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Cálculo Diferencial e Integral I: Asíntotas

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

En esta entrada revisaremos el concepto de asíntota de una función; de manera intuitiva podemos pensar que mientras nos vamos «moviendo» a través de una curva, si ésta comienza a tener una distancia respecto a una recta cada vez más cercana a cero, entonces tal recta es una asíntota de la curva. En otras palabras, revisaremos aquellas curvas que a partir de determinado momento comienzan a tener un comportamiento muy similar al de una recta.

Un par de funciones conocidas

Daremos inicio a esta entrada retomando la función $f(x) = tan(x)$ estudiada en una entrada previa. Para nuestra revisión, consideraremos $f: (- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \to \mathbb{R}$.

Recordemos que $f(x) = tan(x) = \frac{sen(x)}{cos(x)}$, notemos que la función tiene una particularidad cuando $x \to \frac{\pi}{2}$ y $x \to -\frac{\pi}{2}$, pues en estos puntos el denominador, $cos(x)$, se hace cero. Para investigar un poco más al respecto, veamos qué pasa en el límite.

\begin{align*}
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} tan(x) = & \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \frac{sen(x)}{cos(x)} \\
= & \infty.
\end{align*}

Por otro lado,
\begin{align*}
\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} tan(x) = & \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} \frac{sen(x)}{cos(x)} \\
= & -\infty.
\end{align*}

Con lo anterior, podemos notar que cuando nos acercamos por la izquierda a $\frac{\pi}{2}$, la función tiende a $\infty$ y cuando nos acercamos por la derecha a $-\frac{\pi}{2}$ la función tiende a $- \infty$, éstos son ejemplos de comportamiento asintótico y lo podemos visualizar con mayor facilidad en la siguiente gráfica:


Las rectas $l_1: x = -\frac{\pi}{2}$, $l_2: x = \frac{\pi}{2}$ (líneas punteadas en rojo) las llamaremos asíntotas de la función.


Revisemos un segundo ejemplo antes de dar las definiciones correspondientes. En una entrada anterior vimos que para la función $f(x) = \frac{1}{x}$, se tiene que $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$, análogamente se puede probar que $\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$. Tales límites nos indican que la función $f$ comienza a parecerse mucho a la recta $y = 0$ cuando $x$ es muy grande o muy pequeño. En este sentido, dicha recta es una asíntota horizontal de $f$ tal y como lo podemos visualizar en la gráfica.

Tras haber visto la gráfica de la función es claro que también tiene un comportamiento similar al de una recta cuando $x \to 0$. Si bien el límite en tal punto no existe, ya conocemos sus límites laterales:

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty, \qquad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty.$$

Cuando sucede que el límite en un punto $x_0$ es $\infty$ ó $- \infty$, a la recta $x=x_0$ se le llama asíntota vertical. De esta manera, en nuestro ejemplo tenemos dos tipos de asíntotas: horizontal y vertical.

Existe un tercer tipo llamado asíntota oblicua que sucede cuando la función se aproxima a una recta del tipo $y = ax + b$ con $a \neq 0.$

Asíntota de una curva

A continuación presentamos la definición de los 3 tipos de asíntotas.

Definición (Asíntota vertical). Sea $x = x_0$ una recta $l$. Decimos que $l$ es asíntota vertical de la curva $f$ si se cumple al menos una de las siguientes condiciones:

  1. $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \pm \infty.$
  2. $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = \pm \infty.$
  3. $\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = \pm \infty.$

Notemos que las condiciones nos indican que una función tiene una asíntota vertical si mientras nos acercamos a determinado punto $x_0$ (ya sea por la izquierda, derecha o de ambas formas) la función crece o decrece de forma arbitraria. Este tipo de asíntotas suelen presentarse en las funciones racionales donde el denominador se hace cero.

Definición (Asíntota horizontal). Sea $y=b$ una recta $l$. Decimos que $l$ es una asíntota horizontal de la curva $f$ si se cumple al menos una de las siguientes condiciones:

  1. $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = L.$
  2. $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = L.$

En este caso, la definición nos indica que existe una asíntota horizontal si la función comienza a acercarse a un número real conforme $x$ se hace arbitrariamente grande o pequeño.

Definición (Asíntota Oblicua). Sea $y = ax +b$ una recta $l$. Decimos que $l$ es una asíntota oblicua de la curva $f$ si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

  1. $\lim\limits_{x \to \infty} [f(x)- (ax+b)] = 0.$
  2. $\lim\limits_{x \to -\infty} [f(x)- (ax+b)] = 0.$

La forma práctica de encontrar las asíntotas oblicuas de una curva $f$ es de la manera siguiente:

Si existen los límites $\lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ y $\lim\limits_{x \to \pm \infty} [f(x)-ax] = b.$

La recta $y = ax+b$ es una asíntota oblicua. Particularmente si $a=0$, esto se reduce al caso asíntota horizontal.

Ahora veremos algunos ejemplos donde encontraremos todas las asíntotas para cada función dada.

Ejemplo 1. Encuentra las asíntotas de la función $f(x) = \frac{x^2+5}{x-1}.$

  • Asíntota vertical.
    Notemos que de la primera definición nos interesa encontrar los puntos en los cuales la función tiende a infinito o menos infinito, y el denominador se acerca a cero cuando $x \rightarrow 1$. Es decir $$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2+5}{x-1} = \infty \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2+5}{x-1} = -\infty.$$
    Por lo tanto, $x=1$ es una asíntota vertical.
  • Asíntota horizontal.
    $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+5}{x-1} = \infty \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+5}{x-1} = -\infty.$$
    Por lo que no hay asíntotas horizontales.
  • Asíntota oblicua.
    Veamos ahora que
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{x^2+5}{x-1}}{x} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+5}{x^2-x} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+5}{x^2-x} \cdot \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1+\frac{5}{x^2}}{1-\frac{1}{x}} \\ \\
    = & 1.
    \end{align*}

    Por otro lado,
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} [f(x)-ax] = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+5}{x-1} -x \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+5-x^2+x}{x-1} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x+5}{x-1} \\ \\
    = & 1.
    \end{align*}
    Así, tenemos una asíntota oblicua en $y = x+1$.

Ejemplo 2. $f(x) = \frac{x^2+x-3}{x}.$

  • Asíntota vertical.
    Notemos que
    $$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2+x-3}{x} = -\infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2+x-3}{x} = \infty.$$
    Por lo tanto, hay una asíntota vertical en $x=0$.
  • Asíntota horizontal.
    $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+x-3}{x} = \infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+x-3}{x} = -\infty.$$
    Por lo tanto, no hay asíntota horizontal.
  • Asíntota Oblicua.
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{x^2+x-3}{x}}{x} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+x-3}{x^2} \\ \\
    = & 1.
    \end{align*}
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} [f(x)-ax] = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+x-3}{x} – x \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+x-3-x^2}{x} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x-3}{x} \\ \\
    = & 1.
    \end{align*}

    Así, $f$ tiene como asíntota oblicua la recta $y = x+1$.



