Archivo de la etiqueta: Conjunto fundamental de soluciones

Ecuaciones Diferenciales I: Soluciones a ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

En la entrada anterior comenzamos a estudiar los problemas con valores iniciales (PVI) y problemas con valores en la frontera (PVF), ambos para el caso de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Vimos también que si $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{k}$ son $k$ soluciones de una ecuación homogénea de $n$-ésimo orden en un intervalo $\delta$, entonces la combinación lineal $y(x) = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + \cdots + c_{k}y_{k}(x)$, donde las $c_{i}$, $i = 1, 2, \cdots, k$ son constantes, también es solución en el intervalo $\delta$, este resultado es conocido como principio de superposición y nuestro propósito en esta entrada es estudiar las propiedades de todas estas soluciones donde la independencia lineal de las funciones jugará un papel muy importante en la construcción del conjunto fundamental de soluciones y de la solución general.

Es importante tener presente el concepto de conjunto fundamental de soluciones presentado en la entrada anterior. A continuación se muestra de nuevo la definición.

Definición: Cualquier conjunto $\{y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\}$ de $n$ soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea de $n$-ésimo orden en un intervalo $\delta$ es un conjunto fundamental de soluciones en dicho intervalo.

Soluciones a ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

Estamos interesados en soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden superior de la forma

\begin{align}
a_{n}(x) \dfrac{d^{n}y}{dx^{n}} + a_{n-1}(x) \dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x)y = 0 \label{1} \tag{1}
\end{align}

Al intentar responder la cuestión de si el conjunto de $n$ soluciones $\{y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\}$ de (\ref{1}) es linealmente independiente podemos apelar directamente a la definición de independencia lineal, sin embargo esta pregunta se puede responder de una forma mecánica usando un determinante llamado el Wronskiano.

Definición: Supongamos que cada una de las funciones $f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{n}(x)$ tiene al menos $n -1$ derivadas. El determinante

\begin{align}
W(f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{n}) = \begin{vmatrix}
f_{1} & f_{2} & \cdots & f_{n} \\
f_{1}^{\prime} & f_{2}^{\prime} &\cdots &f_{n}^{\prime} \\
\vdots &\vdots & & \vdots \\
f_{1}^{(n -1)} & f_{2}^{(n -1)} & \cdots & f_{n}^{(n -1)}
\end{vmatrix} \label{2} \tag{2}
\end{align}

donde las primas denotan derivadas, se llama el Wronskiano de las funciones.

El Wronskiano es una herramienta que podemos utilizar para determinar si el conjunto de soluciones a la ecuación (\ref{1}) es un conjunto linealmente independiente y la forma de hacerlo es a través del siguiente teorema conocido como criterio para soluciones linealmente independientes.

Teorema: Sean $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}$, $n$ soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de $n$-ésimo orden (\ref{1}) en el intervalo $\delta$. El conjunto de soluciones es linealmente independiente en $\delta$ si, y solo si $W(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}) \neq 0$ para toda $x$ en el intervalo $\delta$.

Este teorema nos dice que sólo basta mostrar que el Wronskiano es distinto de cero para garantizar que el conjunto de soluciones $\{y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\}$ es linealmente independiente y por tanto formará un conjunto fundamental de soluciones.

Al conjunto de soluciones linealmente independiente $\{y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\}$ de la ecuación (\ref{1}) se le denomina fundamental porque, así como cualquier vector en $\mathbb{R}^{3}$ se puede expresar como una combinación lineal de los vectores linealmente independientes $\hat{i}, \hat{j}$ y $\hat{k}$, cualquier solución a una ecuación de la forma (\ref{1}) se puede expresar como una combinación lineal de las $n$ soluciones del conjunto fundamental, podemos decir que las soluciones $\{y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\}$ son los bloques básicos para la solución general de la ecuación.

En el siguiente teorema se enuncia la forma general de la solución a la ecuación (\ref{1}).

Teorema: Sea $\{y_{1},y_{2}, \cdots, y_{n}\}$ un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de $n$-ésimo orden (\ref{1}) en el intervalo $\delta$. Entonces la solución general de la ecuación en el intervalo es

$$y(x) = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + \cdots + c_{n}y_{n}(x) \label{3} \tag{3}$$

donde $c_{i} , i = 1,2, \cdots, n$ son constantes arbitrarias.

Aterricemos estas ideas generales al caso de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden.

Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden

Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden es de la forma

$$a_{2}(x) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x)y = 0 \label{4} \tag{4}$$

Sobre esta ecuación desarrollaremos la siguiente teoría. Primero definamos el Wronskiano para el caso $n = 2$.

Definición: Sean $y_{1}(x)$ y $y_{2}(x)$ soluciones de la ecuación (\ref{4}), el Wronskiano de las funciones es

\begin{align}
W(y_{1}, y_{2}) = \begin{vmatrix}
y_{1} & y_{2} \\
\dfrac{dy_{1}}{dx} & \dfrac{dy_{2}}{dx} \\
\end{vmatrix} = y_{1}\dfrac{dy_{2}}{dx} -y_{2}\dfrac{dy_{1}}{dx} \label{5} \tag{5}
\end{align}

Ahora que conocemos la forma del Wronskiano para $n = 2$ demostremos el teorema de la solución general para el caso $n = 2$.

Teorema: Sean $y_{1}(x)$ y $y_{2}(x)$ soluciones de la ecuación (\ref{4}) en el intervalo $\delta$ y supongamos que $W(y_{1}, y_{2}) \neq 0$ para toda $x \in \delta$, entonces $y(x) = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x)$ es la solución general de la ecuación diferencial (\ref{4}).

Demostración: Sea $y(x)$ una solución a la ecuación diferencial (\ref{4}) en el intervalo $\delta$ y sea $x_{0} \in \delta$ tal que $y(x_{0}) = \alpha$ y $\dfrac{dy}{dx}(x_{0}) = \beta$ con $\alpha$ y $\beta$ constantes. Supongamos que existen $c_{1}$ y $c_{2}$ constantes tales que

$$\alpha = c_{1}y_{1}(x_{0}) + c_{2}y_{2}(x_{0}) \label{6} \tag{6}$$

y

$$\beta = c_{1} \dfrac{dy_{1}}{dx}(x_{0}) + c_{2} \dfrac{dy_{2}}{dx}(x_{0}) \label{7} \tag{7}$$

esto debido a que por hipótesis $y_{1}(x)$ y $y_{2}(x)$ son soluciones a la ecuación diferencial y por tanto la combinación lineal también lo será. Aplicando el teorema de existencia y unicidad obtenemos que la solución $y(x)$ tiene que ser de la forma $y(x) = c_{1}y_{1} + c_{2}y_{2}$ por lo que nuestro problema se reduce a demostrar que las constantes $c_{1}$ y $c_{2}$ existen.

Si multiplicamos a la ecuación (\ref{6}) por $\dfrac{dy_{2}}{dx}(x_{0})$ y a la ecuación (\ref{7}) por $y_{2}(x_{0})$ obtenemos lo siguiente, respectivamente:

$$\alpha \dfrac{dy_{2}}{dx}(x_{0}) = c_{1}y_{1}(x_{0}) \dfrac{dy_{2}}{dx}(x_{0}) + c_{2}y_{2}(x_{0}) \dfrac{dy_{2}}{dx}(x_{0}) \label{8} \tag{8}$$

y

$$\beta y_{2}(x_{0}) = c_{1} y_{2}(x_{0}) \dfrac{dy_{1}}{dx}(x_{0}) + c_{2} y_{2}(x_{0}) \dfrac{dy_{2}}{dx}(x_{0}) \label{9} \tag{9}$$

Restémosle a la ecuación (\ref{8}) la ecuación (\ref{9}).

\begin{align*}
\alpha \dfrac{dy_{2}}{dx}(x_{0}) -\beta y_{2}(x_{0}) &= c_{1} y_{1}(x_{0}) \dfrac{dy_{2}}{dx}(x_{0}) -c_{1} y_{2}(x_{0}) \dfrac{dy_{2}}{dx}(x_{0}) \\
&= c_{1} \left( y_{1}(x_{0}) \dfrac{dy_{2}}{dx}(x_{0}) -y_{2}(x_{0}) \dfrac{dy_{2}}{dx}(x_{0}) \right) \label{10} \tag{10}
\end{align*}

Sabemos que el Wronskiano, en $x = x_{0}$, está definido como

$$W(y_{1}(x_{0}), y_{2}(x_{0})) = y_{1}(x_{0}) \dfrac{dy_{2}}{dx}(x_{0}) -y_{2}(x_{0}) \dfrac{dy_{1}}{dx}(x_{0})$$

Por comodidad denotaremos a $W(y_{1}(x_{0}), y_{2}(x_{0}))$ como $W(x_{0})$. Entonces la ecuación (\ref{10}) se puede escribir de la siguiente manera:

$$\alpha \dfrac{dy_{2}}{dx}(x_{0}) -\beta y_{2}(x_{0}) = c_{1} W(x_{0})$$

Debido a que por hipótesis $W(y_{1}, y_{2}) \neq 0$ para toda $x \in \delta$, en particular lo es en $x = x_{0}$, por tanto podemos despejar a la constante $c_{1}$ y así obtener un valor para dicha constante lo que muestra su existencia.

Para obtener la expresión de $c_{2}$ seguimos el mismo camino, multiplicamos a la ecuación (\ref{6}) por $\dfrac{dy_{1}}{dx}(x_{0})$ y a la ecuación (\ref{7}) por $y_{1}(x_{0})$ y repetimos el mismo procedimiento demostrando que existe un valor para la constante $c_{2}$.

Como hemos encontrado valores para $c_{1}$ y $c_{2}$ entonces existen y por lo tanto la solución general a la ecuación (\ref{4}) es $y(x) = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x)$.

