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Teoría de los Conjuntos I: Axiomas de existencia, de comprensión y de extensión

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

«Se entiende por un conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente».

Georg Cantor

Para iniciar tu aventura por la teoría de los conjuntos es importante plantear un sistema axiomático pues en este curso entenderemos por conjunto todo aquello que los axiomas nos permitan obtener como conjunto. Una particularidad de nuestros axiomas es que los elementos de conjuntos siempre serán otros conjuntos y es que de hecho en este curso todo es conjunto.

Axioma de existencia

Para siquiera hablar de conjuntos, es importante garantizar que hay por lo menos un conjunto. El axioma de existencia nos garantiza eso.

Axioma de existencia. Existe un conjunto que no tiene elementos.

Hay diversas formas para describir a un conjunto que no tiene elementos. Una de las propiedades que podemos utilizar es la siguiente:

«$P(x): x\ \text{es un conjunto distinto de sí mismo}$».

Si lo piensas, no existe nadie que cumpla esta propiedad pues cualquier conjunto que demos siempre será igual a sí mismo. Una forma de imaginarnos a este conjunto es pensar en una bolsa que no tenga nada adentro, como se muestra en la siguiente imagen.

Ten cuidado, pues esta manera de pensar a un conjunto sin elementos es informal. Sin embargo, en los ejercicios al final, verás cómo formalizarla.

La siguiente noción importante que nos dan los axiomas es la de igualdad de conjuntos.

Axioma de extensión. $X=Y$ si para cualquier conjunto $x$, $x\in X$ si y sólo si $x\in Y$.

Este axioma nos permite decir cuándo dos conjuntos $X$ e $Y$ son iguales. Esto ocurre cuando todos los conjuntos que son elementos de $X$ también lo son de $Y$ y viceversa.

Definición. Sean $X$ y $Y$ conjuntos. Diremos que $X$ está contenido en $Y$, en símbolos $X\subseteq Y$, si para todo $x\in X$ se tiene $x\in Y$.

Para demostrar la igualdad entre conjuntos, tenemos que probar que $X\subseteq Y$ y $Y\subseteq X$ de acuerdo al axioma de extensión.

Con este axioma y la definición de contención, podemos probar que el conjunto que nos otorga el axioma de existencia es único. Podríamos pensar, a partir de nuestra imagen anterior, que si tenemos dos bolsas de un color distinto que no tengan nada adentro, resultarían en dos conjuntos distintos. Sin embargo, dado que solo nos interesa quienés son los elementos de estas bolsas, si ambas no tienen nada adentro resultará que son iguales.

Antes de realizar la demostración de que el conjunto que nos da el axioma de existencia es único, acordaremos que, para demostrar la igualdad entre conjuntos $x$ y $y$, es necesario demostrar que $x\subseteq y$ y $y\subseteq x$, por lo que para referirnos a que se esta demostrando la primera contención pondremos «$\subseteq$]» al inicio de la prueba y para probar la segunda contención pondremos «$\supseteq$]» al inicio de la prueba.

Previo a realizar la demostración haremos una pausa para hablar acerca del argumento por vacuidad. En la entrada anterior hicimos mención de que las propiedades en el lenguaje de la teoría de los conjuntos nos permitirian describir propiedades que pueden o no satisfacer conjuntos dados.

De esta manera, si consideramos a $z$ como un conjunto sin elementos, la propiedad $\forall x(x\in z\rightarrow \varphi(x))$ es verdadera siempre, pues no hay conjunto $x$ que cumpla la propiedad ya que $z$ no tiene elementos.

Proposición. Existe un único conjunto sin elementos.

Demostración. Sean $A$ y $B$ conjuntos que no tienen elementos, veamos que $A=B$.

$\subseteq$] Por vacuidad, si $x\in A$, entonces $x\in B$, pues no hay nadie en $A$.

$\supseteq$] Por vacuidad, si $x\in B$, entonces $x\in A$, pues no hay nadie en $B$.

Por lo tanto, $A=B$.

$\square$

Definición. Al único conjunto que no tiene elementos le llamaremos conjunto vacío y será denotado por $\emptyset$.

Presentamos el último ingrediente axiomático de esta entrada. En vez de llamarse «axioma» se llama «esquema» pues condensa muchos axiomas, uno por cada propiedad $P$ y cada conjunto $A$.

Esquema de comprensión. Sea $P(x)$ una propiedad. Para cualquier conjunto $A$ existe un conjunto $B$ tal que $x\in B$ si y sólo si $x\in A$ y satisface $P(x)$.

Este esquema nos permite construir conjuntos con elementos de otro conjunto que satisfacen una propiedad. Esto último evitará tener contradicciones como la paradoja del barbero que veremos en la siguiente entrada.

Tarea moral

  1. Da 2 propiedades diferentes tal que para cualquier conjunto que des, no exista un conjunto que las cumpla y nos den otra forma de escribir al conjunto vacío.
  2. ¿Es verdadero o falso $\emptyset\in \emptyset$? Argumenta tu respuesta.
  3. Prueba que si $P(x)$ es una propiedad, para todo conjunto $A$ existe un único conjunto $B$ tal que $x\in B$ si y sólo si $x\in A$ y $P(x)$. (Esto prueba que el conjunto que nos otorga el esquema de comprensión es único).
  4. Imagina que cambiamos el axioma de existencia por «Existe por lo menos un conjunto $X$.» Mediante este nuevo axioma y el esquema de comprensión, demuestra la existencia del conjunto vacío. Como sugerencia usa la discusión intuitiva que dimos del vacío.

Más adelante…

En esta entrada hablamos de axiomas básicos y de construcción, los cuales nos permitirán hablar de nuevos conjuntos, así mismo, con ellos probaremos teoremas importantes de la teoría de los conjuntos. En la siguiente sección, abordaremos una de las famosas paradojas que tiene las matemáticas en esta área, la cual es conocida como la paradoja del barbero o la paradoja de Russell.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Superior I: Leyes de De Morgan y diferencia simétrica de conjuntos

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

Hasta ahora ya hemos visto cómo juntar dos conjuntos (unión), cómo encontrar elementos en común entre dos conjuntos (intersección), y hemos considerado cualquier elemento excepto los que están dentro de un conjunto (complemento). Ahora vamos a hablar de otros dos conectores: La diferencia y la diferencia simétrica. Estos dos nos permitirán a hablar de los elementos de un conjunto $A$ sin considerar los elementos de otro conjunto $B$, así como de la unión de ambos conjuntos a excepción de su intersección. Después hablaremos de algunas propiedades conocidas como las leyes de De Morgan.

