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Cálculo Diferencial e Integral II: Longitud de arco

Por Miguel Ángel Rodríguez García

2 respuestas

Introducción

En la sección anterior vimos como calcular el área delimitada entre dos curvas, otra aplicación de la integral es calcular la longitud de una curva a lo largo de un intervalo dado, lo cual veremos en esta sección. Comenzamos deduciendo la fórmula de la longitud de arco o también llamada la longitud de curva.

Longitud de arco

Supóngase que tenemos una curva $C$ que se define mediante la ecuación $y=f(x)$, continua en el intervalo $[a, b]$. El objetivo es medir la longitud de esa curva en el intervalo dado $[a, b]$, para esto se divide el intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos con puntos extremos $x_{0}, x_{1}, …, x_{n}$ y amplitud $\Delta x$, por tanto, conseguimos un polígono con vértices $P_{0}, P_{1}, …, P_{n}$ para aproximar a la curva $C$ como se muestra en la figura $(1)$. Calculamos la distancia entre los vértices $P_{i-1}$ y $P_{i}$, para aproximarnos mejor a la curva $C$, sumamos $n$ vértices y tomamos el límite cuando $n \to \infty$, tenemos que la longitud de la curva la podemos aproximar como:

$$L=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n}d(P_{i-1},P_{i})$$

Figura 1: Aproximación de la longitud de la curva función $f(x)$ (azul) por medio de polígonos (líneas rojas).

Podemos reescribir a $d(P_{i-1},P_{i})$ como:

$$d(P_{i-1},P_{i})=\sqrt{(x_{i}-x_{i-1})^{2}+(y_{i}-y_{i-1})^{2}}=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$$

Utilizamos el teorema de valor medio y la aplicamos a la función $f(x)$ en el intervalo $[x_{i-1},x_{i}]$, lo cual encontramos un número $x^{*}_{i}$ tal que:

$$f(x_{i})-f(x_{i-1})=f'(x^{*}_{i})(x_{i}-x_{i-1})$$

Podemos reescribir la anterior relación como: $\Delta y=f'(x^{*}_{i})\Delta x$ así, se tiene que: $$d(P_{i-1},P_{i})=\sqrt{(\Delta x)^{2}+[f'(x^{*}_{i})\Delta x]^{2}}=\sqrt{1+[f'(x^{*}_{i})]^{2}}\sqrt{(\Delta x)^{2}}=\sqrt{1+[f'(x^{*}_{i})]^{2}}{\Delta x}$$

Por tanto:

$$L=\lim_{n \to \infty }\sum_{i=1}^{n}\sqrt{(1+[f'(x^{*}_{i})]^{2}}{\Delta x}$$

Si $n \to \infty$ entonces la fórmula de longitud de arco donde $f'(x)$ es continua en $[a, b]$ esta dada como:

$$L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f'(x)]^{2}}dx \tag{1}$$

En notación de Leibniz, se puede reescribir la longitud de arco como:

$$L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^{2}}dx$$

La longitud de curva no depende de la elección de los ejes coordenados, si una curva tiene como ecuación $x=g(y)$, con $c\leq y\leq d$ y $g'(y)$ continua, entonces la longitud de arco se reescribe como.

$$L=\int_{c}^{d}\sqrt{1+\left ( \frac{dx}{dy} \right )^{2}}dy \tag{2}$$

Veamos los ejercicios a continuación para el cálculo de algunas longitudes de arco de algunos funciones en un intervalo.

Ejemplos

  • Determinar la longitud de arco de la parábola dada como: $y^{2}=x^{3}$ entre los puntos $(1, 1)$ y $(4, 8)$.
Figura 2: Longitud de arco que se quiere calcular (rojo), función $f(x)=x^{3/2}$ (azul).

Tenemos que $y^{2}=x^{3} \Rightarrow y=x^{\frac{3}{2}}$

Derivando la función anterior, se tiene que:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}x^{1/2}$$

Así, utilizando la relación $(1)$, la longitud del arco se calcula como:

$$L=\int_{1}^{4}\sqrt{1+\left (\frac{3}{2}x^{1/2} \right )^{2}}dx$$

Integramos por el método de cambio de variable.

Sea $u=1+\frac{9}{4}x \space \Rightarrow \space du=\frac{9}{4}dx$, cambiamos los límites de integración, si $x=1 \Rightarrow u=\frac{13}{4}$, si $x=4 \Rightarrow u=10$, por tanto, la integral la reescribimos como:

$$\int_{\frac{13}{4}}^{10}\frac{4}{9}\sqrt{u}du=\frac{4}{9}\frac{2}{3}\left [ u^{2/3} \right ]\bigg|_{10}^{\frac{13}{4}}=\frac{8}{27}\left [ 10^{3/2}-\left ( \frac{13}{4} \right )^{3/2} \right ]=\frac{1}{27}\left ( 80\sqrt{10}-13\sqrt{13} \right )$$

  • Encuentre la longitud de arco de la parábola $x=y^{2}$ de $(0, 0)$ a $(1, 1)$
Figura 3: Longitud de arco que se quiere calcular (rojo), función $f(y)=y^{2}$ (azul).

