Geometría Analítica I: Rectas en forma baricéntrica

Introducción

Abriremos esta entrada con la demostración de una preposición que nos puede ser útil más adelante y con la cuál reforzaremos una vez más lo visto hasta ahora. Después comenzaremos con el tema principal de la entrada al describir las rectas en su forma baricéntrica y analizaremos desde un punto de vista más físico su significado. Cerraremos la entrada con la demostración de que las medianas de un triángulo concurren, haciendo uso en esta, todo el conocimiento generado hasta ahora.

Preposición de rectas en su forma paramétrica

Preposición. Las rectas pasan a lo más una vez por cada punto.

Esta proposición hace referencia a la recta en su forma paramétrica y expresa que conforme el parámetro $r \in \mathbb{R}$ avanza recorre todos los puntos de la recta y además sólo pasa una vez por cada punto.

Demostración. Sea $l$ la recta dada por

$L=\{ P+rQ : r \in \mathbb{R} y P,Q \in \mathbb{R}^2\}$

Haremos la demostración por contradicción para lo cual supondremos que la preposición no se cumple, esto es que existen dos números reales $r_1, r_2 \in \mathbb{R}$ tales que

$P+r_1Q=P+r_2Q$

Si esto fuera cierto, entonces existirían dos números reales que nos llevan al mismo punto en la recta, por lo que queremos llegar a que $r_1=r_2$, es decir sólo hay un número real que nos lleva a ese punto en la recta.

Ya que explicamos un poco nuestro objetivo y el camino que vamos a seguir, comencemos.

Suponemos como cierto que

$P+r_1Q=P+r_2Q$

Si restamos $P$ de ambos lados tenemos:

$-P+P+r_1Q=-P+P+r_2Q$

Usando la asociatividad se tiene que

$(-P+P)+r_1Q=(-P+P)+r_2Q$

Y como $-P+P=0$ y el $0$ es el neutro aditivo tenemos que

$r_1Q=r_2Q$

Sumemos ahora $-rQ_2$ de ambos lados
\begin{align*}
r_1Q-r_2Q=r_2Q-r_2Q
r_1Q-r_2Q=0
\end{align*}

Si factorizamos a $Q$ tenemos

$(r_1-r_2)Q=0$

Aquí es importante realizar dos observaciones, la primera que el cero a la derecha de la igualdad corresponde al vector cero, la segunda es que sabemos el vector $Q$ no puede ser el vector cero, por lo cuál al menos una de sus entradas es distinta de cero. Si $Q=(x,y)$, la igualdad anterior se puede reescribir como

\begin{align*}
(r_1-r_2)(x,y)=0
((r_1-r_2)x,(r_1-r_2)y)=0
\end{align*}

Si ahora retomamos la segunda observación hecha, y suponemos que la entrada $x \neq 0$ tenemos entonces

\begin{align*}
r_1-r_2=0
\Rightarrow r_1=r_2
\end{align*}

Que es a lo que queríamos llegar. Para tener una demostración completa también debe considerarse el caso en el que al menos $y \neq 0$ (este es análogo al que acabamos de desarrollar) y el caso en el que tanto $x \neq 0$ como $y \neq 0 $ (que es la conjunción de los dos casos anteriores).

$\square$

Así hemos demostrado que para cada $r$ existe un único punto en la recta mencionada.

Rectas en forma baricéntrica

Comencemos con el tema central de esta entrada.

Si lo recuerdas de la entrada anterior, en la forma paramétrica de la recta $P$ funge como punto y $Q$ como vector director. En la forma que exploraremos en esta entrada lo que queremos es que no exista diferencia entre $P$ y $Q$. Así que empecemos con la definición de una recta en su forma baricéntrica.

Definición. Sean $P$ y $Q$ dos puntos distintos en $\mathbb{R}^2$, la recta por $P$ y $Q$ en forma baricéntrica es el conjunto

$ l := \{ rP+sQ : r,s \in \mathbb{R}$ y $r+s=1 \}$

Resulta que en esta forma de la recta ya no existe distinción entre el «punto de inicio» y el vector director, ahora se usan simultáneamente los parámetros $s$ y $t$ para ubicar un punto en la recta en cualquiera de las dos direcciones. Podemos pensar en estas coordenadas como «pesos» en la recta que pasa por $P$ y $Q$; esto es que sí $s > r$ , entonces el punto $X$ de la recta se encuentra más cerca del punto $Q$ y viceversa, si $r > s$, entonces el punto $X$ de la recta está más cercano a $P$.

