Archivo de la categoría: Matemáticas

Posts de matemáticas, la ciencia más cercana a las artes.

Teoría de los Conjuntos I: Axioma del par y axioma de unión

Por Gabriela Hernández Aguilar

Deja un comentario

Introducción

En esta nueva entrada abordaremos algunos axiomas de construcción: el axioma de unión y el axioma del par. Estos, junto al esquema de comprensión nos permitirán construir un montón de conjuntos nuevos. A partir de esta entrada, utilizaremos con mayor frecuencia el conjunto vacío, hasta ahora, el único conjunto que conocemos.

Axioma del par

El primer axioma que nos permitirá construir nuevos conjuntos es el axioma del par.

Axioma del par. Sean $a$ y $b$ conjuntos arbitrarios, existe $c$ un conjunto cuyos únicos elementos son $a$ y $b$.

El axioma del par nos permite construir pares no ordenados. Dados los conjuntos $a$ y $b$ resulta que $\set{a,b}=\set{b,a}$. En el caso de que $a=b$, tenemos que $c=\set{a,a}=\set{a}$, a este último conjunto le llamaremos conjunto unitario de $a$.

Ejemplo.

Consideremos al conjunto vacío. Por el axioma del par, tenemos que $\set{\emptyset}$ es conjunto. Luego, como $\set{\emptyset}$ es conjunto si volvemos a aplicar el axioma del par tendremos que $\set{\set{\emptyset}}$ es conjunto. Si aplicamos iteradamente el axioma del par tendremos que $\set{\dots \set{\emptyset}\dots}$ es conjunto.

$\square$

Si observas con cuidado hemos construido muchos conjuntos que constan de un solo elemento. Por lo que podemos preguntarnos si el axioma del par nos permite construir nuevos conjuintos o todos los que hemos obtenido son el mismo. La respuesta es que no. La proposición que sigue nos ayudará a probar que $\emptyset$ es distinto de $\set{\emptyset}$.

Proposición. $\emptyset\not= \set{\emptyset}$.

Demostración.

Para probar que $A\not=B$ basta ver que $A\not\subseteq B$ o $B\not\subseteq A$.

Para mostrar que $\set{\emptyset}\not\subseteq\emptyset$ tenemos que exhibir un conjunto $x\in\set{\emptyset}$ tal que $x\notin\emptyset$. Tenemos que $\set{\emptyset}$ es un conjunto que tiene como único elemento al conjunto $\emptyset$, es decir, $\emptyset\in\set{\emptyset}$. Luego, como $\emptyset\notin\emptyset$, se sigue que $\set{\emptyset}\not\subseteq\emptyset$.

$\square$

En la tarea moral será tu turno de probar que $\set{\emptyset}\not=\set{\set{\emptyset}}$, $\set{\set{\emptyset}}\not=\set{\set{\set{\emptyset}}}$,…

Es importante poder ir simplificando nuestra notación. Como ya tenemos dos conjuntos que son distintos, les pondremos un nombre especial.

Definición. Llamaremos $0$ a $\emptyset$ y $1$ a $\{\emptyset\}$.

Aquí estamos usando los símbolos $0$ y $1$, que seguramente conoces mejor como números que como conjuntos. En los ejercicios de esta entrada definiremos también quiénes son $2$, $3$ y $4$. Pero, ¡no te apresures! Todavía no podemos definir a todos todos los naturales como conjuntos. Esto lo formalizaremos hasta la tercera unidad.

Por ahora podemos preguntarnos de que manera podemos definir al $3$ y $4$ pues el axioma del par solo nos permite construir conjuntos de a lo más dos elementos, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Consideremos $\emptyset$ y $\set{\emptyset}$ conjuntos. Por axioma del par tenemos que $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ es conjunto.

Ahora, podemos considerar a los conjuntos $\set{\emptyset}$ y $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, tenemos que $\set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ es conjunto.

Luego, $\set{\set{\emptyset, \set{\emptyset}}, \set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}}$ también lo es.

De manera que, podemos construir conjuntos más y más complejos con el axioma del par pero siempre tendrán a lo más dos conjuntos como elementos.

$\square$

Axioma de la unión

Axioma de la unión. Para cualquier conjunto $A$, existe un conjunto $U$ tal que $x\in U$ si y sólo si existe $y\in A$ tal que $x\in y$.

Ejemplo.

Consideremos los conjuntos $\emptyset$ y $\set{\emptyset}$, luego por axioma del par tenemos que $A=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ es conjunto. Veamos quién es $U$ para el conjunto $A$. Resulta que en este caso, $U=\set{\emptyset}$.

En efecto: si $x\in U$ entonces $x\in y$ para algún $y\in A$. Luego, los únicos elementos de $A$ son $\emptyset$ y $\set{\emptyset}$. Así, $x\in\emptyset$ o $x\in\set{\emptyset}$.

Si $x\in\emptyset$ entonces $x\in\set{\emptyset}$ por vacuidad. La otra posibilidad es que $x\in\set{\emptyset}$. En ambos casos, $x\in\set{\emptyset}$ y, por tanto, $U\subseteq\set{\emptyset}$.