La Diferencia

Habrá ocasiones en que nos interesará diferencias algunos conjuntos de otros. Por ejemplo, imagina que quieres comprar una chamarra, visitando un sitio web te das cuenta de que hay una promoción en algunas prendas, incluidas las chamarras, entonces decides que compraras una chamarra solo si tiene descuento. Considera los conjuntos que describen artículos de la página web:

$$A = \{x : x \text{ es chamarra} \} $$

$$B = \{x : x \text{ no tiene descuento} \} $$

Si solo pudiéramos distinguir entre esos dos conjuntos, a nosotros nos gustaría encontrar una chamarra $x$ del conjunto $A$ que no esté en el conjunto $B$. Esto puede describirse como:

$$\{ x: x \in A \land x \not \in B \} = \{x: x \in A \land x \in B^c \} $$

Nota ahora que esto se puede escribir como:

$$ A \cap B^c =\{x: x \in A \land x \in B^c \} $$

Esto es justamente a lo que nosotros llamamos diferencia entre conjuntos, que representa la idea de «restar conjuntos», es decir, considerar los elementos de un conjunto exceptuando los elementos que también están en otro conjunto específico.

Definición. Sean $X$ y $Y$ dos conjuntos. Definimos la diferencia de conjuntos $X/Y$ como:

$$X \setminus Y = X \cap Y^c .$$

Y gráficamente se ve de la siguiente manera:

Diferencia simétrica

Ahora imagina que en una universidad se ofrece el curso de Lógica y el curso de Teoría de Conjuntos. La universidad quiere ver cuántos alumnos se interesan únicamente por la materia de Lógica sin la Teoría de Conjuntos y viceversa para ver cuántos grupos abrir.

Puesto que la universidad piensa abrir un curso que abarca Conjuntos y Lógica para los alumnos que quieren tomar los dos cursos a la vez, por ahora no nos interesan los alumnos que estén en la intersección del conjunto de alumnos que quieren tomar el curso de Lógica con el conjunto de alumnos que quieren tomar el curso de Teoría de Conjuntos. Dicho de otra manera, si el conjunto de los alumnos interesados en un curso de Lógica lo representamos por $L$ y al conjunto de los alumnos interesados en un curso de Teoría de Conjuntos lo representamos por $C$, entonces los alumnos que están interesados en un curso de Lógica y no de Conjuntos es $L \setminus C$ y el conjunto de alumnos que están interesados en un curso de Conjuntos y no de Lógica es $C \setminus L$.

Nota ahora que entre los dos conjuntos, hay $(L \setminus C) \cup (C \setminus L)$ alumnos que no tomarán el curso de Conjuntos y Lógica pero si una materia en alguna de esas dos disciplinas. A este conjunto lo llamamos la diferencia simétrica o unión disyuntiva entre conjuntos.

Definición . Sean $X$ y $Y$ dos conjuntos. La diferencia simétrica o unión disyuntiva de los conjuntos $X$ y $Y$ se define como:

$$X \vartriangle Y = (X \setminus Y) \cup (Y \setminus X) $$

Y gráficamente se ve como:

Leyes de De Morgan

Una vez que ya definimos los operadores que vamos a usar en la teoría de conjuntos, vamos a anotar una propiedad importante de los conjuntos que tiene su contraparte en la lógica proposicional. Y nos habla de cómo encontrar el complemento de la unión y la intersección.

Teorema (Leyes de De Morgan). Sean $X$ y $Y$ dos conjuntos dentro del conjunto universal $U$. Entonces:

  1. $(X \cap Y)^c = X^c \cup Y^c$
  2. $(X \cup Y)^c = X^c \cap Y^c$

Demostración. En esta entrada, solo demostraremos la primera parte, la segunda parte tendrá un argumento muy similar a la demostración que presentaremos a continuación.

Para demostrar que $(X \cup Y)^c = X^c \cap Y^c$, necesitaremos considerar un elemento $x$ y probar que $x \in (X \cup Y)^c$ si y solo si $ x\in X^c \cap Y^c$. Para ello, nota lo siguiente:

\begin{align*}
x \in (X \cap Y)^c &\Leftrightarrow x \in \{x \in U : \neg(x \in X \cap Y) \} \\
&\Leftrightarrow x \in \{x \in U: \neg (x \in X \land x \in Y) \} \\
&\Leftrightarrow x \in \{x \in U: \neg( x \in X ) \lor \neg (x \in Y) \} \ \ \ \ \text{ ( Por las leyes de De Morgan de la lógica)} \\
&\Leftrightarrow x \in \{x \in U: x \in X^c \lor x \in Y^c \}\\
&\Leftrightarrow x \in X^c \cup Y^c
\end{align*}

De esta manera, $(X \cap Y)^c = X^c \cup Y^c$. De manera análoga se cumple la otra proposición.

$\square$

Este teorema lo que nos quiere decir es que la forma de encontrar el complemento de la unión es intersectando el complemento de los conjuntos, y el complemento de la intersección es la unión de los complementos.

Corolario. Las siguientes proposiciones se cumplen con $X,Y,Z$ tres conjuntos:

  1. $(X \cup Y \cup Z)^c = X^c \cap Y^c \cap Z^c $
  2. $(X \cap Y \cap Z)^c = X^c \cup Y^c \cup Z^c$

Demostración. De manera similar al teorema anterior, solo demostraremos el primer inciso.

Para esto, notemos que:

\begin{align*}
(X \cup Y \cup Z)^c &= (X \cup Y)^c \cap Z^c \\
&= X^c \cap Y^c \cap Z^c
\end{align*}

De manera análoga se cumple la segunda proposición.

