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Cálculo Diferencial e Integral II: Cálculo de volúmenes por medio de casquillos cilíndricos

Por Miguel Ángel Rodríguez García

Introducción

En la entrada anterior aprendimos a calcular el volumen de un sólido generado por rotación alrededor de un eje a través del método de los discos y el método de las arandelas, en esta entrada ahora veremos como calcular el volumen de un sólido por el método de casquillos cilíndricos o capas cilíndricas.

Método de casquillos cilíndricos o capas cilíndricas

Supongamos que tenemos una curva dada por $f (x)$ en un intervalo $[a . b]$ , dividiendo este intervalo en subintervalos $[x_{i - 1}, x_{i}]$ y para aproximarse a esta curva lo aproximamos por un polígono a una distancia $r_{1}$ y $r_{2}$ del eje $y$ y ancho $Δ x$ como se muestra en la figura $(1)$ .

Figura 1: Un cascarón cilíndrico por superficie de revolución generado por el polígono rojo para aproximar a $f (x)$ .

Giramos estas figuras alrededor del eje $y$ , la superficie de revolución generado por el polígono es un cascarón cilíndrico de radio exterior $r_{2}$ y radio interior $r_{1}$ como se muestra en la figura $(2)$ (puedes ver mejor la figura haciendo clic sobre la imagen), el volumen $V$ se calcula restando el volumen $V_{2}$ que corresponde al cilindro exterior y $V_{1}$ correspondiente al cilindro interior, por lo que se obtiene que:

$V = V_{2} - V_{1} = π r_{2}^{2} h - π r_{1}^{2} h = π (r_{2}^{2} - r_{1}^{2}) h = π (r_{2} + r_{1}) (r_{2} - r_{1}) h$

Multiplicamos $\frac{2}{2}$ , entonces:

$V = 2 π \frac{r_{2} + r_{1}}{2} h (r_{2} - r_{1})$

Sea $r = \frac{r_{2} + r_{1}}{2}$ que es el radio del cascarón cilíndrico y sea $Δ x = r_{2} - r_{1}$ su grosor, entonces el volumen del cascarón cilíndrico se obtiene como:

$V = 2 π h r Δ x$

Figura 2: Aproximación de un cascarón cilíndrico al volumen de una superficie de revolución generado por $f (x)$ .

Dividimos el intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos $[x_{i - 1}, x_{i}]$ con anchura $Δ x$ y sea $\bar{x_{i}}$ el punto medio del i-ésimo subintervalo, el sólido generado por el i-ésimo polígono es un cascarón cilíndrico cuyo radio promedio es $\bar{x_{i}}$ , altura $f (\bar{x_{i}})$ y espesor $Δ x$ de modo que el volumen es:

$V_{i} = 2 π \bar{x_{i}} f (\bar{x_{i}}) Δ x$

Un volumen aproximado de $S$ se obtiene al sumar los volúmenes de $n$ cascarones cilíndricos, así:

$V \approx \sum_{i = 1}^{n} V_{i} = \sum_{i = 1}^{n} 2 π \bar{x_{i}} f (\bar{x_{i}}) Δ x$

Si tenemos que $n \to \infty$ entonces el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje $y$ , la región bajo la curva $f (x)$ desde $a$ hasta $b$ está dada como:

$V = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} 2 π \bar{x_{i}} f (\bar{x_{i}}) Δ x = \int_{a}^{b} 2 π x f (x) d x$

con $0 \leq a \leq b$ , a veces, el volumen $V$ se suele escribir como:

$\begin{matrix} (1) & V = 2 π \int_{a}^{b} R (x) h (x) d x \end{matrix}$

Donde $R (x)$ es la distancia al eje de rotación y $h (x)$ es la altura de corte.

Análogamente, se puede definir el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje $x$ , la región bajo la curva $f (y)$ dentro del intervalo $c$ hasta $d$ como:

$\begin{matrix} (1) & V = 2 π \int_{c}^{d} R (y) h (y) d y \end{matrix}$

Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

Encuentra el volumen del sólido de revolución respecto al eje $y$ de la región acotada debajo de la grafica $f (x) = 1 - 2 x + 3 x^{2} - 2 x^{3}$ en $[0, 1]$

Figura 3: Grafica de la función $f (x)$ (figura de la izquierda), superficie de revolución generada por $f (x)$ (figura de la derecha).

Graficamos la función $f (x)$ en la figura $(3)$ (figura de la izquierda), y la figura de la derecha es el sólido de revolución que es generado por esta función, vemos que la altura está dada por la función $h (x) = f (x) = 1 - 2 x + 3 x^{2} - 2 x^{3}$ en $[0, 1]$ y el radio $R (x)$ es $x$ por lo que utilizamos la relación $(1)$ para calcular el volumen como:

$V = 2 π \int_{0}^{1} x (1 - 2 x + 3 x^{2} - 2 x^{3}) d x = 2 π \int_{0}^{1} (x - 2 x^{2} + 3 x^{3} - 2 x^{4}) d x$

$= 2 π (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{3} x^{3} + \frac{3}{4} x^{4} - \frac{2}{5} x^{5}) |_{0}^{1} = 2 π (\frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{2}{5}) = \frac{11 π}{20}$

Encuentra el volumen del sólido de revolución respecto al eje $y$ de la región acotada debajo de las graficas $f (x) = x (5 - x)$ y $g (x) = 8 - x (5 - x)$

Veamos donde se intersecan estas funciones, para esto igualamos las funciones:

$x (5 - x) = 8 - 5 x - x^{2} \Rightarrow 2 x^{2} - 10 x + 8 = 0 \Rightarrow x^{2} - 5 x + 4 = 0 \Rightarrow (x - 4) (x - 1) = 0$

Por lo que vamos a integrar de $x = 1$ a $x = 4$ .

Graficamos las dos gráficas como se ve en la figura $(4)$ (figura de la izquierda), y la figura de la derecha es el sólido generado por estas gráficas, vemos que en el sólido generado se tiene una especie de cono en el centro, el volumen que nos interesa es lo que está afuera de ese cono. La altura de este sólido de revolución es:

$h (x) = f (x) - g (x) = x (5 - x) - 8 + 5 x - x^{2} = 5 x - x^{2} - - 8 + 5 x - x^{2} = - 8 + 10 x - 2 x^{2}$

$R (x) = x$

Así el volumen la calculamos como:

$V = 2 π \int_{1}^{4} x (- 2 x^{2} + 10 x - 8) d x = 2 π \int_{1}^{4} (- 2 x^{3} + 10 x^{2} - 8 x) d x$

$= 2 π [- \frac{1}{2} x^{4} + \frac{10}{4} x^{3} - 4 x^{2}] |_{1}^{4} = 2 π [- 128 + \frac{640}{3} - 64] - [- \frac{1}{2} + \frac{10}{3} - 4] = 45 π$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Encuentra el volumen del solido de revolución respecto al eje $y$ de la región acotada debajo de la grafica $f (x) = 2 x^{2} - x^{3}$ y $y = 0$
Encuentre el volumen del solido de revolución respecto al eje $x$ de la región acotada debajo de la grafica $f (x) = 9 - x^{2}$ en $[0, 3]$
Encuentra el volumen del solido de revolución respecto al eje $y$ de la región acotada debajo de la grafica $f (x) = x^{2} + 1$ y las rectas $x = 0$ y $x = 1$
Encuentre el volumen del solido de revolución respecto al eje $y$ de la región acotada debajo de las graficas $y = x$ y $y = x^{2}$
Encuentra el volumen del solido de revolución que se obtiene al girar alrededor de la recta $x = 2$ la región definida por $y = x - x^{2}$ y $y = 0$

Más adelante…

En esta entrada aprendimos a calcular el volumen de un sólido de revolución por el método de capas cilíndricas generado alrededor de un eje o una recta específica, en la siguiente sección veremos como calcular el área de una superficie de revolución.

