Cálculo Diferencial e Integral II: Teorema de Pappus-Guldinus

Introducción

En las secciones anteriores vimos como calcular tanto el volumen como el área de un sólido de revolución, en esta entrada veremos un teorema en el que podemos calcular áreas y volúmenes de sólidos de revolución con sus respectivos centroides, es decir, su centro de simetría, a este teorema se le conoce como teorema del centroide de Pappus que se divide a su vez en dos teoremas y aunque no es una aplicación directa de las integrales, podemos calcular el volumen o el área de estos sólidos de una manera más sencilla, veamos el primer teorema.

Teorema de Pappus (Volúmenes)

El volumen $V$ de un sólido de revolución generado mediante la rotación de una curva plana $C$ alrededor de un eje externo, de manera que, esta última no corte el interior de la región, es igual al producto del área $A$ por la distancia $2\pi d$ recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor del eje:

$$V=2\pi A d$$

Demostración:

Sea un área $A$ generada mediante la rotación de una curva plana $C$ alrededor del eje $x$, consideremos un elemento $dA$ de dicha área, el volumen $dV$ generado por el elemento $dA$ es igual a:

$$dV=2 \pi ydA$$

Donde $y$ es la distancia entre el eje $x$ y el elemento $dA$, por tanto:

$$V=\int 2 \pi y dA=2 \pi \bar{y} A$$

Con $\bar{y}=d$ y $2\pi bar{y}$ es la distancia recorrida por el centroide de $A$.

$\square$

Teorema 2 de Pappus (Áreas)

El área $A$ de una superficie de revolución generada mediante la rotación de una curva plana $C$ alrededor de un eje externo, es igual a su longitud $L$, multiplicada por la distancia $2\pi d$ recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor del eje, entonces:

$$A=2\pi L d$$

Demostración:

Sea $L$ la longitud de una curva plana $C$ que rota alrededor del eje $x$ y consideremos un elemento $dL$ de dicha longitud. El área $dA$ generada por el elemento $dL$ es igual a:

$$dA= 2 \pi y dL$$

Donde $y$ es la distancia del elemento $dL$ al eje $x$, por tanto:

$$A=\int 2 \pi y dL=2 \pi \bar{y} L$$

Con $\bar{y}=d$ y $2\pi bar{y}$ es la distancia recorrida por el centroide $L$.

$\square$

Veamos unos ejemplos de como aplicar el teorema de Pappus-Guldinus.

Ejemplos

  • Un toroide se forma al hacer girar un círculo de radio $r$ respecto a una recta en el plano del círculo que es la distancia $R>r$ desde el centro del círculo. Encuentre el volumen del toroide.

El círculo tiene área $A=\pi r^{2}$, por simetría su centroide es su centro, por tanto, la distancia recorrida por el centroide durante una rotación está dada como $d=2\pi R$.

Por el teorema de Pappus (volumen), el volumen del toroide es:

$$V=Ad=(\pi r^{2})(2\pi R)=2\pi ^{2}r^{2}R$$

  • Calcule el área de la superficie del toro del ejercicio anterior.

Del segundo teorema de Pappus (Área) tenemos que:

$$A=2\pi L d=2 \pi (r)(2\pi R)=4\pi ^{2} rR$$

  • Calcula el área de la superficie generada por una circunferencia cuyo radio es de $3m$, girando $2\pi$ alrededor de una recta tangente.

Tenemos que la longitud es $L=2 \pi (3)=6 \pi$

Por el segundo teorema de Pappus calculamos el área de la superficie como:

$$A=2 \pi L d=2 \pi (6 \pi) (3)=36 \pi ^{2}$$

  • Calcula el centroide de un alambre semicircular de radio $R$, que gira alrededor del eje $x$.

Para calcular el centroide podemos utilizar cualquiera de los dos teoremas de Pappus, en este caso, es fácil calcular el centroide por el teorema de Pappus de áreas, veamos:

Sabemos que el área generada es:

$$A=4 \pi R^{2}$$

Y la longitud es:

$$L=\pi R$$

Por el teorema de Pappus (áreas), tenemos que:

$$4 \pi R^{2}=2 \pi \bar{y} (\pi R) \Rightarrow \bar{y}=\frac{2R}{\pi}$$

  • Calcule el volumen del sólido generado por un cuadrado de lado $a=3$ que gira alrededor del eje $y$.

Sabemos que el área lo calculamos como:

$$A=a^{2}=3^{2}=9$$

Sabemos que el centroide de un cuadrado está justo en el centro, o a la mitad de cada cara, por lo que:

$$\bar{y}=1.5$$

Así, calculando el volumen por el teorema de Pappus para volúmenes, tenemos que:

$$V=2\pi A \bar{y}=2\pi (9)(1.5)=27 \pi$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

  1. Hallar el volumen y el área de la superficie de un solido de una esfera de radio r.
  2. Hallar el volumen de un solido de un cono con altura h y radio r.
  3. Calcule el volumen del solido obtenido al hacer girar el triangulo con vértices $(2, 3)$, $(2, 5)$ y $(5, 4)$ respecto al eje x.
  4. La región cuadrada con vértices $(0, 2)$, $(2, 0)$, $(4, 2)$ y $(2, 4)$ se hace girar alrededor del eje $x$ para generar un solido. Determine el volumen y el área de la superficie del sólido.
  5. Localice el centroide de una región semicircular entre la semicircunferencia $y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ y el eje x.

Más adelante…

Vimos en esta sección el teorema de Pappus con el que se puede calcular el volumen, centroide y el área de un solio de revolución, en la siguiente sección veremos una aplicación más de la integral, en este caso, en el área de la física, que es cálculo de momentos y centros de masa.

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