Teoría de los Conjuntos I: Álgebra de conjuntos

Introducción

En esta nueva entrada abordaremos a las operaciones entre conjuntos desde una perspectiva diferente: el álgebra. Veremos que existe otra forma de probar la igualdad entre conjuntos sin necesidad de usar la demostración por doble contención.

Algunos recordatorios

Más adelante haremos algunas pruebas en las que utilizaremos los siguientes resultados:

Sean $A$, $B$, $C$ y $X$ conjuntos tales que $A, B,C\subseteq X$. Entonces:

  1. $A\cup \emptyset=A$,
  2. $A\cup A=A$,
  3. $A\cap \emptyset =\emptyset$,
  4. $A\cap A=A$,
  5. $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$,
  6. $A\cap (B\cup C)= (A\cap B)\cup (A\cap C)$,
  7. $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$,
  8. $A\setminus \emptyset=A$,
  9. $A\setminus A=\emptyset$,
  10. $A\setminus B= A\cap (X\setminus B)$,
  11. $A\cap (X\setminus A)=\emptyset$,
  12. $A\cup (X\setminus A)=X$
  13. $X\setminus (A\cap B)= (X\setminus A)\cup (X\setminus B)$,
  14. $X\setminus (A\cup B)= (X\setminus A)\cap (X\setminus B)$,
  15. $X\setminus (X\setminus A)= A$,
  16. Si $A\subseteq B$. entonces $A\cap B=A$.

Demostraciones con álgebra de conjuntos

Proposición 1: Sean $A, B\subseteq X$ conjuntos. Prueba que $A\setminus B= A\setminus (A\cap B)$.

Demostración:

\begin{align*}
A\setminus (A\cap B)&= A\cap (X\setminus (A\cap B)) \tag{usando 10}\\
&=A\cap((X\setminus A)\cup(X\setminus B)) \tag{usando 13} \\
&=(A\cap (X\setminus A))\cup (A\cap (X\setminus B)) \tag{usando 6} \\
&=\emptyset\cup (A\cap (X\setminus B)) \tag{usando 11} \\
&=A\cap (X\setminus B) \tag{usando 1} \\
&=A\setminus B \tag{usando 10}.
\end{align*}

$\square$

Proposición 2: Prueba que si $A$, $B\subseteq X$ son conjuntos, entonces $A\setminus B= (A\cup B)\setminus B$.

Demostración:

\begin{align*}
(A\cup B)\setminus B &= (A\cup B)\cap (X\setminus B) \tag{usando 10}\\
&= (A\cap (X\setminus B))\cup (B\cap (X\setminus B)) \tag{usando 6}\\
&= (A\cap (X\setminus B))\cup \emptyset \tag{usando 11}\\
&=A\cap (X\setminus B) \tag{usando 1}\\
&=A\setminus B \tag{usando 10}.
\end{align*}

$\square$

Proposición 3: Para $A$, $B$, $X$ conjuntos tales que $A, B\subseteq X$, prueba que $(A\cap B)\cup (A\setminus B)= A$.

Demostración:

\begin{align*}
(A\cap B)\cup (A\setminus B)&= (A\cap B)\cup (A\cap (X\setminus B)) \tag{usando 10}\\
&=A\cap (B\cup (X\setminus B)) \tag{usando 6}\\
&=A\cap X \tag{usando 12}\\
&=A \tag{usando 16}.
\end{align*}

$\square$

Proposición 4: Prueba que $A\cap (B\setminus C)=(A\cap B)\setminus C$.

Demostración:

\begin{align*}
(A\cap B)\setminus C &=(A\cap B)\cap (X\setminus C) \tag{usando 10}\\
&=A\cap (B\cap X\setminus C) \tag{usando 5}\\
&= A\cap (B\setminus C) \tag{usando 10}.
\end{align*}

$\square$

Proposición 5: Prueba que $(A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap (B\setminus C)$.