$\square$

Más adelante, tendremos herramienta matemática para demostrar que las leyes no solo se cumplen para la dos o tres variables, sino que para una cantidad arbitraria de términos. En otras palabras, podremos demostrar que:

Proposición. Sea $X = \{X_1,X_2,\dots,X_n\}$ una colección finita de conjuntos. Entonces:

  1. $(X_1 \cup X_2 \cup \dots \cup X_n)^c = X_1^c \cap X_2^c \cap \dots \cap X_n^c $
  2. $(X_1 \cap X_2 \cap \dots \cap X_n)^c = X_1^c \cup X_2^c \cup \dots \cup X_n^c$

Por ahora, nos quedaremos únicamente en el caso de tres variables. A este punto, conviene también decir que a veces encontrarás en la literatura la el término $X_1 \cup X_2 \cup \dots \cup X_n$ escrito como $\bigcup_{i=1}^nX_i$ y esta es únicamente una forma de notación que representa la unión de una colección de conjuntos. De manera similar, $X_1 \cap X_2 \cap \dots \cap X_n = \bigcap_{i=1}^nX_i $. De esta manera, la proposición anterior se resume en:

  1. $\big( \bigcup_{i=1}^n X_i \big)^c = \bigcap_{i=1}^n X_i^c$
  2. $\big( \bigcap_{i=1}^n X_i \big)^c = \bigcup_{i=1}^n X_i^c$

Otras propiedades de los conjuntos

A continuación anotamos otras propiedades que tienen los conjuntos, algunas de las cuales ya hemos revisado. Sean $X,Y$ y $Z$ tres conjuntos en el conjunto universal $U$, la siguiente tabla resume algunas propiedades que se cumplen.

Propiedad
Asociatividad de los conjuntos\begin{align*}
X \cup (Y \cup Z) &= (X \cup Y) \cup Z \\
X \cap (Y \cap Z) &= (X \cap Y) \cap Z
\end{align*}
Distributividad de la unión y la intersección\begin{align*}
X \cap (Y \cup Z) &= (X \cap Y) \cup (X \cap Z) \\
X \cup (Y \cap Z) &= (X \cup Y) \cap (X \cup Z)
\end{align*}
Idempotencia de la unión e intersección\begin{align*}
X \cup X = X = X \cap X
\end{align*}
Conmutatividad de unión e intersección\begin{align*}
X \cup Y = Y \cup X \\
X \cap Y = Y \cap X
\end{align*}
Leyes de identidad de unión\begin{align*}
X \cup \emptyset &= X \\
X \cup U &= U
\end{align*}
Leyes de identidad de intersección\begin{align*}
X \cap \emptyset &= \emptyset \\
X \cap U &= X
\end{align*}
Unión de complementos\begin{align*}
X \cup X^c = U
\end{align*}
Intersección de complementos\begin{align*}
X \cap X^c = \emptyset
\end{align*}
\begin{align*}
(X^c)^c = X
\end{align*}
Leyes de De Morgan\begin{align*}
(X \cap Y)^c &= X^c \cup Y^c\\
(X \cup Y)^c &= X^c \cap Y^c
\end{align*}

Y para resumir los operadores entre conjuntos, se encuentra la siguiente imagen:

Notas

*: En la literatura, también puedes encontrar la diferencia entre dos conjuntos $X$ y $Y$ escrita como $X – Y$ en lugar de $X \setminus Y$.

Más adelante…

Con esta entrada acabamos la primer unidad. Hasta ahora hemos sentado las bases matemáticas de la teoría de conjuntos, en la siguiente unidad vamos a seguir hablando de conjuntos, pero introduciremos un nuevo concepto: las relaciones entre conjuntos. Estas nos permitirán empezar a hablar de funciones, un recurso muy utilizado en todas las áreas de las matemáticas.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sean $P, Q, R, S$ cuatro proposiciones y $A = \{x: (P(x) \land Q(x)) \lor R(x) \}$, $B = \{x: (R(x) \land \neg P(x)) \lor S(x) \}$, $C = \{ x: S(x)\}$. Encuentra:
    • $A \cup B$
    • $B^c$
    • $A \setminus B$
    • $A \cap (B \cap C)$
    • $A \vartriangle C$
  2. Demuestra que $(X \cup Y)^c = X^c \cap Y^c$
  3. Demuestra que $(X^c)^c = X$
  4. Describe al conjunto $(X \vartriangle Y)^c \setminus (X \setminus Y)^c$ en términos de complementos, la unión y la intersección.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Cálculo Diferencial e Integral I: Conjuntos infinitos (Adicional)

Por Karen González Cárdenas

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Introducción

En esta última entrada de la unidad veremos un poco sobre la cardinalidad de un conjunto, un par de definiciones para decir cuando un conjunto es infinito o finito y algunos teoremas útiles. Dado que se trata de un tema adicional varios de los teoremas y resultados sólo serán enunciados.

Cardinalidad de un conjunto

Definición (Cardinalidad): Sea $A$ un conjunto. Definimos a la cardinalidad de $|A|$ como el número de elementos de $A$ y la denotaremos como:
$$|A|.$$

Ejemplo: Sea $A= \left\{ 1,2,3,g,y,b \right\}$ así tenemos que su cardinalidad sería:
$$|A|=6.$$

Definición: Decimos que $|A| \leq |B|$ si existe una función $f: A \rightarrow B$ inyectiva.

Misma cardinalidad

Definición: Sean $A,B$ conjuntos. Decimos que $A$ y $B$ tienen la misma cardinalidad $$|A|=|B|,$$ si existe una función $f: A \leftrightarrow B$ biyectiva.

Ejemplo: Si consideramos los intervalos $[0,1]$ y $(0,1)$. Vemos que:
$$|[0,1]| = |(0,1)|.$$
Primero tomamos los valores $0$ y $1$ en el intervalo $[0,1]$ y los enviamos a los valores $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{2}$ respectivamente en el intervalo $(0,1)$.

Ahora consideramos los valores de la forma $\frac{1}{n}$ con $n \in \mathbb{N}\setminus \left\{0\right\}$ y $n \geq 2$. A estos valores los enviaremos a los de la forma $\frac{1}{x+2}$. De este modo lo que haremos será enviarlos al $(0,1)$ como en el ejemplo de la siguiente imagen:

Y por último, a los valores restantes los enviamos a ellos mismos en el intervalo $(0,1)$.

