Geometría Analítica I: Rectas paralelas e intersección de rectas

Introducción

En entradas anteriores hemos definido las rectas en formas distintas y hemos realizado algunos ejercicios. El siguiente paso en nuestro curso es definir la noción de paralelismo y su relación con la intersección de rectas. Buscamos esto ya que no hay que olvidar que uno de nuestros objetivos más importantes es ver que desde nuestro modelo analítico podemos recuperar los postulados euclideanos.

Comenzaremos enunciando las nociones básicas de paralelismo. Luego hablaremos de intersección de rectas. De manera intuitiva, podemos imaginar que el punto de intersección de dos rectas es aquel que cumple con la ecuación de cada una al mismo tiempo ; esta idea será nuestra guía para desarrollar la teoría. Una vez que hayamos razonado este tema, volveremos para concluir la parte de paralelismo.

Paralelismo

Comencemos con la siguiente definición.

Definición. Dos rectas $l_1$ y $l_2$ $\in \mathbb{R}^2$ son paralelas si o bien son la misma, o bien no se intersectan, esto es que

$l_1 \cap l_2 = \emptyset,$

en donde $\emptyset$ denota al conjunto vacío. En símbolos, escribiremos $l_1 \parallel l_2$.

También es posible dar una definición de paralelismo para vectores.

Definición. Dados dos vectores $u,v \in \mathbb{R}^2$ distintos de $0$, decimos que $u$ es paralelo a $v$ si existe un número real $t$ tal que

$u=tv$

En símbolos, escribiremos $u \parallel v$.

Estas nociones parecen distintas, sin embargo hay un resultado crucial que las conecta: dos rectas serán paralelas si y sólo si al escribirlas en forma paramétrica tenemos que sus vectores dirección son paralelos. Aún no tenemos la teoría suficiente para demostrar este resultado por completo, pero ya podemos demostrar una parte.

Lema. Tomemos dos rectas con las siguientes expresiones en forma paramétrica:

$l=\{ p+rq : r \in \mathbb{R} \}$ y $m= \{ u+sv : r \in \mathbb{R} \}.$

Si $q$ y $v$ son paralelos, entonces las rectas son paralelas.

Demostración. Comencemos suponiendo que los vectores son paralelos por lo que debemos demostrar que $l\cap m =\emptyset$.

Si $q$ y $v$ son paralelos, entonces existe un $t \in \mathbb{R}$ tal que $q=tv$. Supongamos que la intersección de $l$ y $m$ es no vacía. Para ver que son paralelas debemos probar entonces que son la misma. Un punto en ambas nos daría la igualdad $$u+sv=p+rq$$ para algunos valores de $s$ y $r$.

Recordemos que por hipótesis $q=tv$, por lo que al sustituir este valor en la igualdad anterior tenemos $$u+sv=p+r(tv),$$ de donde $$u-p=rtv-sv.$$

Al despejar $p$ tenemos que

\begin{align*}
p&=u-rtv+sv \\
&=u-(rt-s)v
\end{align*}

Al sustituir $p$ y $q$ en la definición de la recta $l$ obtenemos que

\begin{align*}
l&=\{ ((u-v(rt-s))+r(tv) : r,s,t \in \mathbb{R} \} \\
&=\{ u-rtv+sv+rtv : r,s,t \in \mathbb{R} \} \\
&= \{ u+sv-rtv+rtv : r,s,t \in \mathbb{R} \} \\
&= \{ u+sv : s \in \mathbb{R} \}\\
&= m.
\end{align*}

De esta manera, obtenemos que $l=m$, como queríamos.

$\square$

Intersección de rectas

De manera intuitiva sabemos que dos rectas no paralelas se intersectan en un punto. En esta parte de la entrada, queremos encontrar ese punto.

Antes de estudiar el procedimiento general, realicemos un ejemplo para obtener una visión de lo que nos espera.