Demostración:

\begin{align*}
(A\cap B)\setminus C&= (A\cap B)\cap (X\setminus C) \tag{usando 10}\\
&=(A\cap X\setminus C)\cap (B\cap X\setminus C)\\
&= (A\setminus C)\cap (B\setminus C) \tag{usando 10}.
\end{align*}

$\square$

Proposición 6: Prueba que $(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C)$.

Demostración:

\begin{align*}
(A\cup B)\setminus C&= (A\cup B)\cap (X\setminus C) \tag{usando 10}\\
&=(A\cap X\setminus C)\cup (B\cap X\setminus C) \tag{usando 6}\\
&= (A\setminus C)\cup (B\setminus C) \tag{usando 10}.
\end{align*}

$\square$

Proposición 7: Prueba que $(A\setminus B)\setminus C=(A\setminus C)\setminus (B\setminus C)$.

Demostración:

\begin{align*}
(A\setminus C)\setminus (B\setminus C)&= (A\setminus C)\cap (X\setminus (B\setminus C)) \tag{usando 10}\\
&=(A\setminus C)\cap (X\setminus (B\cap (X\setminus C)) \tag{usando 10}\\
&=(A\setminus C)\cap ((X\setminus B)\cup (X\setminus (X\setminus C))) \tag{usando 13}\\
&=(A\setminus C)\cap ((X\setminus B)\cup C) \tag{usando 15}\\
&=(A\setminus C\cap (X\setminus B))\cup ((A\setminus C)\cap C) \tag{usando 6}\\
&=((A\cap(X\setminus C))\cap (X\setminus B))\cup ((A\cap(X\setminus C))\cap C) \tag{usando 10}\\
&=((A\cap(X\setminus B))\cap (X\setminus C))\cup (A\cap((X\setminus C)\cap C)) \tag{usando 5}\\
&=((A\cap(X\setminus B))\cap (X\setminus C))\cup (A\cap\emptyset) \tag{usando 11}\\
&=((A\setminus B)\setminus C)\cup \emptyset \tag{usando 10 y 3}\\
&=(A\setminus B)\setminus C \tag{usando 1}.
\end{align*}

$\square$

Proposición 8: Sean $A$, $B$, $C$ subconjuntos de $X$. Prueba que $A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C)$.

Demostración:

\begin{align*}
A\setminus (B\setminus C)&= A\cap (X\setminus (B\setminus C)) \tag{usando 10}\\
&=A\cap (X\setminus (B\cap (X\setminus C))) \tag{usando 10}\\
&=A\cap((X\setminus B)\cup (X\setminus(X\setminus C))) \tag{usando 13}\\
&=A\cap((X\setminus B)\cup C) \tag{usando 15}\\
&=(A\cap (X\setminus B))\cup (A\cap C) tag{usando 6}\\
&=(A\setminus B)\cup (A\cap C) tag{usando 10}.
\end{align*}

$\square$

Tras realizar estas demostraciones es importante notar que muchas veces hacer el uso del álgebra nos ayuda a ahorrar tiempo. Sin embargo, el trabajo que hicimos hasta este momento nos fue útil para esta sección.

Tarea moral

Realiza las siguientes demostraciones haciendo uso del álgebra de conjuntos:

  • Prueba que para $A, B, C, X$ conjuntos tales que $A, B, C\subseteq X$ se cumple que: $(A\setminus B)\setminus (A\setminus C)= (A\cap C)\setminus B$.
  • Prueba que $(A\setminus B)\setminus (A\setminus C)=A\cap (C\setminus B)$.
  • Si $A, B\subseteq X$, entonces $(X\setminus A)\setminus (X\setminus B)=B\setminus A$.
  • Sean $A$ y $B$ conjuntos. Entonces $A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$.

Más adelante

En la siguiente sección definiremos una nueva operación entre conjuntos: la diferencia simétrica. Retomaremos los resultados que hemos visto hasta ahora y seguiremos haciendo uso del álgebra de conjuntos para demostrar algunas propiedades de esta operación.

Enlaces

Entrada anterior: Teoría de los Conjuntos I: El complemento de un conjunto

Sobre las operaciones entre conjuntos: Teoría de los Conjuntos I: Operaciones entre conjuntos

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