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Continuidad en un espacio métrico

Introducción

La idea de continuidad es uno de los conceptos estructurales de la Topología y el Análisis Matemático. Al hablar de esta idea generalmente asociamos el concepto con la ininterrupción de la gráfica de una función, lo cual es claro cuando trabajamos con funciones reales definidas en algún intervalo, intuitivamente pensamos en la ininterrupción de una función considerando que para cualquier punto $z$ en el dominio de una función $f$, se tendrá que $f(x)$ no estará muy separada de $f(z)$ siempre que $x$ se mantenga lo suficientemente cerca de $z$ en el dominio. Pero, ¿qué pasa con las funciones que cuya gráfica no podemos visualizar? Hablar de continuidad para los espacios métricos resulta de gran importancia, ya que mediante la definición de métrica resulta posible generalizar el concepto de continuidad para funciones de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^m$, con lo cual podemos responder nuestra pregunta y obtener así una idea clara y general sobre lo que es la continuidad.

En esta entrada abordaremos el concepto de continuidad entre espacios métricos desde una perspectiva general, además de establecer la estrecha relación que existe entre los conceptos de sucesión, límite y continuidad, para obtener así una serie de resultados que nos permitirán caracterizar al espacio métrico $(\mathbb{C},d)$, con $d$ la métrica euclidiana, y facilitar nuestro estudio de la continuidad entre funciones complejas que estudiaremos a detalle en la siguiente unidad.

Continuidad en espacios métricos

Definición 9.1. (Continuidad.)
Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ dos espacios métricos y sea $A\subset X$. Una función $f:A \to Y$ se dice que es continua en $a\in A$ si para todo $\varepsilon>0$ existe algún $\delta>0$ (que depende de $a$ y $\varepsilon$) tal que:
\begin{equation*}
d_Y\left( f(x), f(a) \right) < \varepsilon \quad \text{si} \quad d_X(x,a)<\delta. \end{equation*} Decimos que $f$ es continua en $A$ si es continua en todo punto de $A$.

Lema 9.1.
Sea $f:X \to Y$ una función arbitraria y sean $A\subset X$ y $B\subset Y$. Entonces:
\begin{equation*}
f(A) \subset B \quad \text{si y solo si} \quad A \subset f^{-1}(B).
\end{equation*}

Demostración. Ejercicio.

$\blacksquare$

Proposición 9.1
Sean $(X,d_X)$ y $(Y, d_Y)$ espacios métricos y sea $f: (X,d_X) \to (Y, d_Y)$ una función. Entonces $f$ es continua en un punto $x_0\in X$ si y solo si para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que:
\begin{equation*}
B(x_0,\delta)\subset f^{-1}\left[B(f(x_0),\varepsilon)\right],
\end{equation*} donde $B(x,r)$ denota una $r$-vecindad de $x$.

Demostración. Una función $f:X \to Y$ es continua en $x_0\in X$ si y solo si para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que:
\begin{equation*}
d_Y\left( f(x_0), f(x) \right) < \varepsilon,
\end{equation*} para toda $x\in X$ tal que $d_X(x_0,x)<\delta$, es decir:
\begin{equation*}
\text{si} \,\, x\in B\left(x_0,\delta\right) \,\, \text{entonces} \,\, f(x)\in B\left(f(x_0),\varepsilon\right),
\end{equation*} o equivalentemente: (¿por qué?)
\begin{equation*}
f\left[B\left(x_0,\delta\right)\right] \subset B\left(f(x_0),\varepsilon\right). \end{equation*} Pero por el lema 9.1 esta última condición es equivalente a:
\begin{equation*}
B\left(x_0,\delta\right) \subset f^{-1}\left[B\left(f(x_0),\varepsilon\right)\right].
\end{equation*}

$\blacksquare$

Proposición 9.2.
Sean $(X,d_X)$ y $(Y, d_Y)$ espacios métricos y sea $f: (X,d_X) \to (Y, d_Y)$ una función. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

  1. $f$ es continua en $X$.
  2. Si $A$ es abierto en $Y$, entonces $f^{-1}(A)$ es abierto en $X$.
  3. Si $B$ es cerrado en $Y$, entonces $f^{-1}(B)$ es cerrado en $X$.

