Archivo del Autor: Elsa Fernanda Torres Feria

Geometría Analítica I: Rectas en forma paramétrica

Introducción

Anteriormente definimos las operaciones de suma y de producto escalar en \mathbb{R}^2. Después de eso, enunciamos varias de sus propiedades y demostramos algunas de ellas. Lo que haremos ahora es utilizar lo que hemos construido hasta ahora para dar una definición clave de nuestro modelo: la de recta.

Mediante varios interactivos veremos que las propiedades algebraicas que estamos pidiendo en efecto satisfacen lo que queremos de las rectas a partir de nuestra intuición geométrica. Además de esto, demostraremos una proposición que unifica los postulados 1 y 3 de Euclides, lo cual será señal de que vamos en buen camino para obtener dichos postulados a partir de nuestro enfoque algebraico. Cerraremos con algunos ejemplos de rectas en su forma paramétrica.

Rectas en forma paramétrica

Iniciemos formalmente con la definición de la recta.

Definición. Dados un punto P y un vector Q \neq 0, la recta que pasa por P con dirección Q es el conjunto

L=\{ P+rQ : r \in \mathbb{R} \}

En la definición anterior se piensan a P y Q fijos y a r como un parámetro variable. Con esto en mente, tiene sentido que esta expresión sea conocida como la forma paramétrica de la recta.

Como lo mencionamos al inicio, conocemos todo lo necesario para comprender esta forma paramétrica y es pertinente analizar un poco sus partes para poder realizar la representación gráfica.

El conjunto L está representado por la suma de un punto fijo P en el espacio y por un término de la forma rQ que, si recuerdas, representa un producto escalar y que sabemos cómo se ve en el espacio. Si r es fijo, tenemos un re-escalamiento del vector Q y en el caso en el que r<0 un cambio de dirección. Para la forma paramétrica de la recta, resulta que r no es fijo, y aunque esta es la primera vez que vemos algo así, es posible pensarlo como la unión de los casos cuando r es fijo, una unión de tantos elementos como \mathbb{R}. Así rQ representa una recta formada por todos los re-escalamientos posibles de el vector Q: la recta que pasa por el origen y por Q.

¿Cómo se verá entonces el total P+rQ? Si de nuevo pensamos en un r específico, tenemos que rQ es un re-escalamiento. Por el método del paralelogramo sabemos que P+rQ es avanzar desde el origen hasta el punto P y tomando ahora este «como origen», avanzar hasta rQ; de cierta manera estamos trasladando rQ para que empiece en P. Volviendo al caso general, P+rQ se ve como la recta rQ, pero trasladada paralelamente para que pase por el punto P.

Ejemplo. Sean P=(-3,5) y Q=(2,7). Tenemos que la recta L desde el punto P y en dirección Q es el conjunto

    \begin{align*}L&=\{ (-3,5)+r(2,7) : r \in \mathbb{R} \}\\&=\{ (-3+2r,5+7r) : r \in \mathbb{R} \}\end{align*}

En el siguiente interactivo el punto P se encuentra de color rojo, el vector Q y la recta rQ de color verde. La recta paralela a rQ que pasa por P se encuentra de color azul y por último, de color morado se encuentra P+rQ para un r fijo cuyo valor puedes controlar con el deslizador a tu izquierda. El punto P+rQ está diseñado para que al cambiar el valor de r (con el deslizador), puedas ver su rastro, es decir que deje marca por donde pasa. Nota cómo al mover el deslizador, todos los puntos P+rQ se encuentran sobre la recta paralela a la recta definida por la expresión rQ que pasa por el punto P.

Así, podemos concluir que P+rQ es precisamente la recta rQ trasladada paralelamente para que pase por el punto P.

\square

Para cerrar un poco la definición de la forma paramétrica, planteemos algunos casos especiales del parámetro r:

  • Cuando r=0 tenemos al punto P.
  • Cuando r=1, el punto en la recta corresponde a P+Q
  • ¿Qué pasa entonces cuando 0<r<1 ? Resulta que en tal caso nos encontramos en el segmento comprendido entre P y P+Q pues rQ será una fracción de Q y al sumárselo a P obtenemos un vector que parte de P (0<r) y llega hasta P+rQ, que «queda antes» de P+Q, pues r<1.

Función asociada a la recta

Hagamos un pequeño paréntesis para hablar de la relación que tiene esta expresión de la recta con los números reales.

Como acabamos de ver, la forma paramétrica de la recta está definida con base en un parámetro r \in \mathbb{R}. Al decir «parámetro» queremos expresar que es una variable que nos ayuda a definir nuestro objeto, en este caso una recta. Como r corre en todos los reales, puede fungir como la variable de una función asociada a la recta. \mathbb{R} es nuestro dominio, y como la recta es una suma de vectores, el co-dominio debe ser \mathbb{R}^2 (y de hecho, esto funciona en general al tomar puntos en \mathbb{R}^n). Así, definimos \phi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2 como

\phi (r)=P+rQ

Resulta que esta función define una biyección entre \mathbb{R} y la recta L. En otras palabras, a cada valor de r le corresponde uno y sólo un valor en L (es función suprayectiva) y cada valor de L se obtiene de un único r (es inyectiva).

Ver que es suprayectiva es muy simple, pues la recta L está definida precisamente mediante el parámetro r y no hay manera de que en L haya puntos que tengan otra expresión. Veamos ahora que es inyectiva. Para esto supongamos que existen r,s \in \mathbb{R} tales que \phi(r)=\phi(s). Para probar la inyectividad debemos concluir que r=s.