Luego, si $x\in\set{\emptyset}\in A$ se sigue por definición de $U$ que $x\in U$. Así, $\set{\emptyset}\subseteq U$. De esta manera podemos concluir que $U=\set{\emptyset}$.

$\square$

Si ponemos atención al ejemplo anterior, va a resultar que los elementos del conjunto $U$ son los elementos de los elementos de $A$. $A$ tiene como elementos a $\emptyset$ y $\set{\emptyset}$, el conjunto vacío no tiene elementos por lo que el único elemento de $U$ es el elemento de $\set{\emptyset}$ que es $\emptyset$.

El axioma de la unión nos va a permitir construir conjuntos con más de dos elementos. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Consideremos a los conjuntos $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $\set{\set{\set{\emptyset}}}$. Por axioma del par, $A= \set{\set{\emptyset, \set{\emptyset}}, \set{\set{\set{\emptyset}}}}$ es conjunto. Luego, $U$ para el conjunto $A$ es $U=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$. Veamos que se dan ambas contenciones.

$\subseteq$] Sea $x\in U$, entonces existe $y\in A$ tal que $x\in y$. En este caso, los únicos elementos de $A$ son $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $\set{\set{\set{\emptyset}}}$, por lo que $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ o $x\in \set{\set{\set{\emptyset}}}$.

  • Si $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, entonces $x=\emptyset$ o $x=\set{\emptyset}$. En el caso de que $x=\emptyset$, se sigue que $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$ y en caso de que $x=\set{\emptyset}$ ocurre también que $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$.
  • Si $x\in \set{\set{\set{\emptyset}}}$, entonces $x=\set{\set{\emptyset}}$ y $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$.

Así, $U\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$.

$\supseteq$] Sea $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$. Entonces $x=\emptyset$ o $x=\set{\emptyset}$ o $x=\set{\set{\emptyset}}$.

  • Si $x=\emptyset$, entonces $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y, dado que $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\in A$, se sigue por definición de $U$ que $x\in U$.
  • Si $x=\set{\emptyset}$, entonces $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y nuevamente $x\in U$ por definición, ya que $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}\in A$.
  • Si $x=\set{\set{\emptyset}}$, entonces $x\in \set{\set{\set{\emptyset}}}$ y como $\set{\set{\set{\emptyset}}}\in A$, $x\in U$.

Por lo tanto, $\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}\subseteq U$.

$\square$

Definición. Sea $A$ un conjunto, el conjunto que nos otorga el axioma de la unión es único debido al axioma de extensión. Le llamaremos unión de $A$ y lo denotaremos como $\bigcup A$.

La definición de unión se puede particularizar a cuando queremos unir solamente dos conjuntos. Esto lo ponemos en una definición especial pues se usa muy frecuentemente.

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Definimos al conjunto $A\cup B=\bigcup\set{A,B}$.

En la siguiente observación mostramos que $A\cup B$ se puede describir por medio de la colección $\set{x:x\in A\vee x\in B}$.

Observación. $x\in A\cup B$ si y sólo si $x\in A$ o $x\in B$.

Demostración.

Sea $x\in A\cup B$. Entonces, $x\in z$ para algún $z\in\set{A,B}$. Si $z=A$, entonces $x\in A$ y, si $z=B$, entonces, $x\in B$. Si ahora suponemos que $x\in A$ o $x\in B$, $x\in z$ para algún $z\in\set{A,B}$, por lo que $x\in A\cup B$.

$\square$

Ejemplo.

Consideremos ahora a los conjuntos $A= \set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$ y $B= \set{\set{\set{\emptyset}}}$ construidos con el axioma de par. Tenemos que $A\cup B= \bigcup \set{\set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}, \set{\set{\set{\emptyset}}}}= \set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$.

$\square$

A continuación vamos a demostrar que los elementos de un conjunto $S$ se quedan contenidos en la unión de $S$.

Proposición. Sea $A$ un conjunto tal que $A\in S$, entonces $A\subseteq \bigcup S$.

Demostración.
Supongamos que $A\in S$ y sea $x\in A$, tenemos que $x\in \bigcup S$. En efecto, para $x\in A$ arbitrario existe $y\in S$ tal que $x\in y$, a saber $y=A$. Por lo tanto, $A\subseteq S$.

$\square$

Ejemplo.

Consideremos al conjunto $S=\set{\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$. Resulta que $\bigcup S=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$.

Los elementos de $S$ son $\emptyset$ y $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ en este ejemplo se cumple que $\emptyset\subseteq \bigcup S$ y $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\subseteq\bigcup S$.

$\square$

Tarea moral

  • Demuestra que $\set{\emptyset}\not=\set{\set{\emptyset}}$, $\set{\set{\emptyset}}\not=\set{\set{\set{\emptyset}}}$,…
  • Sean $A$ y $B$ conjuntos, prueba que $A=B$ si y sólo si $\set{A}=\set{B}$.
  • Prueba que $\set{\set{\emptyset, \set{\emptyset}}, \set{\set{\emptyset}}}$ es conjunto.
  • Calcula $\bigcup\set{\set{\emptyset, \set{\emptyset}}, \set{\set{\emptyset}}}$.
  • Definimos $2=1\cup \{1\}$, $3=2\cup \{2\}$ y $4=3\cup \{3\}$.
    • Justifica mediante los axiomas que $2,3,4$ en efecto son conjuntos.
    • Verifica que $4=\{0,1,2,3\}$.
    • Muestra que $0,1,2,3,4$ son todos ellos conjuntos diferentes entre sí.