Así la función biyectiva sería $f: [0,1] \leftrightarrow (0,1)$:
\begin{equation*}
f(x)=
\begin{cases}
x &\text{si $x \neq 0,1,\frac{1}{n}$ con $n\geq 2$}\\
\frac{1}{2} & \text{si $x= 1$}\\
\frac{1}{3} &\text{si $x=0$}\\
\frac{1}{x+2} &\text{si $x = \frac{1}{n}$ con $n\geq 2$}\\
\end{cases}
\end{equation*}

Conjuntos finitos e infinitos

Definición (1): Sea $A$ un conjunto.

  • $A$ es finito si existe una función biyectiva $f: A \leftrightarrow \left\{1,2, \cdots , N \right\}$ para algún $N \in \mathbb{N}\setminus \left\{0\right\}$.
  • $A$ es infinito si no es finito.

Definición (2): Sea $A$ un conjunto.

  • $A$ es infinito si existe $A’ \subset A$ subconjunto propio de A y una función biyectiva $f: A’ \leftrightarrow A$.
  • $A$ es finito si no es infinito.

Teorema: Sean $A,B$ conjuntos no vacíos. Si $A \subseteq B$ entonces
$$|A| \leq |B|.$$
Demostración: Proponemos a la función $f: A \rightarrow B$ como $f(x)=x$. Observamos que $f$ es inyectiva y cumple que para todo $x \in A$ se sigue que $x \in B$. Por definición se sigue que $|A| \leq |B|.$

$\square$

Observación: Si $A,B$ son conjuntos infinitos puede ocurrir que $A \subset B$ y que $|A|=|B|.$

Teorema: Sean $A,B$ conjuntos finitos.

  • Si $A \cap B = \emptyset$ entonces:
    $|A \cup B|= |A|+|B|.$
  • Si $A \cap B \neq \emptyset$ entonces:
    $|A \cup B|= |A|+|B|-|A \cap B|.$

Definición (3): Un conjunto $A$ es infinito si existe $B \subseteq A$ tal que
$$|B|=|\mathbb{N}|.$$

Conjuntos numerables

Definición: Sea $A$ un conjunto no vacío. Decimos que $A$ es numerable si $|A|=|\mathbb{N}|$ es decir si existe una función biyectiva:
$$f: A \rightarrow \mathbb{N}.$$

Teorema: Sean $A,B$ conjuntos. Si $A$ es finito y $B$ es infinito numerable entonces $A \cup B$ es numerable.
Demostración: Como $A$ es finito consideremos que tiene $m$ elementos.
$$A = \left\{ a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{m} \right\}.$$
Y como $B$ es infinito y numerable entonces es de la forma:
$$B = \left\{ b_{1}, b_{2}, \cdots , b_{n}, \cdots \right\}.$$
Así al considerar la unión $A \cup B$ tendríamos:
$$A \cup B = \left\{ a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{m}, b_{1}, b_{2}, \cdots , b_{n}, \cdots \right\}.$$
Tenemos los siguientes dos casos:

  • Si $A\cap B = \emptyset$ y consideramos la siguiente indización:
    $$A \cup B = \left\{ a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{m}, b_{m+1}, b_{m+2}, \cdots , b_{m+n}, b_{m+n+1}, \cdots \right\}.$$
    Vemos $|A \cup B|=|\mathbb{N}|.$
  • Si $A\cap B \neq \emptyset$. Supongamos que tenemos $k$ elementos en la intersección, es decir:
    $$a_{1}= b_{1}, a_{2}= b_{2}, \cdots , a_{k}= b_{k}$$
    $$A = \left\{ a_{1}, a_{2}, \cdots ,a_{k}, a_{k+1}, \cdots, a_{m} \right\}.$$
    Así consideramos la siguiente indización para la unión:
    $$A \cup B = \left\{ a_{k+1}, a_{k+2}, \cdots , a_{m}, b_{1}, b_{2}, \cdots , b_{n}, \cdots \right\}.$$
    Observamos que $|A \cup B|=|\mathbb{N}|.$

$\square$

Teorema: Si $A$ y $B$ son conjuntos infinitos y numerables entonces $A \cup B$ es infinito y numerable.
Demostración: Primero vemos que $A \cup B$ es infinito ya que al ocurrir que:

  • $A \subseteq A \cup B$ con $A$ infinito y numerable.
  • $B \subseteq A \cup B$ con $B$ infinito y numerable.

por definición (3) concluimos que $A \cup B$ es infinito.

Nos falta ver qué $A \cup B$ es numerable, ya que $A$ es numerable podemos escribirlo de la siguiente manera:
$$A = \left\{ a_{1}, a_{2}, \cdots \right\}.$$
Análogamente para $B$:
$$B = \left\{ b_{1}, b_{2}, \cdots \right\},$$
por lo que la unión se vería como:
$$A \cup B= \left\{ a_{1}, b_{1},a_{2}, b_{2},a_{3},b_{3} \cdots, a_{n}, b_{n}, \cdots \right\}.$$
Observemos que si consideramos la siguiente indización:
$$A \cup B= \left\{ a_{1}, b_{2},a_{3}, b_{4},a_{5},b_{6} \cdots, a_{2n-1}, b_{2n}, \cdots \right\},$$

el conjunto tiene una relación biunívoca con el conjunto de los naturales.
Veamos qué sucede en los siguientes casos:

  • Si $A \cap B = \emptyset \Rightarrow |A \cup B|=|\mathbb{N}|.$
  • Si $A \cap B \neq \emptyset$. Consideremos que existen k elementos en la intersección, por lo que serían de la forma:
    $$a_{1}= b_{1}, a_{2}= b_{2}, \cdots , a_{k}= b_{k}.$$
    Por lo que ahora la unión se vería como:
    $$A \cup B= \left\{ a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots,a_{k}, a_{k+1}, b_{k+1},a_{k+2}, b_{k+2} \cdots, a_{k+n}, b_{k+n}, \cdots \right\}$$
    y si consideramos la siguiente nueva indización:
    $$A \cup B= \left\{ a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots,a_{k}, a_{k+1}, b_{k+2},a_{k+3}, b_{k+4} \cdots, a_{k+(2n-1)}, b_{k+2n}, \cdots \right\},$$
    tenemos que tiene una relación biunívoca con $\mathbb{N}$ por lo que también se cumple que $|A \cup B|=|\mathbb{N}|$.

