Cálculo Diferencial e Integral I: Continuidad uniforme

Introducción

En las entradas anteriores nos enfocamos en estudiar la definición de continuidad y sus propiedades. Especialmente, los teoremas revisados empleaban fuertemente el concepto de continuidad en un intervalo. En esta entrada haremos la revisión de un tipo de continuidad aún más exigente: la continuidad uniforme.

Primero recordemos que una función es continua en un intervalo $A$ si lo es para cada uno de sus elementos. Es decir,

$$\lim_{x \to y} f(x) = f(y) \quad \forall y \in A$$

En términos de la definición del límite, lo podemos ver de la siguiente forma: Dado $\varepsilon > 0$ y $y \in [a,b]$, existe $\delta > 0$ tal que para todo $x \in A$ tal que $0 < |x – y| < \delta$ se satisface que $|f(x)-f(y)| < \varepsilon$. Es importante enfatizar que, en general, el valor de $\delta$ dependerá tanto de $\varepsilon$ como de $y$.

Analicemos con mayor detalle los siguientes ejemplos:

$$f(x) = x, \quad g(x) = x^2$$

Ambas funciones son continuas en todo $\mathbb{R}$. Consideremos $y \in \mathbb{R}$ y calculemos el valor de $\delta$ en términos de un valor dado $\varepsilon > 0$ para probar la continuidad en $y$.

Para $f$, el valor de $\delta = \epsilon$ es suficiente, pues si $0<|x-y| < \delta$, entonces

$$|f(x) -f(y)| = |x-y| < \delta = \varepsilon.$$

Mientras que para $g$, el valor anteriormente dado no funciona. En este caso, como se probó en una entrada anterior, un valor de delta que funciona es $\delta’ = min \{ 1, \frac{\epsilon}{1+2|y|} \}$. Si $0 < |x-y| < \delta’$, entonces

\begin{align*}
|x^2-y^2| = & |x-y||x+y| \\ \\
< & |x-y|(1+2|y|) \\ \\
< & \delta’ (1+2|y|) \\ \\
\leq & \frac{\epsilon}{1+2|y|} \cdot (1+2|y|) = \epsilon
\end{align*}

Podemos observar que el valor de $\delta$ para $f$ depende únicamente de $\varepsilon$, mientras que para la función $g$, $\delta$ depende de $\varepsilon$ y del valor de $y$. Esto debido a que $g$ tiene cambios más «drásticos» que $f$.

Continuidad uniforme

Motivado directamente de lo anterior, si pedimos que $\delta$ no dependa de $y$, tenemos la siguiente definición.

Definición. Sea $f: A \to \mathbb{R}$. Se dice que $f$ es uniformemente continua en $A$ si para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que para cualesquiera $x$, $y \in A$ que satisfacen $|x-y| < \delta$, entonces $|f(x) – f(y)| < \varepsilon$.

De la definición se sigue que toda función uniformemente continua es continua, sin embargo, el recíproco no es cierto y como contraejemplo tenemos la función $g(x) = x^2$ que, como se vio al inicio, no es uniformemente continua en $\mathbb{R}$. Considerando esto, vale la pena mencionar cuándo no se tiene continuidad uniforme.

Criterios de continuidad no uniforme. Sea $f: A \to \mathbb{R}$. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes.

  1. $f$ no es uniformemente continua en $A$.
  2. Existe $\varepsilon_0 > 0$ tal que para toda $\delta > 0$ existen los puntos $x_\delta$, $y_\delta$ en $A$ tales que $|x_\delta – y_\delta| < \delta,$ pero $|f(x_\delta) – f(y_\delta)| \geq \varepsilon_0$.
  3. Existe $\varepsilon_0 > 0$ y dos sucesiones $\{x_n\}$, $\{y_n\}$ tales que $\lim_{n \to \infty} (x_n-y_n) = 0$ y $|f(x_n)-f(y_n)| \geq \varepsilon_0$ para todo $n \in \mathbb{N}$.