Más adelante…

En la siguiente entrada continuaremos con el axioma del conjunto potencia, el cual nos permitirá hablar acerca del conjunto de subconjuntos de un conjunto. Con este axioma y los que hemos visto en las entradas anteriores tendremos las herramientas suficientes para abordar el álgebra de conjuntos y probar algunas contenciones importantes entre conjuntos.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Paradoja de Russell

Por Gabriela Hernández Aguilar

3 respuestas

Introducción

En esta entrada tendremos un acercamiento a una de las grandes controversias que tuvó la teoría de los conjuntos: la paradoja de Russell, también llamada paradoja del barbero. Es importante que prestes especial atención al esquema de comprensión que vimos en la entrada anterior, pues a partir de la paradoja de Rusell y el esquema de comprensión estudiaremos al contradictorio «conjunto de todos los conjuntos».

La paradoja del barbero

«En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos solo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:

-En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto ¡no debería afeitarme!. Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡pero yo soy el único barbero de allí!

El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz y barbón.»

López Mateos, Manuel (1978). Los Conjuntos. México D.F.: Publicaciones del Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, UNAM.

Si analizamos la historia anterior, As-Samet estaba metido en verdaderos problemas debido al mandato del emir. Dado que As-Samet era barbero, podía afeitarse a sí mismo, entonces el barbero no debía afeitarlo. Sin embargo, decir que él mismo se puede afeitar es igual a decir que el barbero lo puede afeitar y eso desobedece el mandato, por lo tanto no debe afeitarse. Ahora, como no se puede afeitar a sí mismo, entonces el barbero debe afeitarlo, es decir, él debe afeitarse, y eso también desobedece el mandato. Por lo tanto, As-Samet debe afeitarse si y sólo si As-Samet no debe afeitarse, lo cual es un absurdo. ¡Qué gran lío!

Formalización de la paradoja del barbero

Vimos en la entrada anterior que el esquema de comprensión nos permite construir conjuntos a partir de elementos en un conjunto con una propiedad. A continuación definiremos a una colección y veremos que hay colecciones que no son conjuntos.

Definición: Dada $P(x)$ una propiedad, definimos a la colección determinada por $P$ como todos los conjuntos que satisfacen a la propiedad $P$. A dicha colección la denotaremos mediante $\set{x:P(x)}$.

Ahora que hemos definido a una colección, vamos a ver un ejemplo de que no toda colección será un conjunto. Para ello, presentaremos esta paradoja dando una propiedad «$P(x): x\notin x$» que se interpreta como $x$ no se pertenece a sí mismo. Definimos $B$ como la colección $B=\set{x:P(x)}$, tenemos lo siguientes casos:

  • Si $B\in B$, entonces $P(B)$ se cumple, es decir, $B\notin B$.
  • Si $B\notin B$, entonces $P(B)$ no se satisface, es decir, no es cierto que $B\notin B$, por lo que $B\in B$.

Ahora, si juntamos los casos anteriores tendremos que $B\in B$ si y sólo si $B\notin B$, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, es imposible que $B$ sea un conjunto.

La colección de todos los conjuntos

La idea anterior es problemática, pero informal: no hemos dicho por qué sí nos lleva a problemas dentro de nuestro sistema axiomático. El problema se originaría de suponer que hay un conjunto de todos los conjuntos.

Proposición. El conjunto de todos los conjuntos no existe.

Demostración. (Por reducción al absurdo).

Supongamos que el conjunto de todos los conjuntos sí existe. Sea $V$ dicho conjunto y consideremos «$P(x): x\notin x$», tenemos que $A=\set{x\in V: x\notin x}$ es un conjunto por el esquema de comprensión. De modo que $A\in V$ pues $V$ tiene a todos los conjuntos, además $P(A)$ puede o no ser verdadero, evaluemos los dos casos posibles.

  • Si $P(A)$ es verdadero, entonces $A\notin A$ y por lo tanto, $A\in A$.
  • Si $P(A)$ es falso, entonces $A\in A$ y por lo tanto, $A\notin A$.

Por lo tanto, $A\in A$ si y sólo si $A\notin A$ lo cuál es una contradicción. Dado que esta vino de suponer que $V$ es un conjunto, concluimos que el conjunto de todos los conjuntos no existe.

$\square$

Denotaremos a $V$ como la colección de todos los conjuntos.

La conclusión que obtenemos es que para dar un conjunto requerimos más que una propiedad, necesitamos también que los elementos que satisfagan dicha propiedad sean elementos de algo que previamente ya sabemos es un conjunto. Este problema lo soluciona el esquema de comprensión.