$\square$

A continuación enunciaremos un teorema que generaliza el resultado sobre conjuntos numerables ya visto.

Teorema: Sean $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{N}, \cdots $ conjuntos no vacíos.

  • Si $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{N}$ son numerables $\Rightarrow \begin{multline*} \bigcup_{i=1}^{N} A_{i} \end{multline*}$ es numerable.
  • Si $A_{1}, A_{2}, \cdots$ son numerables $\Rightarrow \begin{multline*} \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \end{multline*}$ es numerable.

Más adelante

Ahora que hemos concluido con la unidad relacionada a los Números reales, en la próxima iniciaremos el tema de funciones definiendo qué es el dominio, rango y regla de correspondencia de una función.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Supremo e ínfimo

Por Karen González Cárdenas

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Introducción

Ya hemos visto los conceptos de máximo, mínimo, cota superior e inferior de un conjunto en $\r$. En esta entrada definiremos formalmente el concepto de supremo e ínfimo de un conjunto, veremos que los revisados previamente se encuentran relacionados. Adicionalmente, demostraremos algunas proposiciones útiles y algunos ejemplos en los cuales aplicaremos las definiciones respectivas.

Supremo e ínfimo, primera definición

Definición: Sea $A \subseteq \r$ con $A\neq \emptyset$. Decimos que $\alpha \in \r$ es:

  • El supremo de $A \Leftrightarrow$
    • $\alpha$ es cota superior de $A$
    • $\alpha$ es la mínima cota superior, es decir, si $\beta$ es cota superior de $A \Rightarrow \alpha \leq \beta$.

      En otras palabras, la mínima cota superior de un conjunto es el menor número real que es una cota superior de ese conjunto.

  • El ínfimo de $A \Leftrightarrow$
    • $\alpha$ es cota inferior de $A$
    • $\alpha$ es la máxima cota inferior, es decir, si $\beta$ es cota inferior de $A \Rightarrow \beta \leq \alpha$.

      De esta manera, la máxima cota inferior de un conjunto es el número real más grande que sirve como cota inferior para dicho conjunto.

Retomemos el último ejemplo visto en la entrada pasada:

$$A= \left\{\frac{1}{n}: n\in \mathbb{N} \setminus\left\{0\right\} \right\}$$

  • El conjunto de cotas superiores de $A$ está dado por:
    $$[1, \infty)$$
    tiene elemento mínimo y es 1. Esto nos indica que existe una mínima cota superior, ya que el $1$ es el menor número real que sirve como cota superior para dicho conjunto.
  • El conjunto de cotas inferiores de $A$ está dado por:
    $$(- \infty, 0]$$
    tiene elemento máximo y es 0. Esto nos indica que existe una máxima cota inferior, debido a que el $0$ es el mayor número real que sirve como cota inferior para $(- \infty, 0]$.

Dadas las observaciones anteriores ahora podemos decir que:

  • El supremo de $A$ es $1$: $$sup(A)=1$$
  • El ínfimo de $A$ es $0$: $$inf(A)=0$$

Observación: El supremo o el ínfimo de un conjunto puede o no pertenecer al conjunto.

Pasemos a revisar la existencia y la unicidad de supremos e ínfimos.

Existencia del supremo y del ínfimo

En general, no tendremos que preocuparnos por la existencia del supremo ni del ínfimo cuando hablemos de un conjunto no vacío de números reales; en cambio, consideraremos como axioma que siempre existen.

En la siguiente entrada motivaremos y hablaremos con más detalle del siguiente axioma.

Axioma del Supremo: Si $A \subseteq \r$ es no vacío y $A$ es acotado superiormente entonces existe $\alpha \in \r$ tal que:
$$\alpha = sup(A)$$

En esa entrada, también demostraremos a partir de este axioma que los conjuntos no vacíos siempre tienen ínfimo. Igualmente, hablaremos de otras propiedades de los números reales relacionadas con este axioma, como que el conjunto de los números reales no está acotado y la propiedad arquimediana. Por ahora, sólo lo enunciamos, pues en las siguientes secciones demostraremos varias propiedades del supremo y del ínfimo para las que necesitaremos su existencia.

Unicidad del supremo y del ínfimo

El Axioma del Supremo nos garantiza la existencia del supremo e implica la del ínfimo pero, ¿habrá más de un supremo o un ínfimo para un mismo conjunto?

Teorema: Sea $A \subseteq \r$ con $A\neq \emptyset$. El supremo y el ínfimo de $A$ son únicos.

Demostración (Unicidad del supremo): Supongamos que existen $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ tales que:
$\alpha_{1} = sup(A)$ y $\alpha_{2}=sup(A)$.

Para $\alpha_{1}$ tenemos que para toda $a \in A, a\leq \alpha_{1}$. Y como $\alpha_{1}$ es mínima cota superior entonces $\forall M$ cota superior de $A, \alpha_{1}\leq M$. Así en particular ocurre que: $\alpha_{1}\leq \alpha_{2}$ es cota superior.

Análogamente para $\alpha_{2}$ tenemos que: $\alpha_{2} \leq M$ donde $M$ es cota superior de $A$.
$\Rightarrow \alpha_{2}\leq \alpha_{1}$ es cota superior.

Debido a que $\alpha_{1}\leq \alpha_{2}$ y $\alpha_{2}\leq \alpha_{1}$ concluimos:
$$\alpha_{1}=\alpha_{2}.$$
$\therefore\quad$ El supremo de $A$ es único.