Demostración.
1. $\Rightarrow$ 2.
Sea $f$ una función continua y sea $A\subset Y$ un conjunto abierto. Como queremos probar que $f^{-1}(A)$ es abierto en $X$ y dado que $X$ y $\emptyset$ son abiertos en $X$ supongamos que $f^{-1}(A)\neq X$ y $f^{-1}(A)\neq \emptyset$. Sea $x_0 \in f^{-1}(A)$, entonces tenemos que $f(x_0)\in A$ (¿por qué?). Dado que $A$ es abierto en $Y$, entonces existe $\varepsilon>0$ tal que $B(f(x_0),\varepsilon)\subset A$. Como $f$ es continua tenemos por la proposición 9.1 que existe $\delta>0$ tal que: \begin{equation*}
B(x_0,\delta)\subset f^{-1}\left[B(f(x_0),\varepsilon)\right]\subset f^{-1}(A). \end{equation*} De donde se sigue que todo punto de $f^{-1}(A)$ es un punto interior, por lo tanto $f^{-1}(A)$ es abierto en $X$.

2. $\Rightarrow$ 1.
Supongamos que $f^{-1}(A)$ es abierto en $X$ para todo conjunto $A$ abierto en $Y$. Sea $x_0\in X$. Por la proposición 6.2 sabemos que para todo $\varepsilon>0$ se cumple que la bola abierta $B(f(x_0),\varepsilon)$ es un conjunto abierto en $Y$, por lo que $f^{-1}\left[B(f(x_0),\varepsilon)\right]$, es abierto en $X$. Notemos que:
\begin{equation*}
x_0\in f^{-1}\left[B(f(x_0),\varepsilon)\right],
\end{equation*} por lo que existe $\delta>0$ tal que:
\begin{equation*}
B(x_0,\delta)\subset f^{-1}\left[B(f(x_0),\varepsilon)\right].
\end{equation*} Por lo que por la proposición 9.1 se sigue que $f$ es continua en $x_0$.

2. $\Leftrightarrow$ 3.
Ejercicio.

$\blacksquare$

Proposición 9.3. (Composición de funciones.)
Supongamos que $(X,d_X)$, $(Y,d_Y)$ y $(Z,d_Z)$ son espacios métricos y sean $g:X \to Y$ y $f:Y \to Z$ dos funciones. Si $f$ y $g$ son continuas, entonces la composición $f \circ g$ es continua.

Demostración. Dadas las hipótesis, supongamos que $A$ es un subconjunto abierto de $Z$. Entonces por la proposición 9.2 se sigue que $f^{-1}(A)$ es abierto en $Y$, por lo que $g^{-1}(f^{-1}(A))$ es abierto en $X$. Dado que $g^{-1}(f^{-1}(A)) = (f\circ g)^{-1}(A)$, entonces por la proposición 9.2 tenemos que la función $f \circ g$ es continua.

$\blacksquare$

Proposición 9.4.
Sean $(X,d_X)$ y $(Y, d_Y)$ espacios métricos, $f:A\subset X \to Y$ una función y sea $a \in A$. Entonces se cumple que:

  1. Si $a\in A\setminus A’$, es decir si $a$ es un punto aislado, entonces $f$ es continua en $a$.
  2. Si $a\in A\cap A’$, es decir si $a$ es un punto de acumulación, entonces $f$ es continua en $a$ si y solo si \begin{equation*}
    \lim_{x \to a} f(x) = f(a).
    \end{equation*}

Demostración. Ejercicio.

$\blacksquare$

Proposición 9.5.
Sean $(X,d_X)$ y $(Y, d_Y)$ espacios métricos y sea $A\subset X$. Una función $f:A \to Y$ es continua en $a \in A$ si y solo si para cualquier sucesión $\{x_n\}_{n\geq1}\subset A$ convergente a $a$ la sucesión $\{f(x_n)\}_{n\geq1}$ converge a $f(a)$.

Demostración.
$\Rightarrow)$
Supongamos que $f:A\to Y$ es una función continua en $a\in A$ y sea $\{x_n\}_{n\geq1}$ una sucesión de $A$ tal que $\lim_{n\to\infty} x_n = a$. Veamos que la sucesión $\{f(x_n)\}_{n\geq1}$ converge a $f(a)$.