Tenemos que la curva es $x=y^{2} \Rightarrow x’=2y$, en este caso tenemos que la curva es función de $f(y)$ por lo que utilizamos la relación $(2)$, así la longitud de arco lo calculamos como:

$$L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+(2y)^{2}}dy=\int_{0}^{1}\sqrt{1+4y^{2}}dy$$

Utilizamos el método de sustitución trigonométrica, observamos en que caso se puede aplicar para resolver esta integral, por lo que hacemos la sustitución siguiente:

$$y=\frac{1}{2}\tan(\theta ) \Rightarrow dy=\frac{1}{2}\sec^{2}(\theta )d\theta$$

Así: $\sqrt{1+4y^{2}}=\sqrt{1+\tan(\theta)^{2}}=\sec(\theta)$, veamos los límites de integración:

Si $y=0 \Rightarrow \theta=0 $ y si $y=1 \Rightarrow \tan(\theta)=2 \Rightarrow \theta=arctan(2)$ por tanto:

$$L=\int_{0}^{\arctan(2)}\sec(\theta )\frac{1}{2}\sec^{2}(\theta)d\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{\arctan(2)}\sec^{3}(\theta)d\theta$$

Recordemos que esta integral la resolvimos en la entrada de productos de potencias de tan(x) y sec(x), por lo que:

$$L=\frac{1}{2}\int_{0}^{\arctan(2)}\sec^{3}(\theta)d\theta=\frac{1}{2}\frac{1}{2}\left [ \sec(\theta)\tan(\theta)+ln(|\sec(\theta)+\tan(\theta)|) \right ]\bigg|_{0}^{\arctan(2)}$$

$$=\frac{1}{4}\left [\sec(\arctan(2))\tan(\arctan(2))+ln(|\sec(\arctan(2))+\tan(\arctan(2))|) -0 \right]$$

Puesto que:

$$\tan(\arctan(2))=2 \Rightarrow tan^{2}(arctan(2))=4$$ y

$$\sec^{2}(\theta)=1+\tan^{2}(\theta) \Rightarrow \sec^{2}(\arctan(2))=1+4 \Rightarrow \sec(\arctan(2))=\sqrt{5}$$ Así la longitud de arco es:

$$L=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{ln(\sqrt{5}+2)}{4}$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Calcule la longitud de arco de la curva que tiene como ecuación $y=ln(\cos(x))$ en $[0, \frac{\pi }{4}]$
  2. Calcule la longitud de arco de la curva que tiene como ecuación $y=1+6x^{\frac{3}{2}}$ en $[0, 1]$
  3. Calcule la longitud de arco de la curva que tiene como ecuación $x=\sin(y)$ en $0\leq y \leq \pi$
  4. Calcule la longitud de arco entre $(x_{1}, y_{1})$ y $(x_{2}, y_{2})$ de la gráfica $y=mx+b$
  5. Muestre que la longitud de la circunferencia de radio $1$ es $2\pi$, recuerde que la curva viene dada por $x^{2}+y^{2}=1$ Hint: Tome un cuarto de la curva e integre.

Más adelante…

En esta sección vimos como calcular la longitud de arco de una curva que tiene como ecuación $y=f(x)$ o $x=f(y)$ dentro de un intervalo dado. Como ya sabemos como calcular áreas, en la siguiente entrada veremos como calcular el volumen de un sólido, para esto, veremos el método de secciones transversales.

Entradas relacionadas

Cálculo Diferencial e Integral II: Área entre curvas

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

Para esta unidad veremos diferentes aplicaciones de la integral en algunas diferentes ramas en donde son de utilidad las integrales para calcular algún objetivo en concreto.

En la unidad anterior vimos las técnicas de integración para resolver integrales, ahora que ya sabemos unas cuantas técnicas que nos permitirá facilitar los temas que vienen por delante. En esta sección veremos como calcular el área entre curvas, es decir, determinar el área entre dos gráficas acotadas por dos funciones.

Área entre curvas

Figura 1: Rectángulos de aproximación al área entre las curvas $f(x)$ y $g(x)$ (rojo y azul respectivamente).