Si \phi(r)=\phi(s), por definición de la función se tiene

P+rQ=P+sQ

Sumando -(P+sQ) de ambos lados obtenemos, P+rQ-(P+sQ)=0 y desarrollando el lado izquierdo con las propiedades de suma y producto escalar obtenemos que

    \begin{align*}0&=P+rQ-(P+sQ)\\&=P+rQ-P-sQ\\&=P-P+rQ-sQ\\&=0+rQ-sQ\\&=rQ-sQ\\&=Q(r-s).\end{align*}

Es importante que en este punto te cuestiones qué propiedades de la suma y producto escalar se están usando en cada una de las igualdades anteriores.

En resumen, obtenemos que Q(r-s)=0. Pero en la definición de la recta se establece que Q \neq 0. De este modo, concluimos que r-s=0, que en otras palabras es la igualdad r=s que buscábamos. Concluimos que existe una biyección entre cualquier recta y los reales.

\square

Postulados 1 y 3 de Euclides

Si recuerdas, en entradas anteriores se hablo que con esta «nueva» construcción de la geometría (la forma analítica), los postulados de Euclides podían ser demostrados. Ha llegado el momento en el que demostraremos una proposición que fusiona a los postulados 1 y 3.

Proposición. Para cualesquiera dos puntos, se puede trazar el segmento de recta que los une y este segmento se puede prolongar indefinidamente.

Aunque en este momento la demostración puede parecer trivial, no lo es. Si notas, la recta que definimos con P y Q sólo tiene la garantía de pasar por P, pero podemos solucionar esto eficientemente.

Demostración. Sean P y Q puntos en el plano. Consideremos la recta que pasa por P y con dirección Q-P

L=\{ P+r(Q-P) : r \in \mathbb{R} \}

Esta recta pasa por P y Q pues si tomamos r=0, obtenemos P y si r=1, entonces se obtiene el punto P+(Q-P)=Q.

Ahora, por cómo definimos L, esta es la recta que pasa por P y Q y que se extiende indefinidamente pues r recorre todos los reales. La pregunta que nos falta responder es ¿cómo obtenemos sólo los puntos en el segmento que une a P y Q? Así como en la discusión que tuvimos arriba, cuando el parámetro r está entre 0 y 1 obtendremos los puntos entre P y (Q-P)+P=Q. Con esto en mente, el segmento de recta que une a los puntos P y Q es el conjunto

l:=\{ P+r(Q-P) : 0 \leq r \leq 1 \}

\square

Ejercicios

Para cerrar esta entrada plantearemos algunos ejercicios de rectas en su forma paramétrica e incluiremos sus interactivos.

Problema. Dibuja las siguientes rectas

  1. L_1=\{ (2,3)+ t(1,1) : t \in \mathbb{R} \}

Solución.

En este ejercicio el punto es P=(2,3) y el vector director Q=(1,1). Para construir la recta que definen, «dibujamos» primero la recta t(1,1) (en azul) y después trazamos su paralela que pase por (2,3) (en verde). Si hicimos bien el procedimiento, cuando muevas el deslizador de t, el rastro de (2,3)+t(1,1) debe estar sobre la recta verde. Así, la recta (2,3)+t(1,1) t \in \mathbb{R} es la recta verde.

\square

  1. L_2= \{ (r-1,-2r) : r \in \mathbb{R} \}

Solución.

En este ejercicio tenemos a P y a rQ ya sumados, por lo que tenemos que separarlos (con ayuda de la definición de suma vectorial) para saber cuáles son individualmente. El vector rQ es aquel cuyas entradas tienen a r, P es lo que queda. Así,

rQ=(r,-2r) y P=(-1,0)

Por lo que

Q=(1,-2)

Siguiendo el mismo procedimiento del ejercicio anterior, localizamos la recta rQ=r(1,-2) (verde) y trazamos su paralela que pase por (-1,0) (rojo). Si el procedimiento es correcto, entonces cuando muevas el deslizador de r El rastro de (-10)+r(1,-2) se debe posicionar sobre la recta roja. Así la recta roja es (r-1,-2r) : r \in \mathbb{R}.

\square

Tarea moral

  • Justifica cada paso de cada procedimiento con ayuda de los axiomas de los reales y las propiedades que se probaron en la entrada anterior.
  • Escribe la ecuación que representa a una partícula que pasa por el orígen en un t=0 («su punto de partida») y tiene dirección (-5,-3). La ecuación tendrá la forma paramétrica de una recta.
  • Escribe el punto anterior ahora suponiendo que la partícula pasa por el punto (2,3) en t=0.
  • Dibuja las siguientes dos rectas (si te es posible con ayuda de GeoGebra):
    • L_a=\{ (0,-2)+(-r,2r) : r \in \mathbb{R} \}
    • L_b=\{ (2s-1,s) : s \in \mathbb{R} \}
  • Escribe la representación paramétrica de cada una de las rectas que se pueden formar al tomar dos de los puntos (5,-3), (-7,2) y (13,9). Obtendrás tres rectas, cada una de ellas en forma paramétrica.

Más adelante…

Con lo que aquí se desarrolló, en la siguiente entrada será posible construir las rectas en su forma baricéntrica y seremos capaces de darle a esta una interpretación física. Más adelante trataremos la intersección de rectas y definiremos la forma normal de una recta.

Geometría Analítica I: Propiedades de suma y producto escalar

Introducción

En la actual entrada se estudian propiedades de las dos operaciones (suma vectorial y producto escalar) que se definieron anteriormente. Utilizaremos los axiomas de \mathbb{R} para probar algunas de estas propiedades y las ejemplificaremos.