$\square$

Relaciones entre supremos e ínfimos

Proposición: Sean $A,B \subseteq \r$ distintos del vacío. Si se cumple que para toda $a\in A$ y para toda $b \in B$ $a \leq b \Rightarrow sup(A)\leq inf(B).$

Demostración:
Primero observamos que $A$ tiene supremo, ya que como $A \neq \emptyset$ y $B \neq \emptyset$:
$\Rightarrow \exists b_{0} \in B, \forall a\in A $ se cumple que $a \leq b_{0}$
$\Rightarrow b_{0}$ es cota superior de $A$
$\Rightarrow A \neq \emptyset$ y acotado superiormente
$\therefore \exists \alpha =sup(A) \in \r.$

Ahora vemos que $B$ tiene ínfimo, esto se sigue de $B \neq \emptyset$ y $A \neq \emptyset$:
$\Rightarrow \exists a_{0} \in A, \forall b\in B$ ocurre que $a_{0} \leq b$
$\Rightarrow a_{0}$ es cota inferior de $B$
$\Rightarrow B \neq \emptyset$ y acotado inferiormente
$\therefore \exists \beta =inf(B) \in \r.$

Por lo que sólo nos falta verificar que $\alpha \leq \beta$. Cómo por hipótesis tenemos que $\forall a \in A, \forall b\in B (a\leq b)$ obtenemos:
$\Rightarrow \forall a \in A$ ($a$ es cota inferior de $B$)
$\Rightarrow \forall a \in A$ ($a\leq \beta$)
$\Rightarrow \beta$ cota superior de $A$
$\Rightarrow \alpha \leq \beta$

$\square$

Proposición: Sean $C \subseteq A \subseteq \r$ donde $C$ es no vacío y $A$ acotado.
$\Rightarrow inf(A) \leq inf(C) \leq sup(C) \leq sup(A)$.
Demostración:

Sea $C \neq \emptyset$ subconjunto de $A$, como $ C \subseteq A \Rightarrow A \neq \emptyset$.
Ya que $A$ es acotado para toda $a \in A$ ocurre que: $m \leq a \leq M$ donde $m$ es cota inferior y $M$ es cota superior de $A$. Así si tomamos $c \in C$ tenemos:
$c \in A \Rightarrow m \leq c \leq M \Rightarrow C$ es acotado.
Por lo que afirmamos que existen:
$$sup(A), \quad sup(C), \quad inf(A), \quad inf(C).$$
Observemos que $sup(A) $ al ser cota superior de $A$ y $C \subseteq A \Rightarrow \sup(A)$ es cota superior de $C$ , por lo que podemos concluir:
$$sup(C) \leq sup(A).$$
Análogamente para los ínfimos se sigue que:
$$inf(A) \leq inf(C).$$
Y como $inf(C) < sup(C)$ obtenemos:
$$inf(A) \leq inf(C) \leq sup(C) \leq sup(A).$$

$\square$

Proposición: Sean $A’ \subseteq A \subseteq \r$ y $B’ \subseteq B \subseteq \r$ donde $A’, B’$ son distintos del vacío. Si se cumple que:

  • $\forall a\in A, \forall b \in B \quad (a \leq b)$
  • $sup(A’)=inf(B’)$

$\Rightarrow sup(A)=inf(B)$
Demostración:

Primero observemos que $A$ y $B$ son no vacíos ya que:

  • $A’ \neq \emptyset$ y $A’ \subseteq A$
  • $B’ \neq \emptyset$ y $B’ \subseteq B$

Por lo que afirmamos que existen en $\r$:
$$sup(A) \quad inf(B)$$
Por hipótesis aplicando el resultado anterior y la primera proposición de esta sección tenemos:
$$sup(A’) \leq sup(A) \leq inf(B) \leq inf(B’)$$
$$\therefore sup (A) \leq inf(B)$$
Además vemos que:
$$inf(B) \leq inf(B’) = sup(A’) \leq sup(A)$$
$$\therefore inf(B) \leq sup (A) $$
Por lo que obtenemos la igualdad:
$$inf(B)= sup (A)$$

$\square$

Ahora continuaremos con una definición de supremo e ínfimo equivalente a la primera.

Supremo e ínfimo segunda definición

Definición: Sea $A \subseteq \r$ con $A\neq \emptyset$. Decimos que $\alpha \in \r$ es:

  • El supremo de $A \Leftrightarrow$
    • $\alpha$ es cota superior de $A$
    • $\forall \varepsilon > 0, \exists x_{\varepsilon} \in A$ tal que $\alpha – \varepsilon < x_{\varepsilon}$.
  • El ínfimo de $A \Leftrightarrow$
    • $\alpha$ es cota inferior de $A$
    • $\forall \varepsilon > 0, \exists x_{\varepsilon} \in A$ tal que $x_{\varepsilon} < \alpha + \varepsilon$.

Ejemplos

Veamos para
$$B=\left\{2-\frac{1}{n}: n\in \mathbb{N}\setminus \left\{0\right\}\right\}$$
consideramos como candidatos $inf(B)=1$ y $sup(B)=2$.

Comenzaremos probando $inf(B)=1$ haciendo uso de la segunda definición:

  • Tenemos que probar que $1$ es cota inferior de $B$, es decir, $1 \leq x$ para toda $x \in B$.
    Sea $x \in B \Rightarrow x=2-\frac{1}{n}$ para algún $n \in \mathbb{N}\setminus \left\{0\right\}$.
    \begin{align*}
    1 \leq 2- \frac{1}{n} &\Leftrightarrow 1-2 \leq – \frac{1}{n}\\
    &\Leftrightarrow -1 \leq – \frac{1}{n}\\
    &\Leftrightarrow 1 \geq \frac{1}{n}\\
    &\Leftrightarrow n \geq 1
    \end{align*}
    $\therefore 1$ es cota inferior
  • Ahora probamos que $\forall \varepsilon > 0, \exists x_{\varepsilon} \in B$ tal que $x_{\varepsilon}< 1+ \varepsilon$.
    Sea $\varepsilon >0$. Tomemos $x_{\varepsilon}=1 \in B$ entonces $1<1+\varepsilon$
    $\therefore 1$ es ínfimo de $B$.