$\square$

Ya hemos definido lo que es el conjunto fundamental de soluciones de una ecuación diferencial de orden $n$, para el caso $n = 2$ lo podemos definir de la siguiente manera:

Definición: Decimos que $\{ y_{1}(x), y_{2}(x) \}$ es un conjunto fundamental de soluciones para la ecuación (\ref{4}) si cualquier solución a la ED puede escribirse como combinación lineal de $y_{1}$ y $y_{2}$, o lo que es equivalente, que $y_{1}$ y $y_{2}$ sean linealmente independientes en $\delta$.

Así, si encontramos un conjunto fundamental de soluciones $\{ y_{1}(x), y_{2}(x) \}$, entonces $W(y_{1}, y_{2}) \neq 0$ para toda $x \in \delta$ y por tanto $y(x) = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x)$ será la solución general de la ecuación diferencial (\ref{4}).

Del criterio para soluciones linealmente independientes se puede hacer notar que cuando $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}$ son $n$ soluciones de la ecuación (\ref{1}) en un intervalo $\delta$, el Wronskiano $W(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n})$ es siempre igual a cero o nunca es cero en todo $\delta$. Vamos a demostrar este hecho para el caso $n = 2$.

Teorema: Sean $a_{2}(x) \neq 0$, $a_{1}(x)$ y $a_{0}(x)$ funciones continuas en $\delta$ de la ecuación (\ref{4}) y sean $y_{1}(x)$ y $y_{2}(x)$ soluciones a la misma ecuación en $\delta$. Entonces $W(y_{1}, y_{2}) = 0$ o $W(y_{1}, y_{2}) \neq 0$ para todo $x \in \delta$.

Demostración: Como $y_{1}(x)$ y $y_{2}(x)$ son soluciones de la ecuación (\ref{4}), entonces

$$a_{2}(x) \dfrac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}} + a_{1}(x) \dfrac{dy_{1}}{dx} + a_{0}(x)y_{1} = 0 \label{11} \tag{11}$$

y

$$a_{2}(x) \dfrac{d^{2}y_{2}}{dx^{2}} + a_{1}(x) \dfrac{dy_{2}}{dx} + a_{0}(x)y_{2} = 0 \label{12} \tag{12}$$

Si multiplicamos a la ecuación (\ref{11}) por $y_{2}$ y a la ecuación (\ref{12}) por $y_{1}$ obtenemos lo siguiente, respectivamente.

$$y_{2}a_{2}(x) \dfrac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}} + y_{2} a_{1}(x) \dfrac{dy_{1}}{dx} + y_{2}a_{0}(x)y_{1} = 0 \label{13} \tag{13}$$

y

$$y_{1}a_{2}(x) \dfrac{d^{2}y_{2}}{dx^{2}} + y_{1}a_{1}(x) \dfrac{dy_{2}}{dx} + y_{1}a_{0}(x)y_{2} = 0 \label{14} \tag{14}$$

A la ecuación (\ref{14}) vamos a restarle la ecuación (\ref{13}):

$$a_{2}(x) \left( y_{1} \dfrac{d^{2}y_{2}}{dx^{2}} -y_{2}\dfrac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}} \right) + a_{1}(x) \left( y_{1} \dfrac{dy_{2}}{dx} -y_{2}\dfrac{dy_{1}}{dx}\right) = 0 \label{15} \tag{15}$$

Sabemos que $W(y_{1}, y_{2}) = y_{1} \dfrac{dy_{2}}{dx} -y_{2}\dfrac{dy_{1}}{dx}$ y notemos lo siguiente:

\begin{align*}
\dfrac{dW}{dx} &= \dfrac{d}{dx} \left( y_{1} \dfrac{dy_{2}}{dx} -y_{2}\dfrac{dy_{1}}{dx}\right) \\
&= \dfrac{dy_{1}}{dx} \dfrac{dy_{2}}{dx} + y_{1} \dfrac{d^{2}y_{2}}{dx^{2}} -\dfrac{dy_{2}}{dx} \dfrac{dy_{1}}{dx} -y_{2} \dfrac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}} \\
&= y_{1} \dfrac{d^{2}y_{2}}{dx^{2}} -y_{2}\dfrac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}}
\end{align*}

Es decir,

$$\dfrac{dW}{dx} = y_{1} \dfrac{d^{2}y_{2}}{dx^{2}} -y_{2}\dfrac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}} \label{16} \tag{16}$$

En términos del Wronskiano la ecuación (\ref{15}) se puede escribir como

$$a_{2}(x) \dfrac{dW}{dx} + a_{1}(x) W = 0 \label{17} \tag{17}$$

Como $a_{2}(x) \neq 0$ para toda $x \in \delta$, entonces podemos definir la función $P(x) = \dfrac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}$ tal que la ecuación (\ref{17}) se pueda escribir como

$$\dfrac{dW}{dx} + P(x) W = 0 \label{18} \tag{18}$$

La ecuación (\ref{18}) corresponde a una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden y ya sabemos que la solución es de la forma $W(x) = ke^{-\int{P(x)} dx}$, de manera que hay dos posibilidades:

  • Si $k = 0 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} W(x) = 0, \hspace{0.5cm} \forall x \in \delta$
  • Si $k \neq 0 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} W(x) \neq 0, \hspace{0.5cm} \forall x \in \delta$

$\square$

El criterio para soluciones linealmente independientes nos garantiza que si el Wronskiano es distinto de cero entonces el conjunto de soluciones es linealmente independiente en $\delta$, lo opuesto es cierto bajo ciertas condiciones, si el Wronskiano es igual a cero entonces el conjunto de soluciones es linealmente dependiente. Demostremos este hecho.

Teorema: Sean $a_{2}(x) \neq 0$, $a_{1}(x)$ y $a_{0}(x)$ funciones continuas en $\delta$ de la ecuación (\ref{4}) y sean $y_{1}$ y $y_{2} \neq 0$ soluciones a la misma ecuación en $\delta$. Supongamos que $W(y_{1}(x), y_{2}(x)) = 0$, $\forall x \in \delta$. Entonces $y_{1}(x)$ y $y_{2}(x)$ son linealmente dependientes.

Demostración: Por hipótesis $W(y_{1}(x), y_{2}(x)) = 0$, $\forall x \in \delta$, es decir

$$y_{1} \dfrac{dy_{2}}{dx} -y_{2}\dfrac{dy_{1}}{dx} = 0 \label{19} \tag{19}$$

Consideremos el siguiente resultado:

$$\dfrac{d}{dx} \left( -\dfrac{y_{1}}{y_{2}} \right) = \dfrac{1}{y^{2}_{2}} \left( y_{1} \dfrac{dy_{2}}{dx} -y_{2}\dfrac{dy_{1}}{dx} \right) \label{20} \tag{20}$$

Donde hemos considerado la hipótesis $y_{2} \neq 0$. Si usamos la hipótesis (\ref{19}) obtenemos que $\dfrac{d}{dx} \left( -\dfrac{y_{1}}{y_{2}} \right) = 0$, $\forall x \in \delta$, integrando esta ecuación obtenemos que $-\dfrac{y_{1}}{y_{2}} = -k$, o bien, $y_{1}(x) = k y_{2}(x)$, con $k$ una constante. Esto demuestra que $y_{1}$ y $y_{2}$ son linealmente dependientes.

$\square$

Hay que tener muy presentes las hipótesis de este teorema pues es posible que el Wronskiano sea cero aún cuando las funciones consideradas en un cierto intervalo sean linealmente independientes en él.

Como consecuencia del teorema anterior podemos establecer el criterio para soluciones linealmente independientes en el caso $n = 2$.

Corolario: Dos soluciones $y_{1}(x)$ y $y_{2}(x)$ de la ecuación diferencial (\ref{4}) son linealmente independientes en $\delta$ si, y sólo si $W(y_{1}(x), y_{2}(x)) \neq 0$, $\forall x \in \delta$.

Realicemos un ejemplo.

Ejemplo: En la entrada anterior de tarea moral tenías que verificar que las funciones $y_{1}(x) = e^{-3x}$ y $y_{2}(x) = e^{4x}$ forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -\dfrac{dy}{dx} -12y = 0$ en $\delta = (-\infty, \infty)$. Vamos a demostrar esto mismo usando los teoremas vistos anteriormente.

Solución: Consideremos las soluciones $y_{1}(x) = e^{-3x}$ y $y_{2}(x) = e^{4x}$ y sus respectivas derivadas $\dfrac{dy_{1}}{dx} = -3e^{-3x}$ y $\dfrac{dy_{2}}{dx} = 4e^{4x}$. Calculemos el Wronskiano.

\begin{align*}
W(y_{1}, y_{2}) = \begin{vmatrix}
e^{-3x} & e^{4x} \\
-3e^{-3x} & 4e^{4x} \\
\end{vmatrix} = e^{-3x}(4e^{4x}) -e^{4x}(-3e^{-3x}) = 7e^{-x} \neq 0
\end{align*}

Como $W(y_{1}, y_{2}) = 7 e^{-x} \neq 0$, entonces $\{ y_{1}(x) = e^{-3x}, y_{2}(x) = e^{4x}\}$ forma un conjunto fundamental de soluciones y la solución general está dada por $y(x) = c_{1}e^{-3x} + c_{2}e^{4x}$.

$\square$

Con esto concluimos el estudio de algunas propiedades importantes de las soluciones a la ecuación diferencial lineal homogénea de orden superior, terminemos esta entrada con el estudio del caso no homogéneo.

Ecuaciones NO homogéneas

La ecuación diferencial lineal no homogénea de $n$-ésimo orden es

$$a_{n}(x) \dfrac{d^{n}y}{dx^{n}} + a_{n-1}(x) \dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x)y = g(x) \label{21} \tag{21}$$

Nuestro objetivo es obtener la forma general de la solución a la ecuación no homogénea (\ref{21}) y estudiar algunas propiedades de las soluciones.

Definición: Una función $y_{p}(x)$ que es libre de parámetros arbitrarios y que satisface la ecuación diferencial lineal no homogénea de $n$-ésimo orden (\ref{21}) se dice que es una solución particular o integral particular de la ecuación.