Sea $\varepsilon>0$, por la continuidad de $f$ en $a$ existe $\delta>0$ tal que para todo $x\in A$ con $d_X(x,a)<\delta$ se cumple que $d_Y(f(x),f(a))<\varepsilon$. Dado que $\lim_{n\to\infty} x_n = a$, entonces existe algún $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*}
d_X(x_n,a)<\delta, \quad \forall n\geq N,
\end{equation*} por lo que si $n\geq N$ entonces: \begin{equation*} d_Y(f(x_n),f(a))<\varepsilon,
\end{equation*} es decir $\lim_{n\to\infty} f(x_n) = f(a)$.

$(\Leftarrow$
Supongamos que para toda sucesión $\{x_n\}_{n\geq1}\subset A$ convergente a $a$ se cumple que $\lim_{n\to\infty} f(x_n) = f(a)$. Veamos que $f$ es continua en $a$.

Por reducción al absurdo supongamos que $f$ no es continua en $a$. Entonces existe algún $\varepsilon>0$ para el cual todo $\delta<0$ tal que $d_X(x,a)<\delta$, para todo $x\in A$, implique que $d_Y(f(x),f(a))<\varepsilon$. Es decir que para todo $\delta>0$ existe $x\in A$ tal que $d_X(x,a)<\delta$ y $d_Y(f(x),f(a))\geq \varepsilon$. Notemos que para cada $n\in\mathbb{N}^+$ el número $\frac{1}{n}$ es positivo, por lo que debe existir $x_n\in A$ tal que $d_X(x_n,a)<\frac{1}{n}$ y $d_Y(f(x_n),f(a))\geq \varepsilon$, es decir que la sucesión $\{x_n\}_{n\geq1}$ converge a $a$, pero la sucesión $\{f(x_n)\}_{n\geq1}$ no converge a $f(a)$, lo cual contradice nuestra hipótesis, por lo que $f$ debe ser continua en $a$.

$\blacksquare$

Ejemplo 9.1.
Sea $(X,d_X)$ un espacio métrico y consideremos al espacio métrico $(\mathbb{R}^n, d)$, donde $d$ es la distancia euclidiana, es decir:
\begin{equation*}
d(x,y) = \left(\sum_{k=1}^n (x_k – y_k)^2\right)^{1/2},
\end{equation*} para todo $x=(x_1, \ldots, x_n)$, $y=(y_1, \ldots, y_n)$ en $\mathbb{R}^n$. Si $f_k : X \to \mathbb{R}$, con $k\in{1,2, \ldots, n}$, son funciones continuas, entonces la función $f : X \to \mathbb{R}^n$ dada por $f(x) = (f_1(x), f_2(x), \ldots, f_n(x))$ es continua.

Solución. Sea $\varepsilon>0$, entonces existen $\delta_k > 0$, tales que si $d_X(x,a) < \delta_k$ entonces:
\begin{equation*}
d(f_k(x),f_k(a)) = |\,f_k(x) – f_k(a)\,| < \frac{\varepsilon}{\sqrt{n}},
\end{equation*} para toda $k\in{1,2, \ldots, n}$. Por lo que tomando $\delta = \text{mín}{\delta_1, \ldots, \delta_n}$, tenemos que si $d_X(x,a) < \delta$, entonces: \begin{equation*}
d(f(x),f(a)) = \left(\sum_{k=1}^n (f_k(x) – f_k(a))^2\right)^{1/2} < \varepsilon, \end{equation*} de donde se sigue el resultado.

Por otra parte, considerando que toda función $f:X \to \mathbb{R}^n$ se puede expresar en términos de sus funciones componentes, es decir $f(x) = (f_1(x), f_2(x), \ldots, f_n(x))$ para toda $x\in X$, y dado que para toda $k\in{1, 2, \ldots, n}$ se cumple:
\begin{equation*}
|\,f_k(x) – f_k(y)\,| \leq \left(\sum_{k=1}^n (f_k(x) – f_k(y))^2\right)^{1/2} = d(f(x),f(y)), \end{equation*} por lo que si $f$ es una función continua, entonces cada función componente $f_k : X \to \mathbb{R}^n$ es continua.