Entradas relacionadas

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Cálculo Diferencial e Integral I: Aplicaciones en economía

Por Karen González Cárdenas

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Introducción

Imaginemos que una empresa refresquera produce $x$ botellas de bebida hidratante en total y que $a$ es el precio de venta de cada una de ellas. Si nos pidieran obtener el ingreso bastaría considerar el producto:
$a x .$
Por lo que la función de ingreso para $x$ número de unidades producidas está definida como:
$I (x) = a x .$

Ahora si consideramos que el precio de venta al público tiene una dependencia lineal con las unidades producidas. Es decir, si tomamos $a = b x + c$ una recta, tenemos que la función de ingreso $I_{1} (x)$ es:
$\begin{aligned} I_{1} (x) & = (b x + c) x \\ = b x^{2} + c x \end{aligned}$

Observamos así que la función $I_{1} (x)$ es una parábola.

Si la empresa refresquera sabe que el costo por producir $x$ botellas de bebida hidratante está dado por la función $C (x)$ , la función que nos daría el costo medio de cada botella es:

$C_{m} (x) = \frac{C (x)}{x}, con x > 0.$

Además si queremos obtener la función que nos daría su utilidad, bastaría con restarle a los ingresos los costos de producción:
$U (x) = I (x) - C (x), con x \geq 0.$

Ya que hemos visto una idea general de las funciones que utilizaremos para resolver los problemas de carácter económico de esta entrada. Comencemos con ejemplos donde se nos pide realizar la optimización de dichas funciones, para concluir revisando los conceptos: Costo marginal, Ingreso marginal y Utilidad marginal.

Problema 1

Una pequeña compañía de alimentos conoce que las funciones de ingreso y costo (en pesos) de su famosa mermelada son:
$\begin{aligned} I (x) & = - 4 x^{2} + 400 x & C (x) & = x^{2} + 20 x + 12 \end{aligned}$
Donde $x$ representa los frascos fabricados.

Te solicitan encontrar:

El costo fijo de producción.
El ingreso máximo.
La máxima utilidad.
El costo medio de cada frasco.

Solución:

$1.$ El costo fijo de producción

Ya que el costo fijo de producción es aquel que permanece constante sin importar del volumen de producción, para obtenerlo bastará con evaluar la función $C (x)$ cuando no se produce ningún frasco, es decir, cuando $x = 0$ :
$\begin{aligned} C (0) & = 0^{2} + 20 (0) + 12 \\ = 12 \end{aligned}$
Por lo que el costo fijo de producción para esta mermelada es de $12$ pesos.

$2.$ El ingreso máximo

Como nos están solicitando encontrar el ingreso máximo, aplicaremos el análisis para hallar el máximo de la función $I (x)$ apoyándonos del Criterio de la segunda derivada. Comenzamos obteniendo la primera derivada e igualando a cero para obtener los puntos críticos:
$I^{'} (x) = - 8 x + 400.$
$\begin{aligned} I^{'} (x) = 0 & \Leftrightarrow 8 x = 400 \\ \Leftrightarrow x = \frac{400}{8} \\ \Leftrightarrow x = 50 \end{aligned}$
Queremos ver que $x = 50$ , al obtener la segunda derivada notamos que:
$\begin{matrix} (que es menor que 0) & I^{''} (x) = - 8 \end{matrix}$
Concluyendo así que cuando $x = 50$ la función $I$ tiene un máximo y que el ingreso máximo de esta mermelada se obtiene al sustituir dicho valor:
$\begin{aligned} I (50) & = - 4 (50)^{2} + 400 (50) \\ = - 10000 + 20000 \\ = 10000 \end{aligned}$
Por lo que es de $10, 000$ pesos.

$3.$ La máxima utilidad

Primero necesitamos definir a la función de la utilidad, para ello usaremos la igualdad siguiente sustituyendo la función del ingreso y la del costo:
$\begin{aligned} U (x) & = I (x) - C (x) \\ = - 4 x^{2} + 400 - x^{2} - 20 x - 12 \\ = - 5 x^{2} + 388 x - 12 \\ ∴ U (x) & = 5 x^{2} + 388 x - 12 . \end{aligned}$

Derivamos la función $U$ :
$U^{'} (x) = - 10 x + 388.$
La igualamos a cero y obtenemos los puntos críticos:
$\begin{aligned} - 10 x + 388 = 0 & \Leftrightarrow 388 = 10 x \\ \Leftrightarrow x = \frac{388}{10} \end{aligned}$
Al volver a derivar la función vemos que:
$\begin{matrix} (que es negativo) & U^{''} (x) = - 10 \end{matrix}$
por lo que aplicando el Criterio de la segunda derivada nos indica que $U$ tiene un máximo cuando $x = \frac{388}{10}$ .

Sustituimos el valor para $x$ obtenido en la función:
$\begin{aligned} U (\frac{388}{10}) & = - 5 {(\frac{388}{10})}^{2} + 388 (\frac{388}{10}) - 12 \\ \approx 7515.2 \end{aligned}$
Concluyendo así que la utilidad máxima es de $7, 515.2$ pesos.

$4.$ El costo medio de cada frasco

Obtengamos la función de costo medio:
$\begin{aligned} C_{m} (x) & = \frac{C (x)}{x} \\ = \frac{x^{2} + 20 x + 12}{x} \\ ∴ C_{m} (x) & = x + 20 + \frac{12}{x} . \end{aligned}$
Del mismo modo que en los incisos anteriores, debemos derivar la función:
$C_{m}^{'} (x) = 1 - \frac{12}{x^{2}} .$
Y analizar los valores que obtengamos al igualar la derivada a cero:
$\begin{aligned} C_{m} (x) = 0 & \Leftrightarrow 1 = \frac{12}{x^{2}} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{12} = \frac{1}{x^{2}} \\ \Leftrightarrow 12 = x^{2} \\ ∴ x = \sqrt{12} . \end{aligned}$
Queremos ver que el valor $x = \sqrt{12}$ es un mínimo para la función del costo medio, aplicando el criterio:
$C_{m}^{''} (x) = \frac{24}{x^{3}} .$
Debido a que $C_{m} (\sqrt{12}) > 0$ confirmamos que se trata de un mínimo. Finalmente sustituimos:
$\begin{aligned} C_{m} (\sqrt{12}) & = \sqrt{12} + 20 + \frac{12}{\sqrt{12}} \\ \approx 26.92 \end{aligned}$

En resumen, el costo medio de cada frasco es de $26.92$ pesos.