Si recordamos al operador polinomial

$$\mathcal{L} = a_{n}(x)D^{n} + a_{n -1}(x)D^{n -1} + \cdots + a_{1}(x)D + a_{0}(x)$$

la definición anterior implica que $\mathcal{L}\{y_{p}\} = g(x)$. Veamos el siguiente resultado.

Teorema: Sean $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}$ soluciones a la ecuación diferencial homogénea (\ref{1}) en el intervalo $\delta$ y sea $y_{p}$ la solución particular de la ecuación no homogénea (\ref{21}) en $\delta$. Entonces la combinación lineal

$$y(x) = c_{1}y_{1} + c_{2}y_{2} + \cdots + c_{n}y_{n} + y_{p} \label{22} \tag{22}$$

es solución a la ecuación no homogénea (\ref{21}), en $\delta$.

Demostración: Sea $y(x)$ la combinación lineal $y(x) = c_{1}y_{1} + c_{2}y_{2} + \cdots + c_{n}y_{n} + y_{p}$, si aplicamos el operador polinomial, tenemos

\begin{align*}
\mathcal{L} \{y(x)\} &= \mathcal{L} \{c_{1}y_{1} + c_{2}y_{2} + \cdots + c_{n}y_{n} + y_{p}\} \\
&= c_{1}\mathcal{L}\{y_{1}\} + c_{2}\mathcal{L}\{y_{2}\} + \cdots + c_{n}\mathcal{L}\{y_{n}\} + \mathcal{L}\{y_{p}\} \\
&= 0 + g(x) \\
&= g(x)
\end{align*}

Ya que $\mathcal{L}\{y_{i}\} = 0$ para cada $i = 1, 2, \cdots, n$ por ser cada $y_{i}$ solución a la ecuación homogénea, mientras que $\mathcal{L}\{y_{p}\} = g(x)$ por ser solución a la ecuación no homogénea. Entonces, como $\mathcal{L} \{y(x)\} = g(x)$, concluimos que la combinación lineal $y(x) = c_{1}y_{1} + c_{2}y_{2} + \cdots + c_{n}y_{n} + y_{p}$ es solución a la ecuación diferencial no homogénea.

$\square$

¿Y qué ocurre si las soluciones $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}$ forman un conjunto fundamental de soluciones?. La respuesta es que la combinación lineal $y(x) = c_{1}y_{1} + c_{2}y_{2} + \cdots + c_{n}y_{n} + y_{p}$ sería la solución general a la ecuación diferencial no homogénea (\ref{21}). Demostremos este resultado.

Teorema: Sea $y_{p}(x)$ cualquier solución particular de la ecuación diferencial lineal no homogénea de $n$-ésimo orden (\ref{21}) en el intervalo $\delta$, y sea $\{ y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n} \}$ un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial homogénea asociada (\ref{1}) en $\delta$. Entonces la solución general de la ecuación no homogénea es

$$y(x) = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + \cdots + c_{n}y_{n}(x) + y_{p}(x) \label{23} \tag{23}$$

en el intervalo $\delta$ y donde $c_{i}, i = 1, 2, \cdots, n$ son constantes arbitrarias.

Demostración: Sea $y(x)$ la solución general de la ecuación no homogénea (\ref{21}) y sea $y_{p}(x)$ una solución particular de la misma ecuación, ambas definidas en el intervalo $\delta$, de manera que $\mathcal{L} \{ y(x)\} = \mathcal{L} \{ y_{p}(x)\} = g(x)$, con $\mathcal{L}$ el operador polinomial. Nuestro objetivo es encontrar la forma explícita de $y(x)$.

Definamos la función $h(x) = y(x) -y_{p}(x)$ y notemos lo siguiente:

\begin{align*}
\mathcal{L} \{ h(x) \} &= \mathcal{L} \{ y(x) -y_{p}(x) \} \\
&= \mathcal{L} \{ y(x) \} -\mathcal{L} \{ y_{p}(x) \} \\
&= g(x) -g(x) \\
&= 0
\end{align*}

Esto es, $\mathcal{L} \{ h(x) \} = 0$, lo que significa que la función $h(x)$ es solución a la ecuación homogénea (\ref{1}) y por el teorema de la solución general de ecuaciones homogéneas podemos establecer que la función $h(x)$ tiene la siguiente forma:

$$h(x) = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + \cdots + c_{n}y_{n}(x) \label{24} \tag{24}$$

Con $\{ y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n} \}$ un conjunto fundamental de soluciones. Sustituyendo (\ref{24}) en $h(x) = y(x) -y_{p}(x)$ y despejando a la solución general $y(x)$ obtenemos finalmente que

$$y(x) = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + \cdots + c_{n}y_{n}(x) + y_{p}(x)$$

que es lo que queríamos demostrar.

$\square$

Recuerda, la diferencia entre las soluciones $(\ref{22})$ y $(\ref{23})$ es que en $(\ref{23})$ las $y_{i}, i = 1, 2, \cdots, n$ forman un conjunto fundamental de soluciones, es decir, son linealmente independientes entre sí, mientras que en (\ref{22}) no necesariamente forman una conjunto fundamental y sin embargo, también son solución a la ecuación (\ref{21}).

En el caso de las ecuaciones no homogéneas vemos que la solución general corresponde a la suma de la solución general de la ecuación homogénea asociada más una solución particular de la ecuación no homogénea, en este caso no homogéneo la solución general de la ecuación homogénea tiene un nombre especial.

Definición: La combinación lineal $y_{c}(x) = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + \cdots + c_{n}y_{n}(x)$, que es la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea de $n$-ésimo orden (\ref{1}), se denomina función complementaria para la ecuación no homogénea (\ref{21}).

Por tanto, resolver una ecuación lineal no homogénea implica resolver primero la ecuación homogénea asociada para obtener la función complementaria $y_{c}(x)$ y luego se encuentra una solución particular $y_{p}(x)$ a la ecuación no homogénea para finalmente sumarlas $y(x) = y_{c}(x) + y_{p}(x)$.

Realicemos un ejemplo.

Ejemplo: Probar que la función $y(x) = c_{1} e^{2x} + c_{2}x e^{2x} + x^{2} e^{2x} + x -2$, definida en el intervalo $\delta = (-\infty, \infty)$, es la solución general de la ecuación diferencial

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -4 \dfrac{dy}{dx} + 4y = 2 e^{2x} + 4x -12$$

Solución: Primero probemos que las funciones $y_{1} = e^{2x}$ y $y_{2} = x e^{2x}$ forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -4 \dfrac{dy}{dx} + 4y = 0$$

Para ello veamos que $y_{1}$ y $y_{2}$ son soluciones de la ecuación homogénea y que son linealmente independientes, es decir, que $W(y_{1}, y_{2}) \neq 0$. Calculemos las derivadas.

$$y_{1} = e^{2x} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} \dfrac{dy_{1}}{dx} = 2 e^{2x} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} \dfrac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}} = 4 e^{2x}$$

$$y_{2} = xe^{2x} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} \dfrac{dy_{2}}{dx} = e^{2x} + 2x e^{2x} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} \dfrac{d^{2}y_{2}}{dx^{2}} = 4 e^{2x} + 4x e^{2x}$$

Si sustituyes los valores correspondientes en la ecuación homogénea notaras que se satisface la ecuación, es decir, se cumple que

$$\dfrac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}} -4 \dfrac{dy_{1}}{dx} + 4y_{1} = 0 \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{d^{2}y_{2}}{dx^{2}} -4 \dfrac{dy_{2}}{dx} + 4y_{2} = 0$$

Por lo tanto, ambas son soluciones de la ecuación homogénea. Calculemos el Wronskiano.

\begin{align*}
W(y_{1}, y_{2}) = \begin{vmatrix}
e^{2x} & xe^{2x} \\
2 e^{2x} & e^{2x} + 2x e^{2x} \\
\end{vmatrix} = e^{2x}(e^{2x} + 2x e^{2x}) -xe^{2x}(2e^{2x}) = e^{4x} \neq 0
\end{align*}

Como $W(y_{1}, y_{2}) \neq 0$, $\forall x \in \delta$, por los teoremas vistos anteriormente concluimos que $\{y_{1} = e^{2x}, y_{2} = x e^{2x} \}$ forma un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada y que la solución general a dicha ecuación es $y_{c}(x) = c_{1} e^{2x} + c_{2}x e^{2x}$, donde el subíndice $c$ indica que es la función complementaria.

Ahora verifiquemos que la función $y_{p}(x) = x^{2} e^{2x} + x -2$ es una solución particular de la ecuación no homogénea. Calculemos la primera y segunda derivada.

$$\dfrac{dy_{p}}{dx} = 2x e^{2x} + 2x^{2} e^{2x} + 1$$

$$\dfrac{d^{2}y_{p}}{dx^{2}} = 2 e^{2x} + 8x e^{2x} + 4x^{2} e^{2x}$$

Sustituyendo en la ecuación diferencial tenemos

\begin{align*}
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -4 \dfrac{dy}{dx} + 4y &= (2 e^{2x} + 8x e^{2x} + 4x^{2} e^{2x}) -4(2x e^{2x} + 2x^{2} e^{2x} + 1) +4(x^{2} e^{2x} + x -2) \\
&= 2e^{2x} + (8x e^{2x} -8x e^{2x}) + (4x^{2} e^{2x} -8x^{2} e^{2x} + 4x^{2} e^{2x}) + 4x -12 \\
&= 2e^{2x} +4x -12
\end{align*}

Esto es, $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -4 \dfrac{dy}{dx} + 4y = 2e^{2x} +4x -12$, que justo corresponde a la ecuación diferencial no homogénea, por lo tanto, efectivamente $y_{p}$ es una solución particular.

Como $\{y_{1} = e^{2x}, y_{2} = x e^{2x} \}$ es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada y $y_{p}(x) = x^{2} e^{2x} + x -2$ es una solución particular de la ecuación no homogénea, por el teorema de la solución general de ecuaciones no homogéneas concluimos que la función $y(x) = c_{1} e^{2x} + c_{2}x e^{2x} + x^{2} e^{2x} + x -2$ es la solución general a la ecuación no homogénea.

