Teoría de los Conjuntos I: Funciones compatibles

Por Gabriela Hernández Aguilar

Introducción

Esta entrada nos permitirá dar un breve espacio a las funciones compatibles. Será de gran importancia hacer una parada en este concepto pues será de gran utilidad en la demostración de nuestro siguiente teorema: el teorema de recursión.

Concepto

Definición: Sean $f$ y $g$ funciones, decimos que $f$ y $g$ son funciones compatibles si y sólo si $f(x)=g(x)$ para cualquier $x\in dom(f)\cap dom(g)$.

Ejemplo:

Consideremos las funciones $f=\set{(\emptyset, \set{\emptyset}), (\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}})}$ y $g=\set{(\set{\emptyset, \set{\emptyset}}, \set{\emptyset}), (\set{\set{\emptyset}}, \set{\set{\emptyset}})}$. Notemos que $dom(f)=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $dom(g)=\set{\set{\emptyset,\set{\emptyset}},\set{\set{\emptyset}}}$.

Además, $dom(f)\cap dom(g)=\emptyset$, por lo que se satisface por vacuidad que para cualquier $x\in dom(f)\cap dom(g)$, $f(x)=g(x)$, por lo que $f$ y $g$ son funciones compatibles.

$\square$

Ejemplo:

Consideremos las funciones $f=\set{(\emptyset, \set{\emptyset}), (\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}})}$ y $g=\set{(\emptyset, \set{\emptyset}), (\set{\set{\emptyset}}, \set{\set{\emptyset}})}$. Notemos que $dom(f)=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $dom(g)=\set{\emptyset,\set{\set{\emptyset}}}$ y por lo tanto, $dom(f)\cap dom(g)=\set{\emptyset}$.

Para ver que $f$ y $g$ son funciones compatibles basta ver que para $\emptyset\in dom(f)\cap dom(g)$ (pues es el único elemento que tiene la intersección de los dominios de $f$ y $g$) se cumple que $f(\emptyset)=g(\emptyset)$.

Tenemos que $f(\emptyset)=\set{\emptyset}$ y $g(\emptyset)=\set{\emptyset}$, por lo que $f(\emptyset)=g(\emptyset)$.

Por lo tanto, $f$ y $g$ son funciones compatibles.

$\square$

Definición: Sea $\mathcal{F}$ un conjunto de funciones, $\mathcal{F}$ es un sistema compatible de funciones si para cualesquiera $f,g\in \mathcal{F}$, $f$ y $g$ son compatibles.

Ejemplo:

Si consideramos a $\mathcal{F}=\set{f,g}$ con $f$ y $g$ como en el ejemplo anterior, tenemos que $\mathcal{F}$ es un sistema compatible de funciones pues $f$ y $g$ son funciones compatibles.

$\square$

Teorema: Sean $f$ y $g$ funciones compatibles. Entonces $f\cup g$ es función.

Demostración:

Sean $f:X\to Y$ y $g:X’\to Y’$ funciones compatibles.

Sea $f\cup g: X\cup X’\to Y\cup Y’$. Veamos primero que $dom(f\cup g)=dom(f)\cup dom(g)$.

$\subseteq$) Si $x\in dom(f\cup g)$, entonces existe $y\in Y\cup Y’$ tal que $(x,y)\in f\cup g$.

Entonces existe $y\in Y\cup Y’$ tal que $(x,y)\in f$ o $(x,y)\in g$, esto es, existe $y\in Y\cup Y’$ tal que $(x,y)\in f$ o existe $y\in Y\cup Y’$ tal que $(x,y)\in g$. Así, $x\in dom(f)$ o $x\in dom(g)$. Por lo tanto, $x\in dom(f)\cup dom(g)$.

Por lo tanto, $dom(f)\cup dom(g)\subseteq dom(f\cup g)$.

$\supseteq$) Sean $x\in dom(f)\cup dom(g)$, entonces $x\in dom(f)$ o $x\in dom(g)$.

Caso 1: Si $x\in dom(f)$, entonces existe $y\in Y\cup Y’$ tal que $(x,y)\in f$. Por lo tanto, existe $y\in Y\cup Y’$ tal que $(x,y)\in f\cup g$. Por lo tanto, $x\in dom(f\cup g)$.

Caso 2: Si $x\in dom(g)$, entonces existe $y\in Y\cup Y’$ tal que $(x,y)\in g$. Por lo tanto, existe $y\in Y\cup Y’$ tal que $(x,y)\in f\cup g$. Por lo tanto, $x\in dom(f\cup g)$.

Así, $dom(f)\cup dom(g)\subseteq dom(f\cup g)$.

Por lo tanto, $dom(f)\cup dom(g)=dom(f\cup g)$.

Ahora, veamos que $f\cup g$ es función. Sean $(a, b), (a,c)\in f\cup g$, veamos que $b=c$. Se puede comprobar que $dom(f)\cup dom(g)= (dom(f)\triangle dom(g))\cup (dom(f)\cap dom(g))$ (Ver tarea moral) por lo que como $a\in dom(f)\cup dom(g)$, entonces $a\in (dom(f)\triangle dom(g))\cup (dom(f)\cap dom(g))$.

