Teoría de los Conjuntos I: Funciones compatibles

Por Gabriela Hernández Aguilar

Introducción

Esta entrada nos permitirá dar un breve espacio a las funciones compatibles. Será de gran importancia hacer una parada en este concepto pues será de gran utilidad en la demostración de nuestro siguiente teorema: el teorema de recursión.

Funciones compatibles

En esta entrada exploraremos la pregunta de cuándo y en qué sentido la unión de dos o más funciones es una función. La definición que nos ayudará a explorar esto es la siguiente.

Definición. Sean $f$ y $g$ funciones. Decimos que $f$ y $g$ son funciones compatibles si y sólo si $f(x)=g(x)$ para cualquier $x\in dom(f)\cap dom(g)$.

Como consecuencia de la definición, si $f$ y $g$ son funciones tales que $dom(f)\cap dom(g)=\emptyset$, entonces por vacuidad $f$ y $g$ son compatibles.

Ejemplo.

Consideremos las funciones $f:\{1,2,3\}\to\{1,2\}$ y $g:\{0,4\}\to \{1,2,3\}$ dadas por $f(1)=f(2)=1$, $f(3)=2$, $g(0)=1$, $g(4)=3$. Como $dom(f)\cap dom(g)=\emptyset$, entoces $f$ y $g$ son compatibles.

$\square$

Ejemplo.

Consideremos las funciones $h:\{1,3\}\to \{0,1\}$ y $k:\{0,1,2\}\to \{0,1,2,3,4\}$ dadas como sigue:

\begin{align*}
h&=\{(1,0), (3,1)\}\\
k&=\{(0,3),(1,0),(2,2)\}
\end{align*}

Para ver que $h$ y $k$ son funciones compatibles, basta ver que para cada elemento $x$ en $dom(h)\cap dom(k)=\{1\}$ se cumple que $h(x)=k(x)$. Como el único elemento en la intersección es el $1$, basta ver que $h(1)=k(1)$. Y en efecto, $h(1)=0=k(1)$. Por lo tanto, $f$ y $g$ son funciones compatibles.

$\square$

Hay una definición más general, para cuando se tienen varias funciones.

Definición. Sea $\mathcal{F}$ un conjunto de funciones. Diremos que $\mathcal{F}$ es un sistema compatible de funciones si para cualesquiera $f,g\in \mathcal{F}$, se tiene que $f$ y $g$ son compatibles.

Ejemplo.

Si consideramos a $\mathcal{F}=\set{h,k}$ con $h$ y $k$ como en el ejemplo anterior, tenemos que $\mathcal{F}$ es un sistema compatible de funciones pues $h$ y $k$ son funciones compatibles.

$\square$

Ejemplo.

Para cada $n\in\mathbb{N}\setminus\set{0}$ definamos $f_n:n\to\mathbb{N}$ por medio de $f_n(k)=s(k)$ para cada $k\in n$, donde $s(k)$ es el sucesor de $k$. Veamos que $\mathcal{F}=\set{f_n:n\in\mathbb{N}\setminus\set{0}}$ es un sistema de funciones compatibles. Si $n,m\in\mathbb{N}\setminus\set{0}$, entonces, $n\leq m$ o $m\leq n$ y, por consiguiente, $dom(f_n)\subseteq dom(f_m)$ o $dom(f_m)\subseteq dom(f_n)$; más aún, $f_n\subseteq f_m$ o $f_m\subseteq f_n$ y, por tanto, $f_n$ y $f_m$ son funciones compatibles. Por tanto, $\mathcal{F}$ es un sistema de funciones compatibles.

$\square$

Cuándo la unión de funciones es función

Teorema. Sean $f:X\to Y$ y $g:X’\to Y’$ funciones compatibles. Entonces $f\cup g$ es una función de $X\cup X’$ en $Y\cup Y’$.

Demostración.

Sean $f:X\to Y$ y $g:X’\to Y’$ funciones compatibles. Consideremos $f\cup g$. Debemos ver que $f\cup g$ tiene el dominio y codominio correctos, que es total y que es funcional.