$\square$

Hay algo muy curioso que ocurre en el ejemplo anterior. Mostramos que la función $y_{p}(x) = x^{2} e^{2x} + x -2$ es una solución particular de la ecuación no homogénea

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -4 \dfrac{dy}{dx} + 4y = 2e^{2x} +4x -12 = g(x)$$

Sin embargo, si haces los cálculos correspondientes notarás que la función $y_{p1}(x) = x^{2} e^{2x}$ es una solución particular de la ecuación

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -4 \dfrac{dy}{dx} + 4y = 2e^{2x} = g_{1}(x)$$

mientras que la función $y_{p2}(x) = x -2$ es una solución particular de la ecuación

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -4 \dfrac{dy}{dx} + 4y = 4x -12 = g_{2}(x)$$

Así, si superponemos las soluciones particulares $y_{p}(x) = y_{p1}(x) + y_{p2}(x)$ obtenemos en la ecuación diferencial la superposición de la funciones $g(x) = g_{1}(x) + g_{2}(x)$.

Lo anterior es efecto del principio de superposición para ecuaciones no homogéneas.

Teorema: Sean $y_{p1}, y_{p2}, \cdots, y_{pk}$, $k$ soluciones particulares de la ecuación diferencial lineal no homogénea de $n$-ésimo orden (\ref{21}) en un intervalo $\delta$, que corresponde, a su vez, a $k$ funciones diferentes $g_{1}, g_{2}, \cdots, g_{k}$. Es decir, se supone que $y_{pi}$ denota una solución particular de la ecuación diferencial correspondiente

$$a_{n}(x) \dfrac{d^{n}y}{dx^{n}} + a_{n-1}(x) \dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x)y = g_{i}(x) \label{25} \tag{25}$$

donde $i = 1, 2, , \cdots, k$. Entonces,

$$y_{p}(x) = y_{p1}(x) + y_{p2}(x) + \cdots + y_{pk}(x) \label{26} \tag{26}$$

es una solución particular de

$$a_{n} \dfrac{d^{n}y}{dx^{n}} + a_{n-1} \dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_{1} \dfrac{dy}{dx} + a_{0}y = g_{1}(x) + g_{2}(x) + \cdots + g_{k}(x) \label{27} \tag{27}$$

Demostración: Sea $\mathcal{L}$ el operador polinomial y sean $y_{pi}(x)$, $i = 1, 2, \cdots, k$, soluciones particulares de las ecuaciones no homogéneas $\mathcal{L} \{ y_{pi}(x) \} = g_{i}$, $i = 1, 2, \cdots, k$ respectivamente. Vamos a definir la función

$$y_{p}(x) = y_{p1}(x) + y_{p2}(x) + \cdots + y_{pk}(x)$$

Nuestro objetivo es demostrar que la función $y_{p}(x)$ es una solución particular de la ecuación (\ref{27}), es decir, que se cumple que

$$\mathcal{L} \{ y_{p}(x) \} = g_{1}(x) + g_{2}(x) + \cdots + g_{k}(x)$$

En efecto

\begin{align*}
\mathcal{L} \{ y_{p}(x)\} &= \mathcal{L} \{ y_{p1}(x) + y_{p2}(x) + \cdots + y_{pk}(x) \} \\
&= \mathcal{L} \{ y_{p1}(x) \} + \mathcal{L} \{ y_{p2}(x) \} + \cdots + \mathcal{L} \{ y_{pk}(x) \} \\
&= g_{1}(x) + g_{2}(x) + \cdots + g_{k}(x)
\end{align*}

Con esto queda probado que $y_{p}(x) = y_{p1}(x) + y_{p2}(x) + \cdots + y_{pk}(x)$ es solución de (\ref{27}).

$\square$

Corolario: Si la soluciones $y_{pi}(x)$ son soluciones particulares de (\ref{25}) para $i = 1, 2, \cdots, k$, entonces la combinación lineal

$$y_{p}(x) = c_{1}y_{p1}(x) + c_{2}y_{p2}(x) + \cdots + c_{k}y_{pk}(x) \label{28} \tag{28}$$

donde las $c_{i}$ son constantes, es también una solución particular de la ecuación diferencial

$$a_{n} \dfrac{d^{n}y}{dx^{n}} + a_{n-1} \dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_{1} \dfrac{dy}{dx} + a_{0}y = c_{1}g_{1} + c_{2}g_{2} + \cdots + c_{k}g_{k} \label{29} \tag{29}$$

Realicemos un último ejemplo.

Ejemplo: Probar que

  • $y_{p1}(x) = -4x^{2} \hspace{0.5cm}$ es solución particular de $\hspace{0.5cm} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -3\dfrac{dy}{dx} + 4y = -16x^{2} + 24x -8$,
  • $y_{p2}(x) = e^{2x} \hspace{0.9cm}$ es solución particular de $\hspace{0.5cm} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -3\dfrac{dy}{dx} + 4y = 2e^{2x}$,
  • $y_{p3}(x) = xe^{x} \hspace{0.9cm}$ es solución particular de $\hspace{0.5cm} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -3\dfrac{dy}{dx} + 4y = 2x e^{x} -e^{x}$.

y probar que la superposición $y = y_{p1} + y_{p2} + y_{p3} = -4x^{2} + e^{2x} + xe^{x}$ es una solución de

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -3\dfrac{dy}{dx} + 4y = -16x^{2} + 24x -8 + 2e^{2x} + 2xe^{x} -e^{x}$$

Solución: Sean $g_{1}(x) = -16x^{2} + 24x -8$, $g_{2}(x) = 2e^{2x}$ y $g_{3}(x) = 2x e^{x} -e^{x}$, de tarea moral muestra que efectivamente

$$\dfrac{d^{2}y_{p1}}{dx^{2}} -3\dfrac{dy_{p1}}{dx} + 4y_{p1} = g_{1}(x)$$

$$\dfrac{d^{2}y_{p2}}{dx^{2}} -3\dfrac{dy_{p2}}{dx} + 4y_{p2} = g_{2}(x)$$

$$\dfrac{d^{2}y_{p3}}{dx^{2}} -3\dfrac{dy_{p3}}{dx} + 4y_{p3} = g_{3}(x)$$

Por el principio de superposición para ecuaciones no homogéneas sabemos que la función $y(x) = y_{p1}(x) + y_{p2}(x) + y_{p3}(x)$ es solución de la ecuación

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -3\dfrac{dy}{dx} + 4y = g_{1}(x) + g_{2}(x) + g_{3}(x)$$

Por lo tanto, la función $y(x) = -4x^{2} + e^{2x} + xe^{x}$ es solución a la ecuación diferencial

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -3\dfrac{dy}{dx} + 4y = -16x^{2} + 24x -8 + 2e^{2x} + 2xe^{x} -e^{x}$$

Si gustas puedes calcular la primera y segunda derivada de $y(x)$ y verificar la ecuación anterior para asegurarte del resultado.

$\square$

Con esto concluimos nuestro estudio sobre algunas propiedades de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. En la siguiente entrada conoceremos un primer método para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Dadas las soluciones a las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden superior en el intervalo dado, calcular el Wronskiano para determinar si es un conjunto fundamental de soluciones y en caso de serlo dar la solución general.
  • $x^{3} \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}} + 6x^{2} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 4x \dfrac{dy}{dx} -4y = 0$, con soluciones

$\hspace{1cm} y_{1} = x, \hspace{0.6cm} y_{2} = \dfrac{1}{x^{2}}, \hspace{0.6cm} y_{3} = \dfrac{1}{x^{2}} \ln(x); \hspace{1cm} \delta = (0, \infty)$.

  • $\dfrac{d^{4}y}{dx^{4}} + \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = 0$, con soluciones

$\hspace{1cm} y_{1} = 1, \hspace{0.6cm} y_{2} = x, \hspace{0.6cm} y_{3} = \cos(x), \hspace{0.6cm} y_{4} = \sin(x); \hspace{1cm} \delta = (\infty, \infty)$.

  1. Dadas las soluciones a las siguientes ecuaciones diferenciales lineales NO homogéneas de orden superior en el intervalo dado, probar que se trata de la solución general a la ecuación.
  • $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -7 \dfrac{dy}{dx} + 10y = 24 e^{x}$, con solución

$\hspace{1cm} y(x) = c_{1} e^{2x} + c_{2} e^{5x} + 6 e^{x}; \hspace{1cm} \delta = (\infty, \infty)$.

  • $2x^{2} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 5x \dfrac{dy}{dx} + y = x^{2} -x$, con solución

$\hspace{1cm} y(x) = c_{1} \dfrac{1}{\sqrt{x}} + c_{2} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{15}x^{2} -\dfrac{1}{6}x; \hspace{1cm} \delta = (0, \infty)$.

  1. Comprobar que las funciones $y_{p1}(x) = 3 e^{2x}$ y $y_{p2}(x) = x^{2} + 3x$ son, respectivamente, soluciones particulares de

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -6\dfrac{dy}{dx} + 5y = -9 e^{2x} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -6\dfrac{dy}{dx} + 5y = 5x^{2} + 3x -16$$

  1. Usando el ejercicio anterior, encontrar la solución particular de la ecuación

$\hspace{1cm}\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -6\dfrac{dy}{dx} + 5y = 5x^{2} + 3x -16 -9 e^{2x}$

$\hspace{1cm}$ y

$\hspace{1cm} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -6\dfrac{dy}{dx} + 5y = -10x^{2} -6x +32 + e^{2x}$.

Más adelante…

Ahora que ya conocemos algunas propiedades de las ecuaciones diferenciales de orden superior y sus soluciones, en particular de las lineales de segundo orden, es momento de comenzar a estudiar los distintos métodos de resolución de estas ecuaciones diferenciales.

En la siguiente entrada comenzaremos con un método que permite reducir una ecuación de segundo orden a una ecuación de primer orden de manera que podremos resolverla aplicando alguno de los métodos vistos en la unidad anterior. No es casualidad que dicho método se conozca como método de reducción de orden.

