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Cálculo Diferencial e Integral I: Aplicaciones en economía

Introducción

Imaginemos que una empresa refresquera produce $x$ botellas de bebida hidratante en total y que $a$ es el precio de venta de cada una de ellas. Si nos pidieran obtener el ingreso bastaría considerar el producto:
$$ax$$
Por lo que la función de ingreso para $x$ número de unidades producidas esta definida como:
$$I(x)= ax$$

Ahora si consideramos que el precio de venta al público tiene una dependencia lineal con las unidades producidas. Es decir, si tomamos $a=bx+c$ una recta ,tenemos que la función de ingreso es:
\begin{align*}
I(x)&=(bx+c)x\\
&=bx^{2}+cx
\end{align*}

Observamos así que la función $I(x)$ es una parábola.

Si la empresa refresquera sabe que el costo por producir $x$ botellas de bebida hidratante está dado por la función $C(x)$, la función que nos daría el costo medio de cada botella es:

$$C_m(x)=\frac{C(x)}{x}, \quad \text{con}\quad x>0$$

Además si queremos obtener la función que nos daría su utilidad, bastaría con restarle a los ingresos los costos de producción:
$$U(x)=I(x)-C(x), \quad \text{con} \quad x\geq 0$$

Ya que hemos visto una idea general de las funciones que utilizaremos para resolver los problemas de carácter económico de esta entrada. Comencemos con ejemplos donde se nos pide realizar la optimización de dichas funciones, para concluir revisando los conceptos: Costo marginal, Ingreso marginal y Utilidad marginal.

Problema 1

Una pequeña compañía de alimentos conoce que las funciones de ingreso y costo (en pesos) de su famosa mermelada son:
\begin{align*}
I(x)&= -4x^{2}+400x & C(x)&=x^{2}+20x+12
\end{align*}
Donde $x$ representa los frascos fabricados.

Te solicitan encontrar:

  1. El costo fijo de producción
  2. El ingreso máximo
  3. La máxima utilidad
  4. El costo medio de cada frasco

Solución:

$1.$

Para obtener el costo fijo, bastará con evaluar la función $C(x)$ cuando no se produce ningún frasco, es decir, cuando $x=0$:
\begin{align*}
C(0)&= 0^{2}+20(0)+12\\
&=12
\end{align*}
Por lo que el costo fijo de producción para esta mermelada es de $12$ pesos.

$2.$

Cómo nos están solicitando encontrar el ingreso máximo, aplicaremos el análisis para hallar el máximo de la función $I(x)$ apoyándonos del Criterio de la segunda derivada. Comenzamos obteniendo la primera derivada e igualando a cero para obtener los puntos críticos:
$$I’ (x)= -8x+400$$
\begin{align*}
I'(x)=0 &\Leftrightarrow 8x=400\\
&\Leftrightarrow x=\frac{400}{8}\\
&\Leftrightarrow x=50
\end{align*}
Queremos ver que $x=50$, al obtener la segunda derivada notamos que:
$$I^{‘ ‘}(x)=-8 \tag{ que es menor que $0$}$$
Concluyendo así que cuando $x=50$ la función $I$ tiene un máximo y que el ingreso máximo de esta bebida se obtiene al sustituir dicho valor:
\begin{align*}
I(50)&=-4(50)^{2}+400(50)\\
&=-10000+20000\\
&=10000
\end{align*}
Por lo que es de $10,000$ pesos.