Utiliza el siguiente interactivo para variar los valores de la coordenada baricéntrica $s$ de la recta (recuerda que r=1-s) y ubicar el punto $X$ en la recta que depende de estos valores.

Interpretación física

Ya que definimos las coordenadas baricéntricas, hablemos un poco de la interpretación física de esta con la cuál la idea de «peso» que le asignamos a estas coordenadas toma más sentido. Pensemos a la recta como una barra rígida sobre la cual está distribuida una masa unitaria (esto es que la masa en total es 1), el punto de equilibrio estará dado por las coordenadas baricéntricas correspondientes a las masas.

Ahora que estamos hablando de masas, resulta que podemos asociarle una fuerza a cada una para comprender mejor esta interpretación física. Retomando lo de hace unos párrafos, si $s> r$, entonces la fuerza asociada a $s$ será mayor a la asociada a $r$ ($F_s > F_r$) y si tenemos una de nuestras coordenadas baricéntricas negativas, podemos pensar entonces en una fuerza que va en sentido contrario a la positiva. Si pensamos en la fuerza gravitacional, un signo menos en nuestras coordenadas se podría visualizar como algo jalando hacia arriba.

Apoyate del interactivo anterior para comprender mejor esta idea y analiza el siguiente ejemplo:

Ejemplo: Sea $s=0.3$ y $r=0.7$, nota que el punto está más cercano de $P$.

Relación con la forma paramétrica de una recta

Si bien esta definición es otra forma de expresar algebráicamente una recta, siempre podemos llegar de esta forma a la paramétrica y viceversa. Desarrollemos un poco el primer caso partiendo de la recta en su forma baricéntrica:

$ l := { rP+sQ : r,s \in \mathbb{R} y r+s=1 }$

A la expresión de la recta podemos sumarle un cero conveniente $P-P$ y reacomodar los términos para acercarnos a la forma paramétrica:

\begin{align*}
l &= \{ rP+sQ : r,s \in \mathbb{R} y r+s=1 \} \\
&= \{ rP+sQ+P-P : r,s \in \mathbb{R} y r+s=1 \} \\
&= \{ P+sQ+rP-P : r,s \in \mathbb{R} y r+s=1 \} \\
&= \{ P+sQ+P(r-1): r,s \in \mathbb{R} y r+s=1 \} \\
&= \{ P+sQ-P(1-r): r,s \in \mathbb{R} y r+s=1 \} \\
\end{align*}

De la condición $r+s=1$ al despejar $s$ tenemos $s=1-r$ que podemos sustituir en la última igualdad obteniendo

$l= \{ P+sQ-sP: r,s \in \mathbb{R} y r+s=1 \}$

Y al factorizar se tiene que

$l= \{ P+s(Q-P): r,s \in \mathbb{R} y r+s=1 \}$

Y si te fijas, $r$ ya no aparece explícitamente en nuestra expresión por lo que las restricciónes a ese parámetro ya no tienen sentido. Con esto en mente es posible escribir lo siguiente

$l= \{ P+s(Q-P): s \in \mathbb{R} \}$

De manera análoga se puede llegar a que $l= \{ Q+r(P-Q): r \in \mathbb{R} \}$.

Es así que podemos llegar de la forma baricéntrica de la recta a su forma paramétrica.

Antes de pasar al teorema con el que cerraremos la entrada, definamos algo necesario.

Definición. Una mediana de un triángulo es un segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto.

Teorema a cerca de las medianas de un triángulo

Cerremos la entrada con la enunciación y la demostración del siguiente teorema.

Teorema. Dado un triángulo PQR, sus tres medianas concurren en un punto que divide al segmento dentro del triángulo (de cada mediana) en proporción 1:2.

Demostración.

Para empezar la demostración, construimos un triángulo PQR.

Para construir las medianas, primero localizamos los puntos medios de cada segmento (A, B, C) cuyas coordenadas baricéntricas están dadas por

\begin{align*}
A&=\frac{1}{2}P + \frac{1}{2}Q \\
B&=\frac{1}{2}Q + \frac{1}{2}R \\
C&=\frac{1}{2}R + \frac{1}{2}P \\
\end{align*}

Ya que queremos que se encuentren justo en el punto medio de cada segmento.