Tarea moral

Con los temas que hemos visto hasta este momento demuestra o explica los siguientes ejercicios:

  • ¿Cómo podemos averiguar si dos conjuntos son diferentes?
  • Explica con tus palabras porqué $\set{x:x\notin x}$ no es un conjunto.
  • Escribe colecciones que consideres que son conjuntos. Más adelante tendrás el conocimiento necesario para determinar si dichas colecciones son o no conjuntos.

Más adelante…

En la siguiente entrada abordaremos axiomas de construcción: el axioma del par y el axioma de unión. Estos, junto con el esquema de comprensión nos proporcionarán las herramientas necesarias para construir nuevos conjuntos.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Cálculo Diferencial e Integral II: Criterio de la divergencia y de acotación

Por Miguel Ángel Rodríguez García

3 respuestas

En la sección anterior vimos unas series especiales llamadas series geométricas, donde, dependiendo del valor de $r$ la serie converge o diverge, además, vimos algunas propiedades de las series, lo cual usaremos en adelante. En esta sección veremos algunos teoremas sobre los criterios de divergencia o convergencia de series. Comencemos con anunciando el teorema del criterio de Cauchy.

Criterios de convergencia

Teorema. (Criterio de Cauchy)

La sucesión $\left \{a_{n} \right \}$ es sumable (convergente) si y solo si $\forall \space m, \space n \space \epsilon \space \mathbb{N}$

$$\lim_{m, n \to \infty}(a_{m+1}+a_{m+2}+….+a_{n})=0$$

Para $n>m \geq N$

Demostración:

Utilizando el criterio de Cauchy para sucesiones, como $\left \{a_{n} \right \}$ es sumable $\Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} S_{n}$ converge $\Leftrightarrow \forall \space \epsilon >0, \space \exists \space N \space \epsilon \space \mathbb{N}$ tal que si $m, \space n \geq N \Rightarrow |S_{n}-S_{m}|<\varepsilon$

$$\Leftrightarrow |(a_{1}+a_{2}+….+a_{n})-(a_{1}+a_{2}+….+a_{m})|<\varepsilon$$

Como $n>m$, entonces:

$$ =|(a_{1}+a_{2}+….+a_{m}+a_{m+1}+….+a_{n})-(a_{1}+a_{2}+….+a_{m})|\Leftrightarrow |a_{m+1}+….+a_{n}|<\varepsilon$$

$\forall \space n>m$

En particular:

$$\Leftrightarrow |a_{m+1}+….+a_{n}-0|<\varepsilon \Leftrightarrow \lim_{m, n \to \infty}(a_{m+1}+….+a_{n})=0$$

Por tanto, la serie $a_{n}$ es convergente.

$\square$

Teorema. Si la serie $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ es convergente, entonces $\lim_{n \to \infty}a_{n}=0$.

Demostración:

Puesto que la serie $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ es convergente, la sucesión $\left \{ a_{n} \right \}$ es convergente $\Rightarrow \lim_{n \to \infty}S_{n}$ converge a un numero $L$.

$$\Rightarrow \lim_{n \to \infty}S_{n+1}=L$$

Pero: $$\lim_{n \to \infty}a_{n+1}=\lim_{n \to \infty}\left [ (a_{1}+a_{2}+….+a_{n+1})-(a_{1}+a_{2}+….+a_{n}) \right ]=\lim_{n \to \infty}(S_{n+1}-S_{n})$$

$$\lim_{n \to \infty}(S_{n+1})-\lim_{n \to \infty}(S_{n})=L-L=0$$

$$\therefore \lim_{n \to \infty}a_{n+1}=0$$

Como $a_{n+1}$ converge, entonces también lo hace $a_{n}$.

$$\therefore \lim_{n \to \infty}a_{n} =0$$

$\square$

Nota: En general, el inverso de este teorema no es valido, si $lim_{n \to \infty}a_{n}=0$ no se puede concluir que $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ es convergente.

Criterio de la divergencia

Teorema. (La prueba o criterio de la divergencia):

Si $\lim_{n \to \infty}a_{n}$ no existe o si $\lim_{n \to \infty}a_{n}\neq 0$ entonces la serie $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ diverge.

La demostración se infiere del teorema anterior porque si la serie no es divergente, entonces es convergente y, por tanto, $\lim_{n \to \infty}a_{n}= 0$.

$\square$

Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

  • $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{4n+1}$$

Tomando el límite, obtenemos lo siguiente:

$$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{4+\frac{1}{n}}=\frac{1}{4}\neq 0$$

Por el criterio de la divergencia:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{4n+1} \space diverge$$

  • $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2n!+1}$$

Tomamos el límite y multiplicamos por el factor $\frac{\frac{1}{n!}}{\frac{1}{n!}}$, por lo que se tiene que:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{2n!+1}=\lim_{n \to \infty } \frac{\frac{n!}{n!}}{2\frac{n!}{n!}+\frac{1}{n!}}=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2+\frac{1}{n!}}=\frac{1}{2}\neq 0$$

$$\therefore \sum_{i=1}^{\infty}\frac{n!}{2n!+1} \space diverge$$

Existe otro criterio de convergencia llamado el criterio de acotación

Series con términos no negativos

Teorema. (Criterio de acotación)

Una sucesión no negativa $\left \{ a_{n} \right \}$ es sumable, $\Leftrightarrow$ sus sumas parciales $\left \{S_{n} \right \}$ está acotada.