Entradas relacionadas

Ecuaciones Diferenciales I: Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

¡Bienvenidos a la segunda unidad del curso de Ecuaciones Diferenciales I!. En la unidad 1 estudiamos las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales de primer orden, en esta segunda unidad comenzaremos a estudiar las ecuaciones diferenciales de orden superior a uno, en particular las ecuaciones lineales de segundo orden.

En la primera entrada del curso vimos que las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar por orden el cual corresponde al orden de la derivada más alta presente en la ecuación diferencial. A las ecuaciones diferenciales de orden mayor a $1$ se le conocen como ecuaciones diferenciales de orden superior. Nuestro enfoque en esta unidad serán las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, pero antes de estudiar los métodos de resolución es necesario establecer una serie de conceptos y teoremas que sustentarán la teoría desarrollada en los métodos de resolución que estudiaremos.

Si bien, la segunda unidad tratará sobre las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, gran parte de esta teoría preliminar la desarrollaremos para el caso general en el que el orden de la ecuación es $n$, con $n$ un número entero mayor a uno, así sólo será suficiente fijar $n = 2$ para referirnos a las ecuaciones de segundo orden.

Ecuaciones Diferenciales lineales de orden superior

Como vimos en la primer entrada, una ecuación diferencial de $n$-ésimo orden en su forma general es

\begin{align}
F(x, y, y^{\prime}, \cdots, y^{(n)}) = 0 \label{1} \tag{1}
\end{align}

Donde $F$ es una función con valores reales de $n + 2$ variables. La ecuación (\ref{1}) se puede escribir en su forma normal como

\begin{align}
\dfrac{d^{n}y}{dx^{n}} = f(x, y, y^{\prime}, \cdots, y^{(n -1)}) \label{2} \tag{2}
\end{align}

Con $f$ una función continua con valores reales. Para el caso en el que la ecuación es lineal, una ED de $n$-ésimo orden se puede escribir como

\begin{align}
a_{n}(x) \dfrac{d^{n}y}{dx^{n}} + a_{n-1}(x) \dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x)y = g(x) \label{3} \tag{3}
\end{align}

Satisfaciendo las propiedades que ya conocemos. La ecuación (\ref{3}) es una ecuación no homogénea, en el caso en el que $g(x) = 0$, decimos que la ecuación es homogénea

\begin{align}
a_{n}(x) \dfrac{d^{n}y}{dx^{n}} + a_{n-1}(x) \dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x)y = 0 \label{4} \tag{4}
\end{align}

Las ecuaciones (\ref{3}) y (\ref{4}) serán entonces el tipo de ecuaciones sobre la cual desarrollaremos esta teoría preliminar.

Para comenzar, estudiemos los problemas con valores iniciales y problemas con valores en la frontera para el caso de ecuaciones diferenciales lineales.

Problema con valores iniciales para ecuaciones lineales

En la unidad anterior definimos lo que es una problema con valores iniciales, esta definición fue general, definamos ahora lo que es un problema con valores iniciales para el caso en el que la ecuación es lineal.

Definición: Sea $\delta$ un intervalo que contiene al punto $x_{0}$, el problema de resolver la ecuación lineal

$$a_{n}(x) \dfrac{d^{n}y}{dx^{n}} + a_{n-1}(x) \dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x)y = g(x)$$

Sujeta a que se cumpla

$$y(x_{0}) = y_{0}, \hspace{0.5cm} y^{\prime}(x_{0}) = y_{1}, \hspace{0.5cm} \cdots , \hspace{0.5cm} y^{(n -1)}(x_{0}) = y_{n -1}$$

Donde $y_{0}, y_{1}, \cdots, y_{n -1}$ son constantes reales arbitrarias dadas, se llama problema con valores iniciales (PVI) para ecuaciones lineales.

Para el caso de segundo orden ya hemos mencionado que geométricamente un PVI involucra obtener una curva solución que pase por el punto $(x_{0}, y_{0})$ y la pendiente en dicho punto sea $m = y_{1}$.

Con fines de completez mencionaremos sin demostrar el teorema de existencia y unicidad que contiene las condiciones suficientes para la existencia y unicidad de una solución de un PVI de $n$-ésimo orden para el caso de ED lineales.

Teorema: Sean $a_{n}(x), a_{n -1}(x), \cdots, a_{1}(x), a_{0}(x)$ y $g(x)$ continuas en un intervalo $\delta$, y sea $a_{n}(x) \neq 0$, $\forall x \in \delta$. Si $x = x_{0}$ es cualquier punto en $\delta$, entonces una solución $y(x)$ del problema con valores iniciales para el caso de ED lineales existe en el intervalo y es única.

Podemos enunciar el teorema de existencia y unicidad para el caso de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden ($n = 2$) de la siguiente manera:

Teorema: Sean $a_{2}(x), a_{1}(x), a_{0}(x)$ y $g(x)$ continuas en un intervalo $\delta$, y sea $a_{2}(x) \neq 0$, $\forall x \in \delta$. Si $x = x_{0}$ es cualquier punto en $\delta$, entonces existe una única solución al problema con valores iniciales

$$a_{2}(x) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x)y = g(x)$$

Sujeta a que se cumplan las condiciones iniciales

$$y(x_{0}) = y_{0} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} y^{\prime}(x_{0}) = y_{1}$$

en el intervalo $\delta$.

No demostraremos este teorema pero es importante notar que dentro del enunciado hemos escrito la definición de PVI para el caso de $n = 2$ (segundo orden). Veamos un ejemplo en donde apliquemos este último teorema.

Ejemplo: Probar que la función $y(x) = 3 e^{2x} + e^{-2x} -3x$ es solución al PVI

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -4y = 12x; \hspace{1cm} y(0) = 4, \hspace{0.5cm} y^{\prime}(0) = 1$$

y además es única.

Solución: Primero probemos que es solución al PVI, para ello veamos que satisface la ecuación diferencial y además cumple con las condiciones iniciales.

Tenemos la función $y(x) = 3 e^{2x} + e^{-2x} -3x$, evaluemos en $x = 0$:

$$y(0) = 3 e^{0} + e^{0} -0 = 3 + 1 = 4 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} y(0) = 4$$

Se cumple la primera condición inicial. Ahora calculemos la primer derivada y verifiquemos la segunda condición inicial.

$$\dfrac{dy}{dx} = 2(3 e^{2x}) -2(e^{-2x}) -3 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} y^{\prime}(x) = 6 e^{2x} -2 e^{-2x} -3$$

Evaluando en $x = 0$:

$$y^{\prime}(0) = 6 e^{0} -2 e^{0} -3 = 6 -2 -3 = 1 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} y^{\prime}(0) = 1$$

Se cumple la segunda condición inicial. Para concluir calculemos la segunda derivada y veamos que se satisface la ecuación diferencial.

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = 2(6 e^{2x}) -2(-2e^{-2x}) \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = 12 e^{2x} + 4e^{-2x}$$

Notamos que

\begin{align*}
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -4y &= (12 e^{2x} + 4e^{-2x}) -4(3 e^{2x} + e^{-2x} -3x) \\
&= 12 e^{2x} + 4e^{-2x} -12 e^{2x} -4e^{-2x} + 12x \\
&= 12x
\end{align*}

Esto es, $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -4y = 12x$. Por lo tanto la función $y(x) = 3 e^{2x} + e^{-2x} -3x$ es solución al PVI.

Es claro que el intervalo de solución es $\delta = (-\infty, \infty)$ y que $x_{0} = 0 \in \delta.$ Como $a_{2}(x) = 1 \neq 0, a_{0}(x) = -4$ y $g(x) = 12x$ son funciones continuas en $\delta$, por el teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden concluimos que la función $y(x) = 3 e^{2x} + e^{-2x} -3x$ es única.

$\square$

Al haber aumentado el orden de las ecuaciones diferenciales aparece un nuevo problema que estudiaremos a continuación.

Problema con valores en la frontera

En el estudio de las ecuaciones de orden superior existe otro problema similar al PVI conocido como problema con valores en la frontera (PVF) en el que se busca resolver una ecuación diferencial de orden dos o mayor tal que la variable dependiente y/o sus derivadas se especifican en distintos puntos.

Con el propósito de que este concepto quede claro definiremos un problema con valores en la frontera para el caso de una ED lineal de segundo orden, pero siguiendo la idea se puede definir para una ecuación de orden superior a dos.

Definición: Sea un intervalo $\delta$ que contiene a los puntos $a$ y $b$. Un problema en el que se debe resolver la ecuación diferencial lineal

$$a_{2}(x) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x)y = g(x)$$

Sujeta a que se cumpla

$$y(a) = y_{0} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} y(b) = y_{1}$$

Con $y_{0}$ y $y_{1}$ constantes reales arbitrarias dadas, se llama problema con valores en la frontera (PVF).

Definición: Los valores prescritos $y(a) = y_{0}$ y $y(b) = y_{1}$ se llaman condiciones en la frontera.

Así, resolver un PVF es hallar una función $y(x)$ que satisfaga la ecuación diferencial en algún intervalo $\delta$ que contiene a $a$ y $b$ y que cuya curva solución pase por los puntos $(a, y_{0})$ y $(b, y_{1})$.

La razón por la que definimos un PVF para el caso de una ED de segundo orden es porque es posible hacer notar que otros pares de condiciones en la frontera pueden ser

$$y^{\prime}(a) = y_{0} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} y(b) = y_{1}$$

$$y(a) = y_{0} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} y^{\prime}(b) = y_{1}$$

$$y^{\prime}(a) = y_{0} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} y^{\prime}(b) = y_{1}$$

Sin embargo, las condiciones en la frontera presentadas son sólo casos especiales de las condiciones en la frontera generales

\begin{align*}
\alpha_{1} y(a) + \beta_{1} y^{\prime}(a) &= \gamma_{1} \\
\alpha_{2} y(b) + \beta_{2} y^{\prime}(b) &= \gamma_{2}
\end{align*}

Es así que aumentando el orden de la ecuación, las combinaciones de pares de condiciones en la frontera aumentan.