Propiedades de suma y producto escalar

Aunque nosotros nos enfocaremos por el momento en \mathbb{R}^2, el siguiente teorema se puede demostrar para \mathbb{R}^n, donde este último es el conjunto de todos los vectores

    \[x=(x_1,x_2,\ldots, x_n),\]

con x_i \in \mathbb{R}, i=1,2,\ldots,n. Conforme vayas desarrollando tu intuición matemática, te darás cuenta que realizar la generalización no es tan compleja. Recuerda que la idea es que podemos utilizar los axiomas de \mathbb{R} para demostrar propiedades de las operaciones en \mathbb{R}^2.

Teorema. Para todos los vectores x, y, z \in \mathbb{R}^2 y para todos los números s, t \in \mathbb{R} se cumple que:

  1. (x+y)+z=x+(y+z)
  2. x+y=y+x
  3. x+0=x
  4. x+(-x)=0
  5. s(tx)=(st)x
  6. 1x=x
  7. t(x+y)=tx+ty
  8. (s+t)x=sx+tx

Por contexto se entiende que el 0 de los puntos 3 y 4 corresponde al vector (0,0), aunque en notación no haya distinción. Además en 4, estamos usando la definición -x:=(-1)x. Aunque todo el teorema está enunciado en términos algebraicos, más adelante, en esta misma entrada, habrá algunos interactivos para que obtengas la intuición geométrica de estas propiedades.

Demostración. Para no caer en repetición del uso de ciertas herramientas, a continuación demostraremos sólo algunos de los ocho puntos. Puedes demostrar los restantes como tarea moral y pensar también en la generalización para \mathbb{R}^n. Comencemos.

Sean x=(x_1,x_2), y=(y_1,y_2), z=(z_1,z_2) vectores arbitrarios en \mathbb{R}^2.

1. Debemos demostrar la igualdad (x+y)+z=x+(y+z) en vectores.

    \begin{align*}(x+y)+z&=((x_1,x_2)+(y_1,y_2))+(z_1,z_2)\\&=(x_1+y_1,x_2+y_2)+(z_1,z_2)\\&=((x_1+y_1)+z_1, (x_2+y_2)+z_2)\\&=(x_1+(y_1+z_1),x_2+(y_2+z_2))\\&=(x_1,x_2)+((y_1,y_2)+(z_1,z_2)\\&=(x+y)+z=x+(y+z).\end{align*}

Para cada una de las igualdades anteriores existe una justificación. El primer renglón se da meramente por la definición de cada vector. La siguientes dos igualdades resultan de la definición de suma de vectores que, como la definimos, debe ser realizada coordenada a coordenada. Ahora, por asociatividad de la suma de los números reales, el renglón 4 es válido. El penúltimo parece un as sacado de la manga pero en realidad es de nuevo pensar en la definición de suma de vectores: tenemos una igualdad entre la suma de dos vectores y la suma de sus entradas formando el vector suma. Por último sólo sustituimos las entradas por el vector que representan.

5. Debemos demostrar la igualdad s(tx)=(st)x con s,t números reales y x vector.

Por definición del vector x tenemos:

s(tx)=s(t(x_1,x_2))

Por definición del producto escalar se cumplen los siguientes dos pasos:

=s(tx_1,tx_2)
=(s(tx_1),s(tx_2))

Por la asociatividad del producto en \mathbb{R} pasa que:

=((st)x_1,(st)x_2)

De nuevo parece que el siguiente paso es otro as, pero piensa en la definición del producto escalar leyéndolo de derecha a izquierda:

=(st)(x_1,x_2)
s(tx)=(st)x.

7. Debemos demostrar la igualdad t(x+y)=tx+ty con t número real y x,y vectores.

(1)   \begin{align*}t(x+y)&=t((x_1,x_2)+(y_1,y_2))\\&=t(x_1+y_1,x_2+y_2)\\&=(t(x_1+y_1),t(x_2+y_2))\\&=(tx_1+ty_1,tx_2+ty_2)\\&=(tx_1,tx_2)+(ty_1,ty_2)\\&=t(x_1,x_2)+t(y_1,y_2)\\&=tx+ty.\end{align**}

Resumamos los pasos. El primer paso es por definición de ambos vectores, el siguiente por definición de suma vectorial y el tercero por definición de multiplicación escalar. En este punto, en cada entrada del vector tenemos únicamente números reales por lo que podemos usar distributividad en \mathbb{R}. Para finalizar recordemos la definición de la suma vectorial y la multiplicación escalar leyendo ambas de derecha a izquierda.

8. Debemos demostrar la igualdad (s+t)x=sx+tx con s y t reales y x vector.

Por definición de x tenemos:

(s+t)x=(s+t)(x_1,x_2)

Por definición del produco escalar:

=((s+t)x_1,(s+t)x_2)

Por distributividad de los números reales:

=(sx_1+tx_1,sx_2+tx_2)

Por definición de la suma vectorial:

=(sx_1,sx_2)+(tx_1,tx_2)

Por definición del producto escalar:

(s+t)x=s(x_1,x_2)+t(x_1,x_2)

\square

Demostramos algunas de las propiedades. Para el resto de ellas hay que seguir las mismas ideas. Si te das cuenta, lo único que utilizamos en esta demostración fueron los axiomas de los números reales, la definición de las operaciones usadas y algo de intuición para saber qué paso sigue.

Intuición geométrica de las propiedades

Si recuerdas, Descartes asoció el álgebra a la geometría y al menos en este curso, el álgebra que desarrollemos tiene un significado geométrico. A continuación describiremos algunos de los puntos que demostramos e ilustraremos otros con ayuda de GeoGebra.

