Teoría de los Conjuntos I: Axioma de conjunto potencia

Introducción

En esta nueva sección recordaremos el concepto de contención y haremos notar su diferencia con el concepto de pertenencia. Hablaremos también del axioma del conjunto potencia, a partir de este axioma podremos trabajar con los subconjuntos de un conjunto.

Resultados sobre contención

Proposición: Sean $A$, $B$ y $C$ conjuntos. Muestra que los siguientes resultados son verdaderos:

  1. $\emptyset\subseteq A$
  2. $A\subseteq A$
  3. Si $A\subseteq B$ y $B\subseteq C$, entonces $A\subseteq C$.

Demostración:

  1. Veamos que $\emptyset\subseteq A$. Sea $x\in \emptyset$, entonces $x\in A$ se cumple por vacuidad y, por lo tanto, $\emptyset\subseteq A$.
  2. Dado que para cualquier conjunto $A$, tenemos que $A=A$, es claro que $A\subseteq A$.
  3. Supongamos que $A\subseteq B$ y $B\subseteq C$. Veamos que $A\subseteq C$.
    Sea $x\in A$, como $A\subseteq B$ se sigue por definición de contención que $x\in B$.
    Luego, como $x\in B$ y $B\subseteq C$, entonces $x\in C$. Por lo tanto, $A\subseteq C$.

$\square$

Con estos resultados podremos decir que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto, hasta de él mismo, como lo verifica la segunda propiedad. Finalmente, con la propiedad tres diremos que la contención es transitiva.

Diferencias: Pertenencia y contención

En esta parte haremos un diferenciador entre pertenencia y contención.

Ejemplo:
Para el conjunto $\emptyset$ se satisface que $\emptyset\subseteq \emptyset$. Sin embargo, no es cierto que $\emptyset\in \emptyset$ pues definimos al conjunto vacío como un conjunto sin elementos y por lo tanto, es absurdo decir que tiene un elemento.

$\square$

Ejemplo:
Consideremos al conjunto $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$, sus elementos son $\emptyset$ y $\set{\emptyset}$ pues figuran dentro de él. Veamos ahora quiénes son sus subconjuntos.

Afirmación. $\emptyset$, $\set{\emptyset}$, $\set{\set{\emptyset}}$ y $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ son los únicos subconjuntos de $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$.

Demostración:
Sabemos que $\emptyset\subseteq \set{\emptyset,\set{\emptyset}}$. Luego, como el único elemento del conjunto $\set{\emptyset}$ es $\emptyset$, y $\emptyset\in\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$, entonces $\set{\emptyset}\subseteq\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$.

De igual manera, como el único elemento de $\set{\set{\emptyset}}$ es $\set{\emptyset}$ y $\set{\emptyset}\in\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$, entonces $\set{\set{\emptyset}}\subseteq\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$.

Finalmente, por una proposición anterior sabemos que cualquier conjunto está contenido en sí mismo. Así, $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}\subseteq\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$.

Veamos ahora que no existe un subconjunto de $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ que sea distinto de los ya mencionados.

Sea $X\subseteq\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$. Entonces para cualquier $x\in X$ se tiene que $x\in \set{\emptyset,\set{\emptyset}}$, es decir, $x=\emptyset$ o $x=\set{\emptyset}$. Lo anterior implica que $X$ tiene a lo más dos elementos.

Caso 1: X no tiene elementos, es decir, $X=\emptyset$.

Caso 2: X tiene un sólo elemento, es decir, $X=\set{x}$.

Si el elemento $x\in X$ es tal que $x=\emptyset$, entonces $X=\set{\emptyset}$.

La otra opción para $x$ es que $x=\set{\emptyset}$, en cuyo caso se tiene que $X=\set{\set{\emptyset}}$.

Caso 3: X tiene dos elementos, es decir, $X=\set{x,y}$ con $x\not=y$.

Como $x$ y $y$ tienen sólo dos opciones y $x\not=y$, entonces:

  • $x=\emptyset$ y $y=\set{\emptyset}$ ó
  • $x=\set{\emptyset}$ y $y=\emptyset$.

En cualquier caso, obtenemos que $X=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$.

Esto demuestra que los únicos subconjuntos de $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ son $\emptyset$, $\set{\emptyset}$, $\set{\set{\emptyset}}$ y $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$.

$\square$

Podemos decir, que aunque existan conjuntos donde hayan elementos que pertenezcan a él y este contenidos al mismo tiempo, la pertenencia y la contención son diferentes. La pertenencia se refiere estrictamente a los elementos que figuran dentro del conjunto y por otro lado, la contención está definida a partir del concepto de pertenencia.

Potencia de un conjunto

Axioma del conjunto potencia: Si $X$ es un conjunto cualquiera, entonces existe un conjunto $S$ tal que $a\in S$ si y sólo si $a\subseteq X$.

Al igual que con los conjuntos que nos otorgan los axiomas anteriores, el conjunto $S$ del axioma de conjunto potencia es único.

Definición: Sea $A$ un conjunto, al conjunto que obtenemos a partir del axioma del conjunto potencia le llamaremos el conjunto potencia de $A$ y lo denotaremos por $\mathcal{P}(A)$.