Definición 9.2. (Homeomorfismo.)
Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ dos espacios métricos. Un homeomorfismo entre $X$ y $Y$ es una función $f:X\to Y$ tal que:

  1. $f$ es biyectiva.
  2. $f$ es continua en $X$.
  3. La inversa de $f$ es continua en $Y$, es decir, $f^{-1}: Y \to X$ es continua.

Si existe un homeomorfismo entre $X$ y $Y$, entonces diremos que los espacios métricos $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ son homeomorfos.

Observación 9.1.
Formalmente no hemos definido lo que es una función compleja de variable compleja, sin embargo para ejemplificar los conceptos de esta entrada podemos considerar la siguiente función sin mayor problema. En caso de existir duda de dicha definición puede consultarse la entrada 12 en la cual se aborda dicho concepto de manera formal.

Ejemplo 9.2.
Sea $D = B(0,1)\subset\mathbb{C}$. Consideremos a la función $f:\mathbb{C} \to D$ dada por:
\begin{equation*}
f(z) = \frac{z}{1+|\,z\,|}, \quad z\in\mathbb{C}.
\end{equation*} Veamos que $f$ induce un homeomorfismo entre $D$ y $\mathbb{C}$.

Solución. Primeramente verifiquemos que $f$ es biyectiva. Sean $z_1,z_2\in\mathbb{C}$, es claro que si $z_1 \neq z_2$, entonces $|\,z_1\,| \neq |\,z_2\,|$, por lo que:
\begin{equation*}
\frac{z_1}{1+|\,z_1\,|} \neq \frac{z_2}{1+|\,z_2\,|},
\end{equation*} es decir que $f(z_1) \neq f(z_2)$, por lo que $f$ es inyectiva.
Por otra parte, si $w\in D$ tenemos que $|\,w\,|<1$, por lo que $1 – |\,w\,|>0$. Entonces tomando: \begin{equation*}
z = \frac{w}{1-|\,w\,|},
\end{equation*} es claro que $w = f(z)$. Como $w\in D$ era arbitrario entonces tenemos que $f$ es sobreyectiva.
Por lo tanto, como $f$ es biyectiva tenemos que existe la función inversa de $f$, es decir $f^{-1}:D \to \mathbb{C}$ dada por:
\begin{equation*}
f^{-1}(z) = \frac{z}{1-|\,z\,|}, \quad z\in\mathbb{C}.
\end{equation*} Considerando los resultados de esta entrada es fácil probar que $f$ y $f^{-1}$ son continuas, por lo que se deja como ejercicio.

Proposición 9.6.
Sean $(X,d_X)$, $(Y,d_Y)$ y $(Z, d_Z)$ espacios métricos y sean $g:X \to Y$ y $f:Y \to Z$ dos funciones.

  1. Si $g$ es un homeomorfismo, entonces $f$ es continua si y sólo si $f \circ g$ es continua.
  2. Si $f$ es un homeomorfismo, entonces $g$ es continua si y sólo si $f \circ g$ es continua.

Demostración.

  1. Dadas las hipótesis, por la proposición 9.3 es claro que $f = (f\circ g) \circ g^{-1}$ es continua si y sólo si $f \circ g$ es continua.
  2. Dadas las hipótesis, por la proposición 9.3 es claro que $g = f^{-1}\circ(f\circ g)$ es continua si y sólo si $f \circ g$ es continua.

$\blacksquare$

Tarea moral

  1. Demuestra el lema 9.1.
  2. Completa la demostración de la proposición 9.2.
  3. Prueba que las funciones $f$ y $f^{-1}$ del ejemplo 9.2 son continuas.
  4. Sean $a, b\in\mathbb{R}\setminus{0}$. Considera a los siguientes conjuntos: \begin{align*}
    X = \{x+iy \,:\, x^2+y^2 = 1\},\\
    Y = \left\{x + iy \, : \, \left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1\right\}. \end{align*} Demuestra que $X$ y $Y$, dotados con la métrica euclidiana de $\mathbb{C}$, son homeomorfos. Hint: Considera la función $f(x+iy) = ax + iby$.
  5. Demuestra la proposición 9.4.