1. (x+y)+z=x+(y+z). En el siguiente interactivo están representados tres vectores X, Y, Z. En negro se encuentra el vector X+Y+Z. Se utiliza el método del paralelogramo de dos formas distintas: Primero, sumando X+Y y al resultado sumandole Z. La segunda suma primero a Y+Z y al resultado se suma X. Es notorio que por ambos caminos se llega al mismo punto correspondiente a X+Y+Z.

5. s(tx)=(st)x. En el siguiente interactivo puedes utilizar los deslizadores para cambiar los valores de s,t \in \mathbb{R}. Parece que sólo un vector con dos etiquetas de distinto color se mueve, pero son dos vectores (uno por cada etiqueta) ambos dependientes de s y t como lo indica cada lado de la igualdad. Que sólo puedas ver claramente uno, indica que hicimos lo correcto pues son dos vectores iguales.

Para los siguientes dos casos sólo describiremos lo que pasa y lo óptimo sería que lograras usar GeoGebra para hacer la representación gráfica de ellos.

7. t(x+y)=tx+ty. Nos indica que el resultado de sumar dos vectores primero y después multiplicarlos por un escalar es el mismo que primero multiplicar cada vector por él y luego sumar los resultados.

8. (s+t)x=sx+tx. Nos indica que el resultado de sumar los dos escalares primero y después multiplicar el resultado por el vector, es lo mismo que multiplicar el vector por cada escalar y sumar los resultados.

Existe un término para denotar a un conjunto con dos operaciones (suma vectorial y producto escalar), que cumple con las ocho propiedades del teorema que acabamos de demostrar: Espacio vectorial. Así, este teorema se resume al decir que \mathbb{R}^2 es un espacio vectorial.

Ecuaciones con vectores

Ahora veamos cómo podemos usar estas propiedades en la resolución de problemas. Nos serán de mucha ayuda cuando tengamos ecuaciones constituidas por vectores, ¿es posible resolverlas igual que cuando se tienen variables numéricas? Resulta que hay cosas que sí podemos realizar de la misma manera, como «pasar del otro lado» un vector sumando o restando y dividir por escalares, veámoslo en el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Sean x, u, v \in \mathbb{R}^2, donde u=(5,3) y v=(-3,1). ¿Es posible encontrar al vector x que cumpla con

-3u+2x=v-x?

Nuestra variable es el vector x, el paso más lógico es despejarlo. Sumando 3u+x de ambos lados tenemos

3x=v+3u.

Podemos ahora dividir ambos lados por el escalar 3 y obtener

x=\frac{v+3u}{3}

Esto tiene sentido pues si bien tenemos un vector entre un escalar, podemos re-pensar esto como el vector multiplicado por 1/3. En este punto podemos sustituir los valores correspondientes para v y u para así obtener al x que buscamos

x=\frac{(-3,1)+3(5,3)}{3}
=\frac{(12,10)}{3}
x=(4,10/3)

\square

Aunque haya cosas que podemos hacer de manera equivalente a los reales en casos como el mostrado en el ejemplo, hay otras que no son viables como dividir entre un vector. Aún así, podemos obtener herramientas que nos auxilien. Para cerrar esta entrada enunciaremos y demostraremos dos lemas que servirán para trabajar con operaciones vectoriales.

Lema 1. Si x \in \mathbb{R}^2 y t \in \mathbb{R} son tales que tx=0 (por contexto 0=(0.0)), entonces t=0 o x=0.

Demostración.

  • Supongamos que t\neq 0. P. D. x=(0,0).

Como t \neq 0, entonces existe su inverso multiplicativo t^{-1} tal que t^{-1}t=1. Multiplicando t^{-1} en ambos lados de la ecuación tx=0 tenemos:

t^{-1}(tx)=t^{-1}0
(t^{-1}t)x=t^{-1}0=0
x=0

En el primer renglón sólo multiplicamos por t^{-1}; el segundo es válido por el punto 5 del teorema anterior, y lo último se da por lo enunciado arriba: t^{-1}t=1.

Esto ya prueba lo que queremos, pero también podríamos hacer la prueba «al revés», pensando en qué sucede cuando x\neq 0.

  • Supongamos ahora que x \neq 0 P.D. t=0.

Sea x=(x_1,x_2), entonces

tx=t(x_1,x_2)
=(tx_1,tx_2)=0=(0,0)

Esto se encuentra igualado al vector 0 por lo cual tienen que ser iguales entrada a entrada

tx_1=0 y tx_2=0

ahora, existen 3 casos que cumplen x \neq 0. Uno, que x_1 \neq 0 pero x_2=0. De manera análoga, el segundo es que x_1=0 pero x_2 \neq 0. Por último que tanto x_1 como x_2 sean ambos distintos de cero.

Sin perdida de generalidad, supongamos el caso 1. Como x_1 \neq 0, entonces

tx_1=0 \rightarrow t=0,

pues esto se satisface para los números reales. La demostración del segundo caso es análoga, sólo se debe tomar x_2. La demostración del tercer caso se puede hacer igual que el primero, o el segundo.

\square

Lema 2. Si x \in \mathbb{R}^2 es distinto de cero y t, s \in \mathbb{R} son tales que tx=sx, entonces t=s.

Demostración.

Sea x=(x_1,x_2) un vector arbitrario, podemos escribir a tx=sx como

t(x_1,x_2)=s(x_1,x_2)
\Rightarrow (tx_1,tx_2)=(sx_1,sx_2)

Para que se cumpla la igualdad tienen que ser iguales entrada a entrada

\Rightarrow tx_1=sx_1 y tx_2=sx_2.