Hablemos del costo marginal

Recordemos un poco lo visto en la entrada Razón de cambio aplicándolo ahora a la función del costo $C (x)$ . Imaginemos que la compañía decide aumentar el número de artículos producidos de $x_{1}$ a $x_{2}$ , por lo que el costo tendría un incremento de $C (x_{1})$ a $C (x_{2})$ . Con lo anterior, la razón de cambio del costo quedaría:
$\begin{aligned} \frac{Δ C}{Δ x} & = \frac{C (x_{2}) - C (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} . \end{aligned}$

Cabe aclarar que escribimos $Δ x = x_{2} - x_{1}$ para referimos al «incremento de $x$ ».

Observación: Como sabemos que $x_{1} < x_{2}$ , una forma de reescribir a $x_{2}$ haciendo uso de la notación anterior sería:
$x_{2} = x_{1} + Δ x .$

Por lo que concluimos que:
$\begin{aligned} \frac{Δ C}{Δ x} & = \frac{C (x_{1} + Δ x) - C (x_{1})}{Δ x} . \end{aligned}$

Si consideramos el límite cuando el incremento $Δ x \to 0$ , es decir,
$lim_{Δ x \to 0} \frac{C (x_{1} + Δ x) - C (x_{1})}{Δ x} .$

vemos que es justo la derivada de la función $C (x)$ por definición. En Economía a dicha derivada $C^{'} (x)$ se le conoce como Costo marginal.

Una relación entre el Costo promedio y el Costo marginal

Ya vimos que la función de costo promedio está dada por:
$C_{m} (x) = \frac{C (x)}{x} .$
¿Qué pasaría si decidimos hallar el mínimo de $C_{m} (x)$ ? Aplicando las reglas de derivación correspondientes tenemos:
$C_{m}^{'} (x) = \frac{x C^{'} (x) - C (x)}{x^{2}} .$

Procedemos a igualar la derivada a cero:
$\begin{aligned} C_{m}^{'} (x) = 0 & \Leftrightarrow \frac{x C^{'} (x) - C (x)}{x^{2}} = 0 \\ \Leftrightarrow x C^{'} (x) - C (x) = 0 \\ \Leftrightarrow x C^{'} (x) = C (x) \\ \Leftrightarrow C^{'} (x) = \frac{C (x)}{x} \end{aligned}$

Por lo que vemos que el costo marginal es igual al costo promedio siempre que verifiquemos que $x$ es un mínimo de $C_{m}$ . Esta relación es quizás una de las más interesantes, revisemos como utilizarla en el siguiente problema.

Problema 2

Una franquicia de panaderías conoce que la función de costo por elaborar $x$ donas es:
$C (x) = \frac{x^{2}}{500} + 2 x + 3000.$

Se requiere obtener el nivel de producción para el cual el costo promedio es el más bajo.

Solución:
Como ya vimos, si queremos minimizar el costo promedio basta con igualarlo al costo marginal y verificar que el valor $x$ obtenido es un mínimo. Para ello procedemos con:
$\begin{aligned} C^{'} (x) & = \frac{x}{250} + 2 & C_{m} (x) & = \frac{x}{500} + 2 + \frac{3000}{x} \end{aligned}$

Igualando las funciones:
$\begin{aligned} C^{'} (x) = C m_{(} x) & \Rightarrow \frac{x}{250} + 2 = \frac{x}{500} + 2 + \frac{3000}{x} \\ \Rightarrow \frac{x}{250} = \frac{x}{500} + \frac{3000}{x} \\ \Rightarrow \frac{x}{500} = \frac{3000}{x} \\ \Rightarrow \frac{x^{2}}{500} = 3000 \\ \Rightarrow x^{2} = \frac{3000}{\frac{1}{500}} \\ \Rightarrow x = \sqrt{1500000} \\ ∴ x \approx 1224.7448 \end{aligned}$

Verifiquemos que $x = 1224.7448$ es un mínimo observando la segunda derivada de $C_{m} (x)$ :
$C_{m}^{'} (x) = \frac{1}{500} - \frac{3000}{x^{2}} \Rightarrow C_{m}^{''} (x) = \frac{6000}{x^{3}}$

Al evaluarla vemos que cumple ser mayor que cero $C_{m} (1224.7448) > 0$ , que sabemos nos indica que se trata de un mínimo. Por lo tanto, el nivel buscado es el de producir $1, 225$ donas con costo medio de $C_{m} (1225) = 6.89$ por pieza.

Análogamente…

Si realizamos un desarrollo similar al revisado en la sección anterior para el costo $C (x)$ aplicado ahora a las funciones de ingreso $I$ y de utilidad $U$ , tenemos que las derivadas de ellas son conocidas en Economía como:

Ingreso marginal
$I^{'} (x)$
Utilidad marginal
$U^{'} (x)$

En los ejercicios de Tarea moral se proponen algunos ejercicios donde podrás aplicar estos conceptos, al igual que los revisados durante toda la sesión.

Más adelante

Ya que hemos concluido de revisar algunas aplicaciones de la derivada relacionadas ahora en el ámbito de la Economía, en la siguiente entrada estudiaremos el último tema de nuestro temario para Cálculo Diferencial e Integral I: las diferenciales.

Tarea moral

Dadas las funciones de ingreso y costo siguientes:
$\begin{aligned} I (x) & = - x^{2} + 170 & C (x) & = \frac{3}{2} x^{2} + 300 \end{aligned}$
Obtén lo siguiente:
- El costo fijo de producción.
- El ingreso máximo.
- La máxima utilidad.
- El costo medio de cada frasco.
Con el planteamiento del Problema 1. Determina cuando se producen $20$ frascos de mermelada:
- El ingreso y el ingreso marginal.
- La utilidad y su utilidad marginal.

Entradas relacionadas

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Moderna I: Teorema de Menelao

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

En esta ocasión presentamos el teorema de Menelao, una herramienta muy útil que nos da condiciones necesarias y suficientes para que tres puntos, cada uno sobre los lados de un triángulo, sean colineales.

Teorema de Menelao

Teorema 1, de Menelao. Sean $△ A B C$ y $X$ , $Y$ , $Z$ puntos en los lados $B C$ , $C A$ y $A B$ respectivamente, tal que uno o los tres puntos se encuentran en la extensión de los lados de $△ A B C$ , entonces $X$ , $Y$ y $Z$ son colineales si y solo si
$\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A} = - 1$ .