Queremos encontrar el área que está acotada por una curva $y=f(x)$ y $y=g(x)$ entre las rectas verticales $x=a$ y $x=b$ como se muestra en la figura $(1)$, donde $f$ y $g$ son funciones continuas en el intervalo $[a,b]$, supóngase que $f(x) \geq g(x)$, para encontrar esa área, aproximamos la región con $n$ rectángulos basándonos en una partición $P=\left \{ x_{0}, x_{1},…, x_{n} \right \}$ en $[a, b]$ como se ve en la figura $(1)$, donde el área del k-ésimo rectángulo con base $\Delta x$ y altura $f(x_{i}^{*})-g(x_{i}^{*})$ es:

$$A=(f(x_{i}^{*})-g(x_{i}^{*}))\Delta x$$

Por tanto, sumando las áreas de todos los $n$ rectángulos aproximando al área entre las gráficas, obtenemos:

$$\sum_{i=1}^{n}(f(x_{i}^{*})-g(x_{i}^{*}))\Delta x$$

Tendremos una mejor aproximación si $n \rightarrow \infty$. Por tanto, definimos el área $A$ de $S$ como el valor límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación como:

$$A=\lim_{n \rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}(f(x_{i}^{*})-g(x_{i}^{*}))\Delta x$$

Vemos que esta suma es una suma de Riemann [Hipervinculo: Calculo II. Definicion de la integral ],por lo que definimos el área entre curvas como sigue.

Definición. Si $f$ y $g$ son continuas con $f(x) \geq g(x)$ en todo $[a, b]$, el área de la región entre las curvas $y=f(x)$ y $y=g(x)$ y las rectas $x=a$ y $x=b$, está dada por la integral:

$$A=\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)]dx$$

Por lo que al área que está acotada entre dos funciones lo podemos calcular por medio de una integral, veamos unos ejemplos.

Ejemplos

  • Determine el área de la región acotada entre las curvas $y=e^{x}$, $y=x$ y las rectas $x=0$ y $x=1$
Figura 2: Área entre las curvas $f(x)=e^{x}$ y $g(x)=x$.

Graficamos las curvas como se muestra en la figura $(2)$, vemos que $e^{x} > x$ en todo el intervalo $[0, 1]$, por definición, tenemos que el área de la región está dada como:

$$\int_{0}^{1}[e^{x}-x]dx=\int_{0}^{1}e^{x}dx-\int_{0}^{1}xdx=\left [ e^{x} \right ]\bigg|_{0}^{1}-\left [ \frac{x^{2}}{2} \right ]\bigg|_{0}^{1}=e-1-\frac{1}{2}$$

por lo que el área es: $$A=e-1.5$$

  • Encontrar el área de la región acotada por la parábola $y=2-x^{2}$ y la recta $y=-x$

En este caso tenemos que encontrar los límites de integración, para saber de donde a donde vamos a integrar, para eso igualamos las dos funciones:

$$2-x^{2}=-x \Rightarrow x^{2}-x-2=0 \Rightarrow (x+1)(x-2)=0$$

Figura 3: Área entre las curvas $f(x)=2-x^{2}$ y $g(x)=-x$.

Por lo que la región a integrar va de $x=-1$ a $x=2$, a veces es necesario graficar las funciones para ver quien es $f(x)$ y $g(x)$ en el intervalo deseado, ya que podríamos tener un área negativa si intercambiamos las funciones que no corresponden, de la figura $(3)$, vemos que $f(x)=2-x^{2}$ y $g(x)=-x$, así el área entre las curvas es:

$$\int_{-1}^{2}[2-x^{2}+x]dx=\int_{-1}^{2}2dx-\int_{-1}^{2}x^{2}dx+\int_{-1}^{2}xdx=\left [ 2x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2} \right ]\bigg|_{-1}^{2}=(4-\frac{8}{3}+2)-(-2+\frac{1}{3}+\frac{1}{2})=\frac{9}{2}$$

  • Calcule el área de la región acotada entre las curvas $y=\cos(x)$, $y=\sin(x)$ y las rectas $x=0$ y $x=\frac{\pi }{2}$

De la figura vemos que: $\cos(x) \geq \sin(x)$ cuando $0 \leq x \leq \frac{\pi }{4}$ y $\sin(x) \geq \cos(x)$ cuando $\frac{\pi }{4} \leq x \leq \frac{\pi }{2}$ por lo que dividimos el área total como: $A=A_{1}+A_{2}$ y las integrales quedan de la siguiente forma:

$$A=A_{1}+A_{2}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}[\cos(x)-\sin(x)]dx+\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}[\sin(x)-\cos(x)]dx=\left [ \sin(x)+\cos(x) \right ]\bigg|_{0}^{\frac{\pi }{4}}+\left [ -\cos(x)-\sin(x) \right ]\bigg|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}$$