Como x no es el vector cero, alguno de x_1 ó x_2 es distinto de cero. En este punto ya estamos operando únicamente con números reales, por lo que podemos «cancelar » x_1 ó x_2 (el que no sea cero). De aquí, concluimos que s=t, como queremos.

\square

Tarea moral

  • Realiza la demostración de los puntos faltantes en el teorema enunciado en esta entrada.
  • Realiza la representación gráfica de estos y también de los puntos que sólo fueron explicados. Puedes usar GeoGebra si así lo deseas.
  • Extiende la demostración del Lema 3 para cuando x \in \mathbb{R}^3. ¿Qué sucede en \mathbb{R}^n.
  • Considera los vectores u=(-9,17) y v=(51,-3) en \mathbb{R}^2. Encuentra el vector x \in \mathbb{R}^2 tal que 3x-5u=7v-x.
  • Si es posible, encuentra a,b \in \mathbb{R} tales que au+bv=w, con u y v los vectores del ejemplo visto en esta entrada y w=(37,-5). Si no es posible, argumenta porqué.

Más adelante…

Las propiedades aquí vistas nos servirán como herramienta a lo largo del curso. Como ya las demostramos, tendremos la libertas de usarlas más adelante. Esto será de suma utilidad para cuando definamos objetos geométricos como rectas, planos, circunferencias, y queramos hablar de sus propiedades.

Geometría Analítica I: El espacio vectorial R²

Introducción

En la entrada anterior llegamos a una equivalencia entre un punto en el plano euclidiano y parejas de números (x,y), donde x, y \in \mathbb{R}. Podemos imaginarnos entonces el conjunto de todas las parejas ordenadas de números reales como \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2, donde \times hace referencia al producto cartesiano (en general para conjuntos A y B, A \times B := \{ (a,b) : a \in A, b \in B \}).

Con esto en mente, es posible imaginaros a los postulados de Euclides ya no como afirmaciones incuestionables, sino como consecuencias de una geometría construida a partir de las parejas de números reales. Ahora nuestra base será la teoría de conjuntos, los números reales y las parejas ordenadas. Usaremos los axiomas y propiedades que tienen para construir nuestros objetos.

Para entender mejor cómo se trabajará en el espacio formado por todas las parejas (x,y) de reales, comencemos esta entrada hablando de los números reales.

Los números reales

Como advertencia, esta sección tiene muchos símbolos. Es normal. Muy muy a grandes rasgos, lo que queremos recordar aquí es que los reales se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (excepto divisiones entre cero). Y que todas estas operaciones tienen propiedades bonitas.

A partir de este punto, pensaremos en los reales como algo que sabemos con seguridad puede ser construido, y tomaremos como ciertos todos los axiomas que éstos cumplen. Los axiomas se pueden resumir en la siguiente frase, que desglosaremos una vez enunciada:

«\mathbb{R} es un campo ordenado y completo»

Que \mathbb{R} sea un campo hace referencia a que como conjunto, tiene las operaciones de suma (+) y producto (\dot) definidas tales que:

  • \mathbb{R} con la suma, es un grupo conmutativo
    • La suma es asociativa, es decir: \forall a,b,c \in \mathbb{R}, se tiene que (a+b)+c=a+(b+c) (\forall se lee para todo).
    • Existe 0 \in \mathbb{R} tal que \forall a \in \mathbb{R}, a+0=a=0+a
    • Existe b \in \mathbb{R} tal que a+b=0=b+a. (b=-a)
    • Es conmutativa, es decir, \forall a,b \in \mathbb{R}, se tiene que a+b=b+a.
  • \mathbb{R} \setminus \{0\} (los reales sin el elemento cero) con el producto, es un grupo conmutativo; de manera análoga a la suma tenemos:
    • El producto es asociativo: \forall a,b,c \in \mathbb{R}, se tiene que (ab)c=a(bc) (nota que estamos omitiendo el símbolo de multiplicación).
    • Existe 1 \in \mathbb{R} tal que \forall a \in \mathbb{R}, a\cdot1=a=1\cdot a
    • Existe b \in \mathbb{R} tal que ab=1=ba. (b=\frac{1}{a})
    • Es conmutativo, es decir, \forall a,b \in \mathbb{R}, se tiene que ab=ba.
  • La suma y el producto se distribuyen: \forall a,b,c \in \mathbb{R}, se tiene que a(b+c)=ab+ac

Que sea ordenado nos indica que tenemos una relación que es un orden total y es compatible con la suma y el producto. \forall a,b \in \mathbb{R}:

  • Se cumple exactamente una de las siguientes relaciones: a<b, b<a, a=b.
  • Si a \leq b y b \leq c, entonces a \leq c.
  • Si a \leq b, entonces a+c \leq b+c
  • Si a,b \geq 0 , entonces ab \geq 0

Por último, que sea completo es una noción formal en la cual no nos enfocaremos mucho, pero que a grandes rasgos quiere decir que en los números reales «no hay hoyos», lo cual es muy importante para cuando se quiere usar este sistema numérico para hacer cálculo diferencial e integral.

Por lo que vimos en la entrada anterior, podemos representar cualquier punto en el espacio euclidiano con una pareja de números reales. Ya que hemos dado un pequeño repaso formal de la estructura de \mathbb{R} (todo esto lo cumple cada entrada de un punto (a,b)), demos el siguiente paso y exploremos el espacio vectorial \mathbb{R}^2.

Espacio vectorial \mathbb{R}^2

Comencemos definiendo formalmente un concepto que exploramos en la entrada anterior: el vector.

Definición. Un vector v con dos entradas, es una pareja ordenada de números reales v=(x,y).