Demostración. Supongamos que $X$ , $Y$ y $Z$ son colineales, sea $D \in X Y Z$ tal que $C D ∥ A B$ entonces $△ X Z B \sim △ X D C$ y $△ Y A Z \sim △ Y C D$ , esto es

$\frac{D C}{Z B} = \frac{X C}{X B} \Leftrightarrow D C = \frac{Z B \times X C}{X B}$ ,

$\frac{D C}{Z A} = \frac{Y C}{Y A} \Leftrightarrow D C = \frac{Z A \times Y C}{Y A}$ .

Por lo tanto,
$\frac{Z A}{Y A} \frac{Y C}{Z B} \frac{X B}{X C} = 1 \Leftrightarrow \frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A} = - 1$ .

La última ecuación se obtiene al considerar segmentos dirigidos.

Conversamente, ahora supongamos sin pérdida de generalidad que $Z$ e $Y$ se encuentran en $A B$ y $C A$ respectivamente y $X$ en la extensión de $B C$ (izquierda figura 1), el caso en que los tres puntos están en las extensiones de los lados es análogo, y supongamos que
$\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A} = - 1$ .

Sea $X^{'} = Y Z \cap B C$ , entonces por la implicación que ya probamos tenemos que
$\frac{A Z}{Z B} \frac{B X^{'}}{X^{'} C} \frac{C Y}{Y A} = - 1$ .

Esto, junto con nuestra hipótesis nos dice que $\frac{B X^{'}}{X^{'} C} = \frac{B X}{X C}$ , es decir $B C$ es dividido exteriormente por $X$ y $X^{'}$ en la misma razón.

Por lo tanto, $X = X^{'}$ , entonces $X$ , $Y$ y $Z$ son colineales.

Forma trigonométrica del teorema de Menelao

Lema de la razón. Considera $△ A B C$ y sea $X$ un punto en $B C$ o su extensión, entonces
$\begin{matrix} (1) & \frac{B X}{X C} = \frac{A B}{C A} \frac{\sin ∠ B A X}{\sin ∠ C A X} . \end{matrix}$ .

Demostración. Aplicamos la ley de los senos a los triángulos $△ B A X$ y $△ X A C$ (figura 1),
$\begin{matrix} (2) & \frac{B X}{\sin ∠ B A X} = \frac{A B}{\sin ∠ A X B}, \end{matrix}$

$\begin{matrix} (3) & \frac{C X}{\sin ∠ C A X} = \frac{A C}{\sin ∠ A X C} . \end{matrix}$

Notemos que $\sin ∠ A X B = \sin ∠ A X C$ , pues si $X$ está en la extensión de $B C$ entonces $∠ A X B = ∠ A X C$ o si $X$ está en el segmento $B C$ entonces $∠ A X B$ y $∠ A X C$ son suplementarios.

Por lo tanto, haciendo el cociente de $(2)$ entre $(3)$ obtenemos $(1)$ .

Forma trigonométrica del teorema de Menelao. Sea $△ A B C$ y $X$ , $Y$ , $Z$ puntos en los lados $B C$ , $C A$ y $A B$ respectivamente, tal que uno o los tres puntos se encuentran en la extensión de los lados de $△ A B C$ , entonces $X$ , $Y$ y $Z$ son colineales si y solo si

$\frac{\sin ∠ B A X}{\sin ∠ X A C} \frac{\sin ∠ C B Y}{\sin ∠ Y B A} \frac{\sin ∠ A C Z}{\sin ∠ Z C B} = - 1$ .

Demostración. Aplicamos el lema de la razón a $X$ , $Y$ y $Z$ , entonces:
$- 1 = \frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A}$

$= (\frac{C A}{B C} \frac{\sin ∠ A C Z}{\sin ∠ Z C B}) (\frac{A B}{C A} \frac{\sin ∠ B A X}{\sin ∠ X A C}) (\frac{B C}{A B} \frac{\sin ∠ C B Y}{\sin ∠ Y B A})$

$= \frac{\sin ∠ B A X}{\sin ∠ X A C} \frac{\sin ∠ C B Y}{\sin ∠ Y A C} \frac{\sin ∠ A C Z}{\sin ∠ Z C B}$ .

En consecuencia, por el teorema de Menelao la igualdad es cierta si y solo si $X$ , $Y$ y $Z$ son colineales.

Bisectrices

Proposición 1.
$i)$ Dos bisectrices internas y la bisectriz externa del tercer ángulo de un triángulo intersecan a los lados opuestos del triángulo en tres puntos colineales,
$i i)$ las tres bisectrices externas de un triángulo intersecan a los lados opuestos del triángulo en tres puntos colineales.

Demostración. Sean $△ A B C$ , $X^{'}$ , la intersección de la bisectriz externa de $∠ A$ con $B C$ , $Y$ y $Z$ las intersecciones de las bisectrices internas de $∠ B$ y $∠ C$ con $C A$ y $A B$ respectivamente.

Por el teorema de la bisectriz tenemos las siguientes igualdades
$\frac{B X^{'}}{X^{'} C} = \frac{A B}{A C}$ ,
$\frac{C Y}{Y A} = \frac{B C}{B A}$ ,
$\frac{A Z}{Z B} = \frac{C A}{C B}$ .

Considerando segmentos dirigidos,
$\frac{A Z}{Z B} \frac{B X^{'}}{X^{'} C} \frac{C Y}{Y A} = \frac{C A}{C B} \frac{A B}{A C} \frac{B C}{B A} = - 1$ .

Por lo tanto, $X^{'}$ , $Y$ y $Z$ son colineales.

Análogamente, si $Y^{'}$ y $Z^{'}$ son las intersecciones de las bisectrices externas de $∠ B$ y $∠ C$ con $C A$ y $A B$ respectivamente, entonces por el teorema de la bisectriz
$\frac{C Y^{'}}{Y^{'} A} = \frac{B C}{B A}$ ,
$\frac{A Z^{'}}{Z^{'} B} = \frac{C A}{C B}$ .

Por lo tanto
$\frac{A Z^{'}}{Z^{'} B} \frac{B X^{'}}{X^{'} C} \frac{C Y^{'}}{Y^{'} A} = \frac{C A}{C B} \frac{A B}{A C} \frac{B C}{B A} = - 1$ .

Por lo tanto, por el teorema de Menelao, $X^{'}$ , $Y^{'}$ y $Z^{'}$ son colineales.

Recta de Lemoine y recta de Gergonne

Teorema 2. Las rectas tangentes al circuncírculo de un triángulo a través de sus vértices intersecan a los lados opuestos del triángulo en tres puntos colineales.

Demostración. Sean $△ A B C$ y $△ D E F$ su triángulo tangencial, sean $X = E F \cap B C$ , $Y = D F \cap C A$ y $Z = D E \cap A B$ .

Como el ángulo semiinscrito $∠ X A B$ abarca el mismo arco que el ángulo inscrito $∠ A C B$ entonces son iguales, por criterio de semejanza AA, $△ A X B \sim △ C X A$ , por lo tanto,
$\frac{A X}{C X} = \frac{A B}{C A}$ $\Leftrightarrow \frac{A X^{2}}{C X^{2}} = \frac{A B^{2}}{C A^{2}}$ .