$3.$

Primero necesitamos definir a la función de la utilidad, para ello usaremos la igualdad siguiente sustituyendo la función del ingreso y la del costo:
\begin{align*}
U(x)&=I(x)-C(x)\\
&= -4x^{2}+400-x^{2}-20x-12\\
&=-5x^{2}+388x-12\\
\therefore U(x)&= 5x^{2}+388x-12
\end{align*}

Derivamos la función $U$:
$$U'(x)=-10x+388$$
La igualamos a cero y obtenemos los puntos críticos:
\begin{align*}
-10x+388=0 &\Leftrightarrow 388=10x\\
&\Leftrightarrow x=\frac{388}{10}
\end{align*}
Al volver a derivar la función vemos que:
$$U^{‘ ‘}(x)=-10 \tag{que es negativo}$$
por lo que aplicando el Criterio de la segunda derivada nos indica que $U$ tiene un máximo cuando $x=\frac{388}{10}$

Sustituimos el valor para $x$ obtenido en la función:
\begin{align*}
U\left(\frac{388}{10}\right)&=-5\left(\frac{388}{10}\right)^{2}+388\left(\frac{388}{10}\right)-12\\
&\approx 7515.2
\end{align*}
Concluyendo así que la utilidad máxima es de $7,515.2$ pesos.

$4.$

Obtengamos la función de costo medio:
\begin{align*}
C_m(x)&= \frac{C(x)}{x}\\
&= \frac{x^{2}+20x+12}{x}\\
\therefore C_m(x)&=x+20+\frac{12}{x}
\end{align*}
Del mismo modo que en los incisos anteriores, debemos derivar la función:
$$C_m’ (x)=1-\frac{12}{x^{2}}$$
Y analizar los valores que obtengamos al igual la derivada a cero:
\begin{align*}
C_m(x)=0 &\Leftrightarrow 1=\frac{12}{x^{2}}\\
&\Leftrightarrow \frac{1}{12}=\frac{1}{x^{2}}\\
&\Leftrightarrow 12=x^{2}\\
&\therefore x=\sqrt{12}
\end{align*}
Queremos ver que el valor $x=\sqrt{12}$ es un mínimo para la función del costo medio, aplicando el criterio:
$$C_m^{‘ ‘}(x)=\frac{24}{x^{3}}$$
Debido a que $C_m(\sqrt{12})>0$ confirmamos que se trata de un mínimo. Finalmente sustituimos:
\begin{align*}
C_m(\sqrt{12})&=\sqrt{12}+20+\frac{12}{\sqrt{12}}\\
&\approx 26.92
\end{align*}

En resumen, el costo medio de cada frasco es de $26.92$ pesos.

Hablemos del costo marginal

Recordemos un poco lo visto en la entrada Razón de cambio aplicándolo ahora a la función del costo $C(x)$. Imaginemos que la compañía decide aumentar el número de artículos producidos de $x_1$ a $x_2$, por lo que el costo tendría un incremento de $C(x_1)$ a $C(x_2)$. Con lo anterior, la razón de cambio del costo quedaría:
\begin{align*}
\dfrac{\varDelta C}{\varDelta x}&=\frac{C(x_2)-C(x_1)}{x_2-x_1}\\
\end{align*}

Cabe aclarar que escribimos $\varDelta x = x_2-x_1$ para referimos al «incremento de $x$».

Observación: Como sabemos que $x_1 < x_2$ una forma de reescribir a $x_2$ haciendo uso de la notación anterior sería:
$$x_2= x_1+ \varDelta x$$

Por lo que concluimos que:
\begin{align*}
\dfrac{\varDelta C}{\varDelta x}&=\frac{C(x_1+\varDelta x)-C(x_1)}{\varDelta x}
\end{align*}

Si consideramos el límite cuando el incremento $\varDelta x \to 0$, es decir,
$$\lim_{\varDelta x \to 0} \frac{C(x_1+\varDelta x)-C(x_1)}{\varDelta x}$$

vemos que es justo la derivada de la función $C(x)$ por definición. En Economía a dicha derivada $C'(x)$ se le conoce como Costo marginal.