A diferencia de un PVI en el que si existe una solución entonces ésta es única, en un PVF pueden existir varias soluciones distintas que satisfacen las mismas condiciones en la frontera, o bien, puede sólo existir una solución única o no tener ninguna solución. Veamos un ejemplo que muestre este hecho.

Ejemplo: Probar que la función general $y(x) = c_{1}x^{2} + c_{2}x^{4} + 3$ es solución de la ecuación diferencial $x^{2} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -5x \dfrac{dy}{dx} + 8y = 24$ y además, de acuerdo a las condiciones en la frontera dadas a continuación, se cumplen las siguientes propiedades:

  • $y(-1) = 0, \hspace{0.5cm} y(1) = 4 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}$ No existe una solución.
  • $y(0) = 3, \hspace{0.8cm} y(1) = 0 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}$ Existen infinitas soluciones.
  • $y(1) = 3, \hspace{0.8cm} y(2) = 15 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}$ Existe una única solución.

Solución: De tarea moral verifica que la función $y(x) = c_{1}x^{2} + c_{2}x^{4} + 3$ es solución a la ecuación diferencial dada. Más adelante estudiaremos los métodos de resolución a este tipo de ecuaciones diferenciales de manera que seremos capaces de obtener esta función y probar, de hecho, que es la solución general a la ED. Por ahora sólo verifica que es solución.

Una vez comprobado que $y(x)$ es solución vamos a aplicar las condiciones de frontera de cada caso y veamos que ocurre con dicha solución.

  • Caso 1: $\hspace{0.5cm} y(-1) = 0, \hspace{0.5cm} y(1) = 4$

$$y(-1) = c_{1}(-1)^{2} + c_{2}(-1)^{4} + 3 = c_{1} + c_{2} + 3 = 0 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} c_{1} + c_{2} = -3$$

$$y(1) = c_{1}(1)^{2} + c_{2}(1)^{4} + 3 = c_{1} + c_{2} + 3 = 4 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} c_{1} + c_{2} = 1$$

De ambas condiciones de la frontera obtenemos que $c_{1} + c_{2} = -3$ y a la vez $c_{1} + c_{2} = 1$ lo cual es imposible, por lo tanto en este caso NO existe una solución al PVF.

  • Caso 2: $\hspace{0.5cm} y(0) = 3, \hspace{0.5cm} y(1) = 0$

$$y(0) = c_{1}(0)^{2} + c_{2}(0)^{4} + 3 = 3 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} y(0) = 3$$

$$y(1) = c_{1}(1)^{2} + c_{2}(1)^{4} + 3 = c_{1} + c_{2} + 3 = 0 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} c_{1} + c_{2} = -3$$

Vemos que la primer condición de frontera se cumple y aplicando la segunda obtenemos que $c_{1} + c_{2} = -3$ de donde $c_{2} = -(c_{1} +3)$, sustituyendo en la solución $y(x)$ obtenemos la función

$$y(x) = c_{1}x^{2} -(c_{1} +3) x^{4} + 3$$

Donde $c_{1}$ es un parámetro libre, lo que indica que en este caso existen infinitas soluciones, una por cada posible valor de $c_{1}$.

  • Caso 3: $\hspace{0.5cm} y(1) = 3, \hspace{0.5cm} y(2) = 15$

$$y(1) = c_{1}(1)^{2} + c_{2}(1)^{4} + 3 = c_{1} + c_{2} + 3 = 3 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} c_{1} + c_{2} = 0$$

$$y(2) = c_{1}(2)^{2} + c_{2}(2)^{4} + 3 = 4c_{1} + 16c_{2} + 3 = 15 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} c_{1} + 4c_{2} = 3$$

De ambas condiciones de frontera obtenemos el sistema de ecuaciones

\begin{align*}
c_{1} + c_{2} &= 0 \\
c_{1} + 4c_{2} &= 3
\end{align*}

De la primer ecuación obtenemos que $c_{1} = -c_{2}$, sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos $-c_{2} + 4c_{2} = 3c_{2} = 3$ de donde $c_{2} = 1$ y por tanto $c_{1} = -1$. Sustituyendo en la solución $y(x)$ obtenemos la función $y(x) = -x^{2} + x^{4} + 3$. Por lo tanto, al ser una función sin parámetros, la solución es única.

$\square$

Ahora estudiaremos algunos operadores importantes que nos ayudarán en las posteriores demostraciones de algunos teoremas importantes, además de que nos serán de utilidad en cuestiones de notación.

Operadores Diferenciales

Comencemos por definir el operador de derivada.

Definición: El operador $D = \dfrac{d}{dx}$ se llama operador diferencial y su propósito es considerar a la diferenciación como una operación abstracta que acepta una función derivable y devuelve otra función.

Con ayuda del operador diferencial, la notación de derivada que hemos utilizado ahora la podemos escribir como $Dy = \dfrac{dy}{dx} = y^{\prime}(x)$.

Por ejemplo, ahora podemos escribir $D \{ 2x \sin(x) \} = 2 \sin(x) + 2x \cos(x)$.

Usando el operador diferencial, las expresiones de las derivadas de orden superior se pueden escribir como

$$\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{dy}{dx} \right) = \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = D(Dy) = D^{2}y$$

Y de manera general

$$\dfrac{d^{n}y}{dx^{n}} = D^{n}y$$

Sabemos que la derivada es lineal (en el contexto del álgebra lineal) por tanto el operador diferencial también satisface las propiedades de linealidad:

  • $D \{ f(x) + g(x) \} = D \{f(x) \} + D \{g(x) \}$
  • $D \{cf(x) \} = cD \{f(x) \}$

Por otro lado, una ecuación diferencial como $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -2\dfrac{dy}{dx} + 5y = 0$ se puede escribir en términos del operador diferencial como $D^{2}y -2Dy +5y = (D^{2} -2D +5)y = 0$, puedes observar que el lado izquierdo de ésta última expresión corresponde a una expresión polinomial en la que interviene el operador $D$, estas expresiones polinomiales son también un operador diferencial y tiene su nombre.

Definición: El operador

\begin{align}
\mathcal{L} = a_{n}(x)D^{n} + a_{n -1}(x)D^{n -1} + \cdots + a_{1}(x)D + a_{0}(x) \label{5} \tag{5}
\end{align}

Se llama operador diferencial de $n$-ésimo orden u operador polinomial.

Debido a que el operador polinomial esta definido con operadores diferenciales $D$, las propiedades de linealidad de $D$ le atribuyen a $\mathcal{L}$ linealidad. Más general, $\mathcal{L}$ operando sobre una combinación lineal de dos funciones derivables es lo mismo que la combinación lineal de $\mathcal{L}$ operando en cada una de las funciones, esto es

\begin{align}
\mathcal{L} \{ \alpha f(x) + \beta g(x) \} = \alpha \mathcal{L} \{f(x) \} + \beta \mathcal{L} \{g(x) \} \label{6} \tag{6}
\end{align}

Una primera ventaja de usar el operador polinomial es que las ecuaciones (\ref{3}) y (\ref{4}) se pueden escribir como

$$\mathcal{L}(y) = g(x) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \mathcal{L}(y) = 0$$

respectivamente.

A continuación el operador polinomial nos será de mucha utilidad.

Principio de superposición

Es posible obtener varias soluciones a una ecuación diferencial lineal homogénea (\ref{4}) y si sumamos o superponemos todas estas soluciones veremos que dicha función es también solución a la ecuación diferencial. Este hecho se muestra en el siguiente resultado conocido como principio de superposición para ecuaciones homogéneas.

Teorema: Sean $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{k}$ soluciones de la ecuación homogénea de $n$-ésimo orden (\ref{4}) en un intervalo $\delta$. Entonces la combinación lineal $y(x) = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + \cdots + c_{k}y_{k}(x)$, donde las $c_{i}$, $i = 1, 2, \cdots, k$ son constantes arbitrarias, también es una solución de (\ref{4}) en el intervalo $\delta$.

Demostración: Sea $\mathcal{L}$ el operador polinomial (\ref{5}) de $n$-ésimo orden y sean $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{k}$ soluciones a la ecuación homogénea (\ref{4}) en el intervalo $\delta$. Definamos la combinación lineal $y(x) = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + \cdots + c_{k}y_{k}(x)$ con $c_{i}$, $i = 1,2, \cdots, k$ constantes arbitrarias, vemos que

$$\mathcal{L}(y) = \mathcal{L} \{ c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + \cdots + c_{k}y_{k}(x) \}$$

Por la linealidad de $\mathcal{L}(y)$ (\ref{6}) tenemos que

$$\mathcal{L}(y) = c_{1} \mathcal{L} \{ y_{1}(x) \} + c_{2} \mathcal{L} \{ y_{2}(x) \} + \cdots + c_{k} \mathcal{L} \{ y_{k}(x) \}$$

Pero cada $y_{i}$, $i = 1, 2, \cdots, k$ es solución de (\ref{4}), entonces $\mathcal{L}(y_{i}) = 0$, para todo $i = 1, 2, \cdots, k$, así la expresión anterior se reduce a lo siguiente

$$\mathcal{L}(y) = c_{1} 0 + c_{2} 0 + \cdots + c_{k} 0 = 0$$

Por lo tanto $\mathcal{L}(y) = 0$, es decir, la combinación lineal $y(x) = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + \cdots + c_{k}y_{k}(x)$ es también solución a la ecuación diferencial homogénea (\ref{4}).

$\square$

Algunos corolarios del teorema anterior son:

  • Un múltiplo constante $y(x) =c_{1}y_{1}(x)$ de una solución $y_{1}(x)$ de una ecuación diferencial lineal homogénea es también una solución.

Demostración: Consideremos a la función $y =c_{1}y_{1}(x)$, aplicando el operador polinomial $\mathcal{L}$ tenemos que

$$\mathcal{L}(y) = \mathcal{L} \{ c_{1}y_{1}(x) \} = c_{1} \mathcal{L} \{ y_{1}(x) \} = 0$$

Ya que $y_{1}(x)$ es solución de la ecuación homogénea, es decir, $\mathcal{L} \{y_{1} \} = 0 $. Por lo tanto la función $y(x) =c_{1}y_{1}(x)$ es también solución de la ecuación diferencial homogénea.