$$=(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-0-1)+(-0-1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}})=2\sqrt{2}-2$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Encontrar el área de la región delimitada por la curva $y=x\sqrt{4-x^{2}}$ en el intervalo $[-2, 2]$
  2. Encontrar el área de la región delimitada por las curvas $y=1$ y $y=\cos^{2}(x)$ en el intervalo $[0, \pi]$
  3. Encontrar el área de la región delimitada por las curvas $y=\sqrt{x}$ y $y=x-2$
  4. Encontrar el área de la región delimitada por las curvas $y=x^{2}$ y $y=2-x$ en el intervalo $[0, 2]$
  5. Encontrar el área de la región delimitada por las curvas $y=\cos(x)$ y $y=\sin(x)$ en el intervalo $[0, 2\pi]$

Más adelante…

En esta sección deducimos la forma de calcular el área que está delimitada entre dos funciones mediante la aplicación de la fórmula deducida. La integral tiene más aplicaciones que solo calcular el área de la integral de una función, en la siguiente sección veremos ahora como calcular la longitud del arco de una función en un intervalo dado.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Criterios de convergencia para las integrales impropias.

Por Miguel Ángel Rodríguez García

2 respuestas

Introducción

En las secciones anteriores vimos las integrales impropias de primer, segundo tipo y tercer tipo, aprendiendo como dar solución a cada una de ella. En esta sección veremos distintos criterios para estudiar la convergencia o divergencia de las integrales impropias. Comencemos enunciando algunos teoremas de convergencia importantes para estas integrales.

Criterios de convergencia

Comencemos con el siguiente teorema.

Teorema: La integral $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ converge $\Leftrightarrow \forall \space \epsilon \space >0 \space \space \exists \space r$ tal que si $x, \space x^{‘} > r$ entonces:

$$\bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$

Demostración:

Sea $\epsilon > 0, \space \int_{a}^{\infty}f(x)dx$ converge:

$$\Leftrightarrow \int_{a}^{\infty}f(x)dx=L \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty}\int_{a}^{x}f(t)dt=L$$

$$\Leftrightarrow \exists \space r \space tal \space que \space si \space x, \space x^{‘} > r$$

Por definición de limite:

$$\Rightarrow \bigg| \int_{a}^{x}f(t)dt-L \bigg|<\frac{\epsilon }{2} \space \space y \space \space \bigg| \int_{a}^{x^{‘}}f(t)dt-L \bigg|<\frac{\epsilon }{2}$$

$$\Leftrightarrow \bigg| \int_{a}^{x}f(t)dt-L \bigg|<\frac{\epsilon }{2} \ \space \space y \space \space \bigg|L-\int_{a}^{x^{‘}}f(t)dt \bigg|<\frac{\epsilon }{2}$$

Ya que $|r|<c$ si y sólo si $-c<r<c$, entonces:

$$\Leftrightarrow -\frac{\epsilon }{2}<\int_{a}^{x}f(t)dt-L <\frac{\epsilon }{2} \ \space \space y \space \space -\frac{\epsilon }{2}<L-\int_{a}^{x^{‘}}f(t)dt<\frac{\epsilon }{2}$$

$$\Leftrightarrow -\epsilon<\int_{a}^{x}f(t)dt-\int_{a}^{x^{‘}}f(t)dt<\epsilon$$

$$\Leftrightarrow -\epsilon<\int_{x}^{x^{‘}}f(t)dt<\epsilon$$

$$\Leftrightarrow \bigg| \int_{x}^{x^{‘}}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$

$$\Leftrightarrow \bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$

$$\therefore \int_{1}^{\infty}f(x)dx \space \space converge $$

$\square$

Lema: Sea una función $f(x)$ continua en $[a,b)$ entonces la integral impropia $\int_{a}^{b}f(x)dx$ es convergente $\Leftrightarrow \forall \space \epsilon \space >0 \space \space \exists \space \delta >0 \space \space tal \space que \space si \space \space 0<b-x<\delta \space \space y \space \space 0<b-x^{‘}<\delta$ entonces:

$$\bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$

Demostración:

$\int_{a}^{b}f(x)dx$ es convergente:

$$\Leftrightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=L \Leftrightarrow \lim_{x \to b^{-}} \int_{a}^{b}f(x)dx=L$$

$$\exists \space \delta >0 \space tal \space que \space si \space \space 0<b-x<\delta \space \space y \space \space 0<b-x^{‘}<\delta$$

$$\Rightarrow \bigg| \int_{a}^{x}f(t)dt-L \bigg|<\frac{\epsilon }{2} \space \space y \space \space \bigg| \int_{a}^{x^{‘}}f(t)dt-L \bigg|<\frac{\epsilon }{2}$$

Hacemos el mismo procedimiento como la demostración del teorema anterior, por lo que:

$$\bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon \space \space converge$$

$\square$

Lema: Sea $f$ continua en $[a, b]$ entonces la integral impropia $\int_{a}^{b}f(x)dx$ es convergente $\Leftrightarrow \exists \space \delta >0 \space tal \space que \space si \space 0<b-x<\delta \space y \space 0<b-x^{‘}<\delta$, entonces:

$$\bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$

La demostración se dejará como ejercicio moral, ya que la demostración es muy similar a la demostración del lema anterior.