Una relación entre el Costo promedio y el Costo marginal

Ya vimos que la función de costo promedio está dada por:
$$C_m(x)=\frac{C(x)}{x}$$
¿Qué pasaría si decidimos hallar el mínimo de $C_m(x)$? Aplicando las reglas de derivación correspondientes tenemos:
$$C_m’ (x)=\frac{x C'(x)- C(x)}{x^{2}}$$

Procedemos a igualar la derivada a cero:
\begin{align*}
C_m’ (x) = 0 &\Leftrightarrow \frac{x C'(x)- C(x)}{x^{2}} =0\\
&\Leftrightarrow x C'(x)- C(x)=0\\
&\Leftrightarrow x C'(x) =C(x)\\
&\Leftrightarrow C’ (x)=\frac{C(x)}{x}
\end{align*}

Por lo que vemos que el costo marginal es igual al costo promedio siempre que verifiquemos que $x$ es un mínimo de $C_m$. Esta relación es quizás una de las más interesantes, revisemos como utilizarla en el siguiente problema.

Problema 2

Una franquicia de panaderías conoce que la función de costo por elaborar $x$ donas es:
$$C(x)=\frac{x^{2}}{500}+2x+3000$$

Se requiere obtener el nivel de producción para el cuál el costo promedio es el más bajo.

Solución:
Cómo ya vimos, si queremos minimizar el costo promedio basta con igualarlo al costo marginal y verificar que el valor $x$ obtenido es un mínimo. Para ello procedemos de con:
\begin{align*}
C'(x)&= \frac{x}{250}+2 & C_m(x)&=\frac{x}{500}+2+\frac{3000}{x}
\end{align*}

Igualando las funciones:
\begin{align*}
C'(x)=Cm_(x) &\Rightarrow \frac{x}{250}+2 =\frac{x}{500}+2+\frac{3000}{x}\\
&\Rightarrow \frac{x}{250}=\frac{x}{500}+\frac{3000}{x}\\
&\Rightarrow \frac{x}{500}=\frac{3000}{x}\\
&\Rightarrow \frac{x^{2}}{500}=3000\\
&\Rightarrow x^{2}=\frac{3000}{\frac{1}{500}}\\
&\Rightarrow x=\sqrt{1500000}\\
&\therefore x\approx 1224.7448
\end{align*}

Verifiquemos que $x=1224.7448$ es un mínimo observando la segunda derivada de $C_m(x)$:
$$ C_m ‘ (x)= \frac{1}{500}-\frac{3000}{x^{2}} \Rightarrow C_m^{‘ ‘}(x)=\frac{6000}{x^{3}}$$

Al evaluarla vemos que cumple ser mayor que cero $C_m(1224.7448)>0$, que sabemos nos indica que se trata de un mínimo. Por lo tanto, el nivel buscado es el de producir $1,225$ donas con costo medio de $C_m(1225)=6.89$ por pieza.

Análogamente…

Si realizamos un desarrollo similar al revisado en la sección anterior para el costo $C(x)$ aplicado ahora a las funciones de ingreso $I$ y de utilidad $U$, tenemos que las derivadas de ellas son conocidas en Economía como:

  • Ingreso marginal
    $$I'(x)$$
  • Utilidad marginal
    $$U'(x)$$

En los ejercicios de Tarea moral se proponen algunos donde podrás aplicar este par de conceptos, al igual que los revisados durante toda la sesión.

Tarea moral

  • Dadas las funciones de ingreso y costo siguientes:
    \begin{align*}
    I(x)&=-x^{2}+170 & C(x)&=\frac{3}{2}x^{2}+300
    \end{align*}
    Obtén lo siguiente:
    • El costo fijo de producción
    • El ingreso máximo
    • La máxima utilidad
    • El costo medio de cada frasco
  • Con el planteamiento del Problema 1. Determina cuando se producen $20$ frascos de mermelada:
    • El ingreso y el ingreso marginal
    • La utilidad y su utilidad marginal.

Más adelante

Ya que hemos concluido de revisar algunas aplicaciones de la derivada relacionadas ahora en el ámbito de la Economía. En la siguiente entrada estudiaremos el último tema de nuestro temario para Cálculo Diferencial e Integral I: las diferenciales.

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