Ejemplos. Algunos vectores en \mathbb{R}^2 son:

  • (1,4)
  • (-3,2)
  • (\pi,1)
  • (2.3,-e)

Utiliza el siguiente interactivo de GeoGebra: mueve el punto C y explora cómo el vector cambia con esta acción.

Definición. El conjunto de todos los vectores con dos elementos (ambos reales) es \mathbb{R}^2. En símbolos tenemos que:

\mathbb{R}^2=\{(x,y): x,y \in \mathbb{R} \}

Si realizaste la tarea moral anterior, te habrás dado cuenta que podemos encontrar ciertas regiones geométricas al imponer condiciones sobre las entradas de un vector. En la tarea se hace referencia a áreas muy determinadas conocidas como cuadrantes, pero no son las únicas regiones existentes. Hagamos un ejercicio de esto.

Problema. Ubica dentro del plano de dos dimensiones las siguientes regiones geométricas definidas al imponer ciertas restricciones en las entradas de un vector:

  1. \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \leq 0, y \geq 1 \}
  2. \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \geq \pi , y \leq \pi \}
  3. \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \geq y \}

Solución. Para encontrar estas áreas basta con ubicar la región en la que se vale cada condición por separado. La intersección de las regiones será la región que buscamos. Esto se vale para los dos primeros incisos.

Utiliza el siguiente interactivo de GeoGebra en el que ya están las condiciones para visualizar la primera región geométrica para localizar la región del segundo inciso.

¿Qué pasa con el inciso 3? Puede parecer más complicado porque ahora las coordenadas están conectadas en una sola restricción. Antes de introducir la condición en GeoGebra, imagina cuál es la región en la que la condición se cumple.

Ahora, utilicemos el siguiente interactivo para usar lo que ya sabemos y determinar intuitivamente cuál es el área que determina la condición x \geq y. Pensemos en el caso específico x = 1, y puede ser a lo más 1 (y \leq 1); al restringir nuestra x podemos obtener dos condiciones a partir de las cuales ya sabemos cómo encontrar la región en las que se cumplen. Si ves el interactivo, notarás que la intersección de las regiones es únicamente la recta definida por x=1 pero no toda, sino que sólo a partir de cuando y=1 hacia abajo. ¿qué pasa si mueves los deslizadores para cambiar los valores de x y y ? Se obtienen segmentos de recta correspondientes a un valor de x fijo que comienzan cuando y es menor o igual a ese valor.

Resulta que estos segmentos de recta se obtienen para cualquier valor de x. ¿qué pasa ahora cuando unes todas estas líneas? En este punto es importante recordar que en \mathbb{R} hay un real entre cada dos reales. Entonces, se puede construir el segmento de recta del que hemos hablado. Por lo que la únión de todas estas rectas define un área, ¿ya imaginas cuál es? Verifícalo al escribir la condición y \leq x en el interactivo anterior.

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La suma en \mathbb{R}^2

Regresando a la teoría, el siguiente paso lógico después de definir ciertos objetos (en este caso vectores), es averiguar cómo operan. Definamos entonces la suma y el producto escalar de vectores haciendo uso del conocimiento que ya tenemos acerca de las operaciones en los reales.

Definición. Sean v_1, v_2 \in \mathbb{R}^2 dados por v_1=(x_1,y_1) y v_1=(y_1,y_2). Su suma está dada por el vector

v_1+v_2 := (x_1+x_2,y_1+y_2)

Esto es, que la suma de vectoes se hace entrada a entrada y esta bien definida pues al final lo que estamos sumando son números reales.

Ejemplos.

  • (-3,4) + (2,2)=(-3+2,4+2)=(-1,6)
  • (7,4) + (2,1)=(7+2,4+1)=(9,5)
  • (-3.-7) + (1,2)=(-3+1,-7+2)=(-2,-5)

En el siguiente interactivo podrás ver el primer ejemplo de manera gráfica en el plano, donde los vectores de colores son los que se suman y el vector negro es el resultante.

Además de poder obtener el vector suma de manera algebraica hay otra manera más de hacerlo: En el mismo interactivo hay una copia de cada vector de color, escoge uno de los dos vectores de la suma y transpórtalo por completo y paralelo a sí mismo para que su punto de inicio no sea el origen, si no el punto donde termina el otro vector. Por ejemplo, deja el vector azul en su lugar y transporta al verde para que su punto de partida sea la flecha del vector azul. Si lo hiciste correctamente, notarás que ahora ese vector transportado termina en donde el vector resultante de la suma (negro) termina. Resulta que si quieres sumar dos vectores, puedes avanzar desde el origen hasta las coordenadas de uno de ellos y ahora »tomando» como origen ese punto al que llegaste, avanzar las coordenadas del otro vector. Al final llegarás al punto del vector resultante de la suma. Este método es conocido como el método del paralelogramo.

El producto escalar en \mathbb{R}^2

Otra operación importante en \mathbb{R}^2 es el producto escalar, que intuitivamente combina a un real y a un vector y «reescala» al vector por el factor dado por el número real.

Definición. Para r un número real y v_1 \in \mathbb{R}^2 dado por v_1=(x,y), el producto escalar rv está dado por:

rv:=(rx,ry)

Ejemplos.

  • 4(7,3.5)=(28,14)
  • 2(5,3)=(10,6)
  • 2.3(6,3)=(13.8,6.9)

Utiliza el siguiente interactivo moviendo el deslizador del valor a que multiplica al vector (5,3) para interiorizar lo que implica multiplicar un vector por un escalar. Si lo notas, lo único que hace es reescalarlo, y si el escalar es negativo, entonces le cambia el sentido, pero no la dirección.