Teorema: Sea $f$ una función continua en $[a, b)$ y acotada en $[a, b]$ entonces $\int_{a}^{b}f(x)dx$ es convergente.

Demostración:

Sea $\epsilon>0$, como $f$ está acotada en $[a, b]$ entonces:

$$\exists \space M \space tal \space que \space |f(x)|\leq M \space \forall \space x \space \epsilon \space [a,b]$$

Tomamos $\delta =\frac{\epsilon }{M}$.

Sea $x, x^{‘}$ tal que si $0<b-x<\delta$ y $0<b-x^{‘}<\delta$, entonces por propiedades de la integral: [Hipervinculo: Calculo II-Propiedad de valor absoluto de la integral menor o igual que la integral del valor absoluto de una funcion]:

$$\bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg| \leq \int_{x^{‘}}^{x}|f(t)|dt \leq \int_{x^{‘}}^{x}Mdt=M|x-x^{‘}<\delta M$$

$$\Rightarrow \bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$

$$\forall \space x, x^{‘} \space tal \space que \space \space 0<b-x<\delta \space \space y \space \space 0<b-x^{‘}<\delta$$

Por el lema anterior:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx \space \space converge$$

$\square$

Teorema: Sea $f$ una función continua en $(a, b]$ y acotada en $[a, b]$ entonces $\int_{a}^{b}f(x)dx$ es convergente.

La demostración se dejará como tarea moral, la idea de la demostración es muy similar a la demostración del teorema anterior.

Teorema: (Criterio de comparación)

Sean $f$ y $g$ dos funciones continuas en $[a, \infty)$ tal que si $0 \leq f(x) \leq g(x) \space \forall \space x \space \epsilon [a, \infty)$, Entonces:

Si $\int_{a}^{\infty}g(x)dx$ converge entonces $\int_{a}^{\infty}f(x)dx$ converge.

Mientras que si $\int_{a}^{\infty}f(x)dx$ diverge, entonces $\int_{a}^{\infty}g(x)dx$ diverge.

La demostración se dejará como tarea moral, la idea de la demostración es usar las definiciones de límite.

Una aplicación de las integrales impropias en el área de la física, es calcular la velocidad de escape de la superficie de la Tierra. Sabemos que la fuerza gravitacional está dada como:

$$F=G\frac{mM}{r^{2}}$$

Donde $G=6.67\cdot 10^{-11}\frac{Nm^{2}}{kg^{2}}$ es la constante gravitacional y $M$ la masa de la tierra. Así integramos desde un punto $R$ de la Tierra a la fuerza de gravedad, entonces:

$$\int_{a}^{b} Fdx=\int_{R}^{\infty}G\frac{mM}{r^{2}}dr=GmM\int_{R}^{\infty}\frac{1}{r^{2}}dr=-GmM\left [ \frac{1}{r} \right ]_{R}^{r \to \infty}=G\frac{mM}{R}$$

En ese te caso $R$ es el radio de la Tierra, cuyo valor es $R=6.37\cdot 10^{6}m$, $M=5.98\cdot 10^{24}kg$ es la masa de la Tierra, por lo que:

$$G\frac{mM}{R} \approx m \cdot 6.26 \cdot 10^{7}\frac{Nm}{kg}$$

Para calcular la velocidad de escape, igualamos la fuerza de gravedad con la energía cinética:

$$\frac{1}{2}mv^{2}=G\frac{mM}{R} \Rightarrow$$

$$v=\sqrt{\frac{2GM}{R}} \approx 11,91 \frac{m}{s}$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra el primer lema de esta sección.
  2. Demuestra el segundo lema de esta sección.
  3. Demuestra el teorema del criterio de la comparación.

Utiliza el criterio de la comparación para determinar la convergencia de las siguientes integrales:

  1. $$\int_{1}^{\infty}\frac{1+e^{-x}}{x}dx$$
  2. $$\int_{1}^{\infty}e^{-x^{2}}dx$$

Más adelante…

En esta sección vimos algunos teoremas y lemas para la determinación de la convergencia de las integrales impropias, por lo que son útiles en algunos casos para el mismo objetivo. Este tema es el último de esta unidad 5, por lo que comenzaremos a estudiar la unidad 6, en el cual se verán algunas aplicaciones de las integrales.