Ahora procedamos a demostrar que $sup(B)=2$:

  • $2$ es cota superior de $B$, es decir, $2 \geq x$ para toda $x \in B$.
    Tomemos $x \in B \Rightarrow x=2-\frac{1}{n}$ para algún $n \in \mathbb{N}\setminus \left\{0\right\}$.
    \begin{align*}
    2 \geq 2-\frac{1}{n} &\Leftrightarrow 2-2 \geq -\frac{1}{n}\\
    &\Leftrightarrow 0 \geq -\frac{1}{n}\\
    &\Leftrightarrow 0 \leq \frac{1}{n}\\
    \end{align*}
    $\therefore 2$ es cota superior
  • Demostremos que $\forall \varepsilon > 0, \exists x_{\varepsilon} \in B$ tal que
    $2- \varepsilon < x_{\varepsilon}$.
    Sea $\varepsilon >0$. Tomemos $x_{\varepsilon}= 2-\frac{1}{n}$ para algún $n \in \mathbb{N}\setminus \left\{0\right\}$.
    \begin{align*}
    2- \varepsilon < 2-\frac{1}{n}&\Leftrightarrow – \varepsilon < -\frac{1}{n}\\
    &\Leftrightarrow \varepsilon > \frac{1}{n}\\
    &\Leftrightarrow (\varepsilon )n> 1\\
    &\Leftrightarrow n> \frac{1}{\varepsilon}\\
    \end{align*}
    $\therefore 2$ es supremo de $B$

$\square$

Hallar el supremo y el ínfimo del siguiente conjunto:
$$C= \left\{x: x^{2}+x+1 \geq 0 \right\}$$

Solución:
Notemos que:
\begin{align*}
x^{2}+x+1 \geq 0 &\Leftrightarrow x^{2}+x+\frac{1}{4}+1-\frac{1}{4} \geq 0\\
&\Leftrightarrow \left(x + \frac{1}{2} \right)^{2}+\frac{3}{4} \geq 0\\
\end{align*}
Vemos que la última desigualdad la cumple cualquier número real. Por lo tanto, tenemos que $C= \r$.
$\therefore \quad$ no existe ni $sup(C)$ ni $inf(C)$

$\square$

Más adelante…

Ahora que ya hemos visto el concepto de supremo, en la siguiente entrada veremos una propiedad más que cumple el conjunto de números reales: el Axioma del Supremo. Veremos su enunciado y varias de sus aplicaciones, algunas de ellas se demostrarán en las próximas unidades.

Tarea moral

  • Prueba que la primera y segunda definición de supremo e ínfimo son equivalentes.
  • Demuestra que el ínfimo de un conjunto es único.
    Sugerencia: La prueba es análoga a la dada para el supremo.
  • Para $A= \left\{\frac{1}{n}: n\in \mathbb{N}\setminus \left\{0\right\} \right\}$ prueba usando la definición que prefieras que $sup(A)=1$ e $inf(A)=0$.
  • Encontrar el supremo y el ínfimo del conjunto
    $$D= \left\{x: x^{2}+x-1 < 0 \right\}$$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Cota superior e inferior de un conjunto

Por Karen González Cárdenas

2 respuestas

Introducción

Ahora comenzaremos a ver un tema un tanto diferente a los vistos en la entrada anterior. Primero veremos los conceptos de máximo y mínimo de un conjunto, después las definiciones formales para cota superior e inferior, y terminaremos revisando algunos ejemplos donde las aplicaremos.

Máximo y mínimo de un conjunto

Definición: Sean $A\subseteq \r$ no vacíos. Decimos que:

  • $A$ tiene elemento máximo $\Leftrightarrow \exists a_{0} \in A$ tal que $\forall a \in A$ se cumple que: $a \leq a_{0}$
  • $A$ tiene elemento mínimo $\Leftrightarrow \exists b_{0} \in A$ tal que $\forall b \in A$ se cumple que: $b_{0} \leq b$

Para darnos una idea más clara de estas definiciones veamos los siguientes ejemplos:

$$C=(0,1]$$

  1. No tiene mínimo.
  2. Tiene máximo y es 1.

Para probar estas afirmaciones haremos uso de las definiciones anteriores:
Demostración 1 (por contradicción): Supondremos que existe un elemento $c_{0} \in C$ tal que $\forall c \in A$ cumple que $c_{0} \leq c$. Por lo que se sigue que: $0<c_{0}<1$.
Observemos que $\frac{c_{0}}{2} \in C$ ya que $0<\frac{c_{0}}{2}<c_{0}$
$$\Rightarrow c_{0}\leq \frac{c_{0}}{2}<c_{0} \contradiccion$$
Lo cual es una contradicción.

Demostración 2: Veamos que por la definición del conjunto C tenemos:
$$C=\left\{ c\in \r\quad|\quad 0<c \leq 1 \right \}$$
Por lo que $1\in C$ y se cumple que $\forall c\in C, c\leq 1$.

$\square$

Observación:

  • El elemento máximo de un conjunto es único.
  • El elemento mínimo de un conjunto es único.

La demostración de estas afirmaciones se quedará como ejercicios de la Tarea moral.

Cota superior e inferior de un conjunto

Definición: Sea $A \subseteq \r$. Decimos que un número $M \in \r$ es:

  • Cota superior $\Leftrightarrow \forall a \in A$ se cumple que: $a\leq M$.
  • Cota inferior $\Leftrightarrow \forall a \in A$ se cumple que: $a\geq M$.

Observación: Si hay una cota superior $M \Rightarrow \forall a \in A$ ocurre que: $$ a \leq M < M+1<M+2<M+3 \ldots$$ Es decir, hay una infinidad de cotas superiores de $A$.

Antes de continuar con el ejemplo de esta sección, aclaremos la diferencia entre máximos y cotas superiores de un conjunto, así como la diferencia entre mínimos y cotas inferiores. La distinción principal radica en que el máximo es un elemento específico del conjunto, mientras que una cota superior es simplemente un número que es mayor o igual que todos los elementos del conjunto, pero no necesariamente pertenece al mismo. De manera análoga, la diferencia clave es que el mínimo es un elemento específico dentro del conjunto, mientras que una cota inferior es simplemente un número que es menor o igual que todos los elementos del conjunto, pero no necesariamente pertenece a él.