Por otro lado, la potencia de $X$ respecto al circuncírculo de $△ A B C$ es
$A X^{2} = X B \times X C$ .

Por lo tanto,
$\begin{matrix} (4) & \frac{X B}{X C} = \frac{A B^{2}}{C A^{2}} . \end{matrix}$

Igualmente podemos encontrar,
$\frac{Y C}{Y A} = \frac{B C^{2}}{B A^{2}}$ y $\frac{Z B}{Z A} = \frac{C B^{2}}{C A^{2}}$ .

Por lo tanto,
$\frac{X B}{X C} \frac{Y C}{Y A} \frac{Z A}{Z B} = \frac{A B^{2}}{C A^{2}} \frac{B C^{2}}{B A^{2}} \frac{C A^{2}}{C B^{2}} = 1$ .

Considerando segmentos dirigidos tenemos
$\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A} = - 1$ .

Como resultado, por el teorema de Menelao, $X$ , $Y$ y $Z$ son colineales.

A la recta $X Y Z$ se le conoce como recta de Lemoine de $△ A B C$ .

Observación 1. Notemos que $X$ , $Y$ y $Z$ son los centros de las circunferencias de Apolonio de $△ A B C$ .

Observación 2. También hemos mostrado que la tangente al circuncírculo de un triangulo por uno de sus vértices divide al lado opuesto al vértice, en la razón de los cuadrados de los lados que concurren en el vértice, ecuación $(4)$ .

Corolario. Los lados del triángulo cuyos vértices son los puntos de tangencia del incírculo de un triángulo dado con sus lados, intersecan a los lados opuestos del triángulo dado en tres puntos colineales.

Demostración. Notemos que en el teorema anterior si el triángulo dado es $△ D E F$ , entonces su incírculo es el circuncírculo de $△ A B C$ .

Por lo tanto, se tiene el resultado.

A la recta $X Y Z$ se le conoce como recta de Gergonne de $△ D E F$ .

Teorema de Monge

Teorema 3. Las tangentes externas comunes a tres circunferencias, tales que ninguna esta completamente contenida en las otras dos, se intersecan dos a dos en tres puntos colineales.

Demostración. Sean $Γ (A)$ , $Γ (B)$ y $Γ (C)$ , tres circunferencias que cumplen las hipótesis. Sean $X = X_{b} X_{c} \cap X_{b}^{'} X_{c}^{'}$ , $Y = Y_{a} Y_{c} \cap Y_{a}^{'} Y_{c}^{'}$ y $Z = Z_{a} Z_{b} \cap Z_{a}^{'} Z_{b}^{'}$ , las intersecciones de las tangentes comunes a $Γ (B)$ , $Γ (C)$ ; $Γ (A)$ , $Γ (C)$ y $Γ (A)$ , $Γ (B)$ respectivamente (figura 4).

Recordemos que la intersección de dos tangentes externas comunes a dos circunferencias es un centro de homotecia entre dichas circunferencias.

Entonces $X$ es un centro de homotecia para $Γ (B)$ y $Γ (C)$ , por lo tanto
$\frac{X B}{X C} = \frac{B X_{b}}{C X_{c}}$ .

Igualmente vemos que
$\frac{Y C}{Y A} = \frac{C Y_{c}}{A Y_{a}}$ y $\frac{Z B}{Z A} = \frac{B Z_{b}}{A Z_{a}}$ .

Tomando en cuenta que $A Z_{a} = A Y_{a}$ , $B Z_{b} = B X_{b}$ y $C X_{c} = C Y_{c}$ , tenemos
$\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A} = \frac{- A Z_{a}}{B Z_{b}} \frac{- B X_{b}}{C X_{c}} \frac{- C Y_{c}}{A Y_{a}} = - 1$ .

Por lo tanto, por el teorema de Menelao $X$ , $Y$ y $Z$ son colineales.

Puntos isotómicos

Proposición 2. Los puntos isotómicos de tres puntos colineales son colineales.

Demostración. Recordemos que dos puntos en uno de los lados de un triángulo son isotómicos si equidistan al punto medio de ese lado.

Sean $△ A B C$ y $X$ , $Y$ , $Z$ en los lados $B C$ , $C A$ y $A B$ respectivamente tal que $X Y Z$ es una recta, consideremos $X^{'}$ , $Y^{'}$ y $Z^{'}$ sus correspondientes puntos isotómicos.

Entonces
$\frac{A Z^{'}}{Z^{'} B} \frac{B X^{'}}{X^{'} C} \frac{C Y^{'}}{Y^{'} A} = \frac{Z B}{A Z} \frac{X C}{B X} \frac{Y A}{C Y} = (\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A})^{-} 1 = - 1$ .

Por lo tanto, por el teorema de Menelao $X^{'}$ , $Y^{'}$ y $Z^{'}$ son colineales.

Proposición 3. Si sobre los lados de $△ A B C$ tenemos pares de puntos isotómicos $X$ , $X^{'} \in B C$ , $Y$ , $Y^{'} \in C A$ y $Z$ , $Z^{'} \in A B$ entonces las áreas de los triángulos $△ X Y Z$ y $△ X^{'} Y^{'} Z^{'}$ coinciden.

Demostración. Sean $U = Z Y \cap B C$ y $U^{'} = Z^{'} Y^{'} \cap B C$ , consideremos $D$ y $F$ las proyecciones de $X$ y $C$ en $Z U$ , entonces $△ X D U \sim △ C E U$ .

Entonces,
$\frac{(△ X Y Z)}{(△ C Y Z)} = \frac{X D}{C E} = \frac{X U}{C U}$ .

Igualmente vemos que, $\frac{(△ X^{'} Y^{'} Z^{'})}{(△ B Y^{'} Z^{'})} = \frac{X^{'} U^{'}}{B U^{'}}$ .

Por la proposición anterior, el punto isotómico de $U$ debe ser colineal con $Y^{'}$ y $Z^{'}$ , por lo tanto, $U$ y $U^{'}$ son isotómicos $\Rightarrow C U = U^{'} B$ y $X U = U^{'} X^{'}$ .

Por lo tanto $\frac{(△ X Y Z)}{(△ C Y Z)} = \frac{(△ X^{'} Y^{'} Z^{'})}{(△ B Y^{'} Z^{'})}$ .

Pero $(△ C Y Z) = (△ A Y^{'} Z) = (△ B Y^{'} Z^{'})$ .

Por lo tanto, $△ X Y Z$ y $△ X^{'} Y^{'} Z^{'}$ tienen la misma área.

