in \r$

Definamos el siguiente par de conjuntos:
$$U_{A}:=\left\{ a\in \r: a \quad cota\quad superior\quad de \quad A\right\}$$
$$D_{B}:=\left\{ b\in \r: b \quad cota\quad inferior\quad de \quad B\right\}$$
Observemos que:

  1. $U_{A}$ tiene elemento mínimo.
  2. $D_{B}$ tiene elemento máximo.

Por lo que sólo nos falta verificar que $\alpha \leq \beta$:
Si tomamos $u$ cota superior de $A \Rightarrow \alpha \leq u$.
Y si tomamos $v$ cota inferior de $B \Rightarrow v \leq \beta$

Cómo por hipótesis tenemos que $\forall a \in A, \forall b\in B (a\leq b)$ obtenemos:
$\Rightarrow \forall a \in A$ ($a$ es cota inferior de $B$)
$\Rightarrow \forall a \in A$ ($a\leq \beta$)
$\Rightarrow \beta$ cota superior de $A$
$\Rightarrow \alpha \leq \beta$

$\square$

Proposición: Sean $C \subseteq A \subseteq \r$ donde $C$ es no vacío y $A$ acotado.
$\Rightarrow inf(A) \leq inf(C) \leq sup(C) \leq sup(A)$
Demostración:

Sea $C \neq \emptyset$ subconjunto de $A$, como $ C \subseteq A \Rightarrow A \neq \emptyset$.
Ya que $A$ es acotado para toda $a \in A$ ocurre que: $m \leq a \leq M$. Así si tomamos $c \in C$ tenemos:
$c \in A \Rightarrow m \leq c \leq M \Rightarrow C$ es acotado
Por lo que afirmamos que existen:
$$sup(A) \quad sup(C) \quad inf(A) \quad inf(C)$$
Observemos que $sup(A) $ al ser cota superior de $A$ y $C \subseteq A \Rightarrow \sup(A)$ es cota superior de $C$ , por lo que podemos concluir:
$$sup(C) \leq sup(A)$$
Análogamente para los ínfimos se sigue que:
$$inf(A) \leq inf(C)$$
Y cómo $inf(C) < sup(C)$ obtenemos:
$$inf(A) \leq inf(C) \leq sup(C) \leq sup(A)$$

$\square$

Proposición: Sean $A’ \subseteq A \subseteq \r$ y $B’ \subseteq B \subseteq \r$ donde $A’, B’$ son distintos del vacío. Si se cumple que:

  • $\forall a\in A, \forall b \in B \quad (\alpha \leq \beta)$
  • $sup(A’)=inf(B’)$

$\Rightarrow sup(A)=inf(B)$
Demostración:

Primero observemos que $A$ y $B$ son no vacíos ya que:

  • $A’ \neq \emptyset$ y $A’ \subseteq A$
  • $B’ \neq \emptyset$ y $B’ \subseteq B$

Por lo que afirmamos la existen en $\r$:
$$sup(A) \quad inf(B)$$
Por hipótesis aplicando la proposición anterior y el Lema auxiliar tenemos:
$$sup(A’) \leq sup(A) \leq inf(B) \leq inf(B’)$$
$$\therefore sup (A) \leq inf(B)$$
Además vemos que:
$$inf(B) \leq inf(B’) = sup(A’) \leq sup(A)$$
$$\therefore inf(B) \leq sup (A) $$
Por lo que obtenemos la igualdad:
$$inf(B)= sup (A)$$

$\square$

Lema Auxiliar: Si $\forall a \in A$ y $\forall b \in B$ ocurre que $a \leq b$ entonces
$$sup(A) \leq inf(B)$$

La prueba de este resultado se dejará como Tarea moral, ahora continuaremos con una definición de supremo e ínfimo equivalente a la primera.