Ejemplo 3. $f(x) = \frac{1}{x^2+x-30}.$

  • Asíntota vertical.
    Revisemos en qué momento el denominador se hace cero
    $x^2+x-30 = 0 \iff (x+6)(x-5) = 0 \iff x =-6 \text{ ó } x = 5.$
    Así,
    $$\lim_{x \to -6^+} \frac{1}{x^2+x-30} = -\infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to -6^-} \frac{1}{x^2+x-30} = \infty.$$
    $$\lim_{x \to 5^+} \frac{1}{x^2+x-30} = \infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 5^-} \frac{1}{x^2+x-30} = -\infty.$$
    Por tanto, hay dos asíntotas verticales, una en $x = 5$ y otra en $x= -6$.
  • Asíntota horizontal.
    $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^2+x-30} = 0$$
    Hay una asíntota horizontal en $y = 0$.
  • Asíntota oblicua.
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{1}{x^2+x-30}}{x} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^3+x^2-30x} \\ \\
    = & 0.
    \end{align*}
    Como el límite es cero, no hay asíntota oblicua.

Ejemplo 4. $f(x) = \frac{x^5}{x^4-1}.$

  • Asíntota vertical.
    El denominador se hace cero si $x^4 – 1 = 0 \iff x = 1 \text{ ó } x = -1$
    $$\lim_{x \to -1^+} \frac{x^5}{x^4-1} = \infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to -1^-} \frac{x^5}{x^4-1} = -\infty$$
    $$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^5}{x^4-1} = \infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 1^-} \frac{x^5}{x^4-1} = -\infty$$
    Por lo tanto, hay dos asíntotas verticales, una en $x=1$ y otra en $x=-1$.
  • Asíntota horizontal.
    Notemos que
    $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^5}{x^4-1} = \pm \infty$$
    Por lo que no hay asíntota horizontal.
  • Asíntota oblicua.
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{x^5}{x^4-1}}{x} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^5}{x^5-x} \\ \\
    = & 1.
    \end{align*}
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} [f(x)-ax] = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^5}{x^4-1} – x \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^5-x^5+x}{x^4-1} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x}{x^4-1} \\ \\
    = & 0.
    \end{align*}
    Así, $f$ tiene como asíntota oblicua la recta $y = x$.

Más adelante…

En las siguientes entradas estudiaremos el concepto de continuidad puntual y en un intervalo, también veremos diversos teoremas de las funciones continuas; para hacer la revisión de este nuevo concepto haremos amplio uso de la definición de límite, así como las propiedades que se revisaron a lo largo de esta unidad.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Encuentra todas las asíntotas de las siguientes funciones:

  • $f(x) = \frac{x^2+2}{x+1}.$
  • $f(x) = \frac{x^5+1}{x^2-1}.$
  • $f(x) = x \sqrt{\frac{x+10}{x-10}}.$
  • $f(x) = \frac{x^2+3}{\sqrt{x^2+4}}.$
  • $f(x) = \frac{1-x^2}{x^2-4}.$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Lineal II: Caracterizaciones de diagonalizar

Por Julio Sampietro

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Introducción

Ya dimos la definición de que una matriz sea diagonalizable y encontramos buenas razones para, dada una matriz, intentar encontrar una matriz similar que sea diagonal. En esta entrada enunciaremos y demostraremos un teorema de caracterización de matrices diagonalizables, el cual nos ayudará a entender con más profundidad la diagonalizabilidad.

El teorema de caracterización

El teorema principal de esta entrada es el siguiente.

Teorema. Sea $V$ un espacio de dimensión finita sobre $F$ y $T:V\to V$ una transformación lineal. Las siguientes afirmaciones son equivalentes.

  1. $T$ es diagonalizable.
  2. Existe un polinomio $P\in F[X]$ que se divide sobre $F$ y tiene raíces distintas dos a dos, tal que $P(T)=0$.
  3. El polinomio mínimo $\mu_T$ de $T$ se divide sobre $F$ y tiene raíces distintas dos a dos.
  4. Sea $\operatorname{Sp}(T)\subset F$ el conjunto de eigenvalores de $T$. Entonces
    \begin{align*}
    \bigoplus_{\lambda \in \operatorname{Sp}(T)} \ker (T-\lambda \cdot \operatorname{Id})=V.
    \end{align*}

Demostración. Demostremos primero que $1$ implica $2$. Escogemos una base en la que $T$ se represente por una matriz diagonal $D$. Sea $P$ el polinomio cuyas raíces son las diferentes entradas de la diagonal de $D$. Entonces $P(T)$ está representada por la matriz diagonal $P(D)$ con entradas $P(d_{ii})=0$. Es decir $P(T)=0$.

Que $2$ implica $3$ se sigue de la definición del polinomio mínimo: si $P$ cumple $2$, entonces $\mu_T$ divide a $P$ y por tanto cumple $3$.

La implicación $3\Rightarrow 4$ es consecuencia del último teorema de la entrada anterior aplicado a $P=\mu_T$ y los factores lineales siendo los $P_i$.

Finalmente veamos que $4$ implica $1$. Sea $\operatorname{Sp}(T)=\{\lambda_1,\dots, \lambda_k\}$ y sea $v_1,\dots v_n$ una base de $V$ obtenida al pegar una base de $\ker(T-\lambda_1\cdot \operatorname{Id})$ a una base de $\ker(T-\lambda_2\cdot \operatorname{Id})$ y a una base de $\ker(T-\lambda_3 \cdot \operatorname{Id})$ y así sucesivamente hasta pegar una base de $\ker(T-\lambda_n\cdot \operatorname{Id})$. Entonces $v_1,\dots, v_n$ es una base de eigenvectores de $V$ y por tanto se cumple $1$.

$\square$

Consecuencias del teorema

Hacemos algunas observaciones que son consecuencia del teorema anterior.

Observación. Si $T$ es una transformación lineal diagonalizable, entonces el polinomio mínimo de $T$ es

\begin{align*}
\mu_T(X)=\prod_{\lambda \in \operatorname{Sp}(T)} (X-\lambda)
\end{align*}

dónde el producto se toma sobre todos los valores propios, contados sin multiplicidad. El mismo producto pero tomado con multiplicidades rinde el polinomio característico de $T$.