Entradas relacionadas

Cálculo Diferencial e Integral II: Integrales impropias del $2^{do}$ tipo

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En la sección anterior vimos las integrales impropias del primer tipo en el cual son integrales de la forma:

$$\int_{-\infty}^{b}f(x)dx$$

$$\int_{a}^{\infty}f(x)dx$$

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx$$

En esta sección veremos las integrales impropias del segundo tipo que son integrales donde la función $f(x)$ no está definida en todo el intervalo, en algún punto dentro de un intervalo o en los extremos del intervalo.

Integrales impropias del $2^{do}$ tipo

Las integrales impropias del segundo tipo son integrales de la forma:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx$$

Donde $f(x)$ es una función positiva y continua en un intervalo finito $[a ,b)$, por lo que se tiene una asíntota vertical en $b$, es decir, la función $f(x)$ tiene una discontinuidad en $x=b$.

Análogamente, si tenemos el intervalo $(a, b]$ se tiene una asíntota vertical en $a$, es decir, la función $f(x)$ tiene una discontinuidad en $x=a$.

Si tenemos que la función se indefine en un punto o varios puntos dentro del intervalo $[a, b]$ con $a<c<b$, entonces las integrales, que también son integrales impropias del segundo tipo, son integrales de funciones que se vuelven infinitas en un punto o varios puntos dentro de un intervalo, para solucionar este problema, veamos la siguiente definición:

Definición: Sea $f(x)$ una función continua en un intervalo $[a, b)$ y con una discontinuidad infinita en $b$ entonces definimos:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{x \to b^{-}}\int_{a}^{x}f(t)dt \tag{1}$$

Definición: Análogamente, al caso anterior, sea $f(x)$ una función continua en un intervalo $(a, b]$ y con una discontinuidad infinita en $a$ entonces definimos:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{x \to a^{+}}\int_{x}^{b}f(t)dt \tag{2}$$

Definición: Si $f(x)$ es continua en $[a, c) \cup (c,b]$, con $a<c<b$, entonces definimos:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx \tag{2}$$

En estos casos, si la integral de la función $f(x)$ converge a un valor $L$ entonces se dice que la integral es convergente y converge al valor $L$, en caso contrario, se dice que la integral de la función $f(x)$ diverge.

Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

  • $$\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}dx$$

Vemos que la función es discontinua en $x=0$, por la definición $(2)$, podemos calcular la integral como:

$$\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}dx=\lim_{x \to 0^{+}}\int_{x}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{t}}dt=\lim_{x \to 0^{+}}\int_{x}^{1}t^{-1/3}dt$$

$$=\lim_{x \to 0^{+}}(\frac{3}{2})t^{\frac{2}{3}}\bigg|_{x}^{1}=\lim_{x \to 0^{+}}(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}})=\frac{3}{2}$$

$$\therefore \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}dx \space \space converge \space a \space \space \frac{3}{2}$$

  • $$\int_{2}^{5}\frac{1}{\sqrt{x-2}}dx$$

Vemos que la función es discontinua en $x=2$, por la definición $(2)$, calculamos la integral como:

$$\int_{2}^{5}\frac{1}{\sqrt{x-2}}dx=\lim_{x \to 2^{+}}\int_{x}^{5}\frac{1}{\sqrt{t-2}}dt=\lim_{x \to 2^{+}}2\sqrt{t-2}\bigg|_{x}^{5}=\lim_{x \to 2^{+}}2(\sqrt{3}-\sqrt{x-2})=2\sqrt{3}$$

$$\therefore \int_{2}^{5}\frac{1}{\sqrt{x-2}}dx=2\sqrt{3}$$

Las integrales impropias del tercer tipo son integrales que mezcla los dos tipos anteriores de integrales impropias, es decir, son integrales impropias tanto del primer tipo como del segundo tipo, por lo que para resolver este tipo de integrales del tercer tipo, se utiliza las mismas estrategias para resolver las integrales del primer y segundo tipo.