Más adelante…

En esta entrada hemos dado una definición clara y general del concepto de continuidad, caracterizando así a los espacios métricos mediante dicho concepto y obteniendo resultados que nos permitieron relacionar a los conceptos de sucesión y de límite con el de continuidad. Estos resultados serán de gran utilidad en las siguientes entradas al estudiar a las funciones complejas (de variable compleja).

La siguiente entrada abordaremos los conceptos de conexidad y compacidad de un espacio métrico, en particular caracterizaremos a los conjuntos de $\mathbb{C}$ mediante estos conceptos, definiremos nuevos conceptos y obtendremos nuevos resultados que relacionan a los conceptos de continuidad, conexidad y compacidad en un espacio métrico, los cuales utilizaremos a lo largo del curso al trabajar con funciones de $\mathbb{C}$ en $\mathbb{C}$.

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Cálculo Diferencial e Integral I: Continuidad uniforme

Introducción

En las entradas anteriores nos enfocamos en estudiar la definición de continuidad y sus propiedades. Especialmente, los teoremas revisados empleaban fuertemente el concepto de continuidad en un intervalo. En esta entrada haremos la revisión de un tipo de continuidad aún más exigente: la continuidad uniforme.

Primero recordemos que una función es continua en un intervalo $A$ si lo es para cada uno de sus elementos. Es decir,

$$\lim_{x \to y} f(x) = f(y) \quad \forall y \in A$$

En términos de la definición del límite, lo podemos ver de la siguiente forma: Dado $\varepsilon > 0$ y $y \in [a,b]$, existe $\delta > 0$ tal que para todo $x \in A$ tal que $0 < |x – y| < \delta$ se satisface que $|f(x)-f(y)| < \varepsilon$. Es importante enfatizar que, en general, el valor de $\delta$ dependerá tanto de $\varepsilon$ como de $y$.

Analicemos con mayor detalle los siguientes ejemplos:

$$f(x) = x, \quad g(x) = x^2$$

Ambas funciones son continuas en todo $\mathbb{R}$. Consideremos $y \in \mathbb{R}$ y calculemos el valor de $\delta$ en términos de un valor dado $\varepsilon > 0$ para probar la continuidad en $y$.

Para $f$, el valor de $\delta = \epsilon$ es suficiente, pues si $0<|x-y| < \delta$, entonces

$$|f(x) -f(y)| = |x-y| < \delta = \varepsilon.$$

Mientras que para $g$, el valor anteriormente dado no funciona. En este caso, como se probó en una entrada anterior, un valor de delta que funciona es $\delta’ = min \{ 1, \frac{\epsilon}{1+2|y|} \}$. Si $0 < |x-y| < \delta’$, entonces

\begin{align*}
|x^2-y^2| = & |x-y||x+y| \\ \\
< & |x-y|(1+2|y|) \\ \\
< & \delta’ (1+2|y|) \\ \\
\leq & \frac{\epsilon}{1+2|y|} \cdot (1+2|y|) = \epsilon
\end{align*}

Podemos observar que el valor de $\delta$ para $f$ depende únicamente de $\varepsilon$, mientras que para la función $g$, $\delta$ depende de $\varepsilon$ y del valor de $y$. Esto debido a que $g$ tiene cambios más «drásticos» que $f$.

Continuidad uniforme

Motivado directamente de lo anterior, si pedimos que $\delta$ no dependa de $y$, tenemos la siguiente definición.

Definición. Sea $f: A \to \mathbb{R}$. Se dice que $f$ es uniformemente continua en $A$ si para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que para cualesquiera $x$, $y \in A$ que satisfacen $|x-y| < \delta$, entonces $|f(x) – f(y)| < \varepsilon$.

De la definición se sigue que toda función uniformemente continua es continua, sin embargo, el recíproco no es cierto y como contraejemplo tenemos la función $g(x) = x^2$ que, como se vio al inicio, no es uniformemente continua en $\mathbb{R}$. Considerando esto, vale la pena mencionar cuándo no se tiene continuidad uniforme.

Criterios de continuidad no uniforme. Sea $f: A \to \mathbb{R}$. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes.