Observación. Si $T$ es cualquier transformación lineal en un espacio vectorial de dimensión finita entonces $T$ es diagonalizable si y sólo si la suma de las dimensiones de los eigenespacios coincide con la dimensión de $V$, es decir si

\begin{align*}
\sum_{\lambda \in \operatorname{Sp}(T)}\dim \ker (T-\lambda \cdot \operatorname{Id})=\dim V.
\end{align*}

Observación. Supongamos que $T$ es diagonalizable. Para cada $\lambda\in \operatorname{Sp}_T$ sea $\pi_{\lambda}$ la proyección al subespacio $\ker(T-\lambda\cdot \operatorname{Id})$. Entonces

\begin{align*}
T=\sum_{\lambda\in \operatorname{Sp}(T)} \lambda \pi_{\lambda}.
\end{align*}

Esto se sigue de la descomposición $\bigoplus_{\lambda \in \operatorname{Sp}(T)} \ker (T-\lambda \cdot \operatorname{Id})=V$ y que si

\begin{align*}
v=\sum_{\lambda \in \operatorname{Sp}(T)} v_{\lambda}, v_{\lambda}\in \ker(T-\lambda\cdot \operatorname{Id}),
\end{align*}

entonces

\begin{align*}
T(v)=\sum_{\lambda \in \operatorname{Sp}(T)} T(v_{\lambda})=\sum_{\lambda \in \operatorname{Sp}(T)} \lambda v_{\lambda}= \sum_{\lambda \in \operatorname{Sp}(T)} \lambda \pi_{\lambda}(v).
\end{align*}

Finalmente enunciamos el teorema que demostramos en su forma matricial (que es ciertamente una consecuencia del teorema para transformaciones lineales).

Teorema. Sea $A\in M_n(F)$. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.

  1. $A$ es diagonalizable en $M_n(F)$.
  2. Si $\operatorname{Sp}(A)$ es el conjunto de eigenvalores de $A$, entonces
    \begin{align*}
    \bigoplus_{\lambda \in \operatorname{Sp}(A)}\ker(\lambda \cdot I_n-A)=F^{n}.
    \end{align*}
  3. El polinomio mínimo $\mu_A$ de $A$ se divide sobre $F$ con raíces distintas dos a dos.
  4. Existe un polinomio $P\in F[X]$ que se divide sobre $F$ con raíces distintas dos a dos tal que $P(A)=O_n$.

Problemas para practicar

Terminamos esta entrada con unos cuantos problemas para aplicar los resultados vistos.

Problema 1. Considera la matriz

\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}.
\end{align*}

¿Es $A$ diagonalizable en $M_3(\mathbb{C})$? ¿ En $M_3(\mathbb{R})$?

Solución. El polinomio característico de $A$ está dado por $\chi_A(X)=X^3-1$. Este polinomio se divide sobre $\mathbb{C}$ con raíces distintas, ya que tenemos $3$ soluciones dadas por las raíces de la unidad. Por el teorema de Cayley-Hamilton sabemos que $\chi_A(A)=O_3$. Usando el teorema de esta entrada concluimos que $A$ es diagonalizable sobre $\mathbb{C}$.

Sin embargo, dado que el polinomio característico no se divide sobre $\mathbb{R}$ podemos deducir que $A$ no es diagonalizable en $M_3(\mathbb{R})$.

$\triangle$

Problema 2. ¿Es la matriz

\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\ -4 & 4 & 0\\ -2 & 1 & 2\end{pmatrix}\in M_3(\mathbb{R})
\end{align*}

diagonalizable?

Solución. Comenzamos calculando el polinomio característico de $A$:

\begin{align*}
\chi_A(X)=\begin{vmatrix} X & -1 & 0 \\ 4 & X-4 & 0 \\ 2 & -1 &X-2\end{vmatrix}
&=(X-2)\begin{vmatrix} X & -1\\ 4 & X-4\end{vmatrix} \\
&= (X-2)(X^2-4X+4)\\
&= (X-2)^3.
\end{align*}

Por tanto $2$ es un eigenvalor con multiplicidad algebraíca $3$. Si $A$ fuese diagonalizable, entonces $2$ tendría multiplicidad geométrica $3$, es decir $\ker(A-2I_3)$ sería $3$-dimensional: ¡pero entonces sería todo $\mathbb{R}^3$! Esto implicaría que $A-2I_3=0$, de otra manera que $A=2I_3$, lo que claramente no es cierto.

$\triangle$

Más adelante…

En las siguientes entradas estudiaremos formas bilineales, lo que forma el segundo bloque del curso.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para repasar lo visto en esta entrada.

  1. Encuentra todos los valores de $a\in \mathbb{R}$ tales que la matriz
    \begin{align*}
    A=\begin{pmatrix} 2 & 1 &-2\\ 1 & a & -1\\ 1 & 1 & -1\end{pmatrix}\in M_3(\mathbb{R})
    \end{align*}
    sea diagonalizable.
  2. Explicita el por qué el teorema para operadores lineales implica el teorema para matrices.
  3. Calcula la $n$-ésima potencia de
    \begin{align*}
    A=\begin{pmatrix}
    1 & 3 & 3\\ 3 & 1 & 3\\ 3 & 3 & 1
    \end{pmatrix}.
    \end{align*}
    Sugerencia. Diagonaliza a $A$.
  4. Demuestra que si $T:V\to V$ es una transformación lineal con $V$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre $\mathbb{C}$ tal que $T^2$ diagonalizable y $\ker T=\ker T^2$ entonces $T$ es diagonalizable.
  5. Si $V$ es un espacio de dimensión finita sobre $F$ y $T:V\to V$ es una transformación lineal diagonalizable fija, entonces cualquier otra transformación lineal $S:V\to V$ satisface $S\circ T=T\circ S$ si y sólo si $S$ deja invariante cada eigenespacio de $T$.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Geometría Analítica I: Producto interior y el ortogonal canónico

Por Elsa Fernanda Torres Feria

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Introducción

Continuando la conexión con la geometría Euclidiana con la que empezamos, hay un concepto en la geometría analítica que se conecta con la noción de ángulo, la de distancia y la de norma en la primera geometría mencionada, el producto interior. Dentro del contenido de esta entrada esta su definición en una dimensión de $2$ o mayor, ejemplos y sus propiedades. También, se discute el concepto del vector ortogonal canónico, que en conjunción con el producto interior, sirve como herramienta para detectar ciertas características de rectas y vectores.

Producto interior

Abramos esta entrada con la definición de este nuevo concepto.

Definición. Si tenemos dos vectores $u=(u_1,u_2)$ y $v=(v_1,v_2)$ en $\mathbb{R}^2$, el producto interior (o producto punto) en $\mathbb{R}^2$ de $u$ con $v$, está dado por

$u\cdot v := (u_1,u_2) \cdot (v_1,v_2) = u_1v_1 +u_2 v_2$

Esta definición se puede expresar en dimensiones mayores.