Una última cosa que es muy importante mencionar es que hasta ahora no hemos dicho cómo multiplicar dos (o más vectores). Sólo tenemos un producto que toma un escalar (un real) y lo multiplica con un vector, cuyo resultado acaba siendo un vector.

Tarea moral

  • Sean v=(8,9), w=(3,-2), u=(-5-4). Calcula y dibuja las siguientes operaciones de vectores:
    • 5v+3u
    • u-3w
    • 2.5v+9w-u
  • Demuestra en \mathbb{R} que si -1 es el inverso aditivo de 1, entonces -a es el inverso aditivo de a.
  • Por los axiomas, sabemos que la conmutatividad se vale para la suma de reales, es decir, que si a y b son reales, entonces a+b=b+a. Pero en esta entrada definimos una nueva suma: la de vectores. De entrada, no sabemos qué propiedades cumple. A partir de las definiciones que dimos, y de los axiomas de los reales, demuestra que también se tiene u+v=v+u para u y v vectores en \mathbb{R}^2.
  • Determina, si es posible, las regiones siguientes geométricas. Si dicha región es vacía, argumenta por qué.
    • \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \leq y, y \geq x \}
    • \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \leq y, y > x \}
    • \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \leq 3, y > \pi \}
  • En el interactivo de producto escalar siempre sucede que la línea que pasa por el extremo del vector verde y el extremo del vector rojo siempre pasa por el origen. ¿Por qué sucede esto?

Más adelante…

En esta entrada dimos un breve repaso acerca de los números reales que nos sirvió para entender el espacio \mathbb{R}^2 y las operaciones dentro de este. El desarrollo aquí hecho servirá como herramienta para construir la representación algebraica de una recta.

Geometría Analítica I: Las ideas de Euclides y Descartes

Introducción

En la primer parte del curso desarrollaremos los formalismos de conceptos geométricos de los cuales ya tenemos alguna noción como puntos, rectas, el espacio vectorial \mathbb{R}^2, ángulos, distancias, entre otras. Es probable que ya tengas muchas de estas nociones previas, y que hayas trabajado con ellas incluso desde el punto de vista analítico. Sin embargo, es importante ir siguiendo las ideas poco a poco pues, además de aprender a hacer las operaciones necesarias, también hay que desarrollar la intuición matemática y geométrica detrás de las cuentas. Así mismo, será importante darse cuenta el orden en el que vamos construyendo los objetos, pues en muchas ocasiones no sólo calcularemos sino que demostraremos y para ello es fundamental basarse únicamente en cosas que ya se hayan probado antes.

En esta entrada en particular, hablaremos de dos formas en las que se ha formalizado a la geometría: mediante una construcción sintética propuesta por los griegos, y mediante una construcción analítica desarrollada por Descartes. La presentación que hacemos de estos temas es más moderna que como fueron planteados originalmente.

Geometría griega

Antes de que la geometría fuera formalizada, en sus inicios ere mucho más una herramienta. Estaba conformada por reglas comúnmente usadas para cosas de la vida cotidiana como medir terrenos, construir casas y ciudades, y navegar.

La formalización de este conocimiento se dio por primera vez en Elementos, un texto escrito en el siglo III a.C. por Euclides de Alejandría; durante este proceso, Euclides se percató de que todo razonamiento riguroso debe tener bases previamente establecidas que bien pueden haberse demostrado con anterioridad o que son válidas sin necesidad de demostración. Esta última opción hace referencia a principios básicos que están dados y son incontrovertibles, de tal manera que se puede construir sobre ellos el resto de la teoría.

Para formalizar una teoría, necesitamos objetos y principios básicos. En el caso de la geometría euclideana, los objetos son las nociones intuitivas que tenemos: puntos, rectas, planos, ángulos, etc. Los principios básicos, que se asumen como ciertos desde el inicio se les conoce como los cinco postulados de Euclides:

  1. Por cualesquiera dos puntos, se puede trazar el segmento de recta que los une.
  2. Dado un punto y una distancia, se puede trazar el círculo con centro en el punto y cuyo radio es la distancia.
  3. Un segmento de recta se puede extender en ambas direcciones indefinidamente.
  4. Todos los ángulos rectos son iguales.
  5. Dadas dos rectas y una tercera que las corta, si los ángulos internos de algún lado suman menos de dos ángulos rectos (180°), entonces las dos rectas se cortan y lo hacen de ese lado.

Este último postulado resulta tener dos versiones que son equivalentes y que enunciamos a continuación:

5.a. Dada una línea recta y un punto fuera de ella, existe una única recta que pasa por el punto y que es paralela a la línea.

5.b. Los ángulos interiores de un triángulo suman dos ángulos rectos.

El quinto postulado resultó ser muy controvertido y en el transcurso de la historia muchos geómetras intentaron mostrar que se desprendía de las definiciones y de los primeros cuatro. Pero esto resultó no ser cierto. Se descubrió que al tomar distintas negaciones del quinto postulado se podían obtener distintas geometrías, tan válidas y tan ricas como la geometría euclideana misma. Esto no lo trataremos en este curso, pero si te interesa conocer más, puedes investigar acerca de la geometría proyectiva o hiperbólica.

Del plano euclideano al plano cartesiano y viceversa

Continuando con la formalización de la geometría, el siguiente paso en este camino lo dio Descartes en su publicación Géométrie al introducir el álgebra en la solución de problemas de índole geométrica. Este camino inicia al buscar la forma de representar puntos en el plano por parejas de números. Para esto partimos del plano euclidiano que está bien definido por los cinco axiomas descritos por Euclides. Pensaremos que este plano consiste de puntos y que se extiende indefinidamente. Pensaremos también que en este plano los objetos que se mencionan en los postulados tienen sentido (punto, distancia, etc.). Llamaremos a este plano \mathbb{E}^2, donde el exponente en este caso hace referencia a la dimensión.