Demostración:

$\Rightarrow \lrcorner $

Si $\left \{ a_{n} \right \}$ es sumable $\Leftrightarrow \lim_{n \to \infty } S_{n}=L$ converge por el teorema visto anteriormente.

Habiamos visto en cálculo 1 que si, converge $S_{n}$ $\Rightarrow S_{n}$ esta acotada.

$\Leftarrow \lrcorner$

Supongamos que $\left \{ S_{n} \right \}$ está acotado, observemos que:

$$S_{n+1}=S_{n}+a_{n+1} \geq S_{n}$$

Ya que:

$$a_{n+1}\geq 0$$

$$\Rightarrow S_{n} \leq S_{n+1} \space\forall \space n \space \epsilon \space \mathbb{N}$$

$\therefore S_{n}$ es creciente y además, está acotado por hipótesis, por cálculo I, si una sucesión es creciente y acotada, entonces se tiene que:

$\Rightarrow \left \{ S_{n} \right \}$ es convergente $\Rightarrow \left \{ a_{n} \right \}$ es sumable.

$\square$

Teorema. Sea $k \space \epsilon \space \mathbb{N}$ fijo. La serie$\sum_{n=k}^{\infty}a_{n}$ converge$\space \Leftrightarrow\sum_{n=0}^{\infty } a_{n}$ converge.

Demostración:

Como la serie converge por hipótesis, entonces:

$$\sum_{n=k}^{\infty }a_{n} \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty }(a_{k}+a_{k+1}+…+a_{n}) \Leftrightarrow$$

$$a_{0}+a_{1}+…+a_{k-1}+\lim_{k \to \infty }(a_{k}+a_{k+1}+…+a_{n}) \Leftrightarrow$$

$$\lim_{n \to \infty }(a_{0}+a_{1}+…+a_{k}+a_{k+1}+…a_{n}) \space \space converge$$

$$\Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty }a_{n} \space \space converge$$

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Diga si la siguientes series convergen o divergen.

  1. $$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$$
  2. $$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{5n^{2}+4}$$
  3. $$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{-n}{2n+5}$$
  4. $$\sum_{n=0}^{\infty}e^{-2n}$$
  5. $$\sum_{n=1}^{\infty}ln\left ( \frac{1}{n} \right )$$

Más adelante…

En esta sección vimos dos teoremas importantes de criterios de convergencia, el criterio de la divergencia, en el cual nos dice que si el límite de la sucesión es diferente de cero o no existe, entonces la serie diverge, y el criterio de acotación que nos dice la reciprocidad entre una sucesión convergente y la acotación de sus sumas parciales. En la siguiente sección veremos otros dos criterios de acotación, el criterio de comparación y comparación del límite.

Entradas relacionadas

Cálculo Diferencial e Integral II: Series Geométricas

Por Miguel Ángel Rodríguez García

Deja un comentario

Introducción

En la sección anterior vimos la definición de sumas parciales y series infinitas, también vimos en que caso se dice que una serie converge o diverge, en esta sección veremos unas series especiales llamadas series geométricas, además, veremos algunas propiedades importantes de las series.

Series geométricas

Las series geométricas son series de la forma:

$$\sum_{n=0}^{\infty }cr^{n}=cr^{0}+cr^{1}+cr^{2}+….+cr^{n}+….$$

Donde $c$ es una constante.

Veamos el teorema siguiente que nos dice en que casos las series geométricas convergen o divergen.

Teorema. Sea $r \space \epsilon \space \mathbb{R}$ entonces la serie:

$$\sum_{n=0}^{\infty }cr^{n}$$

Diverge si $|r|\geq 1$ y converge al valor $\frac{1}{1-r}$ si $|r|<1$.

Demostración: Para demostrar este teorema supongamos que $c=1$, dividamos la demostración por los casos siguientes:

  • Caso $1)$: Si $r=1$.

Vemos que:

$$\sum_{n=0}^{\infty } 1(r)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty } 1$$

Entonces:

$$S_{0}=1,$$

$$S_{1}=2,$$

$$….,$$

$$S_{n}=n+1$$

Tomando el límite:

$$\lim_{n \to \infty} S_{n}=\lim_{n \to \infty}n+1\rightarrow \infty$$

Ya que sabemos que:

$$\lim_{n \to \infty} n \to \infty$$

Por tanto, la serie diverge si $r=1$.

$$\therefore \sum_{n=0}^{\infty }1^{n} \rightarrow \infty$$

  • Caso $2)$: Si $r=-1$.

Entonces tenemos que la serie es:

$$\sum_{n=0}^{\infty }r^{n}=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}$$

Ya habíamos visto en un ejemplo de la entrada de series y series infinitas que: $$\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}$$

Es una serie oscilante. Por tanto:

$$\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty }S_{n} \space \space \space \nexists \lim$$.

Es decir, el límite no existe y, por tanto, diverge.

  • Caso $3)$: Si $r\neq 1$ y $r\neq -1$.