Definición. Si tenemos dos vectores $u=(u_1,u_2, \dots, u_n)$ y $v=(v_1,v_2, \dots, v_n)$ en $\mathbb{R}^n$, el producto interior (o producto punto) en $\mathbb{R}^n$ de $u_1$ con $u_2$, está definido como

\begin{align*}
u\cdot v : &= (u_1,u_2, \dots, u_n) \cdot (v_1,v_2, \dots, v_n) \\
&= u_1v_1 +u_2 v_2+u_3 v_3 + \dots + u_n v_n \\
&= \sum _{j=1} ^{n} u_j v_j
\end{align*}

Es importante notar que el resultado del producto interior (que es una operación vectorial), es un escalar.

Ejemplos:

1. Sean los vectores $(5,3)$ y $(2,-4)$ en $\mathbb{R}^2$, el producto interior de estos es

\begin{align*}
(5,3) \cdot (2,-4)&=5(2)+3(-4)\\
&=10-12\\
&=-2
\end{align*}

2. Sean los vectores $(-3,1,-1)$ y $(-6,2,-3)$ en $\mathbb{R}^3$, el producto interior de estos es

\begin{align*}
(-3,1,-1) \cdot (-6,2,-3)&=-3(-6)+1(2)+(-1)(-3)\\
&=18+2+3\\
&=23
\end{align*}

3. Sean los vectores $(1,0,-5,2,0,1)$ y $(0,-6,0,0,2,0)$ en $\mathbb{R}^6$, el resultado de su producto interior es cero, verifica.

Ahora que hemos definido una nueva operación, nos gustaría demostrar algunas propiedades asociadas a esta.

Teorema. Para todos los vectores $u,v,w \in \mathbb{R}^n$ y para todo número $t \in \mathbb{R}$ se cumple que

  1. $u \cdot v = v \cdot u$
  2. $u \cdot (tv)=t(u\cdot v)$
  3. $u \cdot (v + w)= u \cdot v + u \cdot w$
  4. $u \cdot u \geq 0$
  5. $u \cdot u =0 \Leftrightarrow u=(0,0)$

La primera propiedad nos dice que el producto interior es conmutativo; la siguiente que la operación saca escalares; la tercera expresa que esta abre sumas; la cuarta que al hacer el producto interior de un vector consigo mismo, el resultado es siempre mayor o igual a cero la última que la igualdad a cero sólo sucede cuando el vector $u$ es el vector cero.

Demostración

Haremos la demostración para vectores en $\mathbb{R}^2$, (el caso para dimensión $n$ es análogo) y usaremos los axiomas de los números reales.

Para empezar definamos los vectores $u=(u_1,u_2)$, $v=(v_1,v_2)$ y $w=(w_1,w_2)$ en $\mathbb{R}^2$

1. P. D. $u \cdot v = v \cdot u$. Comencemos con la definición y desarrollemos a partir de ella

\begin{align*}
u \cdot v &=(u_1,u_2) \cdot (v_1,v_2)\\
&=u_1v_1+u_2v_2 \\
&=v_1u_1+v_2u_2 \\
&=(v_1,v_2) \cdot (u_1,u_2)\\
&=v \cdot u
\end{align*}

$\therefore$ $u\cdot v= v \cdot u$

2. P.D. $u \cdot (tv)=t(u\cdot v)$

\begin{align*}
u \cdot (tv)&=(u_1,u_2) \cdot t(v_1,v_2) \\
&= (u_1,u_2) \cdot (tv_1,tv_2) \\
&= u_1(tv_1)+u_2(tv_2)\\
&= t(u_1v_1+u_2v_2) \\
&=t(u_1,u_2) \cdot (v_1,v_2)\\
&= t (u \cdot v)
\end{align*}

$\therefore u \cdot (tv)=t(u\cdot v)$

3. P.D. $u \cdot (v + w)= u \cdot v + u \cdot w$

\begin{align*}
u \cdot (v + w)&=(u_1,u_2) \cdot ((v_1,v_2) + (w_1,w_2)) \\
&= (u_1,u_2) \cdot (v_1+w_1,v_2+w_2) \\
&=u_1(v_1+w_1)+u_2(v_2+w_2) \\
&=u_1v_1+u_1w_1+u_2v_2+u_2w_2 \\
&=u_1v_1+u_2v_2+u_1w_1+u_2w_2 \\
&=(u_1v_1+u_2v_2)+(u_1w_1+u_2w_2) \\
&=((u_1,u_2)\cdot(v_1,v_2)) + ((u_1,u_2) \cdot (w_1,w_2)) \\
&= u \cdot v + u \cdot w
\end{align*}

$\therefore$ $u \cdot (v + w)= u \cdot v + u \cdot w$

4 y 5. P.D. $u \cdot u \geq 0$ y $u \cdot u =0 \Leftrightarrow u=(0,0)$

\begin{align*}
u \cdot u&=(u_1,u_2) \cdot (u_1,u_2) \\
&= u_1u_1+u_2u_2\\
&= u_1^2 + u_2^2 \geq 0
\end{align*}

La última relación se da ya que es una suma de números al cuadrado y cada término por sí sólo es mayor o igual a cero.

Resulta que si $u_1 \neq 0$ ó $u_2 \neq 0$, entonces $u_1^2 + u_2^2 > 0$, por lo que el único caso en el que se da la igualdad a cero es cuando $u=(0,0)$.

$\therefore$ $u \cdot u \geq 0$ y $u \cdot u =0 \Leftrightarrow u=(0,0)$

$\square$

Lo usado en esta demostración se restringe a los axiomas de los reales y la definición del producto interior, por lo que aunque no haya mucha descripción, espero que te sea clara.

El ortogonal canónico

Definición. Sea $v=(x,y)$ un vector en $\mathbb{R}^2$, el vector ortogonal canónico a v es el vector

$v^{\perp}=(-y,x)$

Si te das cuenta, esta definición hace referencia a lo que sucede al aplicar el ortogonal a un vector. Además, esta definición define al ortogonal canónico, pero no significa que sea el único vector perpendicular (ortogonal) a $v$.

Antes de definir o probar más cosas relacionadas al ortogonal, hagamos algunas observaciones.

Observación: Si aplicamos 4 veces el ortogonal a un vector $v$, regresamos al mismo vector:


$v^{\perp}=(x,y)^{\perp}=(-y,x)$

$(-y,x)^{\perp}=(-x,-y)$

$(-x,-y)^{\perp}=(y,-x)$

$(y,-x)^{\perp}=(x,y)$

Observación: Para cualquier $v=(x,y) \in \mathbb{R}^2$, tenemos que

$v \cdot v^{\perp} =(a,b) \cdot (-b,a)=a(-b)+b(a)=-ab+ab=0$

Para continuar, usemos el producto interior para definir y probar ciertas cosas con relación al compadre ortogonal.