  1. $f$ no es uniformemente continua en $A$.
  2. Existe $\varepsilon_0 > 0$ tal que para toda $\delta > 0$ existen los puntos $x_\delta$, $y_\delta$ en $A$ tales que $|x_\delta – y_\delta| < \delta,$ pero $|f(x_\delta) – f(y_\delta)| \geq \varepsilon_0$.
  3. Existe $\varepsilon_0 > 0$ y dos sucesiones $\{x_n\}$, $\{y_n\}$ tales que $\lim_{n \to \infty} (x_n-y_n) = 0$ y $|f(x_n)-f(y_n)| \geq \varepsilon_0$ para todo $n \in \mathbb{N}$.

Ahora revisaremos un teorema que nos servirá para saber en qué momento se tiene continuidad uniforme en un intervalo de la forma $[a,b]$.

Teorema de continuidad uniforme. Si $f$ es continua en un intervalo acotado y cerrado $[a,b]$, entonces $f$ es uniformemente continua.

Demostración.

Si $f$ no es uniformemente continua en $[a, b]$, entonces, existe $\varepsilon > 0$ y dos sucesiones $\{x_n\}$ y $\{y_n\}$ en $[a,b]$ tales que $|x_n-y_n| < \frac{1}{n}$, pero $|f(x_n)-f(y_n)| \geq \varepsilon_0$ para toda $n \in \mathbb{N}$. Puesto que $[a, b]$ está acotado, la sucesión $\{x_n\}$ también está acotada; por el teorema de Bolzano-Weierstrass, existe una subsucesión en $\{ x_{n_k} \}$ de $\{x_n\}$ que converge a un real $z$. Puesto que $[a, b]$ es un intervalo cerrado, el límite $z$ pertenece al intervalo. Además, notemos que para la subsucesión $\{y_{n_k}\}$, se tiene que

$$|y_{n_k} – z| \leq |y_{n_k} – x_{n_k}| + |x_{n_k} – z|$$

Por lo cual $\{y_{n_k} \}$ también converge a $z$.

Además, si $f$ es continua en el punto $z$, entonces las subsucesiones $\{f(x_{n_k}) \}$ y $\{f(y_{n_k}) \}$ deben converger a $f(z)$, pero esto no es posible ya que $|f(x_n)-f(y_n)| \geq \varepsilon_0$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Por tanto, la hipótesis de que $f$ no es uniformemente continua en el intervalo acotado y cerrado $[a, b]$ implica que $f$ no es continua en algún punto $z \in [a,b]$. Por tanto, concluimos que si $f$ es continua en todo punto del intervalo $[a, b]$, entonces $f$ es uniformemente continua.

$\square$

Retomando el ejemplo $g(x) = x^2$, $g$ no es uniformemente continua en $\mathbb{R}$, sin embargo, sí es uniformemente continua en cualquier intervalo $[a,b]$ puesto que podríamos usar $\delta = min \{ 1, \frac{\epsilon}{1+2 max\{|a|, |b| \}} \}$ y este valor ya no dependería de $y$.

Funciones Lipschitz

Para las ocasiones donde se busca conocer si una función es uniformemente continua en un intervalo que no es acotado y cerrado, se convierte en una tarea difícil determinarlo. Sin embargo, existe una condición que nos ayuda a resolver este problema.

Definición. Sea $f: A \to \mathbb{R}$. Si existe una contsante $K > 0$ tal que
$$|f(x) – f(y)| \leq K|x-y|$$

para toda $x$, $y \in A$, entonces se dice que $f$ es un a función de Lipschitz en $A$.

La definición anterior nos permite clasificar a las funciones que cumplen que

$$\frac{|f(x) – f(y)|}{|x-y|} \leq K, \quad x \neq y$$

Podemos notar que la expresión anterior es justamente la pendiente de la recta que pasa por los puntos $(x, f(x))$ y $(y, f(y))$. Así, podemos interpretar que una función es de Lipschitz si la pendiente de la recta formada por cualesquiera dos puntos en $f$ están acotados por algún valor $K$.

Teorema. Si $f: A \to \mathbb{R}$ es una función de Lipschitz, entonces $f$ es uniformemente continua.

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$.

