Geometría Analítica I: Rectas en forma baricéntrica

Introducción

En esta entrada daremos una descripción alternativa de rectas: la forma baricéntrica. Esta manera de pensar nos ayuda a construir de manera muy rápida una recta que pase por dos puntos dados, o bien el segmento que une a dos puntos. Además, a través de ella podemos entender a las rectas desde un punto de vista más físico

Rectas en forma baricéntrica

En la forma paramétrica de una recta por $P$ con dirección $Q$, tenemos que $P$ y $Q$ juegan papeles diferentes. En la forma que exploraremos ahora, se tendrá que juegan papeles iguales. De manera intuitiva, la forma que definiremos a continuación nos ayuda a construir fácilmente rectas que pasen por dos puntos dados.

Definición. Sean $P$ y $Q$ dos puntos distintos en $\mathbb{R}^2$. La recta en forma baricéntrica por $P$ y $Q$ es el conjunto

$ l := \{ rP+sQ : r,s \in \mathbb{R} \text{ y } r+s=1 \}.$

Ahora tenemos dos parámetros $r$ y $s$ que nos ayudan a ubicar un punto en la recta en cualquiera de las dos direcciones. Puedes pensar que la restricción $r+s=1$ es la que hace que nos quedemos en la recta. Además, podemos pensar a $r$ y $s$ como «pesos» que nos dicen qué tan cerca estamos de $P$ y de $Q$. Intuitivamente si $s > r$ , entonces el punto $X$ de la recta se encuentra más cerca del punto $Q$ y viceversa, si $r > s$, entonces el punto $X$ de la recta está más cercano a $P$. Esto es sólo intuitivo pues aún no tenemos una definición formal de distancia, pero más adelante retomaremos esto para formalizarlo.

Utiliza el siguiente interactivo para variar los valores de la coordenada baricéntrica $s$ de la recta (recuerda que r=1-s) y ubicar el punto $X$ en la recta que depende de estos valores.

Interpretación física

Ya que definimos las coordenadas baricéntricas, hablemos un poco de la interpretación física de esta con la cuál la idea de «peso» que le asignamos a estas coordenadas toma más sentido. Pensemos a la recta como una barra rígida sobre la cual está distribuida una masa unitaria (esto es que la masa en total es 1). El punto de equilibrio estará dado por las coordenadas baricéntricas correspondientes a las masas.

Ahora que estamos hablando de masas, resulta que podemos asociarle una fuerza a cada una para comprender mejor esta interpretación física. Retomando lo de hace unos párrafos, si $s> r$, entonces la fuerza asociada a $s$ será mayor a la asociada a $r$ ($F_s > F_r$) y si tenemos una de nuestras coordenadas baricéntricas negativas, podemos pensar entonces en una fuerza que va en sentido contrario a la positiva. Si pensamos en la fuerza gravitacional, un signo menos en nuestras coordenadas se podría visualizar como algo jalando hacia arriba.

Apoyate del interactivo anterior para comprender mejor esta idea y analiza el siguiente ejemplo:

Ejemplo: Sea $s=0.3$ y $r=0.7$, nota que el punto está más cercano de $P$.

Relación entre rectas paramétricas y rectas baricéntricas

En nuestro modelo ya definimos dos «tipos» de rectas: las rectas paramétricas y las rectas baricéntricas. Sería muy mala noticia que hayamos definido objetos geométricos diferentes, es decir, que hubiera algún objeto geométrico que sí fuera recta paramétrica pero que no fuera recta baricéntrica. O viceversa. Afortunadamente esto no es así. Todas las rectas paramétricas se pueden expresar de manera baricéntrica y todas las rectas baricéntricas se pueden expresar de manera paramétrica.

Demostrar esto formalmente nos lleva a argumentos de teoría de conjuntos. Veamos un ejemplo.

Proposición. Toda recta en forma paramétrica se puede expresar en forma baricéntrica.

Demostración. Tomemos la recta con forma paramétrica por $P$ y dirección $Q$:

$$\ell=\{P+rQ:r\in\mathbb{R}\}.$$

Tenemos que encontrar una manera de expresarla en forma baricéntrica. Recordemos que la intuición de la forma baricéntrica es que pasa por dos puntos que le demos, así que nos conviene proponer dos puntos en $\ell$. Uno de ellos es $P$ (con $r=0$) y otro es $P+Q$ (con $r=1$). Ya tenemos entonces nuestra línea baricéntrica candidata:

$$m=\{rP+s(P+Q): r,s \in \mathbb{R} \text{ y } r+s=1\}.$$

Debemos demostrar que $\ell=m$. Esta es una afirmación de igualdad de dos conjuntos, así que hay que hacer una doble contención.

Un punto en $\ell$ es de la forma $P+rQ$, que se puede reescribir como $(1-r)P+r(P+Q)$. Aquí tanto $1-r$ como $r$ son reales y suman $1$, así que este punto está en $m$. Esto muestra que $l\subseteq m$.