Ejemplo

  • $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}dx$$

Vemos en los límites de integración que es una integral de primer tipo, pero la función tiene una discontinuidad en $x=0$, por lo que esta integral es de tercer tipo, determinamos su convergencia con las definiciones de las integrales de primer y segundo tipo como sigue:

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}dx=\lim_{x \to -\infty}\int_{x}^{0}\frac{1}{t^{2}}dt+\lim_{x \to \infty}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{t^{2}}dt$$

$$=\lim_{x \to -\infty}\left ( \lim_{t \to 0^{-}} \int_{x}^{t} \frac{1}{v^{2}}dv \right )+\lim_{x \to \infty}\left ( \lim_{t \to 0^{+}} \int_{t}^{x} \frac{1}{v^{2}}dv \right )$$

$$=\lim_{x \to -\infty}\left ( \lim_{t \to 0^{-}} \frac{-1}{v}\bigg{|}^{t}_{x} \right)+\lim_{x \to \infty}\left ( \lim_{t \to 0^{+}} \frac{-1}{v}\bigg{|}^{t}_{x} \right )$$

$$=\lim_{x \to -\infty}\left ( \lim_{t \to 0^{-}} \left ( \frac{-1}{t}+\frac{1}{x} \right ) \right)+\lim_{x \to \infty}\left ( \lim_{t \to 0^{+}} \left ( \frac{-1}{t}+\frac{1}{x} \right ) \right )$$

Sabemos que $\lim_{t \to 0} \frac{1}{t}$ se indetermina.

$$\therefore \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}dx \space \space diverge$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Determine la convergencia de las siguientes integrales:

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. $$\int_{0}^{2}\frac{1}{x^{3}}dx$$
  2. $$\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}(x+1)}$$
  3. $$\int_{0}^{1}\frac{1}{1-x}dx$$
  4. $$\int_{0}^{3}\frac{1}{(x-1)^{2/3}}dx$$
  5. $$\int_{0}^{1}ln(x)dx$$

Más adelante…

En esta sección vimos las integrales del segundo tipo y tercer tipo, así, como algunos ejemplos, por lo que terminamos de ver los tipos de integrales impropias, en la siguiente sección veremos algunos criterios de convergencia importante para las integrales impropias.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Integrales impropias del $1^{er}$ tipo

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En la sección anterior vimos el teorema del valor medio para integrales, en esta sección veremos las integrales impropias de primer tipo.

Al introducir el concepto de integral definida se exigió que las funciones estuvieran definidas en intervalos cerrados y que la integral de esas funciones en ese intervalo este definida. En esta entrada se suprimen esas restricciones y veremos integrales del tipo:

$$\int_{a}^{\infty }f(x)dx$$

$$\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x}}$$

Obsérvese que en la primera integral el límite de integración se escribe el símbolo de infinito y en la segunda integral para el punto $x=1$ el integrando no está definido en $1$, por lo que veremos las definiciones siguientes.

Integrales impropias del $1^{er}$ tipo

Definición. Sea $f$ una función continua definida en $[a, \infty)$ entonces definimos:

$$\int_{a}^{\infty }f(x)dx=\lim_{x \to \infty }\int_{a}^{x}f(t)dt \tag{1}$$

A $\int_{a}^{\infty }f(x)dx$ se le llama la integral impropia del $1^{er}$ tipo de la función $f$ de $a$ hasta $\infty$.

Definición. Si $\lim_{x \to \infty }\int_{a}^{x}f(t)dt$ es un numero real $L$ se dice que la integral es convergente y converge al valor $L$.

En cambio, si $\lim_{x \to \infty }\int_{a}^{x}f(t)dt$ da como resultado $\infty$ o $-\infty$, es decir, la integral diverge, entonces se dice que la integral diverge a $\infty$ o $-\infty$.

Análogamente, se puede dar la misma definición para cuando el límite de integración inferior tiende a $- \infty$.

Definición. Sea $f$ una función continua definida en $(-\infty, b]$ entonces definimos:

$$\int_{-\infty}^{ b}f(x)dx=\lim_{x \to -\infty }\int_{x}^{b}f(t)dt \tag{2}$$

Podemos tener integrales impropias de una función $f(x)$, tal que, los límites de integración van de $-\infty$ a $\infty$, en este caso, definimos lo siguiente:

Definición. Sea una función continua en $(-\infty, \infty)$ entonces:

$$\int_{-\infty}^{\infty }f(x)dx=\int_{-\infty}^{a}f(x)dx+\int_{a}^{\infty}f(x)dx \tag{3}$$

Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

  • Calcula, si es posible, la integral $\int_{1}^{\infty }\frac{dx}{x^{2}}$.

Usamos la definición $(1)$, así:

$$\int_{1}^{\infty }\frac{dx}{x^{2}}=\lim_{x \to \infty }\int_{1}^{x}\frac{1}{t^{2}}dt$$

$$\Rightarrow =\lim_{x \to \infty }\int_{1}^{x}{t^{-2}}dt=\lim_{x \to \infty }\left [ (-1)t^{-1} \right ] \bigg|_{1}^{x}=\lim_{x \to \infty }(-x^{-1}-(-1)^{-1})=-\lim_{x \to \infty }\frac{1}{x}+\lim_{x \to \infty }1$$

Sabemos que:

$$\lim_{x \to \infty }\frac{1}{x}=0$$

Entonces:

$$\int_{1}^{\infty }\frac{dx}{x^{2}}=1$$

  • Calcula la siguiente integral impropia $\int_{-\infty}^{\infty} e^{x-e^{x}}dx$.