Al trazar la mediana del segmento $PQ$ tenemos lo siguiente

La manera en la que procederemos a partir de ahora, es que localizaremos el punto en el segmento de cada mediana que lo divide en proporción 1:2 esperando llegar a que los tres puntos son el mismo.

Comencemos con el punto $G$ que divide al segmento $AR$ en proporción 1:2, esto es que $G$ sea:

$G=\frac{1}{3}R+\frac{2}{3}A $

AL sustituir el valor de $A$, tenemos como resultado
\begin{align*}
G&=\frac{1}{3}R+\frac{2}{3}\left( \frac{1}{2}P + \frac{1}{2}Q \right) \\
&= \frac{1}{3}R+\frac{1}{3}P+\frac{1}{3}Q \\
\end{align*}

Lo que puede ser replicado para cada segmento. Para el $BP$ se tiene

\begin{align*}
G’ &=\frac{1}{3}P+\frac{2}{3}B \\
&=\frac{1}{3}P+\frac{2}{3} \left( \frac{1}{2}Q + \frac{1}{2}R \right) \\
&= \frac{1}{3}P+\frac{1}{3}Q+\frac{1}{3}R \\
&= \frac{1}{3}R+\frac{1}{3}P+\frac{1}{3}Q \\
\end{align*}

Y para el $CQ$

\begin{align*}
G»&=\frac{1}{3}Q+\frac{2}{3}C \\
&=\frac{1}{3}Q+\frac{2}{3} \left( \frac{1}{2}R + \frac{1}{2}P \right) \\
&= \frac{1}{3}Q+\frac{1}{3}R+\frac{1}{3}P \\
&= \frac{1}{3}R+\frac{1}{3}P+\frac{1}{3}Q \\
\end{align*}

$\therefore$ $G=G’=G»$

Acabamos de demostrar que los puntos que dividen a cada mediana en una proporción 1:2 son el mismo para cada una, por lo que las tres medianas concurren en este punto.

$\square$

A este punto $G$ se le conoce como el baricentro del triángulo, y podrás imaginar después de que discutimos la idea física de estas coordenadas, que $G$ corresponde al centro de masa o punto de equilibrio del triángulo.

Utiliza el siguiente interactivo para asegurarte de que esto es válido con cualquier triángulo, puedes mover los puntos P,Q y R y aún existirá el punto $G$ de intersección de las 3 medianas. Si te da curiosidad, puedes usar la herramienta de distancia de geogebra para medir la longitud de cada segmento de la mediana y verificar que efectivamente, está en una relación 1:2 con respecto al punto $G$.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Concluye la preposición con la que se inició está entrada, es decir, desarrolla los casos para cuando $y \neq 0$ y cuando $x \neq0$ y $y\neq0$.
  • A partir de la forma baricéntrica de la recta, llega a la forma paramétrica $l= \{ Q+r(P-Q): r \in \mathbb{R} \}$
  • Sea $L= \{ (5,3)+r(-7,2) : r \in \mathbb{R} \}$ una recta en su forma paramétrica, llega a su forma baricéntrica.
  • Para asegurarte que entendiste la interpretación física, realiza los siguientes ejercicios:
    • Imagina que tienes una barra rígida de 2 metros de longitud sobre la cuál tienes colgadas dos masas (una en cada extremo), una de 40 kg y otra de 10 gk. ¿cuáles son las coordenadas baricéntricas del punto de apoyo o de quilibrio de esta barra?
    • Si ahora sabes que el punto de apoyo se encuentra en uno de los extremos de la barra rígida y quieres levantar los 40 kg con la fuerza de otra masa de 10 kg, ¿dónde debes colocar la masa para que esto sea posible? Realiza un dibujo.
  • Encuentra el baricentro del triángulo cuyos vértices se encuentran en los puntos $A=(-2,9)$, $B=(7,-1)$ y $C=(3,5)$. Dibújalo a mano o con ayuda de GeoGebra.
  • ¿por qué demostramos aquí el último teorema? ¿Se podrá demostrar en un espacio de 3 dimensiones?

Más adelante…

Hasta ahora hemos avanzado lo suficiente para hablar en entradas próximas de algo que se asomaba desde los postulados de Euclides, la intersección de rectas y las rectas paralelas.

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