Más adelante…

Con la ayuda del teorema de Menelao, en la próxima entrada definiremos y estableceremos algunos resultados sobre triángulos en perspectiva. También mostraremos el teorema de Pascal.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Prueba que si una recta que pasa por el centroide $G$ de un triangulo $△ A B C$ interseca a $A B$ y $A C$ en $Z$ e $Y$ respectivamente, entonces $A Z \times Y C + A Y \times Z B = A Z \times A Y$ .
Una recta interseca los lados de un cuadrilátero $A B C D$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ y $A B$ en $X$ , $Y$ , $Z$ y $W$ respectivamente, muestra que $\frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y D} \frac{D Z}{Z A} \frac{A W}{W B} = 1$ .
Una circunferencia cuyo centro es equidistante a los vértices $B$ y $C$ de un triángulo $△ A B C$ interseca a $A B$ en $P$ y $P^{'}$ y a $A C$ en $Q^{'}$ y $Q$ , las rectas $P Q$ y $P^{'} Q^{'}$ intersecan a $B C$ en $X$ y $X^{'}$ respectivamente, muestra que:
$i)$ $B X \times B X^{'} = C X \times C X^{'}$ ,
$i i)$ $X$ y $X^{'}$ son puntos isotómicos.
Sean $△ A B C$ y $B^{'}$ el punto medio de $C A$ , considera $G$ el centroide de $△ A B C$ , sea $P$ tal que $B^{'}$ es el punto medio de $G P$ , la paralela a $A C$ por $P$ interseca a $B C$ en $X$ , la paralela a $A B$ por $P$ corta a $A C$ en $Y$ , la paralela a $B C$ por $P$ interseca a $A B$ en $Z$ (figura 7), muestra que $X$ , $Y$ y $Z$ son colineales.

Demuestra que las mediatrices de las bisectrices de los ángulos internos de un triángulo, intersecan a los lados opuestos a los ángulos desde donde se trazo la bisectriz, en tres puntos colineales. Considera el segmento de bisectriz formado por el vértice y el punto de intersección con el lado opuesto.
Considera $X Y Z$ y $X^{'} Y^{'} Z^{'}$ dos rectas transversales a los lados de un triángulo $△ A B C$ , tales que $X$ , $X^{'} \in B C$ , $Y$ , $Y^{'} \in C A$ y $Z$ , $Z^{'} \in A B$ , sean $D = Z^{'} Y \cap B C$ , $E = X^{'} Z \cap C A$ y $F = Y^{'} X \cap A B$ , prueba que $D$ , $E$ y $F$ son colineales.
Demuestra el teorema de la recta de Simson usando el teorema de Menelao.
Dadas tres circunferencias tales que dos a dos sus interiores son ajenos, muestra que las tangentes comunes externas de dos de ellas se intersecan en un punto colineal con las intersecciones de las tangentes comunes internas de esas dos circunferencias con la tercera.

Entradas relacionadas

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Otros cursos.

Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 153-158.
Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 57-68.
Posamentier, A. y Salkind, C; Challenging Problems in Geometry. New York: Dover, 1996, pp 36-42.
Cárdenas, S., Notas de Geometría. México: Ed. Prensas de Ciencias, 2013, pp 85-88.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral II: Cálculo de volúmenes por secciones transversales y por rotación alrededor de un eje

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En la entrada anterior vimos como calcular la longitud de arco de una curva. Otra aplicación de las integrales es calcular el volumen de sólidos de revolución, por lo que en esta entrada se aprenderá a calcular el volumen de un sólido $S$ mediante secciones transversales o también llamado el método de los discos, además, veremos el método de las arandelas o también llamado el método de los anillos.

Superficies de revolución

Antes de comenzar a estudiar el método de los discos, definiremos lo que es una superficie de revolución.

Una superficie de revolución es una figura sólida que se obtiene al girar una curva plana alrededor de un eje que se encuentra en el mismo plano, a este eje se le conoce como eje de revolución. Veamos unos ejemplos.

*Figura 1: Rectángulo (Figura de la izquierda) y el cilindro de revolución (figura de la derecha).*

En la figura $(1)$ tenemos un rectángulo con altura y ancho, variables (figura de la izquierda), obsérvese que está en un plano, es decir, es una figura en 2 dimensiones, si nosotros hacemos girar esta figura alrededor del eje $x$ obtenemos un cilindro como en la figura de la derecha.

En la siguiente figura $(2)$ tenemos un triángulo rectángulo isósceles (figura de la izquierda), si nosotros hacemos girar este triángulo alrededor del eje $y$ lo que obtendremos es una pirámide como el lado derecho de la figura 2.

Figura 2: Triangulo iscóceles (figura de la izquierda) y pirámide (figura de la derecha).

A estas figuras «creadas» se les conoce como superficies de revolución, a continuación veremos como calcular su volumen por el método de los discos.

Método de los discos

Supongamos que tenemos una función $f (x)$ en un intervalo $[a, b]$ y que cortamos una «rebanada» con un ancho $Δ x$ de la función $f (x)$ como se muestra en la figura $(3)$ .

Figura 3: Aproximación con un polígono regular a $f (x)$ .

Al hacer girar esta función alrededor del eje $x$ obtendremos una superficie de revolución (figura $(4)$ ), la «rebanada» que tomamos al girarlo alrededor del eje obtendremos un cilindro de radio $r$ y ancho $Δ x$ .

Para calcular el volumen de esta superficie de revolución la «rebanamos» $n$ veces y sumamos estos pedazos, es decir:

Volumen de la superficie de revolución $\approx \sum_{i = 1}^{n}$ volúmenes de los cilindros

Recordemos que el volumen de un cilindro está dado como $V = π r^{2} h$ , entonces el volumen de nuestra superficie de revolución es:

$V \approx \sum_{i = 1}^{n} π r^{2} Δ x = \sum_{i = 1}^{n} π [f (x)]^{2} Δ x$

Si tomamos el límite cuando $n \to \infty$ obtenemos:

$V = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} π [f (x)]^{2} Δ x = π \int_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x$

Por lo que definimos el volumen de una superficie de revolución alrededor del eje $x$ como:

$\begin{matrix} (1) & V = \int_{a}^{b} Á r e a (x) d x = π \int_{a}^{b} [R (x)]^{2} d x \end{matrix}$

Análogamente, se puede deducir lo mismo para una superficie de revolución generado por una curva plana alrededor del eje $y$ . Se define el volumen de una superficie de revolución alrededor del eje $y$ como:

$\begin{matrix} (2) & V = π \int_{c}^{d} [R (y)]^{2} d y \end{matrix}$

Observación: Para el método de los discos el corte siempre debe ser perpendicular al eje de rotación.

Método de las arandelas

Si la región que se hace girar para generar el sólido de revolución no se acerca al eje de rotación, ni está en él, tendremos que al girarlo sobre el eje se obtendrá un agujero en su centro, es decir, un sólido de revolución con un agujero alrededor del eje de rotación. Si utilizamos el mismo método visto anteriormente para calcular su volumen, en vez de discos, tendremos que las secciones transversales perpendiculares al eje de rotación son arandelas, el área de la arandela está dada como:

$A = π R^{2} (x) - π r^{2} (x) = π (R^{2} (x) - r^{2} (x))$

Donde $R (x)$ es el radio mayor y $r (x)$ es el radio menor de la arandela como se muestra en la figura $(5)$ , por lo que nos interesa el volumen entre $R (x)$ y $r (x)$ .

