Cálculo Diferencial e Integral I: Axioma del supremo y sus aplicaciones

Introducción

Durante toda esta unidad hemos visto una serie de propiedades que cumple el conjunto de los reales $\r$, sin embargo, debemos añadir a la lista una relacionada con la completitud de $\r$:el Axioma del Supremo. Para ello comenzaremos hablando de la completitud de $\r$, lo enunciaremos y veremos algunas de sus consecuencias.

Una idea de completitud en $\r$

La completitud de los reales afirma que el conjunto $\r$ rellena a toda la recta numérica sin dejar agujeros. Por lo que cada número real tiene asignado un punto de la recta real:
$$punto \quad en \quad la \quad recta = número \quad real$$
Previamente hemos hecho uso de esta idea al representar gráficamente al conjunto $\r$ utilizando una recta. En el curso veremos dos enunciados que enunciaran esta propiedad: el Axioma del Supremo y Completitud por Cortaduras de Dedekind.

Consideramos cómo parte de nuestro conjunto de propiedades al Axioma del Supremo, por lo que el que enunciado utilizando Cortaduras de Dedekind será un tema adicional para esta unidad.

Axioma del Supremo

Axioma del Supremo: Si $A \subseteq \r$ no vacío y $A$ es acotado superiormente entonces existe $\alpha \in \r$ tal que:
$$\alpha = sup(A)$$

Pese a lo simple que pueda parecer, más adelante veremos su importancia, ya que muchos resultados y propiedades de $\r$ son consecuencia de este.

Hablemos del ínfimo

Veremos que el enunciado anterior tiene como una de sus consecuencias a su análogo, hablando ahora del ínfimo de un conjunto.

Teorema del ínfimo: Si $A \subseteq \r$ no vacío y $A$ es acotado inferiormente entonces existe $\beta \in \r$ tal que:
$$\beta= inf(A)$$

Demostración:
Sea $A \neq \emptyset$ acotado inferiormente. Ahora consideremos el siguiente conjunto:
$$ B = \left\{ -x \in \r | x \in A \right\}$$

Cómo $A$ es acotado inferiormente entonces existe $m \in \r$ que es cota inferior de $A$. Así se cumple la siguiente desigualdad para todos los $x \in A$:

$m \leq x \Leftrightarrow -m \geq -x$ para toda $-x \in B$.
Por tanto, $-m$ es cota superior de $B$. Concluimos así que $B$ es no vacío y acotado superiormente. Aplicando el Axioma del Supremo tenemos que existe $\alpha = sup(B)$.

Recordemos que por definición $\alpha$ cumple:

  • $\alpha$ es cota superior de $B$ para cualquier $-x \in B$.
  • Es la menor de las cotas superiores de $B$ y $-x \leq \alpha$.

Del último punto observamos que:
$$x \geq -\alpha \quad \forall x \in A$$
$\Rightarrow -\alpha$ cota inferior de $A$
Nos falta ver que $- \alpha$ es la mayor de las cotas inferiores de $A$.

Supongamos que no lo cumple $\Rightarrow \exists a > -\alpha$ donde $a$ es cota inferior de $A$. Vemos que:
$$a > -\alpha \Leftrightarrow -a < \alpha$$
por lo que para todo $x \in A$:
$$ a \leq x $$
así para cualquier $-x \in B$:
$$ -a \geq -x$$
$\Rightarrow -a$ es cota superior de $B$ y es menor que $\alpha$la menor cota superior de $B \contradiccion$ lo cual es una contradicción.

$\square$

$\mathbb{N}$ y $\r$ no acotados superiormente

Teorema: El conjunto $\mathbb{N}$ no es acotado superiormente.

Demostración: Procederemos por contradicción. Supongamos que $\mathbb{N}$ es acotado superiormente por lo que existe $M \in \r$ tal que $M$ es cota superior de $\mathbb{N}$. Aplicando el Axioma del Supremo existe:
$$\alpha = sup(\mathbb{N})$$

entonces:

  • $\alpha$ es cota superior de $\mathbb{N}$
  • $\alpha$ es la menor de las cotas superiores de $\mathbb{N}$

Como para toda $n \in \mathbb{N}$:
$$n \leq \alpha$$
Y $n+1 \in \mathbb{N}$ entonces:
$$n+1 \leq \alpha \Leftrightarrow n \leq \alpha -1$$

Ya que para toda $n \in \mathbb{N}$ se cumple:
$$n \leq \alpha -1$$

donde vemos que $\alpha -1$ es cota superior de $\mathbb{N}$ y además:
$$\alpha -1 < \alpha \quad \contradiccion$$
lo que contradice la definición de $\alpha$.