Ejemplo:

Tomemos dos rectas en su forma paramétrica dadas por

$l_1=\{ (2,-8)+r(7,-3) : r \in \mathbb{R} \}, \text{ } l_2={ (7,-4)+s(1,2) : s \in \mathbb{R} }$

Nuestro objetivo en este ejemplo es encontrar el punto $p$ en el cual $l_1$ y $l_2$ se intersectan, esto es el punto que cumpla ambas ecuaciones

\begin{align*}
(2,-8)+r(7,-3)&=p=(7,-4)+s(1,2) \\
\Rightarrow 2,-8)+r(7,-3)&=(7,-4)+s(1,2)
\end{align*}

Al juntar los terminos que contienen un parámetro de un lado del igual y aquellos que son puntos definidos del otro y desarrollar obtenemos

\begin{align*}
(2,-8)-(7,-4)&=s(1,2)-r(7,-3) \\
\Leftrightarrow (2-7,-8+4)&=(s-7r,2s+3r) \\
\Leftrightarrow (-5,-4)&=(s-7r,2s+3r)
\end{align*}

Dado que son vectores que queremos sean iguales, entonces deben ser iguales entrada a entrada; por lo que tenemos un sistema de ecuaciones

\begin{cases}
-5=s-7r \dots (a)\\
-4=2s+3r \dots (b)
\end{cases}

Afortunadamente, ya sabemos como resolver sistemas de ecuaciones. En este caso en especial, podemos multiplicar la ecuación $a$ por $-2$ para obtener $10=-2s+14r$ y sumar este resultado a la ecuación $b$:

\begin{align*}
10&=-2s+14r\\
-4&=2s+3r \\
\hline
6&=17r
\end{align*}

$\Rightarrow r=\frac{6}{17}$

Ya que obtuvimos el valor de $r$, podemos sustituirlo en alguna de las ecuaciones principales para obtener $s$ y obtenemos su valor

$s=\frac{-43}{17}$

Usando cualquiera de los dos valores, encontramos que el punto de intersección es

$(2,-8+\frac{6}{17}(7,-3)\approx (4.4705,-9.0588)\approx (7,-4)+\frac{-43}{17}(1,2)$

Procedimiento general

Usemos como base el ejemplo pasado para establecer un procedimiento general para enconrar el punto de intersección de dos rectas.

Comencemos con las rectas

$l_1={ (p_1,p_2)+r(q_1,q_2) : r \in \mathbb{R} }, \text{ } l_2={ (u_1,u_2)+s(v_1,v_2) : s \in \mathbb{R} }$

Con base en el ejemplo, el siguietne paso es establecer un punto digamos $w$ que cumpla ambas ecuaciones

\begin{align*}
(p_1,p_2)+r(q_1,q_2)&=w=(u_1,u_2)+s(v_1,v_2) \\
(p_1,p_2)+r(q_1,q_2)&=(u_1,u_2)+s(v_1,v_2)
\end{align*}

Colocamos de un lado del igual los elementos que se multiplican por un parámetro y lo demás del otro lado y desarrollamos

\begin{align*}
r(q_1,q_2)-s(v_1,v_2)&=(u_1,u_2)-(p_1,p_2) \\
(rq_1-sv_1,rq_2-sv_2)&=(u_1-p_1,u_2-p_2)
\end{align*}

Como tenemos la igualdad de dos vectores, deben ser iguales entrada a entrada, esto es

\begin{cases}
rq_1-sv_1= u_1-p_1 \dots (a)\\
rq_2-sv_2= u_2-p_2 \dots (b)
\end{cases}

En este punto, debemos solucionar el sistema de ecuaciones de manera general, para lo cual multiplicaremos $(a)$ por $q_2$ y $(b)$ opr $q_1$ y restaremos las expresiones resultantes

\begin{align*}
rq_1q_2-sv_1q_2&=u_1q_2-p_1q_2 \\
rq_2q_1-sv_2q_1&=u_2q_1-p_2q_1\\
\hline
sv_2q_1-sv_1q_2&=u_1q_2-p_1q_2-u_2q_1+p_2q_1
\end{align*}
A partir de esta última expresión podemos despejar el parámetro $s$ para obtener

