Cálculo Diferencial e Integral I: Localización de máximos y mínimos. Regiones de convexidad y puntos de inflexión.

Introducción

En la sección anterior vimos como encontrar los máximos y mínimos de una función haciendo uso del Criterio de la primera derivada. En esta entrada veremos un criterio más que nos ayudará a localizar los puntos críticos de una función haciendo uso de la segunda derivada. Además veremos los conceptos de convexidad, concavidad y puntos de inflexión.

Criterio de la segunda derivada

Teorema (Criterio de la segunda derivada): Sea $f:(a,b) \rightarrow \r$ una función de clase $C^{(2)}$ en un punto $x_0 \in (a,b)$ y $f'(x_0)=0$.

  1. Si $f ^{‘ ‘}(x_0)>0 \Rightarrow x_0$ es un mínimo local de $f$
  2. Si $f^{‘ ‘}(x_0)<0 \Rightarrow x_0$ es un máximo local de $f$

Observación: una función $f$ es de clase $C^{(k)}$ si su k-ésima derivada existe y sus k derivadas son continuas.

Observación: si $f^{‘ ‘}(x)=0$ no podemos concluir nada.

Demostración 2:
Para este punto queremos demostrar que existe un intervalo $(x_0-r,x_0+r)$ donde:

  • $f^{‘ ‘}(x)>0$ para toda $x \in (x_0-r, x_0)$
  • $f^{‘ ‘}(x)<0$ para toda $x \in (x_0, x_0+r)$

Y así por el criterio de la primera derivada tendríamos que $x_0$ es máximo local.

Por hipótesis tenemos que $f^{‘ ‘}(x_0)=0$, lo que por definición de derivada sería:
$$\lim_{h \to 0}\frac{f'(x_0+h)-f'(x_0)}{h}<0$$
Así sabemos que existe una $\delta$ tal que para toda $h \in (-\delta,\delta)$ ocurre que:
$$ \frac{f'(x_0+h)-f'(x_0)}{h}<0 $$

Veamos que ocurre en los siguientes dos casos:
Caso 1: $h>0$ entonces tendríamos que $x_0+h<x_0$ y de la desigualdad anterior se seguiría que
\begin{align*}
\frac{f'(x_0+h)-f'(x_0)}{h}<0 &\Rightarrow f'(x_0+h)-f'(x_0)>0\\
&\Rightarrow f'(x_0+h)>0\tag{donde $f'(x_0)=0$}\\
\end{align*}

Caso 2: $h<0$ se tiene que $x_0+h >x_0$ análogamente vemos que
\begin{align*}
\frac{f'(x_0+h)-f'(x_0)}{h}<0 &\Rightarrow f'(x_0+h)-f'(x_0)<0\\
&\Rightarrow f'(x_0+h)<0\tag{donde $f'(x_0)=0$}\\
\end{align*}

Concluyendo la prueba del inciso 2.

$\square$

Ejemplo

Utilizando el Criterio de la segunda derivada encuentra los máximos y mínimos de la siguiente función:
$$f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+1$$

Solución:
Paso 1: Obtenemos la primera derivada de la función
\begin{align*}
f'(x)&=3x^{2}-6x-9\\
&= x^{2}-2x-3\\
&=(x-3)(x+1)
\end{align*}
Paso 2: Igualamos a cero la primera derivada para obtener los puntos críticos
\begin{align*}
f'(x)=0 &\Leftrightarrow (x-3)(x+1)=0\\
&\Leftrightarrow x- 3=0 & &\text{o} \quad (x+1)=0\\
&\Leftrightarrow x=3 & &\text{o} \quad x=-1
\end{align*}

Paso 3: Ahora obtenemos la segunda derivada de $f$
$$f^{‘ ‘}(x)=2x-2$$

Paso 4: Sustituimos los valores de los puntos críticos obtenidos en el paso 2 y aplicamos el Criterio de la segunda derivada

  • Sustituimos $x=3$ en $f^{‘ ‘}(x)$:
    $$f^{‘ ‘}(3)=2(3)-2=4$$
    El resultado obtenido nos dice que $f^{‘ ‘}(3)>0$ por lo que $f$ tiene un mínimo en $(3,-26)$
  • Ahora para $x=-1$:
    $$f^{‘ ‘}(-1)=2(-1)-2=-4$$
    Vemos que $f^{‘ ‘}(-1)<0$ obteniendo un máximo de $f$ en $(-1,6)$

Convexidad y concavidad

Definición (función convexa): Sea $f:[a,b]\rightarrow \r$ una función. Decimos que $f$ es convexa en [a,b] si para cualesquiera $x,y \in [a,b]$ se cumple que para todo $z\in[x,y]$:
$$f(z) \leq \frac{f(x)-f(y)}{x-y}(z-y)+f(y)$$

Lo que esta definición nos dice es que todos los puntos de la secante que une a $(y,f(y))$ con $(x,f(x))$ cuando $x<y$ se encuentran por arriba de la gráfica como se ve en la siguiente imagen:

Una definición equivalente sería que para cualquier $\alpha \in [0,1]$ se cumple:
$$f(\alpha x+(1-\alpha)y)\leq \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)$$

Otras propiedades que cumplen las funciones convexas son:

  • Se dice que $f$ es estrictamente convexa si cumple la desigualdad:
    $$f(\alpha x+(1-\alpha)y)< \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)$$
  • $f$ es estrictamente cóncava si $-f$ es estrictamente convexa
  • $f$ es cóncava si $-f$ es convexa