Ejemplo

Consideremos el conjunto:
$$E=(0,2]$$
Vemos que para todo $x\in E$ ocurre que $-2<0<x$
$$\therefore \quad-2 \leq x$$
Por lo que podemos concluir que $-2$ es cota inferior de $E$.

Y además tenemos que $\forall x \in E$ se cumple $ x \leq 2.$
$\therefore \quad 2$ es cota superior de $E$.

Conjuntos acotados

Definición: Consideremos $A \subseteq \r$. Decimos que:

  1. $A$ es acotado superiormente si existe $M$ en $\r$ que es cota superior de $A$. Es decir, si $\exists M\in \r$ tal que $\forall a \in A$, $a \leq M$.
  2. $A$ es acotado inferiormente si existe $m$ en $\r$ que es cota inferior de $A$. Es decir, si $ \exists m\in \r$ tal que $\forall a \in A$, $m \leq a$.
  3. $A$ es acotado si existe $m$ y $M$ en $\r$ donde $m$ es cota inferior de $A$ y $M$ es cota superior de $A$. Es decir, si $\exists m,M \in \r$ tal que $\forall a \in A$: $m \leq a \leq M$.

    Otra manera de definir qué $A$ es acotado es la siguiente:
  4. $A$ es acotado si existe $M$ en $\r$ mayor o igual que el valor absoluto de cualquier elemento $a$ en $A$. Es decir, si $\exists M \in \r$ tal que $\forall a \in A$: $|a| \leq M$.

Lema: Vamos a demostrar que las definiciones 3 y 4 son equivalentes.

Demostración:
$\Rightarrow)$ Sean $m_0, M_0 \in \r$ tal que $m_0 \leq a \leq M_0$. Queremos demostrar que existe $M \in \r$ que cumple con:
$$-M \leq a \quad \quad \text{y}\quad \quad a \leq M$$
Proponemos a $M=\max\{|m_0|,|M_0|\}.

Por definición de $m_0$ y $M_0$ vemos que se cumple:
\begin{align*}
a&\geq m_0 \geq -|m_0|\geq -M\\
a&\leq M_0 \leq |M_0| \leq M.
\end{align*}
Por transitividad obtenemos
\begin{align*}
a&\geq -M\\
a&\leq M.
\end{align*}

Concluimos entonces que:
$$-M \leq a \leq M$$
$$\therefore |a|\leq M.$$

$\Leftarrow)$ Como $|a| \leq M$ se sigue que $-M \leq a \leq M$. Como $-M \leq a$ tenemos que $A$ es acotado inferiormente por definición si tomamos $m := -M$:
$$m \leq a$$
Análogamente de $a \leq M$ tenemos que $A$ es acotado superiormente por definición concluimos:
$$\therefore m \leq a \leq M$$

$\square$

Lema: Para cualesquiera $A,B \subseteq \r$. Si $A\subseteq B$ y $B$ es acotado entonces $A$ es acotado.

Demostración: Como tenemos que $B$ es acotado existe $M>0$ tal que para todo $b\in B$:
$$|b|\leq M$$
CASO 1 $A\neq\emptyset$: Como $A \subseteq B$ entonces para todo $a \in A$ existe $b \in B$ tal que $a=b$.
$\therefore a \in A, a=b \Rightarrow |a|=|b|\leq M$
CASO 2 $A= \emptyset$: Sabemos que $A =\emptyset\subseteq B$ por lo que se sigue $A$ es acotado por vacuidad.

$\square$

Ejemplo

Si tenemos: $$A= \left\{\frac{1}{n}: n\in \mathbb{N}\setminus\left\{0\right\} \right\}$$

Observamos que:

  • $A$ es acotado superiormente ya que para todo $n\in \mathbb{N}\setminus\left\{0\right\}$:
    $$1<n \Leftrightarrow \frac{1}{n} \leq 1$$
    $\therefore 1$ es cota superior de $A$.
  • $A$ tiene elemento máximo. Tenemos que $\forall n\in \mathbb{N}\setminus\left\{0\right\}: \frac{1}{n} \leq 1$
    Así para $n=1$ ocurre que $\frac{1}{1} \leq 1$.
    $\therefore 1$ es máximo de $A$.
  • El conjunto de cotas superiores de $A$ está dado por:
    $$[1, \infty),$$
    que tiene elemento mínimo y es 1. Esto nos indica que existe una mínima cota superior.
  • $A$ es acotado inferiormente. Vemos que para todo $n\in \mathbb{N}, \frac{1}{n} > 0$ por lo que $0 \notin A$. Concluimos así que $\forall a\in A, 0 \leq \frac{1}{n}$.
    $\therefore 0$ es cota inferior de $A$
  • El conjunto de cotas inferiores de $A$ esta dado por:
    $$(- \infty, 0],$$
    que tiene elemento máximo y es 0. Esto nos indica que existe una máxima cota inferior.
  • $A$ no tiene elemento mínimo. Si suponemos que existe un elemento $a_{0} \in A$ tal que $\forall n\in \mathbb{N}, a_{0} \leq \frac{1}{n}$. Tenemos que $a_{0}$ sería de la forma
    $a_{0} = \frac{1}{n_{0}} > 0$
    $\Rightarrow 0< \frac{1}{2n_{0}}<\frac{1}{n_{0}}$ con $\frac{1}{2n_{0}} \in A$.
    De lo anterior vemos que $a_{0}$ no es mínimo $\Rightarrow \frac{1}{n_{0}}\leq\frac{1}{2n_{0}} \contradiccion$, lo cual nos lleva a una contradicción.

$\square$

Más adelante

Ahora que ya hemos revisado los conceptos de máximo, mínimo y cotas superiores e inferiores de un conjunto en $\r$ tenemos los antecedentes necesarios para comenzar a hablar de supremos e ínfimos.

Tarea moral

  • Demuestra que:
    • El elemento máximo de un conjunto es único.
    • El elemento mínimo de un conjunto es único.
  • Para el conjunto $D=(-\infty, 1)$ demuestra que se cumplen las siguientes afirmaciones:
    • D no tiene elemento mínimo
    • D no tiene elemento máximo
    • D es acotado superiormente
    • D no tiene cotas inferiores

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»