Por definición $(3)$, se tiene que:

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{x-e^{x}}dx=\int_{-\infty}^{a} e^{x-e^{x}}dx+\int_{\infty}^{a} e^{x-e^{x}}dx$$

Usamos ahora las definiciones $(1)$ y $(2)$ como:

$$=\lim_{x \to -\infty} \int_{x}^{a}e^{t-e^{t}}dt+\lim_{x \to \infty} \int_{a}^{x}e^{t-e^{t}}dt$$

Para integrar esta función solo utilizamos el método de cambio de variable, para esto, sea $u=e^{t}$, entonces:

$$\int e^{t-e^{t}}dt=\int e^{-u}dt=-e^{-u}=-e^{-e^{t}}$$

Así, la integral impropia se resuelve como:

$$\lim_{x \to -\infty} \int_{x}^{a}e^{t-e^{t}}dt+\lim_{x \to \infty} \int_{a}^{x}e^{t-e^{t}}dt=\lim_{x \to -\infty}-e^{-e^{x}}+\lim_{x \to \infty}-e^{-e^{x}}=1+0=1$$

Por tanto, la integral converge a 1.

Veamos el teorema siguiente que nos dice para que casos la función $ \frac{dx}{x^{s}} $ converge:

Teorema: $\forall \space s >1$ la integral:

$$\int_{1}^{\infty } \frac{dx}{x^{s}}=\frac{1}{s-1}$$

Es decir, $\frac{1}{x^{s}}$ converge. Sin embargo, si $s\leq 1$ la integral: $$\int_{1}^{\infty } \frac{dx}{x^{s}} \space diverge \space a \space \infty$$

Demostración:

Veamos la demostración por casos.

Sea $s\neq 1$, entonces por definición $(1)$ se tiene que:

$$\int_{1}^{\infty } \frac{dx}{x^{s}}=\lim_{x \to \infty}\int_{1}^{x} \frac{dt}{t^{s}}=\lim_{x \to \infty}\frac{t^{-s+1}}{-s+1}\bigg|_{1}^{x}= \lim_{x \to \infty}\left ( \frac{x^{-s+1}}{-s+1}-\frac{1^{-s+1}}{-s+1} \right )$$

  • Si $s>1 \Rightarrow -s<-1 \Rightarrow -s+1<0$, entonces tenemos que:

$$\lim_{x \to \infty}\frac{x^{-s+1}}{-s+1}=0$$

$$\therefore \int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{s}}=\lim_{x \to \infty}\left (-\frac{1^{-s+1}}{-s+1} \right )=\frac{-1}{-s+1}=\frac{1}{s-1}$$

  • Si $s<1 \Rightarrow -s>-1 \Rightarrow -s+1>0$, entonces:

$$\lim_{x \to \infty}\frac{x^{-s+1}}{-s+1} \to \infty$$

$$\therefore \int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{s}} \space Diverge$$

  • Si $s=1$, entonces:

$$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{s}}=\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}=\lim_{x \to \infty}\int_{1}^{\infty}\frac{dt}{t}=\lim_{x \to \infty}\left ( ln(t) \right )\bigg|_{1}^{x}=\lim_{x \to \infty}(ln(x)-ln(1))=\lim_{x \to \infty}ln(x)-0\to \infty$$

$$\therefore \int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{s}} \space Diverge$$

$$\therefore \int_{1}^{\infty } \frac{dx}{x^{s}}=\frac{1}{s-1}$$

Converge para $s>1$ y diverge para $s\leq 1$.

$\square$

Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo

  • $$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{3/2}}$$

Vemos que del integrando podemos usar el teorema visto anteriormente donde $s=\frac{3}{2}>1$ por lo que, en ese caso, tenemos que:

$$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{3/2}}=\frac{1}{\frac{3}{2}-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Calcule las siguiente integrales.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. $$\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx$$
  2. $$\int_{-\infty}^{0}sin(x)dx$$
  3. $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+1}$$
  4. $$\int_{0}^{\infty}\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}dx$$
  5. $$\int_{1}^{\infty}(1-x)e^{-x}dx$$

Más adelante…

En esta sección vimos integrales impropias del $1^{er}$ tipo que son integrales en donde se integra en un intervalo infinito y se necesita saber el área bajo la curva de una función $f(x)$, es decir, en intervalos no acotados, en la siguiente sección veremos integrales impropias del $2^{do}$ tipo que son integrales impropias en donde la discontinuidad de la función $f(x)$ no está definida en algún punto o todo intervalo en $(a,b)$.

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