Entonces tenemos que:

$$\sum_{n=0}^{\infty }r^{n}=1+r+r^{2}+….+r^{n}+…$$

Las sumas parciales los calculamos como:

$$S_{n}=1+r+r^{2}+….+r^{n}$$

$$\Rightarrow r\space S_{n}=r+r^{2}+….+r^{n+1}$$

$$\Rightarrow S_{n}-rS_{n}=1-r^{n+1}$$

$$\Rightarrow S_{n}(1-r)=1-r^{n+1}$$

$$\Rightarrow S_{n}=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$$

$$\therefore \sum_{n=0}^{\infty }r^{n}=\lim_{n \to \infty}S_{n}=\lim_{n \to \infty}\frac{1-r^{n+1}}{1-r}=\frac{1}{1-r}\lim_{n \to \infty}(1-r^{n+1}) \tag{1}$$

Para resolver este límite, nuevamente veamos que pasa en cada uno de los siguientes casos:

  • Caso cuando $|r|> 1$:

$$\Rightarrow r>1 \space \space ó \space \space r<-1$$

Si $r>1$:

$$\lim_{n \to \infty} r^{n+1} \to \infty$$

Si $r<-1$:

$$\lim_{n \to \infty}r^{n+1} \space \space \space \nexists$$

$$\therefore \frac{1}{1-r}\lim_{n \to \infty}(1-r^{n+1}) \to \infty$$

Es decir, la serie diverge si $|r|>1$.

  • Caso cuando $|r|<1$:

$$\Rightarrow -1<r<1$$

$$ \Rightarrow \lim_{n \to \infty}r^{n+1}=0$$

Entonces, de la relación $(1)$ se tiene que:

$$\Rightarrow \frac{1}{1-r}\lim_{n \to \infty}(1-r^{n+1})= \frac{1}{1-r} \cdot (1) =\frac{1}{1-r}$$

$$\therefore \sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r}$$

Es decir, la serie converge si $|r|<1$.

$$ \therefore \sum_{n=0}^{\infty }r^{n}= \frac{1}{1-r} $$

Converge si $|r|<1$ y diverge si $|r|\geq 1$.

$\square$

Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

Diga si las siguientes series convergen o divergen.

  • $$\sum_{n=0}^{\infty}\left (\frac{1}{2} \right )^{n}$$

Vemos que es una serie geométrica, en este caso $r=\frac{1}{2}$, por lo que, por el teorema anterior, tenemos que:

$$\frac{1}{1-r}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$$

  • $$\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}$$

Vemos que $|2|>1$, por el teorema anterior, la serie diverge.

Ahora veamos algunas propiedades de las series que nos serán de utilidad en el resto del curso.

Teorema. Sea $\left \{ a_{n} \right \}$ y $\left \{ b_{n} \right \}$ sucesiones tales que si $\sum_{n=k}^{\infty} a_{n} $ converge y $\sum_{n=k}^{\infty}b_{n}$ converge, entonces:

$1)$ $$\sum_{n=k}^{\infty} (a_{n}+b_{n})=\sum_{n=k}^{\infty} a_{n}+\sum_{n=k}^{\infty} b_{n}$$

$2)$ $$\sum_{n=k}^{\infty} (a_{n}-b_{n})=\sum_{n=k}^{\infty} a_{n}-\sum_{n=k}^{\infty}b_{n}$$

$3)$ $$\sum_{n=k}^{\infty} Ca_{n}=C \sum_{n=k}^{\infty}a_{n} \space \space \forall \space C\space \epsilon \space \mathbb{R}$$

Demostración:

Sea $\left \{ S_{n} \right \}$, $\left \{ t_{n} \right \}$, $\left \{ w_{n} \right \}$ las sucesiones de las sumas parciales de $a_{n}$, $b_{n}$ y $a_{n}+b_{n}$ respectivamente, por hipótesis $a_{n}$ y $b_{n}$ convergen, por lo que:

$$\sum_{n=k}^{\infty} \left \{ a_{n} \right \} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} S_{n} \space \space converge$$

$$\sum_{n=k}^{\infty} \left \{ b_{n} \right \} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} t_{n} \space \space converge$$

Demostremos la primera propiedad $1)$.

$$\sum_{n=k}^{\infty} (a_{n}+b_{n})=\sum_{n=k}^{\infty} a_{n}+\sum_{n=k}^{\infty} b_{n}$$

Por hipótesis tenemos que:

$$\sum_{n=k}^{\infty} (a_{n}+b_{n})=\lim_{n \to \infty}w_{n}=\lim_{n \to \infty}(a_{k}+b_{k}+a_{k+1}+b_{k+1}+…..+a_{n}+b_{n})$$

$$=\lim_{n \to \infty} [(a_{k}+a_{k+1}+….+a_{n})+(b_{k}+b_{k+1}+….+b_{n})]=\lim_{n \to \infty} (S_{n}+t_{n})$$

$$=\lim_{n \to \infty}S_{n}+\lim_{n \to \infty}t_{n}=\sum_{n=k}^{\infty} a_{n}+\sum_{n=k}^{\infty} b_{n}$$

$$\therefore \sum_{n=k}^{\infty} (a_{n}+b_{n})=\sum_{n=k}^{\infty} a_{n}+\sum_{n=k}^{\infty} b_{n}$$