Figura 5: Solido de revolución generado por las funciones $R (x)$ y $r (x)$ alrededor del eje $x$ .

Por consecuencia, el volumen lo podemos calcular como:

$\begin{matrix} (3) & V = π \int_{a}^{b} (R^{2} (x) - r^{2} (x)) d x \end{matrix}$

Veamos un ejemplo.

Ejemplos

Calcula el volumen del sólido de revolución formado al hacer girar la región acotada por la grafica $f (x) = \sqrt{\sin (x)}$ , alrededor del eje $x$ y acotadas por las rectas $x = 0$ y $x = π$ .

En este caso obtenemos la siguiente figura $(6)$ .

Figura 6: Función $f (x) = \sqrt{\sin (x)}$ (figura de la izquierda) y la superficie de revolución alrededor del eje x (figura derecha).

Utilizamos la relación $(1)$ , ya que la función gira alrededor del eje $x$ , por lo que el volumen de este sólido de revolución es:

$V = π \int_{0}^{π} {(\sqrt{\sin (x)})}^{2} d x = π \int_{0}^{π} \sin (x) d x = π (- \cos (x)) |_{0}^{π} = π - (- 1 - 1) = 2 π$

Determinar el volumen del sólido de revolución generado alrededor de $y = g (x) = 1$ por la función $y = \sqrt{x}$ y las rectas $x = 1$ y $x = 4$ (figura $(7)$ ).

Figura 7: Grafica de $f (x) = \sqrt{x}$ y $g (x) = 1$ .

Al girar la función $f (x) = \sqrt{x}$ alrededor de $y = 1$ tendremos una especie de parábola.

Observamos que:

$R (x) = f (x) - g (x) = \sqrt{x} - 1 \Rightarrow R^{2} (x) = x - 2 \sqrt{x} + 1$

Por ende, utilizamos la relación $(1)$ para calcular el volumen como:

$V = π \int_{1}^{4} (x - 2 \sqrt{x} + 1) d x = π (\frac{x^{2}}{2} - 2 \frac{2}{3} x^{3 / 2} + x) |_{1}^{4} = \frac{7 π}{6}$

Determina el volumen del sólido de revolución acotada por las curvas $y = x^{2} + 1$ y la recta $y = - x + 3$ alrededor del eje $x$ .

Para saber en qué intervalo vamos a integrar, igualamos las funciones:

$x^{2} + 1 = - x + 3 \Rightarrow x^{2} + x - 2 = 0 \Rightarrow (x + 2) (x - 1) = 0$

Por lo que integramos desde $x = - 2$ a $x = 1$

Del eje de rotación, sea el radio menor $r (x) = x^{2} + 1$ por estar más próximo a este eje en este intervalo, y sea el radio mayor $R (x) = - x + 3$ , como se muestra en la figura $(8)$ .

Figura 8: Área de interés entre las curvas (figura de la izquierda) con su respectivo solido de revolución (figura de la derecha).

Para calcular el volumen de este sólido, utilizamos la relación $(3)$ , por lo que:

$V = π \int_{a}^{b} (R^{2} (x) - r^{2} (x)) d x = \int_{- 2}^{1} π [{(- x + 3)}^{2} - {(x^{2} + 1)}^{2}] d x$

$= \int_{- 2}^{1} π (8 - 6 x - x^{2} - x^{4}) d x = π [8 x - 3 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{5}}{5}] |_{- 2}^{1} = \frac{117 π}{5}$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Determine el volumen del solido resultante al hacer girar la región comprendida entre el eje $y$ y la curva $x = 2 / y$ , donde $1 \leq y \leq 4$ , alrededor del eje y.
Encuentre el volumen del solido generado al giran la región acotada por las graficas $y = \sqrt{x}$ , $y = x^{2}$ en torno al eje x.
Encuentre el volumen del solido generado al giran la región acotada por las graficas $y = x^{2} + 1$ , $y = 0$ , $x = 0$ y $x = 1$ en torno al eje y.
La circunferencia $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ se hace girar alrededor del eje y, calcular su volumen.
Un fabricante diseña un objeto en forma de esfera con un radio de 5 pulgadas y con un orificio cilíndrico en su interior. El hueco tiene un radio de 3 pulgadas ¿Cuál es el volumen del objeto resultante?

Más adelante…

En esta entrada deducimos las relaciones para calcular el volumen de un sólido generado por rotación alrededor de un eje por el método del disco y también deducimos la relación para calcular el volumen de un sólido generado por rotación entre dos curvas dadas por el método del anillo, en la siguiente entrada veremos otro método para calcular el volumen de un sólido generado llamado el método de las capas cilíndricas.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Longitud de arco

Por Miguel Ángel Rodríguez García

2 respuestas

Introducción

En la sección anterior vimos como calcular el área delimitada entre dos curvas, otra aplicación de la integral es calcular la longitud de una curva a lo largo de un intervalo dado, lo cual veremos en esta sección. Comenzamos deduciendo la fórmula de la longitud de arco o también llamada la longitud de curva.

Longitud de arco

Supóngase que tenemos una curva $C$ que se define mediante la ecuación $y = f (x)$ , continua en el intervalo $[a, b]$ . El objetivo es medir la longitud de esa curva en el intervalo dado $[a, b]$ , para esto se divide el intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos con puntos extremos $x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}$ y amplitud $Δ x$ , por tanto, conseguimos un polígono con vértices $P_{0}, P_{1}, \dots, P_{n}$ para aproximar a la curva $C$ como se muestra en la figura $(1)$ . Calculamos la distancia entre los vértices $P_{i - 1}$ y $P_{i}$ , para aproximarnos mejor a la curva $C$ , sumamos $n$ vértices y tomamos el límite cuando $n \to \infty$ , tenemos que la longitud de la curva la podemos aproximar como:

$L = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} d (P_{i - 1}, P_{i})$

Figura 1: Aproximación de la longitud de la curva *función $f (x)$* (azul) por medio de polígonos (líneas rojas).

Podemos reescribir a $d (P_{i - 1}, P_{i})$ como:

$d (P_{i - 1}, P_{i}) = \sqrt{(x_{i} - x_{i - 1})^{2} + (y_{i} - y_{i - 1})^{2}} = \sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}$

Utilizamos el teorema de valor medio y la aplicamos a la función $f (x)$ en el intervalo $[x_{i - 1}, x_{i}]$ , lo cual encontramos un número $x_{i}^{*}$ tal que:

$f (x_{i}) - f (x_{i - 1}) = f^{'} (x_{i}^{*}) (x_{i} - x_{i - 1})$

Podemos reescribir la anterior relación como: $Δ y = f^{'} (x_{i}^{*}) Δ x$ así, se tiene que: $d (P_{i - 1}, P_{i}) = \sqrt{(Δ x)^{2} + [f^{'} (x_{i}^{*}) Δ x]^{2}} = \sqrt{1 + [f^{'} (x_{i}^{*})]^{2}} \sqrt{(Δ x)^{2}} = \sqrt{1 + [f^{'} (x_{i}^{*})]^{2}} Δ x$

Por tanto:

$L = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{(1 + [f^{'} (x_{i}^{*})]^{2}} Δ x$

Si $n \to \infty$ entonces la fórmula de longitud de arco donde $f^{'} (x)$ es continua en $[a, b]$ esta dada como:

$\begin{matrix} (1) & L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f^{'} (x)]^{2}} d x \end{matrix}$

En notación de Leibniz, se puede reescribir la longitud de arco como:

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}} d x$

La longitud de curva no depende de la elección de los ejes coordenados, si una curva tiene como ecuación $x = g (y)$ , con $c \leq y \leq d$ y $g^{'} (y)$ continua, entonces la longitud de arco se reescribe como.