Ejemplos:

  1. Consideremos al conjunto $\emptyset$, existe $S=\set{\emptyset}$ tal que $\emptyset\in S$ pues $\emptyset\subseteq \emptyset$, además este conjunto no tiene más elementos debido a que el único subconjunto de $\emptyset$ es el mismo.
  2. Para el conjunto $\set{\emptyset}$ tenemos que $S=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$. En efecto, como $\emptyset\subseteq \set{\emptyset}$ y $\set{\emptyset}\subseteq\set{\emptyset}$ y son los únicos que lo satisfacen, entonces $S=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$.
  3. Ahora, para el conjunto $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ tenemos que $\emptyset\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, $\set{\emptyset}\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, $\set{\set{\emptyset}}\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ tenemos que $S= \set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$.

$\square$

Propiedades del conjunto potencia

Proposición: Sean $A$ y $B$ conjuntos, prueba que los siguientes resultados son ciertos:
a) Si $A\subseteq B$, entonces $\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(B)$,
b) $A\subseteq B$ implica que $\bigcup A\subseteq \bigcup B$,
c) $\bigcup\mathcal{P}(A)= A$,
d) $\mathcal{P} (A)\cup\mathcal{P}(B)\subseteq \mathcal{P}(A\cup B)$.

Demostración:
a) Sea $x\in \mathcal{P}(A)$, mostremos para ver que $\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(B)$ que $x\in \mathcal{P}(B)$.
Como $x\in\mathcal{P}(A)$, entonces $x\subseteq A$. Luego, como $A\subseteq B$ entonces $x\subseteq B$ y así, $x\in\mathcal{P}(B)$.
Por lo tanto, $\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(B)$.

b) Supongamos que $A\subseteq B$. Sea $x\in \bigcup A$, se sigue por definición de unión que existe $y\in A$ tal que $x\in y$. Por nuestra hipótesis, tenemos también que existe $y\in B$ tal que $x\in y$ lo que equivale a decir que $x\in \bigcup B$. Por lo tanto, $\bigcup A\subseteq \bigcup B$.

c)
$\rightarrow$] Tomemos $x\in \bigcup \mathcal{P}(A)$ arbitrario y mostremos que $x\in A$. Que $x\in \bigcup\mathcal{P}(A)$ implica que existe $y\in \mathcal{P}(A)$ tal que $x\in y$. Luego, por definición de conjunto potencia tenemos que existe $y\subseteq A$ tal que $x\in y$. De este modo, existe $y$ tal que $x\in y\subseteq A$, es decir, $x\in A$ lo que prueba que $\bigcup \mathcal{P}(A)\subseteq A$.

$\leftarrow$] Dado que $A\subseteq A$ entonces $A\in \mathcal{P}(A)$ para cualquier conjunto $A$ y así por la proposición 2 tenemos que $A\subseteq \bigcup\mathcal{P}(A)$.

Por lo anterior tenemos que $A=\bigcup \mathcal{P}(A)$.

d) Sea $x\in \mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)$ se sigue que $x\in \mathcal{P}(A)$ o $x\in \mathcal{P}(B)$. Evaluemos los dos casos:
– Si $x\in\mathcal{P}(A)$ entonces $x\subseteq A$ y como $A\subseteq A\cup B$, se sigue que $x\subseteq A\cup B$ y así, $x\in \mathcal{P}(A\cup B)$.
– El caso en el que $x\in\mathcal{P}(B)$ entonces $x\subseteq B$ y como $B\subseteq A\cup B$, entonces $x\subseteq A\cup B$ y así, $x\in \mathcal{P}(A\cup B)$.
Concluimos que $\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)\subseteq \mathcal{P}(A\cup B)$.

$\square$

Tarea Moral

Los siguientes ejercicios te ayudaran a distinguir la diferencia entre pertenencia y contención. Así mismo comenzaras a plantear algunos contraejemplos para probar la falsedad de algunos enunciados sobre el conjunto potencia:

  • Demuestra que los únicos subconjuntos de $\set{\emptyset}$ son $\emptyset$ y $\set{\emptyset}$.
  • Di si el siguiente enunciado es verdadero o falso: Si $A\in B$ y $B\in C$, entonces $A\in C$. (Argumenta tu respuesta)
  • Calcula $\mathcal{P}(\set{\emptyset,\set{\emptyset},\set{\emptyset,\set{\emptyset}}})$.
  • Argumenta porque para cualquier conjunto $A$, se tiene que $\mathcal{P}(A)\not=\emptyset$.
  • Da un contraejemplo para ver que $\mathcal{P}(\bigcup A)= A$ es falso.
  • Muestra que en general no se cumple la igualdad $\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}(A\cup B)$.
  • Demuestra que $\mathcal{P}(\emptyset)=\set{\emptyset}$.

Más adelante

En la siguiente sección haremos uso de los conceptos que hemos visto hasta ahora, demostraremos algunos resultados sobre unión y definiremos nuevas operaciones entre conjuntos las cuales serán unión, intersección y diferencia. Estas operaciones nos otorgaran más resultados, estudiaremos algunas de sus propiedades.

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