Introducción

Esta entrada nos permitirá dar un breve espacio a las funciones compatibles. Será de gran importancia hacer una parada en este concepto pues será de gran utilidad en la demostración de nuestro siguiente teorema: el teorema de recursión.

Concepto

Definición: Sean $f$ y $g$ funciones, decimos que $f$ y $g$ son funciones compatibles si y sólo si $f(x)=g(x)$ para cualquier $x\in dom(f)\cap dom(g)$.

Ejemplo:

Consideremos las funciones $f=\set{(\emptyset, \set{\emptyset}), (\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}})}$ y $g=\set{(\set{\emptyset, \set{\emptyset}}, \set{\emptyset}), (\set{\set{\emptyset}}, \set{\set{\emptyset}})}$. Notemos que $dom(f)=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $dom(g)=\set{\set{\emptyset,\set{\emptyset}},\set{\set{\emptyset}}}$.

Además, $dom(f)\cap dom(g)=\emptyset$, por lo que se satisface por vacuidad que para cualquier $x\in dom(f)\cap dom(g)$, $f(x)=g(x)$, por lo que $f$ y $g$ son funciones compatibles.

$\square$

Ejemplo:

Consideremos las funciones $f=\set{(\emptyset, \set{\emptyset}), (\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}})}$ y $g=\set{(\emptyset, \set{\emptyset}), (\set{\set{\emptyset}}, \set{\set{\emptyset}})}$. Notemos que $dom(f)=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $dom(g)=\set{\emptyset,\set{\set{\emptyset}}}$ y por lo tanto, $dom(f)\cap dom(g)=\set{\emptyset}$.

Para ver que $f$ y $g$ son funciones compatibles basta ver que para $\emptyset\in dom(f)\cap dom(g)$ (pues es el único elemento que tiene la intersección de los dominios de $f$ y $g$) se cumple que $f(\emptyset)=g(\emptyset)$.

Tenemos que $f(\emptyset)=\set{\emptyset}$ y $g(\emptyset)=\set{\emptyset}$, por lo que $f(\emptyset)=g(\emptyset)$.

Por lo tanto, $f$ y $g$ son funciones compatibles.

$\square$

Definición: Sea $\mathcal{F}$ un conjunto de funciones, $\mathcal{F}$ es un sistema compatible de funciones si para cualesquiera $f,g\in \mathcal{F}$, $f$ y $g$ son compatibles.

Ejemplo:

Si consideramos a $\mathcal{F}=\set{f,g}$ con $f$ y $g$ como en el ejemplo anterior, tenemos que $\mathcal{F}$ es un sistema compatible de funciones pues $f$ y $g$ son funciones compatibles.

$\square$

Teorema: Sean $f$ y $g$ funciones compatibles. Entonces $f\cup g$ es función.

Demostración:

Sean $f:X\to Y$ y $g:X’\to Y’$ funciones compatibles.

Sea $f\cup g: X\cup X’\to Y\cup Y’$. Veamos primero que $dom(f\cup g)=dom(f)\cup dom(g)$.

$\subseteq$) Si $x\in dom(f\cup g)$, entonces existe $y\in Y\cup Y’$ tal que $(x,y)\in f\cup g$.

Entonces existe $y\in Y\cup Y’$ tal que $(x,y)\in f$ o $(x,y)\in g$, esto es, existe $y\in Y\cup Y’$ tal que $(x,y)\in f$ o existe $y\in Y\cup Y’$ tal que $(x,y)\in g$. Así, $x\in dom(f)$ o $x\in dom(g)$. Por lo tanto, $x\in dom(f)\cup dom(g)$.

Por lo tanto, $dom(f)\cup dom(g)\subseteq dom(f\cup g)$.

$\supseteq$) Sean $x\in dom(f)\cup dom(g)$, entonces $x\in dom(f)$ o $x\in dom(g)$.

Caso 1: Si $x\in dom(f)$, entonces existe $y\in Y\cup Y’$ tal que $(x,y)\in f$. Por lo tanto, existe $y\in Y\cup Y’$ tal que $(x,y)\in f\cup g$. Por lo tanto, $x\in dom(f\cup g)$.

Caso 2: Si $x\in dom(g)$, entonces existe $y\in Y\cup Y’$ tal que $(x,y)\in g$. Por lo tanto, existe $y\in Y\cup Y’$ tal que $(x,y)\in f\cup g$. Por lo tanto, $x\in dom(f\cup g)$.

Así, $dom(f)\cup dom(g)\subseteq dom(f\cup g)$.

Por lo tanto, $dom(f)\cup dom(g)=dom(f\cup g)$.