Definición. Diremos que dos vectores $u,v \in \mathbb{R}^2$ son perpendiculares (ortogonales) si $u \cdot v=0$.

Proposición. Sea $u \in \mathbb{R}^2$ \ ${ 0\}$. Entonces

$\{x \in \mathbb{R}^2 : x \cdot u =0\}=L_{u_{\perp}}:=\{ru^{\perp}: r \in \mathbb{R}\}$

Demostración

Como queremos comprobar una igualdad de conjuntos, hay que probar la doble contención. Comencemos con la contención $\supseteq$.

$\supseteq$ En esta contención, queremos demostrar que cualquier vector de la forma $ru^{\perp}$ es tal que

$(ru^{\perp}) \cdot u=0$

Tomemos un vector de la forma $ru^{\perp}$ con $r \in \mathbb{R}$ y notemos que gracias a la segunda propiedad del producto interior se cumple que

$(ru^{\perp}) \cdot u = r(u^{\perp} \cdot u)= r(0)=0 $

Esto es suficiente para la demostración de la primera contención, pues hemos probado que el producto interior de cualquier vector de la forma $ru^{\perp}$ con $u$ es cero.

$\subseteq$ Para esta contención, queremos demostrar que los vectores $x$ que cumplen $x \cdot u =0$, son de la forma $x=r u^{\perp}$. Para esto, tomemos un vector $x=(r,s)$ que cumpla la primera condición y expresemos al vector $u$ con sus coordenadas $u=(u_1,u_2)$. Al realizar el producto interior obtenemos

$x \cdot u=(r,s) \cdot (u_1,u_2)=ru_1+su_2=0 $

$\Rightarrow ru_1= -su_2 \cdots (a) $

Dado que $u \neq (0,0)$, al menos una de sus entradas es distinta de cero. Supongamos que $u_1 \neq 0$, entonces podemos despejar $r$

$r=\frac{-su_2}{u_1}$

Podemos sustituir este valor en $x$ y desarrollar para obtener

\begin{align*}
x=(r,s)&=\left( \frac{-su_2}{u_1},s \right)=s\left( \frac{-u_2}{u_1}, 1 \right) \\
&=s \left( \frac{-u_2}{u_1}, \frac{u_1}{u_1} \right) \\
&=\frac{s}{u_1} \left( -u_2, u_1 \right)
\end{align*}

Y ya está el primer caso, pues sabemos que $u^{\perp}=( -u_2, u_1)$.

Así, $x \in \mathbb{R}^2$ tal que $x \cdot u=0$, es de la forma $ru^{\perp}$, con r un escalar.

En el caso en el que $u_2 \neq 0$, tenemos algo análogo. A partir de $(a)$ podemos despejar $s$

$ ru_1= -su_2$

$s=\frac{-ru_1}{u_2}$

Al sustituir en $x$ y desarrollar obtendremos que

$x=\frac{r}{-u_2}(-u_2,u_1)$

$\square$

Aplicaciones del producto punto

Para cerrar esta entrada, usemos el producto interior para describir algunas características de las rectas y vectores.

Definición. Diremos que dos líneas $l_1$ y $l_2$ son perpendiculares si al escribirlas en forma paramétrica

$l_1=\{ p_1+rq_1 : r \in \mathbb{R} \}$

$l_2=\{ p_2+rq_2 : r \in \mathbb{R} \}$

se tiene que $q_1 \cdot q_2 =0$, esto es si sus vectores dirección son ortogonales.

Proposición. Dos vectores $u$ y $v$ son paralelos si y sólo si $u$ y $v^{\perp}$ son ortogonales, es decir si $u \cdot v^{\perp}=0$.

Demostración

Ida ($\Rightarrow$). Si $u$ y $v$ son paralelos, por definición $u=cv$ con $c \in \mathbb{R}$. Como queremos que $u$ y $v^{\perp}$ sean ortogonales, realicemos su producto interior y utilicemos las propiedades de este para desarrollar

\begin{align*}
u \cdot v^{\perp}&=(cv) \cdot v^{\perp} \\
&=c(v \cdot v^{\perp}) \\
&=c(0)=0
\end{align*}

Por lo que $u$ y $v^{\perp}$ son ortogonales.

Regreso ($\Leftarrow$). Si ahora suponemos que $u$ y $v^{\perp}$ son ortogonales, pasa que

$u \cdot v^{\perp}=0$

Pero por lo visto en la proposición de la sección anterior, esto sólo pasa cuando $u=c(v^{\perp})^{\perp}$ para algún $c \in \mathbb{R}$. Si $v=(v_1,v_2)$ esto se desarrolla como

\begin{align*}
u&=c(v^{\perp})^{\perp}=c(-v_2,v_1)^{\perp}\\
&=c(-v_1,-v_2)\\
&= -cv
\end{align*}

$\therefore$ por definición de paralelismo, $u$ y $v$ son paralelos.

$\square$

Otra cosa útil del producto punto, es que cualquier recta se puede escribir en términos de este. Precisemos esto en la siguiente proposición.

Proposición. Sea la recta $l$ en su forma paramétrica

$l=\{p+rq : r \in \mathbb{R}\}$

La recta $l$ se puede escribir usando el producto punto de la siguiente manera

$l=\{x \in \mathbb{R} ^2 : q^{\perp} \cdot x=q^{\perp} \cdot p \}$

Antes de adentrarnos en la demostración, hablemos un poco de qué significa esta proposición con ayuda del siguiente interactivo aclarando que $qT$ es el vector $q{^\perp}$.

Al definir $qT$ como el vector perpendicular a la recta, tenemos que $q$ es el vector director de esta; $p$ es el punto por el que pasa la recta y $x$ representa a los puntos en ella. Como $p$ y $qt$ son fijos, entonces $qT \cdot p$ es un número constante. Si tú mueves $x$ a lo largo de la recta, veras que el producto punto $qT \cdot x$ al cual denominamos como $a$ en GeoGebra, no varia.

Es así como expresamos la recta por medio del producto punto; el conjunto de todas los $x \in \mathbb{R}^2$ tal que el producto punto con $q^{\perp}$ ($qT$ en el interactivo) es igual a $q^{\perp} \cdot p$.

Con esto claro, procedamos a la demostración.

Demostración

Como queremos demostrar que $l$ en su forma paramétrica es el mismo conjunto que el descrito por el producto punto, tenemos que explorar las dos contenciones de los conjuntos.

