Teoría de los Conjuntos I: Funciones sobreyectivas y biyectivas

Introducción

En esta entrada hablaremos acerca de funciones sobreyectivas, este tipo de funciones serán aquellas cuya imagen sea todo el codominio. Tras definir este concepto podremos definir el concepto de función biyectiva, este último será de gran utilidad pues haremos uso de él cuando queramos estudiar conjunto a traves de otros conjuntos que tengan la misma cantidad de elementos.

Función sobreyectiva

Definición: Sea $f:X\to Y$ una función. Si $f[X]=Y$, entonces decimos que $f$ es sobreyectiva.

$\square$

Teorema: Sea $f:X\to Y$ una función. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

  1. $f$ es sobreyectiva.
  2. Para cualquier $y\in Y$, existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$.
  3. Para cualesquiera $h,k:Y\to Z$ tales que si $h\circ f= k\circ f$, entonces $h=k$.

Demostración:

$1)\rightarrow 2)$

Supongamos que $f$ es sobreyectiva, es decir que $f[X]=Y$. Sea $y\in Y$, entonces $y\in f[X]$ por lo que existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$. Por lo tanto, para cualquier $y\in Y$ existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$.

$2)\rightarrow 3)$

Sean $h,k:Y\to Z$ tales que $h\circ f=k\circ f$. Veamos que $h=k$. Sea $y\in Y$, veamos que $h(y)=k(y)$. Dado que $y\in Y$, por hipótesis tenemos que existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$, por lo que $h(y)= h(f(x))$ y $k(y)= k(f(x))$. Luego, como $h\circ f(x)= h(f(x))= k(f(x))= k\circ f(x)$, tenemos que $h(y)= k(y)$.

$3)\rightarrow 1)$

Supongamos que $f$ no es sobreyectiva en busca de una contradicción. Sean $h: Y\to \set{\emptyset}$ y $k: Y\to \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ funciones dadas por $h(y)=\emptyset$ para todo $y\in Y$ y

\begin{align*}
k(y) = \left\{ \begin{array}{lcc}
\emptyset &  \text{si} & y\in f(X)\\
\set{\emptyset} &  \text{si}  & y \notin f(X) \\
\end{array}
\right.
\end{align*}

respectivamente. Notemos que $k\not=h$ pues dado que $f$ no es sobreyectiva, entonces existe $y_0\in Y$ tal que $y_0\notin f[X]$. Así, $h(y_0)= \emptyset$ y $k(y_0)=\set{\emptyset}$, por lo tanto, $h\not=k$.

Luego, $h\circ f= k\circ f$. Sea $x\in X$, entonces $f(x)\in Y$ y así, $h\circ f(x)= h(f(x))= \emptyset$ y $k\circ f(x)= k(f(x))= \emptyset$. Por lo tanto, debe ocurrir que $h=k$, lo cuál es una contradicción.

Así, $f$ es sobreyectiva.

$\square$

Algunas funciones sobreyectivas

Ejemplo:

La función identidad es sobreyectiva. En efecto, sea $Id_X:X\to X$ la función identidad y sea $y\in X$, entonces existe $y\in X$ tal que $Id_X(y)= y$.

Por lo tanto, $Id_X$ es sobreyectiva.

$\square$

Ejemplo:

Sea $f:X\to \set{c}$ una función dada por $f(x)=c$ para todo $x\in X$. Tenemos que $f$ es sobreyectiva.

En efecto, sea $y\in \set{c}$. Dado que $y\in \set{c}$, entonces $y=c$. veamos que existe $x\in X$ tal que que $f(x)=c$. Esto último se cumple por como esta definida la función $f$.

$\square$

Ejemplo:

Sea $X$ un conjunto y $A\subseteq X$, la función característica de $A$ es una función sobreyectiva.

Dado que el codominio de la función característica es el conjunto $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, deseamos ver que para cualquier $y\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ existe $x\in X$ tal que $\chi_A(x)=y$.

Caso 1: Si $y=\emptyset$, entonces existe $x\in X$ tal que $x\notin A$, de modo que $\chi_A(x)=\emptyset$.

Caso 2: Si $y=\set{\emptyset}$, entonces existe $x\in X$ tal que $x\in A$, de modo que $\chi_A(x)=\set{\emptyset}$.

Por lo tanto, $\chi_A$ es sobreyectiva.

$\square$

Composición de funciones

Así como lo hicimos en la sección anterior con respecto a la inyectividad, podemos averiguar que pasa con la composición de funciones con respecto a la sobreyectividad. Veamos el siguiente teorema:

Teorema: Sean $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ funciones sobreyectivas, $g\circ f$ es sobreyectiva.

Demostración:

Sea $z\in Z$, veamos que existe $x\in X$ tal que $g\circ f(x)=z$.
Dado que $g$ es sobreyectiva y $z\in Z$, entonces existe $y\in Y$ tal que $g(y)=z$. Luego, como $f$ es sobreyectiva y $y\in Y$, entonces existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$, así $g(y)=g(f(x))= z$. Por lo tanto, $g\circ f$ es sobreyectiva.

$\square$

Funciones biyectivas

Definición: Decimos que $f:X\to Y$ es una función biyectiva si y sólo si $f$ es inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo:

La función identidad es biyectiva.

Verificamos en la sección de funciones inyectivas que la función identidad es una función inyectiva, además de que en esta sección verificamos que es sobreyectiva.

$\square$

Ejemplo:

Sean $X=\set{1,2,3}$ y $Y=\set{2,4,6}$ y sea $f:X\to Y$ una función dada por $f(x)=2x$. Tenemos que $f$ es inyectiva pues es una función uno a uno, es decir, elementos distintos van a dar a elementos distintos. Más explícitamente $1$ va a dar a $2$, $2$ a $4$ y $3$ a $6$.

Además $f$ es sobreyectiva, pues para cualquier $y\in Y$, existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$. En efecto, ya que para $2\in Y$ existe $1\in X$ tal que $f(1)=2$; para $4\in Y$ existe $2\in X$ tal que $f(2)=4$ y por último para $6\in Y$ existe $3\in X$ tal que $f(3)=6$.

$\square$

Tarea moral

Realiza la siguiente lista de ejercicios que te ayudara a fortalecer los conceptos de función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva:

  1. Sean $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ funciones. Demuestra que si $g\circ f$ es sobreyectiva, entonces $g$ es sobreyectiva.
  2. Demuestra o da un contraejemplo del siguiente enunciado: Si $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ son funciones tales que $g\circ f$ es sobreyectiva, entonces $f$ es sobreyectiva.
  3. Sean $X=\set{1,2,3, \cdots}$ y $Y=\set{3,4,5,\cdots}$ y sea $f:X\to Y$ dada por $f(x)=2x+3$. ¿$f$ es sobreyectiva? Argumenta tu repuesta.

Más adelante

Ahora que aprendimos el concepto de función inyectiva y sobreyectiva tenemos las bases suficientes para hablar de funciones invertibles. Veremos funciones invertibles por la derecha e invertibles por la izquierda, cuyos conceptos resultarán equivalentes al de función sobreyectiva y función inyectiva respectivamente.

Enlaces

En el siguiente enlace podrás encontrar más contenido acerca de funciones inyectivas y sobreyectivas:

Funciones inyectivas y sobreyectivas

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