Ahora revisaremos un teorema que nos servirá para saber en qué momento se tiene continuidad uniforme en un intervalo de la forma $[a,b]$.

Teorema de continuidad uniforme. Si $f$ es continua en un intervalo acotado y cerrado $[a,b]$, entonces $f$ es uniformemente continua.

Demostración.

Si $f$ no es uniformemente continua en $[a, b]$, entonces, existe $\varepsilon > 0$ y dos sucesiones $\{x_n\}$ y $\{y_n\}$ en $[a,b]$ tales que $|x_n-y_n| < \frac{1}{n}$, pero $|f(x_n)-f(y_n)| \geq \varepsilon_0$ para toda $n \in \mathbb{N}$. Puesto que $[a, b]$ está acotado, la sucesión $\{x_n\}$ también está acotada; por el teorema de Bolzano-Weierstrass, existe una subsucesión en $\{ x_{n_k} \}$ de $\{x_n\}$ que converge a un real $z$. Puesto que $[a, b]$ es un intervalo cerrado, el límite $z$ pertenece al intervalo. Además, notemos que para la subsucesión $\{y_{n_k}\}$, se tiene que

$$|y_{n_k} – z| \leq |y_{n_k} – x_{n_k}| + |x_{n_k} – z|$$

Por lo cual $\{y_{n_k} \}$ también converge a $z$.

Además, si $f$ es continua en el punto $z$, entonces las subsucesiones $\{f(x_{n_k}) \}$ y $\{f(y_{n_k}) \}$ deben converger a $f(z)$, pero esto no es posible ya que $|f(x_n)-f(y_n)| \geq \varepsilon_0$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Por tanto, la hipótesis de que $f$ no es uniformemente continua en el intervalo acotado y cerrado $[a, b]$ implica que $f$ no es continua en algún punto $z \in [a,b]$. Por tanto, concluimos que si $f$ es continua en todo punto del intervalo $[a, b]$, entonces $f$ es uniformemente continua.

$\square$

Retomando el ejemplo $g(x) = x^2$, $g$ no es uniformemente continua en $\mathbb{R}$, sin embargo, sí es uniformemente continua en cualquier intervalo $[a,b]$ puesto que podríamos usar $\delta = min \{ 1, \frac{\epsilon}{1+2 max\{|a|, |b| \}} \}$ y este valor ya no dependería de $y$.

Funciones Lipschitz

Para las ocasiones donde se busca conocer si una función es uniformemente continua en un intervalo que no es acotado y cerrado, se convierte en una tarea difícil determinarlo. Sin embargo, existe una condición que nos ayuda a resolver este problema.

Definición. Sea $f: A \to \mathbb{R}$. Si existe una contsante $K > 0$ tal que
$$|f(x) – f(y)| \leq K|x-y|$$

para toda $x$, $y \in A$, entonces se dice que $f$ es un a función de Lipschitz en $A$.

La definición anterior nos permite clasificar a las funciones que cumplen que

$$\frac{|f(x) – f(y)|}{|x-y|} \leq K, \quad x \neq y$$

Podemos notar que la expresión anterior es justamente la pendiente de la recta que pasa por los puntos $(x, f(x))$ y $(y, f(y))$. Así, podemos interpretar que una función es de Lipschitz si la pendiente de la recta formada por cualesquiera dos puntos en $f$ están acotados por algún valor $K$.

Teorema. Si $f: A \to \mathbb{R}$ es una función de Lipschitz, entonces $f$ es uniformemente continua.

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$.

Considremos $\delta = \frac{\varepsilon}{K}$. Si $|x-y| < \delta$, entonces se tiene que

\begin{align*}
|f(x)-f(y)| & < K|x-y| \\
& < K \frac{\varepsilon}{K} \\ 
& = \varepsilon
\end{align*}

Por tanto, $f$ es uniformemente continua.

$\square$

Revisemos un ejemplo donde se prueba continuidad uniforme a través del teorema anterior.

Ejemplo. La función $f(x) = x^2$ es uniformemente continua en $A = [0, b]$, con $b > 0$.