Caso 1: Si $a\in dom(f)\triangle dom(g)$, entonces $a\in (dom(f)\setminus dom(g))\cup (dom(g)\setminus dom(f))$. Entonces $a\in dom(f)\setminus dom(g)$ o $a\in dom(g)\setminus dom(f)$.

Caso 1.1: Si $a\in dom(f)\setminus dom(g)$, entonces $(a,b)\in f\setminus g$ y $(a,c)\in f\setminus g$, en particular $(a,b), (a,c)\in f$ y dado que $f$ es función se concluye que $b=c$.

Caso 1.2: Si $a\in dom(g)\setminus dom(f)$, entonces $(a,b)\in g\setminus f$ y $(a,c)\in g\setminus f$, en particular $(a,b), (a,c)\in g$ y dado que $g$ es función se concluye que $b=c$.

Caso 2: Si $a\in dom(f)\cap dom(g)$, entonces como $f$ y $g$ son funciones compatibles se tiene que $f(a)= g(a)$. Como $a\in dom(f)$, entonces $(a,b)\in f$ donde $b=f(a)$. Dado que $a\in dom(g)$, entoces $(a,c)\in g$ y así, $(a,g(a))\in g$, donde $g(a)=c$. Por lo tanto, $b=f(a)=g(a)=c$.

Por lo tanto, $f\cup g$ es función.

$\square$

El siguiente teorema generaliza el resultado anterior:

Teorema: Sea $\mathcal{F}$ una familia de funciones compatibles. Entonces se cumplen los siguientes enunciados:

  1. $\bigcup \mathcal{F}$ es función,
  2. $dom(\bigcup \mathcal{F})= \bigcup\set{dom(f):f\in \mathcal{F}}$.

Demostración:

  1. Veamos primero que $\bigcup \mathcal{F}\subseteq A\times B$ para algunos $A,B$ conjuntos.
    Dado que $\mathcal{F}$ es una familia de funciones compatibles, entonces para cualquier $f\subseteq \mathcal{F}$ se tiene que $f$ es una función, es decir, $f\subseteq A_f\times B_f$ para algunos conjuntos $A_f, B_f$. Resulta que $\bigcup \mathcal{F}\subseteq (\cup_{f\in \mathcal{F}}A_f)\times (\cup_{f\in \mathcal{F}}B_f)$.
    En efecto, sea $x\in \bigcup\mathcal{F}$, entonces $x\in f$ para alguna $f\in \mathcal{F}$, así $x\in A_f\times B_f$ pues $f\subseteq A_f\times B_f$. Así, $x\in (\cup_{f\in \mathcal{F}}A_f)\times (\cup_{f\in \mathcal{F}}B_f)$.
    Por lo tanto, $\bigcup \mathcal{F}\subseteq (\cup_{f\in \mathcal{F}}A_f)\times (\cup_{f\in \mathcal{F}}B_f)$.
    Ahora veamos que si $(a,b), (a,c)\in \bigcup\mathcal{F}$, entonces $a=c$. Sean $(a,b), (a,c)\in \bigcup\mathcal{F}$, entonces existen $f,g\in \mathcal{F}$ funciones compatibles tal que $(a,b)\in f$ y $(a,c)\in g$. Así, como $a\in dom(f)\cap dom(g)$, entonces $b=f(a)=g(a)=c$.
    Por lo tanto, $\bigcup\mathcal{F}$ es función.
  2. $x\in dom(\bigcup\mathcal{F})$ si y sólo si existe $y\in Im(\bigcup\mathcal{F})$ tal que $(x,y)\in \bigcup\mathcal{F}$ si y sólo si existe existe $f\in \mathcal{F}$ tal que $(x,y)\in f$ si y sólo si para alguna $f\in \mathcal{F}$, $x\in dom(f)$, si y sólo si $x\in \bigcup\set{dom(f): f\in \mathcal{F}}$.
    Por lo tanto, $dom(\bigcup \mathcal{F})= \bigcup\set{dom(f):f\in \mathcal{F}}$.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido visto en esta entrada

  • Demuestra que $dom(f\cup g)=[dom(f)\triangle dom(g)]\cup [dom(f)\cap dom(g)]$.
  • En esta entrada probamos que si $f$ y $g$ son funciones compatibles, entonces $f\cup g$ es función. ¿Será cierto que si $f\cup g$ es función, entonces $f$ y $g$ son funciones compatibles?

Más adelante

En la siguiente entrada enunciaremos y probaremos el teorema de recursión, dicho teorema nos permitirá definir operaciones como la suma y el producto en el conjunto de los números naturales.

Enlaces

Entrada anterior: Teoría de los Conjuntos I: Buen orden en los naturales

Siguiente entrada: Teorema de recursión

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.