Notemos ahora que los puntos de una recta l_1 contenida en el plano (l_1 \in \mathbb{E}^2) representan a los números reales (\mathbb{R}) y que se vale lo contrario también (los reales pueden ser representados por una recta dentro de \mathbb{E}^2). Para ello, escogemos un punto O \in l_1 al que denotaremos como origen y le asignaremos el valor real cero. Para que sea tangible la representación de los reales con esta recta, designamos que del lado derecho de O se tienen los números positivos de acuerdo con su distancia al origen y del lado izquierdo los negativos. Así, a cada número real x se le asocia un punto P \in l_1 (y a cada punto en l_1 le corresponde un número real).

El siguiente paso consiste en construir otra recta, digamos l_2, que también pase por O y algún otro punto Q (nótese que l_1 y l_2 fueron construidas utilizando los postulados 1 y 3 de Euclides). Orientemos a l_2 de la misma manera que a l_1 para que sus puntos representen a los números reales. Entonces, se tiene la correspondencia biunívoca entre puntos en \mathbb{E}^2 y parejas de números reales gracias al postulado 5.a:

  • De punto en el plano a pareja de números: Existe una única recta l_1' que pasa por P y es paralela a l_1; análogamente existe una única recta l_2' que pasa por P y es paralela a l_2. Las intersecciones de las rectas l_1 \cap l_2' y l_2 \cap l_1' determinan los puntos p_1 \in l_1 y q_1 \in l_2 que definen dos números reales x y y; esto es, una pareja ordenada (x,y).
  • De pareja de números a punto en el plano: Para esta correspondencia se hace la construcción inversa, dada una pareja de números (x,y), consideremos a p_1 \in l_1 como el punto sobre l_1 que se encuentra a distancia x del origen y a q_1 \in l_2 como el punto a distancia y de O. Sea l_1' la recta que pasa por q_1 paralela a l_1 y sea l_2' la recta que pasa por p_1 paralela a l_2; la intersección l_1' \cap l_2' es el punto A que corresponde a la pareja (x,y).

En el siguiente interactivo puedes jugar con la segunda parte de la construcción. Da clic para que se active y luego mueve los deslizadores para cambiar los valores de X y Y. Al elegirlos, se realizará la construcción del punto A de manera automática.

Así, hemos definido un sistema de coordenadas al elegir un punto O (que corresponde al origen), una línea que conecta a este con un punto P y otra línea que conecta a O con un punto Q (puntos distintos entre ellos) y al establecer las convenciones de signo.

La construcción que hicimos es muy general, y para nuestros propósitos será mejor centrarnos en el caso en el que las rectas l_1 y l_2 son ortogonales (forman un ángulo de 90°). Tradicionalmente, l_1 es conocida como el eje x y suele ser una línea horizontal cuya dirección positiva está hacia la derecha; l_2 (vertical y con dirección positiva hacia arriba) es conocida como el eje y. Este caso particular es conocido como los ejes cartesianos canónicos.

Plano cartesiano en 2 dimensiones.

Si resumimos lo que hemos desarrollado hasta ahora tenemos que, al fijar los ejes coordenados, a cada pareja de números (x,y) le corresponde un punto \textbf{a} \in \mathbb{E}^2; además, esta relación también se vale en el otro sentido, por lo que podemos escribir que \textbf{a}=(x,y). A este punto (o par de coordenadas) se le puede asignar una flecha (recta con dirección conocido como vector) que parte del origen y termina en el punto.

En el siguiente interactivo, puedes mover el punto C para ver cómo cambia la flecha que une al origen con C.

Para concluir esta entrada, notemos que el procedimiento realizado lo podemos repetir para n líneas; si bien en esta entrada construimos un sistema coordenado con l_1 y l_2, podemos agregar una l_3 que pase por el origen y que sea perpendicular a las otras dos líneas para llevar el plano a el espacio (tri-dimensional).

Plano cartesiano en 3 dimensiones.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Demuestra (no muy formalmente) la equivalencia entre el postulado 5, 5.a y 5.b. Sugerencia: Hazlo meramente con dibujos, intenta llegar de la representación de un postulado al otro de manera gráfica.
  • Ubica en el plano cartesiano de dos dimensiones los siguientes puntos:
    • (2,3), (7,1), (5,10)
    • (-1,-5), (-6,-2), (-5,-8)
    • (-2,7), (-5,4), (-2,7)
    • (4,-3), (2,-1), (4,-5)
      ¿Notas algún patrón entre los vectores de cada renglón relacionado a dónde quedan con respecto al eje x y al eje y?
  • A partir del ejercicio anterior, identifica los cuadrantes (regiones del plano cartesiano divididas por los ejes) en los que las parejas de números tienen signos determinados: (+,+), (-,-), (-,+), (+,-).
  • ¿Cómo son los puntos (x,y) en el plano cartesiano que cumplen que x=1? ¿Aquellos que cumplen y=2? ¿Y si y<3? ¿Y si 1\leq x < 5?
  • Describe cómo sería la construcción del plano cartesiano de tres dimensiones siguiendo el procedimiento visto en esta entrada.

Más adelante…

En esta entrada construimos el puente entre el espacio descrito por Euclides y el álgebra que implementó Descartes obteniendo entonces el plano cartesiano en dos dimensiones. Esto servirá como base durante todo el curso y en especial para la siguiente entrada en la cual se hablará del espacio vectorial \mathbb{R}^2.