$\square$

Corolario: El conjunto $\r$ no es acotado superiormente

Demostración: Procederemos por contradicción, por lo que supongamos que $\r$ es un conjunto acotado superiormente. Ya que sabemos $\mathbb{N} \subseteq \r$ y $\r$ es acotado tendríamos que:
$\mathbb{N}$ es acotado $\contradiccion$ lo cual es una contradicción al teorema anterior.

$\square$

Propiedad de Arquímedes

Teorema( Propiedad de Arquímedes): Si $x >0$ y $y \in \r$ entonces existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $$y < Nx$$

Demostración (Por contradicción): Suponemos que no se cumple, es decir,
$\exists x >0$ y $y \in \r$ tal que $\forall n \in \mathbb{N}$ ocurre que $y > nx$
Ya que $x>0$ entonces para cualquier $n \in \mathbb{N}$:
$$\frac{y}{x} > n$$
por lo que $\frac{y}{x}$ es cota superior de $\mathbb{N}$.

Concluimos que $\mathbb{N}$ es acotado superiormente lo que sabemos es una contradicción.

$\square$

Corolario: Para todo $x >0$ existe $n \in \mathbb{N}$ tal que
$$ \frac{1}{n} < x$$

Demostración: Ejercicio como Tarea moral.

Ejercicio

Sean $A \subseteq \r$ y $\lambda >0$ con $\alpha = sup(A)$. Para el conjunto
$$\lambda A := \left\{ x:x=\lambda a; a \in A \right\}$$
prueba que existe $sup(\lambda A)$ y que $sup(\lambda A)= \lambda \alpha$.
Demostración:

Sea $a \in A$ entonces se sigue que $a \leq \alpha$ así al multiplicar por $\lambda >0$:
$$\Rightarrow \lambda a \leq \lambda \alpha$$

Ya que $\lambda a =x \in \lambda A \Rightarrow \lambda A$ es acotado superiormente y $\lambda \alpha$ es cota superior.

Aplicando el Axioma del Supremo afirmamos que existe $\beta := sup(\lambda A)$ y además:
$$\beta \leq \lambda \alpha$$

Falta probar que $\beta \geq \lambda \alpha$
Si tomamos $x \in \lambda A$ entonces $x = \lambda a$ y $\lambda a \leq \beta$:
$$\Rightarrow a \leq \frac{\beta}{\lambda}$$

Y por la definición de supremo se sigue:
$$\alpha \leq \frac{\beta}{\lambda} \Leftrightarrow \lambda \alpha \leq \beta$$
Así concluimos:
$$\therefore \beta = \lambda \alpha$$
$$\therefore \lambda sup(A) = sup(\lambda A)$$

$\square$

Otras aplicaciones

A continuación sólo enunciaremos un teorema en el cual el Axioma del Supremo es aplicado. Dado que en este punto no hemos revisado los conceptos de sucesión ni de límite, más adelante se verá su demostración.

Teorema: Si $\{ a_n \}$ es una sucesión en $\mathbb{R}$ no decreciente y acotada superiormente
$\Rightarrow \{ a_n \}$ es una sucesión convergente.

Tarea moral

  • Demuestra que para todo $x >0$ existe $n \in \mathbb{N}$ tal que
    $$ \frac{1}{n} < x$$
  • Prueba que si $a<b$ e $I=(a,b)$es un intervalo en $\r$ entonces $sup(I)=b$ y $inf(I)=a$.
    HINT: Utiliza el resultado anterior y procede haciendo uso de las respectivas definiciones.
  • Sean $A,B \subseteq \r$ con $\alpha = sup(A)$ y $\beta=sup(B)$. Definimos el siguiente conjunto
    $$ A+B := \left\{ x:x=a+b; a \in A, b \in B \right\}$$
    Demuestra que existe $sup(A+B)$ y que $sup(A+B)= \alpha + \beta$.

Más adelante

En la próxima entrada veremos un poco sobre las Cortaduras de Dedekind y la completitud de $\r$, este será considerado como un tema adicional para esta unidad.

Entradas relacionadas

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.