La unión de $f$ y $g$ tiene el dominio y codominio correctos

Veamos que $f\cup g$ es una relación de $X\cup X’$ en $Y\cup Y’$. En efecto, cada pareja en $f\cup g$ es de la forma $(x,y)$ con $(x,y)$ en $X\times Y$, o $(x,y)$ en $X’\times Y’$. Si $(x,y)\in X\times Y$, entonces $x\in X \subseteq X\cup X’$ y $y\in Y\subseteq Y\times Y’$, y así $(x,y)\in (X\cup X’)\times (Y \cup Y’)$. De manera análoga, si $(x,y)\in X’\times Y’$, entonces $(x,y)\in (X\cup X’)\times (Y \cup Y’)$.

$f\cup g$ es total

Consideremos $x\in X\times X’$. Si $x\in X$, como $f$ es función, entonces es total y por lo tanto existe $y\in Y$ tal que $(x,y)\in f$. Así, $(x,y)\in f\cup g$. Si $x\in X’$, como $g$ es función, entonces es total y por lo tanto existe $y\in Y’$ tal que $(x,y)\in g$. Así, $(x,y)\in f\cup g$. En cualquier caso, existe $y\in Y\cup Y’$ para el cual $(x,y)\in f\cup g$. Esto muestra que $f\cup g$ es total.

$f\cup g$ es funcional

Supongamos que $(x,y) \in f\cup g$ y $(x,y’)\in f\cup g$. Debemos mostrar que $y=y’$.

Caso 1. $(x,y)\in f$ y $(x,y’)\in f$. En este caso, como $f$ es función, entonces es funcional y así $y=y’$.

Caso 2. $(x,y)\in g$ y $(x,y’)\in g$. Análogamente al caso anterior, $y=y’$.

Caso 3. $(x,y)\in f$ y $(x,y’)\in g$. Tenemos entonces que $x\in dom(f)\cap dom(g)$ y, por tanto, $f(x)=g(x)$, es decir, $y=y’$, ya que $f$ y $g$ son funciones compatibles.

Caso 4.$(x,y)\in g$ y $(x,y’)\in f$. Análogamente al caso anterior.

Por lo tanto $f\cup g$ es funcional.

Por lo tanto, $f\cup g$ es función de $X\cup X’$ en $Y\cup Y’$.

$\square$

El siguiente teorema generaliza el resultado anterior

Teorema. Sea $\mathcal{F}$ una familia de funciones compatibles. Entonces se cumple que $\bigcup \mathcal{F}$ es una función con dominio $\bigcup\set{dom(f):f\in \mathcal{F}}$ y codominio $\bigcup\set{cod(f):f\in \mathcal{F}}$.

Como parte de los ejercicios de esta entrada, deberás demostrar esta generalización.

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido visto en esta entrada.

  1. En esta entrada probamos que si $f$ y $g$ son funciones compatibles, entonces $f\cup g$ es función. ¿Será cierto que si $f\cup g$ es función, entonces $f$ y $g$ son funciones compatibles?
  2. ¿Qué se necesita para que si $f:X\to Y$ y $g:X’\to Y’$ son funciones, entonces $f\cap g$ sea función de $X\cap X’$ en $Y\cap Y’$?
  3. Muestra que la unión de funciones compatibles es función, en el sentido en el que lo enuncia la generalización de la sección anterior.
  4. Sea $\mathcal{F}=\{f_i\}_{i\in \mathbb{N}}$ una familia de funciones tal que $f_{i}\subseteq f_{i+1}$. Demuestra que $\bigcup \mathcal{F}$ es una función con dominio $\bigcup\set{dom(f):f\in \mathcal{F}}$ y codominio $\bigcup\set{cod(f):f\in \mathcal{F}}$.

Más adelante…

En la siguiente entrada enunciaremos y probaremos el teorema de recursión. Dicho teorema nos permitirá definir operaciones como la suma y el producto en el conjunto de los números naturales.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.