$\supseteq$ Tomemos $x \in \mathbb{R}^2$ tal que $q^{\perp}\cdot x =q^{\perp}\cdot p$. De esta igualdad se tiene que

\begin{align*}
0 &= q^{\perp}\cdot x – q^{\perp}\cdot p\\
&=q^{\perp}\cdot (x-p)\\
& \Rightarrow q^{\perp}\cdot (x-p) =0
\end{align*}

Dada la última igualdad, sabemos (por la primera proposición de esta entrada) que $x-p$ debe ser un múltiplo de $(q^{\perp})^{\perp}=-q$ y por lo tanto un múltiplo de $q$; por lo que para algún $s \in \mathbb{R}$ se tiene que

\begin{align*}
x-p&=sq\\
\Rightarrow x&=p+sq
\end{align*}

$\subseteq$ Ahora partamos de un punto $x=p+rq \in$ $l$ y desarrollemos su producto punto con $q^{\perp}$ para finalizar esta demostración

\begin{align*}
q^{\perp} \cdot x &= q^{\perp} \cdot (p+rq)\\
&=(q^{\perp} \cdot p) + (q^{\perp} \cdot (rq)) \\
&= q^{\perp} \cdot p
\end{align*}

Donde la última igualdad se da gracias a que $q^{\perp} \cdot (rq)=r(q^{\perp} \cdot q)=0$.

$\therefore$ Partiendo la expresión paramétrica de la recta está contenida en la expresión con producto punto y viceversa y por lo tanto son el mismo conjunto (la misma recta).

$\square$

Más adelante…

El producto interior fungirá como herramienta para establecer las nociones de distancia y ángulo en las siguientes entradas y particularmente para definir la forma normal de la recta en la siguiente entrada.

Tarea moral

  • Completa los pocos pasos que omitimos en cada demostración o ejemplo.
  • Demuestra el teorema de las propiedades del producto interior para $n=3$.
  • Calcula el producto interior de los siguientes vectores:
    • $(4,-1)$ y $(7,2)$
    • $(-2,3,0)$ y $(4,-6,0)$
    • $(-2,3,0)$ y $(-2)(-2,3,0)$
    • $(5,0,-3,0,0)$ y $(0,4,0,-2,1)$
  • Usando la definición del producto interior, demuestra que dado $ u \in \mathbb{R}^2$ se tiene que

$u \cdot x =0$, $\forall x\in \mathbb{R}^2$

si y sólo si $u=(0,0)$.

  • Demuestra que para todos los vectores $ u \text{, }v \in \mathbb{R}^2$ y $\forall t \in \mathbb{R}$, se cumple que
    1. $(u+v)^{\perp}=u^{\perp}+v^{\perp}$
    2. $(tu^{\perp})=t(u^{\perp})$
    3. $u^{\perp} \cdot v^{\perp}=u \cdot v$
    4. $u^{\perp} \cdot v = -(u \cdot v^{\perp})$

Cálculo Diferencial e Integral: Límites de funciones trigonométricas

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

En las entradas anteriores nos enfocamos en desarrollar el concepto de límite y revisamos diversos tipos de funciones, sin embargo, evitamos un tipo particular: las funciones trigonométricas. En esta entrada centraremos nuestra atención en la revisión de estos límites haciendo uso de toda la teoría revisada hasta este punto.

Límite de funciones trigonométricas cuando $x$ tiende a $x_0$

En los primeros ejemplos podrás visualizar la gráfica de la función con la finalidad de tener cierta intuición respecto a los límites, pero, en caso de requerirlo, puedes repasar las funciones trigonométricas.

Ejemplo 1. Prueba que $$\lim_{x \to 0} sen(x) = sen(0).$$

Demostración.

Para probar este límite, procederemos a calcular los límites laterales.

Sea $x \in (0, \pi / 2 )$. Usaremos que $0 < sen(x) < x$ si $x \in (0, \pi / 2 )$.

Además, $$\lim_{x \to 0} = 0 \qquad \text{y} \qquad \lim_{x \to 0} x = 0.$$

Por el teorema del sándwich, podemos concluir que $$\lim_{x \to 0^+} sen(x) = 0 = sen(0). \tag{1}$$

Si $x \in (- \pi / 2, 0)$, entonces $-x \in (0, \pi /2)$. De esta forma, se obtiene que

$$ 0 < sen(-x) < -x.$$

Como $sen(-x) = -sen(x)$, se sigue que $$0 < -sen(x) < -x.$$

Por lo tanto $$ x < sen(x) < 0$$

Nuevamente por el teorema del sándwich, se sigue que $$\lim_{x \to 0^-} sen(x) = 0 = sen(0). \tag{2}$$

De $(1)$ y $(2)$ se concluye que $$\lim_{x \to 0} sen(x) = sen(0).$$

$\square$

Ejemplo 2. Prueba que $$\lim_{x \to 0} cos(x) = cos(0).$$

Demostración.

Como $$ cos^2(x)+sen^2(x) = 1,$$ se sigue que $$|cos(x)| = \sqrt{1-sen^2(x)}.$$

Consideremos $x \in (-\pi/2, \pi/2)$, entonces $cos(x) > 0$, y de la expresión anterior se sigue que $$cos(x) = \sqrt{1-sen^2(x)}.$$

De esta manera, se tiene que

\begin{align*}
\lim_{x \to 0} cos(x) & = \lim_{x \to 0} \sqrt{1-sen^2(x)} \\
& = \sqrt{1-0} \\
& = 1 \\
& = cos(0).
\end{align*}

Por lo tanto

$$\lim_{x \to 0} cos(x) = cos(0).$$

$\square$

Ejemplo 3. Prueba que el siguiente límite no existe $$\lim_{x \to 0} sen \left( \frac{1}{x} \right).$$

Demostración.

Notemos que por la relación entre el límite de una función y el de una sucesión, basta dar dos sucesiones $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ tal que converjan a $x_0 = 0$ y $a_n$, $b_n \neq 0$ para todo $n \in \mathbb{N}$, pero que las sucesiones obtenidas de evaluar la función en los términos de ambas sucesiones, $\{f(a_n)\}$, $\{f(b_n)\}$ converjan a valores distintos.

Definimos $f(x) = sen(\frac{1}{x})$ y consideremos las sucesiones $a_n = (\pi n) ^{-1} \quad$ y $b_n = (\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n)^{-1},$ donde $a_n$, $b_n \neq 0$ para todo $n \in \mathbb{N}.$

Veamos que
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} a_n = & \lim_{n \to \infty} (\pi n) ^{-1} \\
= & \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi n} \\
= & 0.
\end{align*}
$$\therefore \lim_{n \to \infty} a_n = 0.$$
Además,
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} b_n = & \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} \pi + 2 \pi n \right)^{-1}\\ \\
= & \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n} \\ \\
= & \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{\pi + 4 \pi n}{2}} \\ \\
= & \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\pi + 4 \pi n} \\ \\
= & 0.
\end{align*}
$$\therefore \lim_{n \to \infty} b_n = 0.$$
Es decir, las sucesiones $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ tienden a cero. Y notemos que $f(a_n) = sen(n \pi ) = 0$ y $f(b_n) = sen(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n) = 1$ para todo $n \in \mathbb{N}.$

De esta forma $$\lim_{n \to \infty} f(a_n) \neq \lim_{n \to \infty} f(b_n).$$
Por tanto, podemos concluir que el límite no existe.