La derivada y la convexidad

Teorema: Consideremos $f:(a,b)\rightarrow \r$ una función. Si $f'(x)$ es no decreciente en $(a,b)$ entonces $f$ es convexa en $(a,b)$

Demostración:

Consideremos $x,y \in (a,b)$. Queremos demostrar que para cualquier $\alpha \in [0,1]$ se cumple la desigualdad:
$$f(\alpha x + (1- \alpha)y)\leq \alpha f(x)+ (1- \alpha)f(y)$$

Así tomemos $\alpha_0 \in [0,1]$ y probemos que:
$$f(\alpha_0 x + (1- \alpha_0)y)\leq \alpha_0 f(x)+ (1- \alpha_0)f(y)$$

Por el teorema del valor medio para la derivada tenemos que existe $p\in (x,z)$ tal que:
$$f'(p)=\frac{f(z)-f(x)}{z-x}$$
Análogamente existe $q \in (z,y)$ que:
$$f'(q)=\frac{f(y)-f(z)}{y-z}$$

Por hipótesis vemos que:
$$f'(p)\leq f'(q)$$
Es decir:
$$\frac{f(z)-f(x)}{z-x}\leq \frac{f(y)-f(z)}{y-z}$$

Tomando $ z=\alpha_0x+(1-\alpha_0)y$:
\begin{align*}
&\Rightarrow \frac{f(z)-f(y)}{(\alpha_0-1)x+(1-\alpha_0)y}\leq \frac{f(y)-f(z)}{y-\alpha_0 x-(1- \alpha_0)y}\\
&\Rightarrow \frac{f(z)-f(y)}{(y-x)(1-\alpha_0)}\leq \frac{f(y)-f(z)}{\alpha_0 (y-x)}\\
&\Rightarrow \alpha_0 (f(z)-f(x)) \leq (1- \alpha_0)(f(y)-f(z))
\end{align*}
Por lo tanto si desarrollamos lo anterior:
\begin{align*}
\alpha_0 f(z)+ (1-\alpha_0)f(z)&\leq \alpha_0f(x)+(1-\alpha_0)f(y)\\
\therefore f(z)&\leq \alpha_0 f(x)+(1-\alpha_0)f(y)\\
\end{align*}
Recordando que $z=\alpha_0x+(1-\alpha_0)y$ concluimos que:
$$f(\alpha_0x+(1-\alpha_0)) \leq \alpha_0 f(x)+(1-\alpha_0)f(y)$$

$\square$

Una consecuencia del teorema anterior es el siguiente corolario:
Corolario: Sea $f: (a,b) \rightarrow \r$ una función.

  • Si $f^{‘ ‘}(x) \geq 0$ entonces $f$ es convexa
  • Si $f^{‘ ‘}(x)\leq 0$ entonces $f$ es cóncava

Así vemos que la segunda derivada nos puede ayudar a determinar los intervalos donde una función es convexa o cóncava.

Puntos de inflexión de una función

Definición (punto de inflexión): Decimos que $x_0$ es un punto de inflexión si en él la función cambia de convexa a cóncava ó de cóncava a convexa.
Para poder identificarlos usando la derivada tenemos que si $f^{‘ ‘}(x_0)=0$ entonces $x_0$ es un punto de inflexión.

En el siguiente ejemplo utilizaremos este criterio para identificar los puntos de inflexión de la función vista en el ejercicio anterior.

Ejemplo

Recordemos que estamos trabajando con la función:
$$f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+1$$
Cuya segunda derivada es:
$$f^{‘ ‘}(x)=2x-2$$
Para identificar a sus puntos de inflexión igualaremos a cero su segunda derivada y encontraremos las raíces de la misma:
\begin{align*}
f^{‘ ‘}(x)=0 &\Rightarrow 2x-2=0\\
&\Rightarrow x-1=0\\
&\Rightarrow x=1
\end{align*}
Sustituimos $x=1$ en la función original:
$$f(1)=(1)^{3}-3(1)^{2}-9(1)+1=-10$$
Por lo que $f$ tiene un punto de inflexión en $(1,-10)$

Ahora para definir donde la función es convexa debemos resolver la siguiente desigualdad:
\begin{align*}
f^{‘ ‘}(x)>0 &\Rightarrow x-1>0\\
&\Rightarrow x>1
\end{align*}
Así $f$ es convexa en $(1, \infty)$

Y para ver donde es cóncava utilizamos:
\begin{align*}
f^{‘ ‘}(x)<0 &\Rightarrow x-1<0\\
&\Rightarrow x<1
\end{align*}
Por lo que $f$ es cóncava en $(-\infty,1)$

Tarea moral

Para cada una de las siguientes funciones obtén:

  • Máximos y mínimos
  • Intervalos donde crece y decrece la función
  • Intervalos donde es convexa o cóncava
  • Puntos de inflexión
  • Gráfica
  1. $f(x)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$
  2. $f(x)= x^{3}(x+2)$
  3. $f(x)=\sqrt{x^{2}+36}$
  4. $f(x)=-2x^{3}+9x^{2}+60x$

Más adelante

Ahora que hemos visto dos criterios importantes haciendo uso de la derivada para localizar máximos y mínimos de una función veremos que para los problemas de optimización, que veremos en la siguiente entrada, poder identificarlos es esencial.

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