Introducción
En las secciones anteriores vimos las integrales impropias de primer, segundo tipo y tercer tipo, aprendiendo como dar solución a cada una de ella. En esta sección veremos distintos criterios para estudiar la convergencia o divergencia de las integrales impropias. Comencemos enunciando algunos teoremas de convergencia importantes para estas integrales.
Criterios de convergencia
Comencemos con el siguiente teorema.
Teorema: La integral $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ converge $\Leftrightarrow \forall \space \epsilon \space >0 \space \space \exists \space r$ tal que si $x, \space x^{‘} > r$ entonces:
$$\bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$
Demostración:
Sea $\epsilon > 0, \space \int_{a}^{\infty}f(x)dx$ converge:
$$\Leftrightarrow \int_{a}^{\infty}f(x)dx=L \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty}\int_{a}^{x}f(t)dt=L$$
$$\Leftrightarrow \exists \space r \space tal \space que \space si \space x, \space x^{‘} > r$$
$$\Rightarrow \bigg| \int_{a}^{x}f(t)dt-L \bigg|<\frac{\epsilon }{2} \space \space y \space \space \bigg| \int_{a}^{x^{‘}}f(t)dt-L \bigg|<\frac{\epsilon }{2}$$
$$\Leftrightarrow \bigg| \int_{a}^{x}f(t)dt-L \bigg|<\frac{\epsilon }{2} \ \space \space y \space \space \bigg|L-\int_{a}^{x^{‘}}f(t)dt \bigg|<\frac{\epsilon }{2}$$
Ya que $|r|<c$ si y sólo si $-c<r<c$, entonces:
$$\Leftrightarrow -\frac{\epsilon }{2}<\int_{a}^{x}f(t)dt-L <\frac{\epsilon }{2} \ \space \space y \space \space -\frac{\epsilon }{2}<L-\int_{a}^{x^{‘}}f(t)dt<\frac{\epsilon }{2}$$
$$\Leftrightarrow -\epsilon<\int_{a}^{x}f(t)dt-\int_{a}^{x^{‘}}f(t)dt<\epsilon$$
$$\Leftrightarrow -\epsilon<\int_{x}^{x^{‘}}f(t)dt<\epsilon$$
$$\Leftrightarrow \bigg| \int_{x}^{x^{‘}}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$
$$\Leftrightarrow \bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$
$$\therefore \int_{1}^{\infty}f(x)dx \space \space converge $$
$\square$
Lema: Sea una función $f(x)$ continua en $[a,b)$ entonces la integral impropia $\int_{a}^{b}f(x)dx$ es convergente $\Leftrightarrow \forall \space \epsilon \space >0 \space \space \exists \space \delta >0 \space \space tal \space que \space si \space \space 0<b-x<\delta \space \space y \space \space 0<b-x^{‘}<\delta$ entonces:
$$\bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$
Demostración:
$\int_{a}^{b}f(x)dx$ es convergente:
$$\Leftrightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=L \Leftrightarrow \lim_{x \to b^{-}} \int_{a}^{b}f(x)dx=L$$
$$\exists \space \delta >0 \space tal \space que \space si \space \space 0<b-x<\delta \space \space y \space \space 0<b-x^{‘}<\delta$$
$$\Rightarrow \bigg| \int_{a}^{x}f(t)dt-L \bigg|<\frac{\epsilon }{2} \space \space y \space \space \bigg| \int_{a}^{x^{‘}}f(t)dt-L \bigg|<\frac{\epsilon }{2}$$
Hacemos el mismo procedimiento como la demostración del teorema anterior, por lo que:
$$\bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon \space \space converge$$
$\square$
Lema: Sea $f$ continua en $[a, b]$ entonces la integral impropia $\int_{a}^{b}f(x)dx$ es convergente $\Leftrightarrow \exists \space \delta >0 \space tal \space que \space si \space 0<b-x<\delta \space y \space 0<b-x^{‘}<\delta$, entonces:
$$\bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$
La demostración se dejará como ejercicio moral, ya que la demostración es muy similar a la demostración del lema anterior.
Teorema: Sea $f$ una función continua en $[a, b)$ y acotada en $[a, b]$ entonces $\int_{a}^{b}f(x)dx$ es convergente.
Demostración:
Sea $\epsilon>0$, como $f$ está acotada en $[a, b]$ entonces:
$$\exists \space M \space tal \space que \space |f(x)|\leq M \space \forall \space x \space \epsilon \space [a,b]$$
Tomamos $\delta =\frac{\epsilon }{M}$.
