Esta es la página del curso de Teoría de Conjuntos I creado en el marco del proyecto PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM».
En este curso usaremos el siguiente temario de la materia viendo varios problemas y ejemplos en el camino.
Organización del Curso
El curso esta dividido en 4 unidades temáticas.
- Unidad 1: Primeros axiomas de la Teoría de los Conjuntos y operaciones de conjuntos
- Unidad 2: Producto cartesiano, relaciones, órdenes y funciones
- Unidad 3: Los números naturales, inducción y recursión
- Unidad 4: Equipotencia, finitud, dominancia y aritmetica cardinal
- Unidad 5: Axioma de elección
Notas del Curso
A continuación están las entradas de blog con el contenido del curso. Se irán llenando los enlaces poco a poco, conforme el material esté disponible.
Unidad 1: Primeros axiomas de la teoría de los conjuntos y operaciones de conjuntos
- Lenguaje de la Teoría de los Conjuntos
- Axiomas de existencia, de comprensión y de extensión
- Paradoja de Rusell
- Axioma del par y axioma de unión
- Axioma de conjunto potencia
- Operaciones entre conjuntos
- El axioma de buena fundación
- Axiomas débiles
- El complemento de un conjunto
- Álgebra de conjuntos
- Diferencia simétrica
Unidad 2: Producto cartesiano, relaciones, órdenes y funciones
- Pares ordenados y producto cartesiano
- Propiedades del producto cartesiano
- Propiedades del producto cartesiano (parte II)
- Relaciones
- Composición de relaciones
- Funciones
- Funciones (parte II)
- Funciones inyectivas
- Funciones suprayectivas y biyectivas
- Funciones inversas
- Relaciones de equivalencia
- Clases de equivalencia y particiones
- Conjunto cociente
- Órdenes parciales y órdenes estrictos
- Ordenes totales
- Mínimos, máximos, minimales y maximales
- Cotas inferiores e ínfimos
- Cotas superiores y supremos
- Buenos órdenes
Unidad 3: Los números naturales, inducción y recursión
- Construcción de los números naturales
- Números naturales
- Sucesor
- Conjuntos inductivos y axioma del infinito
- Principio de inducción
- Buen orden en los naturales
- Funciones compatibles
- Teorema de recursión
- Suma en los naturales
- Producto en los naturales
Unidad 4: Equipotencia, finitud, dominancia y aritmetica cardinal
- Equipotencia y dominancia
- Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein
- Conjuntos finitos
- Conjuntos finitos (parte II)
- Conjuntos infinitos
- Conjuntos numerables
- Conjuntos numerables (parte II)
- Conjuntos infinitos no numerables
Unidad 5: Axioma de elección
- Axioma de elección
- El lema de Zorn
- Buenos órdenes para cualquier conjunto
- Bases para cualquier espacio vectorial
Evaluación
La forma específica de evaluar depende de cada vez que se imparte el curso. Hay variantes entre la modalidad en línea y la modalidad presencial.
Bibliografía
- Hernández, F., Teoría de Conjuntos, México: Aportaciones Matemáticas No.13,
SMM, 1998 - Amor, J. A., Teoría de Conjuntos para Estudiantes de Ciencias, México: Serv. Editoriales Fac. Ciencias, UNAM, 1997.
- Hrbacek K., Jech T., Introduction to Set Theory, New York: Marcel Dekker, 1984.
- Amor, et al., Teoría de conjuntos. Curso intermedio, México: Prensas de Ciencias Primera Edición, 2014.
- Gómez L. C, Introducción a la teoría intuitiva de conjuntos (cardinales y ordinales). Las prensas de ciencias, 2011.
- Gómez L. C, Álgebra Superior Curso Completo. Publicaciones Fomento Editorial, 2014.
Créditos
Las siguientes personas han contribuido con la elaboración de material para este curso.
- Gabriela Hernández Aguilar