Supremo e ínfimo segunda definición

Definición: Sea $A \subseteq \r$ con $A\neq \emptyset$. Decimos que $\alpha \in \r$ es:

  • El supremo de $A \Leftrightarrow$
    • $\alpha$ es cota superior de $A$
    • $\forall \varepsilon > 0, \exists x_{\varepsilon} \in A$ tal que $\alpha – \varepsilon < x_{\varepsilon}$.
  • El ínfimo de $A \Leftrightarrow$
    • $\alpha$ es cota inferior de $A$
    • $\forall \varepsilon > 0, \exists x_{\varepsilon} \in A$ tal que $x_{\varepsilon} < \alpha + \varepsilon$.

Ejemplos

Veamos para
$$B=\left\{2-\frac{1}{n}: n\in \mathbb{N} \right\}$$
consideramos como candidatos $inf(B)=1$ y $sup(B)=2$.

Comenzaremos probando $inf(B)=1$ haciendo uso de la segunda definición:

  • Tenemos que probar que $1$ es cota inferior de $B$, es decir, $1 \leq x$ para toda $x \in B$.
    Sea $x \in B \Rightarrow x=2-\frac{1}{n}$ para algún $n \in \mathbb{N}$.
    \begin{align*}
    1 \leq 2- \frac{1}{n} &\Leftrightarrow 1-2 \leq – \frac{1}{n}\\
    &\Leftrightarrow -1 \leq – \frac{1}{n}\\
    &\Leftrightarrow 1 \geq \frac{1}{n}\\
    &\Leftrightarrow n \geq 1
    \end{align*}
    $\therefore 1$ es cota inferior
  • Ahora probamos que $\forall \varepsilon > 0, \exists x_{\varepsilon} \in B$ tal que $x_{\varepsilon}< 1+ \varepsilon$.
    Sea $\varepsilon >0$. Tomemos $x_{\varepsilon}=1 \in B$ entonces $1<1+\varepsilon$
    $\therefore 1$ es ínfimo de $B$.

Ahora procedamos a demostrar que $sup(B)=2$:

  • $2$ es cota superior de $B$, es decir, $2 \geq x$ para toda $x \in B$.
    Tomemos $x \in B \Rightarrow x=2-\frac{1}{n}$ para algún $n \in \mathbb{N}$.
    \begin{align*}
    2 \geq 2-\frac{1}{n} &\Leftrightarrow 2-2 \geq -\frac{1}{n}\\
    &\Leftrightarrow 0 \geq -\frac{1}{n}\\
    &\Leftrightarrow 0 \leq \frac{1}{n}\\
    \end{align*}
    $\therefore 2$ es cota superior
  • Demostremos que $\forall \varepsilon > 0, \exists x_{\varepsilon} \in B$ tal que
    $2- \varepsilon < x_{\varepsilon}$.
    Sea Sea $\varepsilon >0$. Tomemos $x_{\varepsilon}= 2-\frac{1}{n}$ para algún $n \in \mathbb{N}$.
    \begin{align*}
    2- \varepsilon < 2-\frac{1}{n}&\Leftrightarrow – \varepsilon < -\frac{1}{n}\\
    &\Leftrightarrow \varepsilon > \frac{1}{n}\\
    &\Leftrightarrow (\varepsilon )n> 1\\
    &\Leftrightarrow n> \frac{1}{\varepsilon}\\
    \end{align*}
    $\therefore 2$ es supremo de $B$

$\square$

Hallar el supremo y el ínfimo del siguiente conjunto:
$$C= \left\{x: x^{2}+x+1 \geq 0 \right\}$$

Solución:
Notemos que:
\begin{align*}
x^{2}+x+1 \geq 0 &\Leftrightarrow x^{2}+x+\frac{1}{4}+1-\frac{1}{4} \geq 0\\
&\Leftrightarrow (x + \frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4} \geq 0\\
\end{align*}
Vemos que la última desigualdad la cumple cualquier número real tenemos que $C= \r$.
$\therefore$ no existe ni $sup(C)$ ni $inf(C)$