$\square$

  • Una ecuación diferencial lineal homogénea tiene siempre la solución trivial $y(x) = 0$.

Usando el teorema anterior y la definición de $\mathcal{L}$ es clara la demostración, inténtalo.

Realicemos un ejemplo para observar que se satisface el principio de superposición.

Ejemplo: Mostrar que las funciones $y_{1}(x) = x^{2}$ y $y_{2}(x) = x^{2} \ln(x)$ son soluciones a la ecuación diferencial lineal homogénea $x^{3} \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}} -2x \dfrac{dy}{dx} + 4y = 0$ en el intervalo $\delta = (0, \infty)$. Y mostrar que, por el principio de superposición, la combinación lineal $y(x) = c_{1} x^{2} + c_{2} x^{2} \ln(x)$ es también solución de la ecuación en el mismo intervalo.

Solución: De tarea moral verifica que las funciones $y_{1}(x) = x^{2}$ y $y_{2}(x) = x^{2} \ln(x)$ son soluciones a la ecuación diferencial en el intervalo $\delta = (0, \infty)$.

Una vez asegurado que ambas funciones son solución, de acuerdo al principio de superposición, la combinación lineal de ambas funciones $y(x) = c_{1} x^{2} + c_{2} x^{2} \ln(x)$ debe ser también solución a la ecuación, veamos que es así. Para ello vamos a calcular la primera, segunda y tercera derivada. Para la primer derivada tenemos:

$$\dfrac{dy}{dx} = 2c_{1}x + 2c_{2}x \ln(x) + c_{2} x$$

La segunda derivada es:

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = 2c_{1} + 2c_{2} \ln(x) + 3c_{2}$$

Finalmente, la tercer derivada es:

$$\dfrac{d^{3}y}{dx^{3}} = \dfrac{2c_{2}}{x}$$

Sustituyendo los valores correspondientes en la ecuación diferencial, tenemos

\begin{align*}
x^{3} \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}} -2x \dfrac{dy}{dx} + 4y &= x^{3} \left( \dfrac{2c_{2}}{x} \right) -2x (2c_{1}x + 2c_{2}x \ln(x) + c_{2} x) + 4(c_{1} x^{2} + c_{2} x^{2} \ln(x)) \\
&= 2c_{2}x^{2} -4c_{1}x^{2} -4c_{2}x^{2} \ln(x) -2c_{2} x^{2} + 4c_{1} x^{2} + 4c_{2} x^{2} \ln(x) \\
&= c_{1}(4x^{2} -4x^{2}) + c_{2}(2x^{2} -2x^{2} + 4x^{2}\ln(x) -4x^{2}\ln(x)) \\
&= c_{1}(0) + c_{2}(0) \\
&= 0
\end{align*}

Hemos recuperado la ecuación diferencial $x^{3} \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}} -2x \dfrac{dy}{dx} + 4y = 0$, por lo tanto, la combinación lineal $y(x) = c_{1} x^{2} + c_{2} x^{2} \ln(x)$ es también solución a la ecuación diferencial verificando el principio de superposición. Es claro que la función $\ln(x)$ restringe los valores de $x$ de manera que el intervalo $\delta = (0, \infty)$ es el intervalo en el que la función $y(x)$ es continua.

$\square$

Dependencia e independencia lineal

El principio de superposición trae consigo el concepto de combinación lineal y, como seguramente recordarás de tu curso de álgebra lineal, si un elemento de un espacio vectorial se puede escribir como combinación lineal de otros elementos del mismo espacio vectorial decimos que dicho elemento es linealmente dependiente y si no es dependiente entonces decimos que es linealmente independiente. Ahora es necesario definir estos conceptos en el contexto de las ecuaciones diferenciales lineales.

Definición: Se dice que un conjunto de funciones $f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{n}(x)$ es linealmente dependiente en un intervalo $\delta$ si existen constantes $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}$ no todas cero, tales que

$$c_{1}f_{1}(x) + c_{2}f_{2}(x) + \cdots + c_{n}f_{n}(x) = 0$$

para toda $x$ en $\delta$. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en $\delta$, se dice que es linealmente independiente.

Podemos decir que un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo $\delta$ si las únicas constantes para las que

$$c_{1}f_{1}(x) + c_{2}f_{2}(x) + \cdots +c_{n}f_{n}(x) = 0, \hspace{1cm} \forall x \in \delta$$

son $c_{1} = c_{2} = \cdots = c_{n} = 0$.

Realicemos algunas observaciones para el caso $n = 2$. Dos funciones $f_{1}(x), f_{2}(x)$ son linealmente dependientes en el intervalo $\delta$, donde ambas están definidas, si en dicho intervalo son proporcionales, esto es, si $f_{1}(x) = c_{1}f_{2}(x)$ o $f_{2}(x) = c_{2}f_{1}(x)$ donde $c_{1}$ y $c_{2}$ son constantes distintas de cero, de esta manera, si $f_{1}(x)$ y $f_{2}(x)$ no son proporcionales en el intervalo $\delta$ entonces ambas funciones son linealmente independientes en dicho intervalo.

De las relaciones de proporcionalidad notamos que $\dfrac{f_{1}(x)}{f_{2}(x)} = c_{1}$ y $\dfrac{f_{2}(x)}{f_{1}(x)} = c_{2}$, con estas relaciones podemos establecer que $f_{1}(x)$ y $f_{2}(x)$ son linealmente dependientes en el intervalo $\delta$ si cada cociente es una constante a lo largo de todo el intervalo $\delta$ y por otro lado, si los cocientes dependen de $x$ en el intervalo $\delta$ entonces las funciones $f_{1}(x)$ y $f_{2}(x)$ son linealmente independientes.

En definitiva, las funciones $f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{n}(x)$ son linealmente dependientes en el intervalo $\delta$ si al menos una de ellas puede expresarse como combinación lineal de las otras. En caso contrario, las funciones son linealmente independientes.

Por ejemplo, dado el conjunto de funciones $f_{1}(x) = 4x^{3}, f_{2}(x) = 2x^{2}, f_{3}(x) = 8x^{3} + 12x^{2}$, es sencillo darse cuenta que $f_{3}(x) = 2f_{1}(x) + 6f_{2}(x)$. Por lo tanto el conjunto de funciones es linealmente dependiente.

Ejemplo: Determinar si las funciones $y_{1}(x) = c_{1} e^{-x}$ y $y_{2}(x) = c_{2}x e^{-x}$ son linealmente dependientes o linealmente independientes. Probar además que dichas funciones por separado son solución a la ecuación diferencial $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2 \dfrac{dy}{dx} + y = 0$ y verifica que, por el principio de superposición, la combinación lineal $y(x) = c_{1} e^{-x} + c_{2}x e^{-x}$ es también solución a la ecuación diferencial.

Solución: Como vimos, hay distintas formas de verificar si las funciones son linealmente dependientes o linealmente independientes, quizá la forma más práctica es observar si el cociente $\dfrac{y_{1}}{y_{2}}$ o $\dfrac{y_{2}}{y_{1}}$ es constante o dependiente de $x$ en el intervalo $\delta$ en el que ambas están definidas.

Observamos primero que ambas funciones $y_{1}(x) = c_{1} e^{-x}$ y $y_{2}(x) = c_{2}x e^{-x}$ están definidas en el intervalo $(-\infty, \infty)$, por tanto $\delta = (-\infty, \infty)$. Ahora bien, notamos que $\dfrac{y_{1}}{y_{2}} = \dfrac{c_{1}}{c_{2} x}$ o bien $\dfrac{y_{2}}{y_{1}} = \dfrac{c_{2} x}{c_{1}}$, como podemos ver, ambos cocientes son dependientes de la variable independiente $x$ por lo tanto, concluimos que las funciones son linealmente independientes.

Continuando con el ejercicio, vamos a verificar que cada función $y_{1}(x)$ y $y_{2}(x)$ es solución a la ecuación diferencial $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2 \dfrac{dy}{dx} + y = 0$.

Para la primer función tenemos

$$y_{1}(x) = c_{1} e^{-x} \hspace{0.8cm} \Rightarrow \hspace{0.8cm} \dfrac{dy_{1}}{dx} = -c_{1} e^{-x} \hspace{0.8cm} \Rightarrow \hspace{0.8cm} \dfrac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}} = c_{1} e^{-x}$$

Sustituimos en la ED

\begin{align*}
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2 \dfrac{dy}{dx} + y &= c_{1} e^{-x} + 2(-c_{1} e^{-x}) + c_{1} e^{-x} \\
&= 2c_{1} e^{-x} -2c_{1} e^{-x} \\
&= 0
\end{align*}

Esto es $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2 \dfrac{dy}{dx} + y = 0$, por lo tanto la función $y_{1}(x) = c_{1} e^{-x}$ satisface la ED.

Para la segunda función tenemos lo siguiente:

$$y_{2}(x) = c_{2}x e^{-x} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \dfrac{dy_{2}}{dx} = c_{2} e^{-x} -c_{2}x e^{-x} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \dfrac{d^{2}y_{2}}{dx^{2}} = -2c_{2} e^{-x} + c_{2}x e^{-x}$$

Sustituyendo en la ED tenemos:

\begin{align*}
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2 \dfrac{dy}{dx} + y &= (-2c_{2} e^{-x} + c_{2}x e^{-x}) + 2(c_{2} e^{-x} -c_{2}x e^{-x}) + c_{2}x e^{-x} \\
&= -2c_{2} e^{-x} + c_{2}x e^{-x} + 2c_{2} e^{-x} -2c_{2}x e^{-x} + c_{2}x e^{-x} \\
&= (2c_{2} e^{-x} -2c_{2} e^{-x}) + (2c_{2}x e^{-x} -2c_{2}x e^{-x}) \\
&= 0
\end{align*}

Esto es $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2 \dfrac{dy}{dx} + y = 0$, por lo tanto la función $y_{2}(x) = c_{2}x e^{-x}$ satisface la ED.