$\square$

Demostremos la propiedad $3)$.

$$ \sum_{n=k}^{\infty} Ca_{n}=C \sum_{n=k}^{\infty}a_{n} $$

Sea $\left \{ Y_{n} \right \}$ la sucesión de sumas parciales de $Ca_{n}$

$$\Rightarrow \sum_{n=k}^{\infty}C a_{n}=\lim_{n \to \infty} Y_{n}=\lim_{n \to \infty} [Ca_{k}+Ca_{k+1}+….+Ca_{n}]$$

$$=\lim_{n \to \infty}C(a_{k}+a_{k+1}+….+a_{n})=\lim_{n \to \infty} C S_{n}$$

Y como $S_{n}$ converge, entonces por propiedad de los límites tenemos que:

$$C\lim_{n \to \infty}S_{n}=C\sum_{n=k}^{\infty}a_{n}$$

$$\therefore \sum_{n=k}^{\infty} Ca_{n}=C \sum_{n=k}^{\infty}a_{n}$$

Para la propiedad $2)$ se puede demostrar utilizando las propiedades $1)$ y $3)$, dejándose como ejercicio moral.

Observación: Si $\sum_{n=k}^{\infty} a_{n}$ y $\sum_{n=k}^{\infty} b_{n}$ no convergen, entonces no siempre se cumple que:

$$\sum_{n=k}^{\infty} (a_{n}+b_{n})=\sum_{n=k}^{\infty}a_{n}+\sum_{n=k}^{\infty}b_{n}$$

Veamos un ejemplo:

  • $$\sum_{n=0}^{\infty} 7\left ( -\frac{3}{4} \right )^{n}$$

Utilizamos la propiedad $3$, se obtiene que:

$$\sum_{n=0}^{\infty} 7\left ( -\frac{3}{4} \right )^{n}=7\sum_{n=0}^{\infty} \left ( -\frac{3}{4} \right )^{n}$$

Vemos que es una serie geométrica, entonces sea $r=-\frac{3}{4}$, por el teorema de la serie geométrica tenemos:

$$7 \sum_{n=0}^{\infty}\left ( -\frac{3}{4} \right )^{n}=7\frac{1}{1+\frac{3}{4}}=7(\frac{4}{7})=4$$

Series geométricas que no empiezan en $n=0$

Ahora veamos las series geométricas donde la serie no comienza en $n=0$, veamos el teorema siguiente que nos dice en que caso estas series convergen o divergen.

Teorema. Sea $\sum_{n=m}^{\infty}r^{n}$ con $m \neq 0$ entonces: $$\sum_{n=m}^{\infty}r^{n}=\frac{r^{m}}{1-r}$$

Si $|r|<1$

Demostración:

La demostración a este teorema es muy similar a la demostración del primer teorema que vimos en esta sección, por lo que solo veremos el caso cuando $|r|<1$, entonces:

$$\sum_{n=m}^{\infty}r^{n}=\lim_{n \to \infty}\sum_{n=m}^{n}r^{n}=\lim_{n \to \infty}(r^{m}+r^{m+1}+….+r^{m+n})=\lim_{n \to \infty}r^{m}(1+r+…..+r^{n})=r^{m}\frac{1}{1-r}$$

$$\therefore \sum_{n=m}^{\infty}r^{n}=\frac{r^{m}}{1-r}$$

Es decir, la serie converge si $|r|<1$

$\square$

Veamos un ejemplo:

Diga si la siguiente serie converge o diverge.

  • $$\sum_{n=4}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}$$

Vemos que es una serie geométrica que no empieza con $n=0$, por lo que $r=\frac{1}{2}<1$ entonces por el teorema anterior obtenemos:

$$\sum_{n=4}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=\frac{(\frac{1}{2})^{4}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{8}$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra que: $$\sum_{n=k}^{\infty} (a_{n}-b_{n})=\sum_{n=k}^{\infty} a_{n}-\sum_{n=k}^{\infty}b_{n}$$.

Diga si la siguientes series convergen o divergen.

  1. $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2+3^{n}}{5^{n}}$$
  2. $$\sum_{n=1}^{\infty}2^{2n}3^{1-n}$$
  3. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{10^{n}}{(-9)^{n-1}}$$
  4. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$

Más adelante…

En esta sección vimos las series geométricas para el caso cuando $n=0$ y $n \neq 0$, así como los casos en donde estas series convergen y divergen. También vimos algunas propiedades importantes de las series que nos serán útiles en el estudio de estas. Veremos en las siguientes secciones criterios de convergencia y divergencia de las series, en la siguiente entrada comenzaremos a estudiar el criterio de la divergencia y de acotación.

Entradas relacionadas

Teoría de los Conjuntos I: Axiomas de existencia, de comprensión y de extensión

Por Gabriela Hernández Aguilar

Deja un comentario

Introducción

«Se entiende por un conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente».

Georg Cantor

Para iniciar nuestro curso presentaremos en esta entrada tres de los primeros axiomas de Zermelo-Fraenkel.

Axioma de existencia

Para siquiera hablar de conjuntos, es importante garantizar que hay por lo menos un conjunto. El axioma de existencia nos garantiza eso.