$\square$

Tarea moral

  • Prueba que la primera y segunda definición de supremo e ínfimo son equivalentes.
  • Demuestra que el ínfimo de un conjunto es único.
    HINT: La prueba es análoga a la dada para el supremo.
  • Prueba el Lema Auxiliar.
  • Para $A= \left\{\frac{1}{n}: n\in \mathbb{N} \right\}$ prueba usando la definición que prefieras que $sup(A)=1$ e $inf(A)=0$.
  • Encontrar el supremo y el ínfimo del conjunto
    $$D= \left\{x: x^{2}+x-1 < 0 \right\}$$

Más adelante

Ahora que ya hemos visto el concepto de supremo, en la siguiente entrada veremos una propiedad más que cumple el conjunto de números reales: el Axioma del Supremo. Veremos su enunciado y varias de sus aplicaciones, algunas de ellas se demostrarán en las próximas unidades.

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Cálculo Diferencial e Integral I: Cota superior e inferior de un conjunto

Introducción

Ahora comenzaremos a ver un tema un tanto diferente a los vistos en la entrada anterior. Primero veremos los conceptos de máximo y mínimo de un conjunto, después las definiciones formales para cota superior e inferior, y terminaremos revisando algunos ejemplos donde las aplicaremos.

Máximo y mínimo de un conjunto

Definición: Sean $A,B \subseteq \r$ no vacíos. Decimos que:

  • $A$ tiene elemento máximo $\Leftrightarrow \exists a_{0} \in A$ tal que $\forall a \in A$ se cumple que: $a \leq a_{0}$
  • $B$ tiene elemento minímo $\Leftrightarrow \exists b_{0} \in B$ tal que $\forall b \in B$ se cumple que: $b_{0} \leq b$

Para darnos una idea más clara de estas definiciones veamos los siguientes ejemplos:

$$C=(0,1]$$

  1. No tiene mínimo.
  2. Tiene máximo y es 1.

Para probar estas afirmaciones haremos uso de las definiciones anteriores:
Demostración 1 (por contradicción): Supondremos que existe un elemento $c_{0} \in C$ tal que $\forall c \in A$ cumple que $c_{0} \leq c$. Por lo que se sigue que: $0<c_{0}<1$.
Observemos que $\frac{c_{0}}{2} \in C$ ya que $0<\frac{c_{0}}{2}<c_{0}$
$$\Rightarrow c_{0}\leq \frac{c_{0}}{2}<c_{0} \contradiccion$$
Lo cuál es una contradicción.

Demostración 2: Veamos que al reescribir al conjunto C tenemos:
$$C=\left\{ c\in \r|0<c \leq 1 \right \}$$
Por lo que $1\in C$ y se cumple que $\forall c\in C, c\leq 1$.

$\square$

Observación:

  • El elemento máximo de un conjunto es único.
  • El elemento mínimo de un conjunto es único.

Cota superior e inferior de un conjunto

Definición: Sea $A \subseteq \r$. Decimos que un número $M \in \r$ es:

  • Cota superior $\Leftrightarrow \forall a \in A$ se cumple que: $a\leq M$.
  • Cota inferior $\Leftrightarrow \forall a \in A$ se cumple que: $a\geq M$.

Observación: Si hay una cota superior $M \Rightarrow \forall a \in A$ ocurre que: $$ a \leq M < M+1<M+2<M+3 \ldots$$ Es decir, hay una infinidad de cotas superiores de $A$.

Ejemplo

Consideremos al conjunto:
$$E=(0,2]$$
Vemos que para todo $x\in E$ ocurre que $-2<0<x$
$$\therefore -2 \leq x$$
Por lo que podemos concluir que $-2$ es cota inferior de $E$.

Y además tenemos que $\forall x \in E$ se cumple $ x \leq 2$
$\therefore 2$ es cota superior de $E$.