Ahora tomemos un punto en $m$. Es de la forma $rP+s(P+Q)$ en donde $r,s$ son reales de suma $1$. De esta manera, $s=1-r$, de modo que podemos reescribir:

$$ rP+s(P+Q) =rP+(1-r)(P+Q)=P+(1-r)Q.$$

Esto es justo una de las expresiones que está en $\ell$. Concluimos que $m\subseteq \ell$ y por lo tanto que $\ell=m$.

$\square$

Una demostración similar muestra que toda recta en forma baricéntrica se puede expresar en forma paramétrica.

Segmentos y rayos

Hay algunas cosas que es más cómodo trabajar usando una forma de las rectas u otra. Por ejemplo, la definición de segmentos es muy fácil de dar pensando en forma baricéntrica.

Definición. El segmento entre dos puntos $P$ y $Q$ del plano es el conjunto:

$$ \overline{PQ} := \{ rP+sQ : r\geq 0, s\geq 0 \text{ y } r+s=1 \}.$$

La definición es prácticamente igual a la de recta en forma baricéntrica, pero limitando los valores de $r$ y $s$ a números no negativos.

Por otro lado, la definición de rayo es más fácil darla pensando en forma paramétrica.

Definición. El rayo desde un punto $P$ en dirección $Q$ es el conjunto:

$$ \overrightarrow{PQ}:=\{P+rQ: r\geq 0\}.$$

En este caso tenemos prácticamente la definición de recta en forma paramétrica, pero limitando el parámetro $r$ a números no negativos.

Postulados 1 y 3 de Euclides

Si recuerdas, en entradas anteriores se habló de que con esta «nueva» construcción de la geometría (la forma analítica), los postulados de Euclides podían ser demostrados. Ha llegado el momento en el que demostraremos una proposición que fusiona a los postulados 1 y 3.

Proposición. Para cualesquiera dos puntos $P$ y $Q$, se puede trazar el segmento de recta que los une y este segmento se puede prolongar indefinidamente a una recta.

Demostración. Ya dimos una definición de segmento. Notemos que en esta definición tenemos que sus extremos se dan precisamente con $r=0, s=1$, que corresponde al punto $Q$ y con $r=1,s=0$, que corresponde al punto $P$. Además, dicho segmento se queda contenido en la recta baricéntrica por $P$ y $Q$, pues en ella se permiten $r$ y $s$ arbitrarios de suma $1$, mientras que en el segmento sólo se permiten los no negativos.

De esta manera, la recta baricéntrica por $P$ y $Q$ es justo la prolongación del segmento que buscamos. Se prolonga indefinidamente al tomar valores de $r>1$ y valores de $r<0$ tan lejanos como queramos (y la $s$ correspondiente para que sume $1$). Al igual que en el caso paramétrico, se puede mostrar que todos estos puntos son distintos para valores distintos de $r$.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • A partir de la forma baricéntrica de una recta, muestra cómo proponer su forma paramétrica $l= \{ Q+r(P-Q): r \in \mathbb{R} \}$. Haz una demostración por doble contención de que esas rectas son iguales.
  • Coinsidera la siguiente recta en forma paramétrica: $L= \{ (5,3)+r(-7,2) : r \in \mathbb{R} \}$. Da una forma baricéntrica para $L$.
  • Para asegurarte que entendiste la interpretación física, realiza los siguientes ejercicios:
    • Imagina que tienes una barra rígida de 2 metros de longitud sobre la cuál tienes colgadas dos masas (una en cada extremo), una de 40 kg y otra de 10 gk. ¿cuáles son las coordenadas baricéntricas del punto de apoyo o de quilibrio de esta barra?
    • Si ahora sabes que el punto de apoyo se encuentra en uno de los extremos de la barra rígida y quieres levantar los 40 kg con la fuerza de otra masa de 10 kg, ¿dónde debes colocar la masa para que esto sea posible? Realiza un dibujo.
  • Dado dos puntos $X$ y $Y$ se define su punto medio como el punto $\frac{X+Y}{2}$. Considera los puntos $A=(-2,9)$, $B=(7,-1)$ y $C=(3,5)$. Encuentra el punto medio $L$ de $B$ y $C$. Encuentra el punto medio $M$ de $C$ y $A$. Encuentra el punto medio $N$ de $A$ y $B$. Da expresiones paramétricas y baricéntricas para las rectas $AL$, $BM$ y $CN$.
  • Para los puntos del problema anterior encuentra ecuaciones para todos los segmentos y rayos que puedas definir.

Más adelante…

Hasta ahora hemos avanzado lo suficiente para hablar en entradas próximas de algo que se asomaba desde los postulados de Euclides, la intersección de rectas y las rectas paralelas.

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