Ahora, veamos que $f\cup g$ es función. Sean $(a, b), (a,c)\in f\cup g$, veamos que $b=c$. Se puede comprobar que $dom(f)\cup dom(g)= (dom(f)\triangle dom(g))\cup (dom(f)\cap dom(g))$ (Ver tarea moral) por lo que como $a\in dom(f)\cup dom(g)$, entonces $a\in (dom(f)\triangle dom(g))\cup (dom(f)\cap dom(g))$.

Caso 1: Si $a\in dom(f)\triangle dom(g)$, entonces $a\in (dom(f)\setminus dom(g))\cup (dom(g)\setminus dom(f))$. Entonces $a\in dom(f)\setminus dom(g)$ o $a\in dom(g)\setminus dom(f)$.

Caso 1.1: Si $a\in dom(f)\setminus dom(g)$, entonces $(a,b)\in f\setminus g$ y $(a,c)\in f\setminus g$, en particular $(a,b), (a,c)\in f$ y dado que $f$ es función se concluye que $b=c$.

Caso 1.2: Si $a\in dom(g)\setminus dom(f)$, entonces $(a,b)\in g\setminus f$ y $(a,c)\in g\setminus f$, en particular $(a,b), (a,c)\in g$ y dado que $g$ es función se concluye que $b=c$.

Caso 2: Si $a\in dom(f)\cap dom(g)$, entonces como $f$ y $g$ son funciones compatibles se tiene que $f(a)= g(a)$. Como $a\in dom(f)$, entonces $(a,b)\in f$ donde $b=f(a)$. Dado que $a\in dom(g)$, entoces $(a,c)\in g$ y así, $(a,g(a))\in g$, donde $g(a)=c$. Por lo tanto, $b=f(a)=g(a)=c$.

Por lo tanto, $f\cup g$ es función.

$\square$

El siguiente teorema generaliza el resultado anterior:

Teorema: Sea $\mathcal{F}$ una familia de funciones compatibles. Entonces se cumplen los siguientes enunciados:

1. $\bigcup \mathcal{F}$ es función,
2. $dom(\bigcup \mathcal{F})= \bigcup\set{dom(f):f\in \mathcal{F}}$.

Demostración:

1. Veamos primero que $\bigcup \mathcal{F}\subseteq A\times B$ para algunos $A,B$ conjuntos.
   Dado que $\mathcal{F}$ es una familia de funciones compatibles, entonces para cualquier $f\subseteq \mathcal{F}$ se tiene que $f$ es una función, es decir, $f\subseteq A_f\times B_f$ para algunos conjuntos $A_f, B_f$. Resulta que $\bigcup \mathcal{F}\subseteq (\cup_{f\in \mathcal{F}}A_f)\times (\cup_{f\in \mathcal{F}}B_f)$.
   En efecto, sea $x\in \bigcup\mathcal{F}$, entonces $x\in f$ para alguna $f\in \mathcal{F}$, así $x\in A_f\times B_f$ pues $f\subseteq A_f\times B_f$. Así, $x\in (\cup_{f\in \mathcal{F}}A_f)\times (\cup_{f\in \mathcal{F}}B_f)$.
   Por lo tanto, $\bigcup \mathcal{F}\subseteq (\cup_{f\in \mathcal{F}}A_f)\times (\cup_{f\in \mathcal{F}}B_f)$.
   Ahora veamos que si $(a,b), (a,c)\in \bigcup\mathcal{F}$, entonces $a=c$. Sean $(a,b), (a,c)\in \bigcup\mathcal{F}$, entonces existen $f,g\in \mathcal{F}$ funciones compatibles tal que $(a,b)\in f$ y $(a,c)\in g$. Así, como $a\in dom(f)\cap dom(g)$, entonces $b=f(a)=g(a)=c$.
   Por lo tanto, $\bigcup\mathcal{F}$ es función.
2. $x\in dom(\bigcup\mathcal{F})$ si y sólo si existe $y\in Im(\bigcup\mathcal{F})$ tal que $(x,y)\in \bigcup\mathcal{F}$ si y sólo si existe existe $f\in \mathcal{F}$ tal que $(x,y)\in f$ si y sólo si para alguna $f\in \mathcal{F}$, $x\in dom(f)$, si y sólo si $x\in \bigcup\set{dom(f): f\in \mathcal{F}}$.
   Por lo tanto, $dom(\bigcup \mathcal{F})= \bigcup\set{dom(f):f\in \mathcal{F}}$.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido visto en esta entrada

• Demuestra que $dom(f\cup g)=[dom(f)\triangle dom(g)]\cup [dom(f)\cap dom(g)]$.
• En esta entrada probamos que si $f$ y $g$ son funciones compatibles, entonces $f\cup g$ es función. ¿Será cierto que si $f\cup g$ es función, entonces $f$ y $g$ son funciones compatibles?

Más adelante…

En la siguiente entrada enunciaremos y probaremos el teorema de recursión, dicho teorema nos permitirá definir operaciones como la suma y el producto en el conjunto de los números naturales.

Enlaces

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