Conjuntos acotados

Definición: Consideremos $A, B \subseteq \r$. Decimos que:

  • $A$ es acotado superiormente $\Leftrightarrow \exists M\in \r$ tal que $\forall a \in A$, $a \leq M$.
  • $B$ es acotado inferiormente $\Leftrightarrow \exists m\in \r$ tal que $\forall b \in B$, $m \leq b$.
  • $A$ es acotado $\Leftrightarrow \exists m,M \in \r$ tal que $\forall a \in A$: $m \leq a \leq M$.
  • $A$ es acotado $\Leftrightarrow \exists M \in \r$ tal que $\forall a \in A$: $|a| \leq M$.

Lema: Para cualesquiera $A,B \subseteq \r$. Si $A\subseteq B$ y $B$ es acotado entonces $A$ es acotado.

Demostración: Como tenemos que $B$ es acotado existe $M>0$ tal que para todo $b\in B$:
$$|b|\leq M$$
CASO 1 $A\neq\emptyset$: Como $A \subseteq B$ entonces para todo $a \in A$ existe $b \in B$ tal que $a=b$.
$\therefore a \in A, a=b \Rightarrow |a|=|b|\leq M$$
CASO 2 $A= \emptyset$: Sabemos que $A =\emptyset\subseteq B$ por lo que se sigue $A$ es acotado por vacuidad.

$\square$

Ejemplo

Si tenemos: $$A= \left\{\frac{1}{n}: n\in \mathbb{N} \right\}$$

Observamos que:

  • $A$ es acotado superiormente ya que para todo $n\in \mathbb{N}$:
    $$1<n \Leftrightarrow \frac{1}{n} \leq 1$$
    $\therefore 1$ es cota superior de $A$.
  • $A$ tiene elemento máximo. Tenemos que $\forall n\in \mathbb{N}: \frac{1}{n} \leq 1$
    Así para $n=1$ ocurre que $\frac{1}{1} \leq 1$.
    $\therefore 1$ es máximo de $A$.
  • El conjunto de cotas superiores de $A$ esta dado por:
    $$[1, \infty)$$
    tiene elemento mínimo y es 1. Esto nos indica que existe una mínima cota superior.
  • $A$ es acotado inferiormente. Vemos que para todo $n\in \mathbb{N}, \frac{1}{n} > 0$ por lo que $0 \notin A$. Concluimos así que $\forall a\in A, 0 \leq \frac{1}{n}$.
    $\therefore 0$ es cota inferior de $A$
  • El conjunto de cotas inferiores de $A$ esta dado por:
    $$(- \infty, 0]$$
    tiene elemento máximo y es 0. Esto nos indica que existe una máxima cota inferior.
  • $A$ no tiene elemento mínimo. Si suponemos que existe un elemento $a_{0} \in A$ tal que $\forall n\in \mathbb{N}, a_{0} \leq \frac{1}{n}$. Tenemos que $a_{0}$ sería de la forma
    $a_{0} = \frac{1}{n_{0}} > 0$
    $\Rightarrow 0< \frac{1}{2n_{0}}<\frac{1}{n_{0}}$ con $\frac{1}{2n_{0}} \in A$.
    De lo anterior vemos que $a_{0}$ no es mínimo $\Rightarrow \frac{1}{n_{0}}\leq\frac{1}{2n_{0}} \contradiccion$

$\square$

Tarea moral

  • Demuestra que:
    • El elemento máximo de un conjunto es único.
    • El elemento mínimo de un conjunto es único.
  • Prueba que son equivalentes las definiciones para $A$ acotado:
    $\exists m,M \in \r$ tal que $\forall a \in A$: $m \leq a \leq M \Leftrightarrow \exists M \in \r$ tal que $\forall a \in A$: $|a| \leq M$.
  • Para el conjunto $D=(-\infty, 1)$ demuestra que se cumplen las siguientes afirmaciones:
    • D no tiene elemento mínimo
    • D no tiene elemento máximo
    • D es acotado superiormente
    • D no tiene cotas inferiores

Más adelante

Ahora que ya hemos revisado los conceptos de máximo, mínimo y cotas superiores e inferiores de un conjunto en $\r$ tenemos los antecedentes necesarios para comenzar a hablar de supremos e ínfimos.

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