Axioma de existencia. Existe un conjunto que no tiene elementos.

Una manera de describir a los elementos del conjunto otorgado por el axioma de existencia es con la siguiente propiedad:

«$P(x): x\ \text{es un conjunto que no es igual a sí mismo}$».

Si lo piensas, no existe algo que cumpla esta propiedad pues cualquier conjunto que demos siempre será igual a sí mismo. Una forma de imaginarnos a este conjunto es pensar en una bolsa que no tenga nada adentro, como se muestra en la siguiente imagen.

Ten cuidado, pues esta manera de pensar a un conjunto sin elementos es informal. Sin embargo, en los ejercicios al final, verás cómo formalizarla.

Podríamos pensar, a partir de nuestra imagen anterior, que si tenemos dos bolsas de un color distinto que no tengan nada adentro, resultarían en dos conjuntos distintos. El siguiente axioma esclarece dicha cuestión, pues establece un criterio que nos permite distinguir cuándo dos conjuntos $X$ y $Y$ son iguales.

Axioma de extensión. $X=Y$ si para cualquier conjunto $x$, $x\in X$ si y sólo si $x\in Y$.

Así, retomando la imagen de la bolsa vacía, para la teoría de conjuntos dos bolsas vacías son realmente el mismo objeto, aún cuando éstas no sean del mismo color.

Definición. Sean $X$ y $Y$ conjuntos. Diremos que $X$ está contenido en $Y$, en símbolos $X\subseteq Y$, si para todo $x\in X$ se tiene $x\in Y$.

Para demostrar la igualdad entre conjuntos, basta probar que $X\subseteq Y$ y $Y\subseteq X$ de acuerdo al axioma de extensión.

Con este axioma y la definición de contención, podemos probar que el conjunto que nos otorga el axioma de existencia es único.

Antes de realizar la demostración de que el conjunto que nos da el axioma de existencia es único, acordaremos que, para demostrar la igualdad entre conjuntos $x$ y $y$, es necesario demostrar que $x\subseteq y$ y $y\subseteq x$, por lo que para referirnos a que se esta demostrando la primera contención pondremos «$\subseteq$]» al inicio de la prueba y para probar la segunda contención pondremos «$\supseteq$]» al inicio de la prueba.

Previo a realizar la demostración haremos una pausa para hablar acerca del argumento por vacuidad. En la entrada anterior hicimos mención de que las propiedades en el lenguaje de la teoría de los conjuntos nos permitirian describir propiedades que pueden o no satisfacer conjuntos dados.

De esta manera, si consideramos a $z$ como un conjunto sin elementos, la propiedad $\forall x(x\in z\rightarrow \varphi(x))$ es verdadera siempre, pues no hay conjunto $x$ que pertenezca a $z$.

Proposición. Existe un único conjunto sin elementos.

Demostración. Sean $A$ y $B$ conjuntos que no tienen elementos, veamos que $A=B$.

$\subseteq$] Por vacuidad, si $x\in A$, entonces $x\in B$, pues no hay nadie en $A$.

$\supseteq$] Por vacuidad, si $x\in B$, entonces $x\in A$, pues no hay nadie en $B$.

Por lo tanto, $A=B$.

$\square$

Definición. Al único conjunto que no tiene elementos le llamaremos conjunto vacío y será denotado por $\emptyset$.

Presentamos el último ingrediente axiomático de esta entrada. En vez de llamarse «axioma» se llama «esquema» pues condensa muchos axiomas, uno por cada propiedad $P$ y cada conjunto $A$.

Esquema de comprensión. Sea $P(x)$ una propiedad. Para cualquier conjunto $A$ existe un conjunto $B$ tal que $x\in B$ si y sólo si $x\in A$ y satisface $P(x)$.

Este esquema nos permite construir conjuntos con elementos de otro conjunto que satisfacen una propiedad. Esto último evitará tener contradicciones como la paradoja del barbero que veremos en la siguiente entrada.

Tarea moral

  1. Da dos propiedades diferentes tales que para cualquier conjunto que des, no exista un conjunto que las cumpla y nos den otra forma de describir a los elementos del conjunto vacío.
  2. ¿Es verdadero o falso $\emptyset\in \emptyset$? Argumenta tu respuesta.
  3. Prueba que si $P(x)$ es una propiedad, para todo conjunto $A$ existe un único conjunto $B$ tal que $x\in B$ si y sólo si $x\in A$ y $P(x)$. (Esto prueba que el conjunto que nos otorga el esquema de comprensión es único).
  4. Imagina que cambiamos el axioma de existencia por «Existe por lo menos un conjunto $X$.» Mediante este nuevo axioma y el esquema de comprensión, demuestra la existencia del conjunto vacío. Como sugerencia usa la discusión intuitiva que dimos del vacío.

Más adelante…

En esta entrada hablamos de axiomas básicos y de construcción, los cuales nos permitirán hablar de nuevos conjuntos, así mismo, con ellos probaremos teoremas importantes de la teoría de los conjuntos. En la siguiente entrada, abordaremos la famosa paradoja de Russell o también llamada paradoja del barbero.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»