$s=\frac{u_1q_2-p_1q_2-u_2q_1+p_2q_1}{v_2q_1-v_1q_2}$

Notemos que $s$ se puede indefinir si $v_2q_1-v_1q_2=0$, esto es que

$v_2q_1=v_1q_2$

pero la única manera de que esto suceda es si $l_1 \parallel l_2$, que no es el caso que estamos tratando. Por lo tanto, el sistema siempre tiene solución. Así, el punto de intersección $w$ está dado por

\begin{align*}
w&=(u_1,u_2)+s(v_1,v_2) \\
&=(u_1,u_2)+\frac{u_1q_2-p_1q_2-u_2q_1+p_2q_1}{v_2q_1-v_1q_2}(v_1,v_2)
\end{align*}

Es posible encontrar el punto $w$ al encontrar el valor del parámetro $r$ y es de manera análoga a lo que cabamos de realizar.

Recapitulemos ligeramente lo que acaba de pasar, pues acabamos de demostrar la parte faltante del lema enunciado en la sección de paralelismo. Por lo descrito arriba, resulta que si las rectas son paralelas, entonces no hay un punto de intersección, esto es que el sistema de ecuaciones no tiene solución, pero esto pasa solamente si los vectores son paralelos.

$\square$

Podemos enunciar esto último como el lema que es el “regreso” del lema de la sección anterior.

Lema. Si los vectores directores de dos rectas en su forma paramétrica no son paralelos, entonces las rectas se intersectan en un único punto.

El quinto postulado

Concluyamos esta entrada con la demostración del quinto postulado.

Teorema. Dada una recta $l \in \mathbb{R}^2$ y un punto $P$ fuera de ella, siempre existe una única recta $m$ que pasa por $P$ y es paralela a $l$.

Demostración. Escribamos a la recta $l$ en forma paramétrica:

$l=\{ U+rV : r \in \mathbb{R} \}.$

Proponemos a la recta

$m=\{ P+rV : r \in \mathbb{R} \}.$

como una recta que pasa por $P$ y es paralela a $l$. Por como $m$ está definida, esta recta cumple que pasa por $P$ (tomando $r=0$). Además, sabemos que $1\dot V=V$, por lo que (por definición de vectores paralelos) $V$ es paralelo a $V$ y esto implica que $m$ es paralela a $l$ (por el lema).

De esta manera, logramos construir una recta por $P$ y paralela a $l$.

Para demostrar la unicidad, supongamos que hay otra recta $m’$ paralela a $l$ y que pasa por $P$. Como $m’$ es paralela a $l$ y $l$ es paralela a $m$, tenemos que $m’$ es paralela a $m$ (ver Tarea Moral). Dos rectas son paralelas o bien si no se intersectan, o bien si son iguales. Como $m’$ y $m$ tienen ambas al punto $P$ debe sucede lo segundo, es decir, que sean iguales.

$\square$

Tarea moral

  • Demuestra que “ser paralela a” es una relación de equivalencia entre rectas. Demuestra que “ser paralelo a” es una relación de equivalencia entre vectores.
  • En el desarrollo general para encontrar la intersección de dos rectas, existe un caso en el que el sistema de ecuaciones no tiene solución, esto es cuando $v_2q_1-v_1q_2=0$. Justifica porqué este caso no es posible a partir de las hipótesis dadas.
  • Encuentra el parámetro $r$ en la sección antes mencionada, para encontrar a $w$ en términos de la otra recta.
  • Encuentra las intersecciones de cada pareja de las siguientes las rectas
    • $l_1=\{ (3,2)+t(2,0) : t \in \mathbb{R} \}$
    • $l_2=\{ (5,1)+s(-4,3) : s \in \mathbb{R} \}$
    • $l_3=\{ (-6,-1)+r(0,-7) : r \in \mathbb{R} \}$
  • Prueba que las rectas $l=\{(-1,5)+t(4,-2) : t \in \mathbb{R}\}$ y $m=\{ (0,2)+s(-20,10) : s \in \mathbb{R} \}$ son paralelas.

Más adelante…

En esta entrada tratamos la intersección de rectas en su forma paramétrica. Conforme avancemos en el curso, hablaremos de las rectas en otras formas a partir de las cuales también nos será posible encontrar su intersección. Hasta ahora hemos demostrado los postulados 1, 3 y 5. Necesitamos algunas definiciones y teoría adicional para poder demostrar los postulados 2 y 4.

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