Sea $x, x^{‘}$ tal que si $0<b-x<\delta$ y $0<b-x^{‘}<\delta$, entonces por propiedades de la integral: [Hipervinculo: Calculo II-Propiedad de valor absoluto de la integral menor o igual que la integral del valor absoluto de una funcion]:
$$\bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg| \leq \int_{x^{‘}}^{x}|f(t)|dt \leq \int_{x^{‘}}^{x}Mdt=M|x-x^{‘}<\delta M$$
$$\Rightarrow \bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$
$$\forall \space x, x^{‘} \space tal \space que \space \space 0<b-x<\delta \space \space y \space \space 0<b-x^{‘}<\delta$$
Por el lema anterior:
$$\int_{a}^{b}f(x)dx \space \space converge$$
$\square$
Teorema: Sea $f$ una función continua en $(a, b]$ y acotada en $[a, b]$ entonces $\int_{a}^{b}f(x)dx$ es convergente.
La demostración se dejará como tarea moral, la idea de la demostración es muy similar a la demostración del teorema anterior.
Teorema: (Criterio de comparación)
Sean $f$ y $g$ dos funciones continuas en $[a, \infty)$ tal que si $0 \leq f(x) \leq g(x) \space \forall \space x \space \epsilon [a, \infty)$, Entonces:
Si $\int_{a}^{\infty}g(x)dx$ converge entonces $\int_{a}^{\infty}f(x)dx$ converge.
Mientras que si $\int_{a}^{\infty}f(x)dx$ diverge, entonces $\int_{a}^{\infty}g(x)dx$ diverge.
La demostración se dejará como tarea moral, la idea de la demostración es usar las definiciones de límite.
Una aplicación de las integrales impropias en el área de la física, es calcular la velocidad de escape de la superficie de la Tierra. Sabemos que la fuerza gravitacional está dada como:
$$F=G\frac{mM}{r^{2}}$$
Donde $G=6.67\cdot 10^{-11}\frac{Nm^{2}}{kg^{2}}$ es la constante gravitacional y $M$ la masa de la tierra. Así integramos desde un punto $R$ de la Tierra a la fuerza de gravedad, entonces:
$$\int_{a}^{b} Fdx=\int_{R}^{\infty}G\frac{mM}{r^{2}}dr=GmM\int_{R}^{\infty}\frac{1}{r^{2}}dr=-GmM\left [ \frac{1}{r} \right ]_{R}^{r \to \infty}=G\frac{mM}{R}$$
En ese te caso $R$ es el radio de la Tierra, cuyo valor es $R=6.37\cdot 10^{6}m$, $M=5.98\cdot 10^{24}kg$ es la masa de la Tierra, por lo que:
$$G\frac{mM}{R} \approx m \cdot 6.26 \cdot 10^{7}\frac{Nm}{kg}$$
Para calcular la velocidad de escape, igualamos la fuerza de gravedad con la energía cinética:
$$\frac{1}{2}mv^{2}=G\frac{mM}{R} \Rightarrow$$
$$v=\sqrt{\frac{2GM}{R}} \approx 11,91 \frac{m}{s}$$
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
- Demuestra el primer lema de esta sección.
- Demuestra el segundo lema de esta sección.
- Demuestra el teorema del criterio de la comparación.
Utiliza el criterio de la comparación para determinar la convergencia de las siguientes integrales:
- $$\int_{1}^{\infty}\frac{1+e^{-x}}{x}dx$$
- $$\int_{1}^{\infty}e^{-x^{2}}dx$$
Más adelante…
En esta sección vimos algunos teoremas y lemas para la determinación de la convergencia de las integrales impropias, por lo que son útiles en algunos casos para el mismo objetivo. Este tema es el último de esta unidad 5, por lo que comenzaremos a estudiar la unidad 6, en el cual se verán algunas aplicaciones de las integrales.
Entradas relacionadas
- Cálculo Diferencial e Integral II.
- Entrada anterior del curso: Cálculo Diferencial e Integral II: Integrales impropias del $2^{do}$ tipo – El blog de Leo (nekomath.com)
- Siguiente entrada del curso: Cálculo Diferencial e Integral II: Área entre curvas – El blog de Leo (nekomath.com)
Hola, no entiendo por qué las dos proposiciones después de «Ya que sabemos que: |a – b| = |b – a|, entonces:» en el primer teorema son equivalentes.
Hola. Ya quedó un poco mejor enunciado, gracias.