$\begin{matrix} (2) & L = \int_{c}^{d} \sqrt{1 + {(\frac{d x}{d y})}^{2}} d y \end{matrix}$

Veamos los ejercicios a continuación para el cálculo de algunas longitudes de arco de algunos funciones en un intervalo.

Ejemplos

Determinar la longitud de arco de la parábola dada como: $y^{2} = x^{3}$ entre los puntos $(1, 1)$ y $(4, 8)$ .

Figura 2: Longitud de arco que se quiere calcular (rojo), función $f (x) = x^{3 / 2}$ (azul).

Tenemos que $y^{2} = x^{3} \Rightarrow y = x^{\frac{3}{2}}$

Derivando la función anterior, se tiene que:

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} x^{1 / 2}$

Así, utilizando la relación $(1)$ , la longitud del arco se calcula como:

$L = \int_{1}^{4} \sqrt{1 + {(\frac{3}{2} x^{1 / 2})}^{2}} d x$

Integramos por el método de cambio de variable.

Sea $u = 1 + \frac{9}{4} x \Rightarrow d u = \frac{9}{4} d x$ , cambiamos los límites de integración, si $x = 1 \Rightarrow u = \frac{13}{4}$ , si $x = 4 \Rightarrow u = 10$ , por tanto, la integral la reescribimos como:

$\int_{\frac{13}{4}}^{10} \frac{4}{9} \sqrt{u} d u = \frac{4}{9} \frac{2}{3} [u^{2 / 3}] |_{10}^{\frac{13}{4}} = \frac{8}{27} [10^{3 / 2} - {(\frac{13}{4})}^{3 / 2}] = \frac{1}{27} (80 \sqrt{10} - 13 \sqrt{13})$

Encuentre la longitud de arco de la parábola $x = y^{2}$ de $(0, 0)$ a $(1, 1)$

*Figura 3: Longitud de arco que se quiere calcular (rojo), función $f (y) = y^{2}$ (azul).*

Tenemos que la curva es $x = y^{2} \Rightarrow x^{'} = 2 y$ , en este caso tenemos que la curva es función de $f (y)$ por lo que utilizamos la relación $(2)$ , así la longitud de arco lo calculamos como:

$L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + (2 y)^{2}} d y = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 4 y^{2}} d y$

Utilizamos el método de sustitución trigonométrica, observamos en que caso se puede aplicar para resolver esta integral, por lo que hacemos la sustitución siguiente:

$y = \frac{1}{2} \tan (θ) \Rightarrow d y = \frac{1}{2} \sec^{2} (θ) d θ$

Así: $\sqrt{1 + 4 y^{2}} = \sqrt{1 + \tan (θ)^{2}} = \sec (θ)$ , veamos los límites de integración:

Si $y = 0 \Rightarrow θ = 0$ y si $y = 1 \Rightarrow \tan (θ) = 2 \Rightarrow θ = a r c t a n (2)$ por tanto:

$L = \int_{0}^{\arctan (2)} \sec (θ) \frac{1}{2} \sec^{2} (θ) d θ = \frac{1}{2} \int_{0}^{\arctan (2)} \sec^{3} (θ) d θ$

Recordemos que esta integral la resolvimos en la entrada de productos de potencias de tan(x) y sec(x), por lo que:

$L = \frac{1}{2} \int_{0}^{\arctan (2)} \sec^{3} (θ) d θ = \frac{1}{2} \frac{1}{2} [\sec (θ) \tan (θ) + l n (| \sec (θ) + \tan (θ) |)] |_{0}^{\arctan (2)}$

$= \frac{1}{4} [\sec (\arctan (2)) \tan (\arctan (2)) + l n (| \sec (\arctan (2)) + \tan (\arctan (2)) |) - 0]$

Puesto que:

$\tan (\arctan (2)) = 2 \Rightarrow t a n^{2} (a r c t a n (2)) = 4$ y

$\sec^{2} (θ) = 1 + \tan^{2} (θ) \Rightarrow \sec^{2} (\arctan (2)) = 1 + 4 \Rightarrow \sec (\arctan (2)) = \sqrt{5}$ Así la longitud de arco es:

$L = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{l n (\sqrt{5} + 2)}{4}$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Calcule la longitud de arco de la curva que tiene como ecuación $y = l n (\cos (x))$ en $[0, \frac{π}{4}]$
Calcule la longitud de arco de la curva que tiene como ecuación $y = 1 + 6 x^{\frac{3}{2}}$ en $[0, 1]$
Calcule la longitud de arco de la curva que tiene como ecuación $x = \sin (y)$ en $0 \leq y \leq π$
Calcule la longitud de arco entre $(x_{1}, y_{1})$ y $(x_{2}, y_{2})$ de la gráfica $y = m x + b$
Muestre que la longitud de la circunferencia de radio $1$ es $2 π$ , recuerde que la curva viene dada por $x^{2} + y^{2} = 1$ Hint: Tome un cuarto de la curva e integre.

Más adelante…

En esta sección vimos como calcular la longitud de arco de una curva que tiene como ecuación $y = f (x)$ o $x = f (y)$ dentro de un intervalo dado. Como ya sabemos como calcular áreas, en la siguiente entrada veremos como calcular el volumen de un sólido, para esto, veremos el método de secciones transversales.

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Introducción

Método de casquillos cilíndricos o capas cilíndricas

Ejemplos

Tarea moral

Más adelante…

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Introducción

Problema 1

1. El costo fijo de producción

2. El ingreso máximo

3. La máxima utilidad

4. El costo medio de cada frasco

Hablemos del costo marginal

Una relación entre el Costo promedio y el Costo marginal

Problema 2

Análogamente…

Más adelante

Tarea moral

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Agradecimientos

Introducción

Teorema de Menelao

Forma trigonométrica del teorema de Menelao

Bisectrices

Recta de Lemoine y recta de Gergonne

Teorema de Monge

Puntos isotómicos

Más adelante…

Tarea moral

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Fuentes

Agradecimientos

Introducción

Superficies de revolución

Método de los discos

Método de las arandelas

Ejemplos

Tarea moral

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Longitud de arco

Ejemplos

Tarea moral

Más adelante…

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$2.$ El ingreso máximo

$3.$ La máxima utilidad

$4.$ El costo medio de cada frasco