$\square$

Ejemplo 4. Prueba que $$\lim_{x \to 0} x sen \left( \frac{1}{x} \right) = 0.$$

Demostración.

Haremos la demostración de este límite mediante la definición épsilon-delta.

Sea $\varepsilon > 0$. Consideremos $\delta = \varepsilon.$
Si $0<|x-0| < \delta$, entonces
\begin{gather*}
& |x| < \delta = \varepsilon. \\
\Rightarrow & |x|< \varepsilon.
\end{gather*}
Además, sabemos que $-1 < sen \left( \frac{1}{x} \right) < 1$ para cualquier $x \neq 0.$ Entonces

\begin{align*}
|f(x)-0| = & \left|x sen \left( \frac{1}{x} \right) \right| \\
= & |x|\left|sen \left( \frac{1}{x} \right) \right| \\
\leq & \delta \cdot 1 \\
= & \varepsilon.
\end{align*}
$$\therefore \lim_{x \to 0} x sen \left( \frac{1}{x} \right) = 0.$$

$\square$

El siguiente ejemplo es un límite que nos ayudará en diversas ocasiones, así que vale la pena ponerle particular atención.

Ejemplo 5. Prueba que $$\lim_{x \to 0 } \frac{sen(x)}{x} = 1.$$

Demostración.

Como nos interesa revisar qué sucede cuando $x \to 0$. Podemos considerar que $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ con $x\neq 0.$

De esta forma, se tiene que

  • Área $\triangle ABC = \frac{sen(x)cos(x)}{2}$.
  • Área del sector circular $ADC = \frac{xr^2}{2} = \frac{x}{2}$.
  • Área $\triangle ADE = \frac{1 \cdot tan(x)}{2} = \frac{sen(x)}{2cos(x)}$.

Podemos notar que Área $\triangle ABC <$ Área del sector circular $ADC <$Área $\triangle ADE$.

Como $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ con $x\neq 0$, entonces $sen(x) \neq 0$ y $cos(x) \neq 0$. Así, se sigue que

\begin{gather*}
\frac{sen(x)cos(x)}{2} < \frac{x}{2} < \frac{sen(x)}{2cos(x)}.
\end{gather*}

De donde se obtiene que $$cos(x) < \frac{x}{sen(x)} < \frac{1}{cos(x)}.$$

Y se sigue que $$ cos(x) < \frac{x}{sen(x)} \qquad \text{ y } \qquad \frac{x}{sen(x)} < \frac{1}{cos(x)}.$$

Es decir, $$ \frac{sen(x)}{x} < \frac{1}{cos(x)} \qquad \text{ y } \qquad cos(x) < \frac{sen(x)}{x}. $$

$$ \therefore cos(x) < \frac{sen(x)}{x} < \frac{1}{cos(x)}.$$

Además, $\lim\limits_{x \to 0} cos(x) = 1$ y $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{cos(x)} = 1$. Por el teorema del del sándwich se concluye que

$$\lim_{x \to 0 } \frac{sen(x)}{x} = 1.$$

$\square$

Ejemplo 6. Determina el siguiente límite $$\lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x) }{x}.$$

Si $0< |x| < \pi$, entonces

\begin{align*}
\frac{1-cos(x)}{x} = & \frac{1-cos(x)}{x} \cdot \frac{1+cos(x)}{1+cos(x)} \\ \\
= & \frac{1-cos^2(x)}{x (1+cos(x) )} \\ \\
= & \frac{sen^2(x)}{x(1+cos(x))} \\ \\
= & \frac{sen(x)}{x} \frac{sen(x)}{1+cos(x)}.
\end{align*}

Así,
\begin{align*}
\lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x) }{x} = & \lim_{x \to 0}\frac{sen(x)}{x} \cdot \frac{sen(x)}{1+cos(x)} \\
= & \lim_{x \to 0} \frac{sen(x)}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{sen(x)}{1+cos(x)} \\
= & 1 \cdot \frac{0}{2} \\
= & 0.
\end{align*}

$$\therefore \lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x) }{x} = 0.$$

Ejemplo 7. Calcula el siguiente límite $$\lim_{x \to 0} \frac{x+sen(x)}{x^2-sen(x)}.$$

\begin{align*}
\lim_{x \to 0} \frac{x+sen(x)}{x^2-sen(x)} = & \lim_{x \to 0} \frac{x+sen(x)}{x^2-sen(x)} \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} \\ \\
= & \lim_{x \to 0} \frac{1+\frac{sen(x)}{x}}{x-\frac{sen(x)}{x}} \\ \\
= & \frac{1+1}{0-1} \\ \\
= & -2.
\end{align*}
$$\therefore \lim_{x \to 0} \frac{x+sen(x)}{x^2-sen(x)} = -2.$$

Ejemplo 8. Calcula $$\lim_{x \to 0} \frac{sec(x) -1}{x}.$$

\begin{align*}
\lim_{x \to 0} \frac{sec(x) -1}{x} = & \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{cos(x)} -1}{x} \\ \\
= & \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1- cos(x)}{cos(x)}}{x} \\ \\
= & \lim_{x \to 0} \frac{1- cos(x)}{x cos(x)} \\ \\
= & \lim_{x \to 0} \frac{1}{cos(x)} \frac{1- cos(x)}{x} \\ \\
= & 1 \cdot 0 \\ \\
= & 0.
\end{align*}
$$\therefore \lim_{x \to 0} \frac{sec(x) -1}{x} = 0.$$

Límite de funciones trigonométricas cuando $x$ tiende a infinito

Ahora procederemos a revisar algunos ejemplos de funciones trigonométricas cuando $x \to \infty$, o bien, cuando $x \to – \infty.$

Ejemplo 9. Calcula el límite $$\lim_{x \to \infty} \frac{sen(x)}{x}.$$

Sabemos que $-1 \leq sen(x) \leq 1.$ De esta forma, si $x \neq 0$, se tiene que $$ -\frac{1}{x} \leq \frac{sen(x)}{x} \leq \frac{1}{x}.$$

Además, $$ \lim_{x \to \infty} -\frac{1}{x} = 0 = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}.$$

Por el teorema del sándwich, se concluye que
$$ \lim_{x \to \infty} sen(x) = 0.$$