Ahora que hemos probado que ambas funciones son solución a la ecuación diferencial podemos aplicar el principio de superposición y concluir que la combinación lineal $y(x) = c_{1} e^{-x} + c_{2}x e^{-x}$ es también solución a la ecuación diferencial, de tarea moral verifica que en efecto es solución a la ED.

$\square$

Para finalizar esta entrada definiremos un concepto sumamente importante y el cual estudiaremos con mayor detalle en la siguiente entrada.

En el ejemplo anterior mostramos que las funciones $y_{1}(x) = c_{1} e^{-x}$ y $y_{2}(x) = c_{2}x e^{-x}$ son linealmente independientes y ambas por separado son solución a la ecuación diferencial homogénea $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2 \dfrac{dy}{dx} + y = 0$. En general, al conjunto de $n$ soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea de $n$-ésimo orden se le da el nombre de conjunto fundamental de soluciones.

Definición: Cualquier conjunto $\{y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\}$ de $n$ soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea de $n$-ésimo orden en un intervalo $\delta$ es un conjunto fundamental de soluciones en dicho intervalo.

Así, el conjunto $\{ y_{1}(x) = c_{1} e^{-x}, y_{2}(x) = c_{2}x e^{-x} \}$ es un conjunto fundamental de la ecuación diferencial homogénea $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2 \dfrac{dy}{dx} + y = 0$, en el intervalo $\delta = (-\infty, \infty)$.

En la siguiente entrada retomaremos este concepto.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Problemas con valores iniciales.
  • La solución general a la ecuación diferencial $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -y = 0$ es $y(x) = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{-x}$ definida en $\delta = (-\infty, \infty)$. Determinar la solución particular que es solución al PVI dadas las condiciones iniciales

$$y(0) = 0, \hspace{1cm} y^{\prime}(0) = 1$$

  • Dado que $x(t) = c_{1} \cos(\omega t) + c_{2} \sin(\omega t)$ es la solución general de $x^{\prime \prime} + \omega^{2} x = 0$ en el intervalo $(-\infty, \infty)$, demuestra que la solución que satisface las condiciones iniciales $x(0) = x_{0}$ y $x^{\prime}(0) = x_{1}$ esta dada por

$$x(t) = x_{0} \cos(\omega t) + \dfrac{x_{1}}{\omega} \sin(\omega t)$$

  1. Problema con condiciones en la frontera.
  • La función $y(x) = c_{1} e^{x} \cos(x) + c_{2} e^{x} \sin(x)$ es una solución de la ecuación diferencial $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -2 \dfrac{dy}{dx} + 2y = 0$ en el intervalo $(-\infty, \infty)$. Determina si se puede encontrar una solución que satisfaga las siguientes condiciones en la frontera.

$$a) \hspace{0.1cm} y(0) = 1, \hspace{0.4cm} y^{\prime}(\pi) = 0; \hspace{1.5cm} b) \hspace{0.1cm} y(0) = 1, \hspace{0.4cm} y(\pi) = -1$$

$$c) \hspace{0.1cm} y(0) = 1, \hspace{0.4cm} y \left( \dfrac{\pi}{2} \right) = 1; \hspace{1.2cm} d) \hspace{0.1cm} y(0) = 0, \hspace{0.4cm} y(\pi) = 0$$

  1. Determina si los siguientes conjuntos de funciones son linealmente independientes en el intervalo $(-\infty, \infty )$.
  • $f_{1}(x) = x, \hspace{0.5cm} f_{2}(x) = x^{2}, \hspace{0.5cm} f_{3}(x) = 4x -3x^{2}$
  • $f_{1}(x) = 1+ x, \hspace{0.5cm} f_{2}(x) = x, \hspace{0.5cm} f_{3}(x) = x^{2}$
  • $f_{1}(x) = e^{x}, \hspace{0.5cm} f_{2}(x) = e^{-x}, \hspace{0.5cm} f_{3}(x) = \sinh (x)$
  1. Comprobar que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial en el intervalo que se indica y formar la solución general.
  • $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -\dfrac{dy}{dx} -12y = 0; \hspace{1cm} y_{1} = e^{-3x}, \hspace{0.4cm} y_{2} = e^{4x}; \hspace{1cm} (-\infty, \infty)$
  • $4 \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -4 \dfrac{dy}{dx} + y = 0; \hspace{1cm} y_{1} = e^{\frac{x}{2}}, \hspace{0.4cm} y_{2} = x e^{\frac{x}{2}}; \hspace{1cm} (-\infty, \infty)$
  • $x^{2} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -6x \dfrac{dy}{dx} + 12y = 0; \hspace{1cm} y_{1} = x^{3}, \hspace{0.4cm} y_{2} = x^{4}; \hspace{1cm} (0, \infty)$

Más adelante…

Hemos comenzado nuestro estudio sobre las ecuaciones diferenciales de orden superior, vimos que, además del problema con valores iniciales, ahora nos enfrentamos a un nuevo problema conocido como problema con valores en la frontera. Definimos algunos operadores de interés y demostramos el principio de superposición. Finalmente, vimos que si las soluciones son funciones linealmente independientes entonces forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial.

Antes de pasar directamente a estudiar los distintos métodos de resolución que hay para este tipo de ecuaciones vamos a estudiar algunas propiedades de las soluciones mismas. Veremos cuál es la forma de la solución general a estas ecuaciones, la importancia de que las soluciones sean linealmente independientes y definiremos el concepto de Wronskiano, el cual será una herramienta muy importante para determinar la dependencia o independencia lineal de las soluciones. Por supuesto, profundizaremos más en el concepto de conjunto fundamental de soluciones.

Entradas relacionadas

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden. Propiedades del conjunto de soluciones

Introducción

Después de haber estudiado ecuaciones diferenciales de primer orden, llegamos a la segunda unidad del curso donde analizaremos ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Dada la dificultad para resolver este tipo de ecuaciones, nos enfocaremos únicamente en las ecuaciones lineales de segundo orden, es decir, de la forma $$a_{0}(t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=g(t).$$

En esta entrada comenzaremos con el caso de las ecuaciones homogéneas de segundo orden, es decir, cuando $g(t)$ es la función constante cero en un intervalo $(\alpha,\beta)$. Estudiaremos la teoría de las soluciones a este tipo de ecuaciones antes de analizar las distintas técnicas para resolverlas. Debido a que el conjunto de soluciones a este tipo de ecuaciones se comportan de buena manera, podremos encontrar la solución general a la ecuación si previamente conocemos dos soluciones particulares que cumplan una hipótesis que daremos a conocer en el intervalo $(\alpha,\beta)$. Definiremos el Wronskiano y la independencia lineal de dos soluciones a una ecuación diferencial, y probaremos distintos teoremas y propiedades de las soluciones con base en estos conceptos.

Comencemos!

Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden, Teorema de existencia y unicidad y solución general

En este video damos una introducción a las ecuaciones diferenciales de segundo orden, y en particular, a las ecuaciones lineales de segundo orden. Enunciamos el Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales de segundo orden, y comenzamos a desarrollar la teoría para encontrar la solución general a ecuaciones homogéneas.

Conjunto fundamental de soluciones y el Wronskiano

Continuamos con la teoría de las soluciones a ecuaciones homogéneas de segundo orden. Demostramos un par de teoremas que nos ayudan a encontrar la solución general a este tipo de ecuaciones. Además definimos al conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea y el Wronskiano de dos funciones.

Independencia lineal de soluciones

En este último video definimos el concepto de independencia lineal de soluciones a la ecuación homogénea de segundo orden, y demostramos un teorema que nos da otra forma de encontrar un conjunto fundamental de soluciones a la ecuación diferencial homogénea.

Tarea moral

  • Prueba que $y_{1}(t)=\sin{t}$ y $y_{2}(t)=\cos{t}$ son soluciones a la ecuación diferencial $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+y=0$. Posteriormente prueba que $y(t)=k_{1}\sin{t}+k_{2}\cos{t}$ también es solución a la ecuación, donde $k_{1}$, $k_{2}$ son constantes.
  • Prueba que $\{\sin{t},\cos{t}\}$ es un conjunto fundamental de soluciones a la ecuación del ejercicio anterior. ¿En qué intervalo es el conjunto anterior un conjunto fundamental de soluciones?
  • Prueba que si $p(t)$, $q(t)$ son continuas en $(\alpha,\beta)$, $y_{1}(t)$, $y_{2}(t)$ son soluciones a la ecuación $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=0$ en $(\alpha,\beta)$ y existe $t_{0}$ en dicho intervalo, donde $W[y_{1},y_{2}](t_{0})\neq 0$, entonces $\{y_{1}(t),y_{2}(t)\}$ forman un conjunto fundamental de soluciones en $(\alpha,\beta)$.
  • Prueba que si $p(t)$, $q(t)$ son continuas en $(\alpha,\beta)$, entonces existe un conjunto fundamental de soluciones $\{y_{1}(t),y_{2}(t)\}$ a la ecuación $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=0$ en el mismo intervalo. (Hint: Toma un punto en el intervalo $(\alpha,\beta)$ y dos problemas de condición inicial adecuados de tal forma que puedas utilizar el Teorema de existencia y unicidad y el Wronskiano para deducir el resultado).
  • Prueba que $y_{1}(t)=t|t|$, $y_{2}(t)=t^{2}$ son linealmente independientes en $[-1,1]$ pero linealmente dependientes en $[0,1]$. Verifica que el Wronskiano se anula en $\mathbb{R}$. ¿Pueden ser $y_{1}(t)$, $y_{2}(t)$ soluciones a la ecuación $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=0$ en $(-1,1)$ si $p$ y $q$ son continuas en este intervalo?

Más adelante

.En la próxima entrada conoceremos el método de reducción de orden, donde supondremos que ya conocemos una solución particular $y_{1}(t)$ a la ecuación lineal homogénea de segundo orden, y con ayuda de esta hallaremos una segunda solución $y_{2}(t)$ tal que forma un conjunto fundamental de soluciones junto con $y_{1}$.

Entradas relacionadas