Considremos $\delta = \frac{\varepsilon}{K}$. Si $|x-y| < \delta$, entonces se tiene que

\begin{align*}
|f(x)-f(y)| & < K|x-y| \\
& < K \frac{\varepsilon}{K} \\ 
& = \varepsilon
\end{align*}

Por tanto, $f$ es uniformemente continua.

$\square$

Revisemos un ejemplo donde se prueba continuidad uniforme a través del teorema anterior.

Ejemplo. La función $f(x) = x^2$ es uniformemente continua en $A = [0, b]$, con $b > 0$.

Demostración.

Notemos que

\begin{align*}
|f(x)-f(y)| = & |x^2 – y^2| \\
= & |x+y||x-y| \\
\geq & 2b |x-y|
\end{align*}

Así, consideremos $K = 2b$. Como $f$ es de Lipschitz, entonces es uniformemente continua.

$\square$

Cabe resaltar que no toda función uniformemente continua es de Lipschitz, para probarlo veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo. La función $f(x) = \sqrt{x}$ es uniformemente continua en $A = [0,2]$, pero no es de Lipschitz.

Demostración.

Sabemos que $f$ es continua en el intervalo $[0,2]$, por tanto, $f$ es uniformemente continua.

Consideremos $x$, $y \in A$ con $y = 0$, $x \neq = 0$ y supongamos que existe $K > 0$ tal que $|g(x)-g(0)| \leq K|x – 0|$, es decir $|g(x)| < K|x|$. Entonces

\begin{gather*}
& |\sqrt{x}| < K |x| \\ \\
\Rightarrow & \sqrt{x} < K x \\ \\
\Rightarrow & \frac{\sqrt{x}}{x} < K \\ \\
\Rightarrow & \frac{1}{\sqrt{x}} < K
\end{gather*}

Notemos que $\frac{1}{(K+1)^2} \in [0,2]$, de lo cual resulta una contradicción en la última expresión. Por tanto, $f$ no es de Lipschitz.

$\square$

Finalmente, veremos un ejemplo donde usamos los dos teoremas vistos en esta entrada con la finalidad de probar continuidad uniforme.

Ejemplo. Prueba que la función $f(x) = \sqrt{x}$ es uniformemente continua en $A = [0, \infty)$.

Demostración.

Del ejemplo anterior, sabemos que $f$ es uniformemente continua en el intervalo $[0,2]$. Ahora probaremos que también lo es en el intervalo $[1,\infty)$

Sean $x$, $y \in [1, \infty)$, entonces se tiene que

\begin{align*}
|g(x)-g(y)| = & | \sqrt{x}-\sqrt{y}| \\
= & | \sqrt{x}-\sqrt{y}| \cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \\
= & \frac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \\
\leq & \frac{1}{2} |x-y|
\end{align*}

Por lo tanto, $f$ es una función de Lipschitz en el intervalo $[1, \infty)$ y, en consecuencia, es uniformemente continua en tal intervalo. Como $f$ es uniformemente continua en $[0,2]$ y $[1, \infty)$, entonces también lo es en $A = [0,2] \cup [1, \infty)$.

$\square$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Demostrar que la función $f(x) = \frac{1}{x}$ es uniformemente continua en $[a, \infty)$ siendo $a$ una constante positiva.
  • Prueba que la función $f(x) = \frac{1}{x^2}$ no es uniformemente continua en $(0, \infty)$.
  • Determina si la función $f(x) = sen(\frac{1}{x})$ es o no uniformemente continua en $(0, \infty)$.
  • Demuestra que si $f$ y $g$ son funciones uniformemente continuas en $A \subseteq \mathbb{R}$, entonces $f+g$ también es uniformemente continua en $A$.
  • Demuestra que si $f$ y $g$ son funciones uniformemente continuas en $A \subseteq \mathbb{R}$ y ambas están acotadas en $A$, entonces $f \cdot g$ es uniformemente continua en $A$.

Más adelante…

En las siguientes entradas complementaremos el estudio de las funciones continuas revisando propiedades específicas relacionas con las funciones monótonas. Adicionalmente, responderemos una pregunta que surge de forma muy natural: si $f$ es una función continua, ¿qué sucede con su inversa?

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