Ejemplo 10. Calcula el límite $$\lim_{x \to \infty} \frac{x sen(x)}{x^2+5}.$$
\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \frac{x sen(x)}{x^2+5} = & \lim_{x \to \infty} \frac{x sen(x)}{x^2+5} \cdot \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}} \\ \\
= & \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x sen(x)}{x^2}}{\frac{x^2+5}{x^2}} \\ \\
= & \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{sen(x)}{x}}{1+\frac{5}{x^2}} \\ \\
= & \frac{0}{1} \text{, por lo visto en el ejemplo anterior }\\ \\
= & 0.
\end{align*}
$$\therefore \lim_{x \to \infty} \frac{x sen(x)}{x^2+5} = 0.$$

Ejemplo 11. Determina si existe el siguiente límite $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2(1+sen^2(x))}{(x+sen(x))^2}.$$

El límite no existe. Considera las sucesiones generadas por $a_n = \pi n \quad$ y $\quad b_n = \frac{1}{2} \pi + 2 \pi n \quad$ donde $a_n$, $b_n \rightarrow \infty$ cuando $n \rightarrow \infty.$ Notemos que
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} f(a_n) = & \lim_{n \to \infty} \frac{(\pi n)^2(1+sen^2(\pi n))}{(\pi n+sen(\pi n))^2} \\ \\
= & \lim_{n \to \infty} \frac{(\pi n)^2(1+0)}{(\pi n+0)^2} \\ \\
= & \lim_{n \to \infty} \frac{(\pi n)^2}{(\pi n)^2} \\ \\
= & \lim_{n \to \infty} 1 \\ \\
= & 1.
\end{align*}
$$ \therefore \lim_{n \to \infty} f(a_n) = 1.$$
Por otro lado,
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} f(b_n) = & \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n)^2(1+sen^2(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n))}{(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n+sen(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n))^2} \\ \\
= & \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n)^2(1+1)}{(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n+1)^2} \\ \\
= & \lim_{n \to \infty} \frac{2(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n)^2}{(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n+1)^2} \\ \\
= & 2.
\end{align*}
$$ \therefore \lim_{n \to \infty} f(b_n) = 2.$$

Como $$\lim_{n \to \infty} f(a_n) \neq \lim_{n \to \infty} f(b_n).$$
Podemos concluir que el límite $\lim_\limits{x \to \infty} \frac{x^2(1+sen^2(x))}{(x+sen(x))^2}$ no existe.

Ejemplo 12. Determina el siguiente límite $$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2-sen(5x)}{x^2+2}.$$

Recordemos que $-1 < sen(5x) < 1$, de donde se sigue que $-1 < -sen(5x) < 1$, así
\begin{gather*}
& 3x^2-1 < 3x^2-sen(5x) < 3x^2+1.
\end{gather*}

Se sigue que
\begin{gather*}
\frac{3x^2-1}{x^2+2} < \frac{3x^2-sen(5x)}{x^2+2} < \frac{3x^2+1}{x^2+2} \text{, pues } x^2+2 >0.
\end{gather*}

Y notemos que

\begin{align*}
\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2+1}{x^2+2} = & \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{3x^2+1}{x^2}}{\frac{x^2+2}{x^2}} \\ \\
= & \lim_{x \to -\infty} \frac{3+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x^2}} \\ \\
= & \frac{3}{1} \\ \\
=& 3.
\end{align*}

De forma similar, se obtiene que $$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2-1}{x^2+2}= 3.$$

Por lo que se tiene que $$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2+1}{x^2+2} = 3 = \lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2-1}{x^2+2}.$$ Usando el teorema del sándwich podemos concluir que
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2-sen(5x)}{x^2+2} = 3.$$


Más adelante…

En la siguiente entrada revisaremos el concepto de asíntotas con lo que nos será posible analizar un comportamiento particular que llegan a tener las funciones, el cual es aproximarse a una recta en determinado momento; y, con esto, estaremos finalizando la unidad referente al límite de una función.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Halla los siguientes límites, justifica en caso de no alguno no exista.

  • $$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 (3+sen(x))}{(x+sen(x))^2}.$$
  • $$\lim_{x \to 1} \frac{sen(x^2-1)}{x-1}.$$
  • $$\lim_{x \to \infty} x^2 sen \left(\frac{1}{x} \right).$$
  • $$\lim_{x \to \infty} \frac{x + sen^3(x)}{5x+6}.$$
  • $$\lim_{x \to 0} \frac{tan^2(x)+2x}{x + x^2}.$$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones de Bernoulli y Riccati

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En las últimas entradas hemos estudiado algunas ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden y hemos revisado algunos métodos para resolver este tipo de ecuaciones. En esta ocasión veremos dos tipos de ecuaciones no lineales, que mediante un cambio de variable apropiado pueden convertirse en una ecuación lineal, las cuales ya sabemos resolverlas. Nos referimos a las ecuaciones de Bernoulli y Riccati, que deben su nombre a Jakob Bernoulli (1655-1705) y Jacopo Francesco Riccati (1676-1754).

Ecuación de Bernoulli

En el video resolveremos la ecuación de Bernoulli en su forma general y posteriormente revisaremos un ejemplo de este tipo de ecuaciones.

Ecuación de Riccati

Resolvemos la ecuación de Riccati en su forma general haciendo un cambio de variable que lleva a una ecuación lineal de primer orden. Luego, resolvemos un ejemplo de una ecuación de Riccati.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Encuentra la expresión general para la solución $y(t)$ a la ecuación de Bernoulli $$\frac{dy}{dt}+p(t)y=q(t)y^{n}.$$
  • Resuelve la ecuación de Bernoulli $$\frac{dy}{dt}-\frac{1}{3t}y=e^{t}y^{4}$$.
  • Verifica que la ecuación logística $$\frac{dP}{dt}=k(1-\frac{P}{N})P$$ es una ecuación tipo Bernoulli y resuélvela.
  • Verifica que $y_{1}(t)=t$ es una solución particular a la siguiente ecuación de Riccati y encuentra su solución general: $$\frac{dy}{dt}=1+t^{2}-2ty+y^{2}.$$
  • Las ecuaciones de Bernoulli y Riccati se pueden relacionar mediante un cambio de variable. Sea $y_{1}(t)$ una solución particular a la ecuación de Riccati. Haz el cambio de variable $y(t)=y_{1}(t)+v(t)$ y transforma la ecuación de Riccati en una ecuación de Bernoulli.

Más adelante

Hemos terminado el análisis de diversos tipos de ecuaciones no lineales de primer orden. Es tiempo de justificar toda la teoría que desarrollamos mediante el teorema de existencia y unicidad, como lo hicimos con las ecuaciones lineales de primer orden.

Existen diversas versiones de este teorema; nosotros demostraremos el teorema de existencia y unicidad de Picard para ecuaciones de primer orden. Demostrarlo no es tan sencillo como para el caso lineal, por lo que tendremos que desarrollar algunas herramientas extra que iremos presentando a lo largo de la siguiente entrada, junto con la demostración del teorema de existencia y unicidad de Picard.

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»