Geometría analítica I: Rectas en forma normal y sus intersecciones

Introducción

En esta nueva entrada analizaremos una nueva forma de la recta, la normal. Se discutió la idea de esta al final de la entrada anterior. Además, como es algo nuevo para nosotros, será conveniente explorar la intersección de rectas partiendo de esta nueva forma.

Ecuación normal de la recta

Iniciemos esta entrada con la definición y un ejemplo de esta nueva ecuación de la recta.

Definición. Una recta en forma normal consiste de tomar un vector $q \in \mathbb{R}^2$, un escalar $c \in \mathbb{R}$ y considerar el conjunto

$l=\{ x \in \mathbb{R}^2 : x \cdot q = c \}$

Ejemplo: Encuentra la forma normal de la recta $l=\{ (2,-1) + r (3,5) : r \in \mathbb{R} \}$.

Por la última proposición vista en la entrada anterior, debemos escribir el conjunto de los vectores $x$ tales que el producto interior con $q$ ortogonal nos de $p \cdot q ^{\perp}$, cuyo resultado es un escalar. Así, obtenemos

\begin{align*}
l&=\{ x \in \mathbb{R}^2 : x \cdot (3,5)^{\perp} = (3,5)^{\perp} \cdot (2,-1) \} \\
&=\{ x \in \mathbb{R}^2 : x \cdot (-5,3) = (-5,3) \cdot (2,-1) \} \\
&=\{ x \in \mathbb{R}^2 : x \cdot (-5,3) = (-5)(2)+3(-1)=-13 \} \\
\end{align*}

Si definimos a $x=(x_1,x_2)$ tal que $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$, entonces $(x_1,x_2) \cdot (-5,3)=-5x_1+3x_2$. Así, la forma normal de la recta $l$ está dada por

$l=\{ x_1, x_2 \in \mathbb{R} : -5x_1+3x_2=-13\}$

$\square$

Recordatorio. Hasta ahora hemos hablado de rectas en su forma paramétrica, rectas en su forma baricéntrica y en esta entrada rectas en su forma normal. Es importante resaltar que el término recta es un «espacio geométrico» en el espacio, y al hablar de forma paramétrica, baricéntrica o normal, sólo nos referimos a su expresión algebraica.

Intersección de rectas en su forma normal

Para desarrollar de manera más completa este tema, hablemos de la intersección de rectas cuando están expresadas en su forma normal. Sean las rectas

$l_1=\{ x \in \mathbb{R}^2 : p \cdot x = e\}$

$l_2=\{ x \in \mathbb{R}^2 : q \cdot x = f \}$

donde $c$ y $d$ son números reales, qué debemos hacer para saber primero si se intersectan estas rectas y si pasa,cuál es el punto de intersección.

Aquí, podemos recurrir a lo que vimos en la entrada anterior a cerca del compadre ortogonal. Por como definimos la forma normal de la recta anteriormente, sabemos que $p$ es un vector perpendicular a $l_1$, por lo que el vector director de esta recta es un multiplo de $p^{\perp}$. De la misma manera, la dirección de $l_2$ es un múltiplo de $q^{\perp}$.

El caso más sencillo es cuando la intersección de las rectas es vacía, esto es que sean paralelas, lo cual implicaría que $p^{\perp} \parallel q^{\perp}$ y por lo tanto $p \parallel q$. Además puede pasar que $l_1$ y $l_2$ sean la misma recta, esto sí y sólo si $c=rd$.

El caso que falta es la intersección de las rectas. Para encontrar este punto de intersección, comencemos desarrollando los productos puntos que definen las rectas para así obtener un sistema lineal de ecuaciones. Sea $x=(x,y)$, $p=(a,b)$ y $q=(c,d)$, tenemos que

\begin{cases}
p \cdot x = ax+by=e \\
q \cdot x = cx+dy=f
\end{cases}

Recordemos por lo visto en una entrada anterior que un sistema de ecuaciones así tiene solución única cuando $ad-bc \neq 0$.

Podemos reescribir este sistema de ecuaciones pensando en una igualdad de vectores, es decir entrada a entrada

$x(a,c)+y(b,d)=(e,f)$

Si desarrollas las operaciones e igualas las entradas, verás que es lo mismo que nuestro sistema; sin embargo al escribirlo de esta forma tenemos herramientas que pueden facilitar la solución del sistema. En el camino que exploramos con anterioridad para la solución, eliminábamos cierto término para poder despejar una de las variables… Si ahora queremos eliminar digamos el término con $x$, podemos multiplicar la ecuación vectorial por el vector $(a,c)^{\perp}=(-c,a)$, ya que su producto interior con $(a,c)$ es cero

\begin{align*}
x(a,c) \cdot (-c,a) + y(b,d) \cdot (-c,a)&=(e,f) \cdot (-c,a) \\
\Rightarrow y (b,d) \cdot (-c,a)&=(e,f) \cdot (-c,a) \\
\Rightarrow y (da-bc)&=fa-ec
\end{align*}
Si despejamos a $y$, tenemos

$y=\frac{fa-ec}{da-bc}$

De manera análoga, podemos hacer producto punto con $(b,d)^{\perp}=(-d,b)$ para obtener a $x$

$x=\frac{bf-ed}{bc-ad}$

Recapitulemos para poder concluir. Por como definimos a los vectores usados en este desarrollo, $ax+by=e$ corresponde a la recta en forma normal $l_1$

$l_1=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : (a,b) \cdot (x,y) = e\}$

mientras que $cx+dy=f$ está asociada a $l_2$ en su forma normal

$l_2={ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : (c,d) \cdot (x,y) = f}$

Como estamos en el caso en el que $l_1$ no es paralela a $l_2$, entonces $(a,b)$ no es paralelo a $(c,d)$, por lo que $ad-bc \neq 0$ y el sistema tiene una única solución ( el punto de intersección):

$(x,y)=\left( \frac{bf-ed}{bc-ad} ,\frac{fa-ec}{da-bc} \right)$

Para $n > 2$

Cerremos está entrada hablando de un plano en su forma normal.

Definición. Un plano en forma normal en $\mathbb{R}^3$ consiste de tomar un vector $q \in \mathbb{R}^3$, un escalar $c \in \mathbb{R}$ y considerar el conjunto

$\Pi=\{ x \in \mathbb{R}^3 : x \cdot q =c \}$

Tarea moral

  • Encuentra la forma normal de las siguientes rectas
    • $\{ (1,-1)+t(2,3) : t \in \mathbb{R} \}$
    • ${ (-5,-0)+(6s,-4s) : s \in \mathbb{R} }$
  • Encuentra la forma normal de la recta que pasa por los puntos
    • $(1,-3)$ y $(3,4)$
    • $(2,-4)$ y $(9,5)$
  • Encuentra la intersección de las rectas de los ejercicios anteriores.

Más adelante…

Todo lo que vamos desarrollando nos es de utilidad más adelante, y esta entrada no será la excepción. Sobre todo cuando hablemos en la siguiente entrada de los teoremas de concurrencia, ya que usaremos la forma normal de la recta para demostrarlos.

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