Demostración.

Notemos que

\begin{align*}
|f(x)-f(y)| = & |x^2 – y^2| \\
= & |x+y||x-y| \\
\geq & 2b |x-y|
\end{align*}

Así, consideremos $K = 2b$. Como $f$ es de Lipschitz, entonces es uniformemente continua.

$\square$

Cabe resaltar que no toda función uniformemente continua es de Lipschitz, para probarlo veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo. La función $f(x) = \sqrt{x}$ es uniformemente continua en $A = [0,2]$, pero no es de Lipschitz.

Demostración.

Sabemos que $f$ es continua en el intervalo $[0,2]$, por tanto, $f$ es uniformemente continua.

Consideremos $x$, $y \in A$ con $y = 0$, $x \neq = 0$ y supongamos que existe $K > 0$ tal que $|g(x)-g(0)| \leq K|x – 0|$, es decir $|g(x)| < K|x|$. Entonces

\begin{gather*}
& |\sqrt{x}| < K |x| \\ \\
\Rightarrow & \sqrt{x} < K x \\ \\
\Rightarrow & \frac{\sqrt{x}}{x} < K \\ \\
\Rightarrow & \frac{1}{\sqrt{x}} < K
\end{gather*}

Notemos que $\frac{1}{(K+1)^2} \in [0,2]$, de lo cual resulta una contradicción en la última expresión. Por tanto, $f$ no es de Lipschitz.

$\square$

Finalmente, veremos un ejemplo donde usamos los dos teoremas vistos en esta entrada con la finalidad de probar continuidad uniforme.

Ejemplo. Prueba que la función $f(x) = \sqrt{x}$ es uniformemente continua en $A = [0, \infty)$.

Demostración.

Del ejemplo anterior, sabemos que $f$ es uniformemente continua en el intervalo $[0,2]$. Ahora probaremos que también lo es en el intervalo $[1,\infty)$

Sean $x$, $y \in [1, \infty)$, entonces se tiene que

\begin{align*}
|g(x)-g(y)| = & | \sqrt{x}-\sqrt{y}| \\
= & | \sqrt{x}-\sqrt{y}| \cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \\
= & \frac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \\
\leq & \frac{1}{2} |x-y|
\end{align*}

Por lo tanto, $f$ es una función de Lipschitz en el intervalo $[1, \infty)$ y, en consecuencia, es uniformemente continua en tal intervalo. Como $f$ es uniformemente continua en $[0,2]$ y $[1, \infty)$, entonces también lo es en $A = [0,2] \cup [1, \infty)$.

$\square$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Demostrar que la función $f(x) = \frac{1}{x}$ es uniformemente continua en $[a, \infty)$ siendo $a$ una constante positiva.
  • Prueba que la función $f(x) = \frac{1}{x^2}$ no es uniformemente continua en $(0, \infty)$.
  • Determina si la función $f(x) = sen(\frac{1}{x})$ es o no uniformemente continua en $(0, \infty)$.
  • Demuestra que si $f$ y $g$ son funciones uniformemente continuas en $A \subseteq \mathbb{R}$, entonces $f+g$ también es uniformemente continua en $A$.
  • Demuestra que si $f$ y $g$ son funciones uniformemente continuas en $A \subseteq \mathbb{R}$ y ambas están acotadas en $A$, entonces $f \cdot g$ es uniformemente continua en $A$.

Más adelante…

En las siguientes entradas complementaremos el estudio de las funciones continuas revisando propiedades específicas relacionas con las funciones monótonas. Adicionalmente, responderemos una pregunta que surge de forma muy natural: si $f$ es una función continua, ¿qué sucede con su inversa?

Entradas relacionadas

1 comentario en “Cálculo Diferencial e Integral I: Continuidad uniforme

  1. Siller

    Prueba que la función f(x)=1/x^2

    no es uniformemente continua en (0,infinito)
    Puede subir alguna guia para solucionar lo hice de varias formas pero no se como escoger las sucesiones comi deben ser

    Responder

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.