Introducción
Esta entrada estará dedicada a un tipo de relaciones a las que llamaremos funciones. Este tema es de gran importancia pues utilizaremos funciones con mucha frecuencia a partir de ahora. Por ello, dedicaremos una serie de entradas para tratarlas. En esta primera parte abordaremos la definición de función, algunas de sus propiedades y ejemplos.
¿Qué es una función?
La motivación de la definición de función es la siguiente. Tomemos conjuntos $A$ y $B$. Queremos poder asignar a cualquier elemento de $A$ uno y sólo un elemento de $B$, de manera que inequívocamente para cada $a\in A$ podamos hablar de él elemento que se le asignó en $B$. Las relaciones ayudan a emparejar elementos de $A$ y $B$, pero podemos tener dos problemas 1) Que no todo elemento de $A$ esté en alguna pareja de la relación o 2) Que algún elemento de $A$ quede emparejado con más de un elemento de $B$. Las siguientes definiciones nos permiten evitar estos problemas.
Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos y $f$ una relación de $A$ en $B$.
- Diremos que $f$ es total si para cada $a\in A$ existe por lo menos un $b\in B$ tal que $(a,b)\in R$.
- Diremos que $f$ es funcional si para cada $a\in A$ existe a lo más un $b\in B$ tal que $(a,b)\in R$.
- Diremos que $f$ es una función de $A$ en $B$ si $f$ es total y funcional.
Otra manera de decir que $f$ es total es que su dominio activo sea igual a su dominio. Así mismo, notemos que $f$ es funcional si y sólo si para todo $a\in A$ y $b,c\in B$, se tiene que $(a,b)\in f$ y $(a,c)\in f$ implican que $b=c$.
La definición de función nos dice que dados dos conjuntos y una relación $f$ de $A$ en $B$, podremos decir que la relación es función si y sólo si a cada uno de los elementos $a\in A$ le corresponde (bajo la relación) a uno y sólo un elemento $b\in B$. A este elemento $b$ lo denotamos por $f(a)$
El siguiente diagrama muestra cómo podría verse una función.
Los siguientes ejemplos ayudarán a entender mejor cada uno de los conceptos anteriores.
Ejemplo.
Sea $A=\set{1,2}$ y $B=\set{1,2,3}$. Sea $r$ la relación de $A$ en $B$ dada por $r=\set{(1,1), (1,2), (2,1)}$.
Resulta que $r$ no es función pues $(1,1)\in r$ y $(1,2)\in r$, sin embargo no es cierto que $1=2$. Aquí el problema es entonces que la relación no es funcional. Puedes verificar por tu cuenta que $f$ sí es total.
Sea $g$ la relación de $A$ en $B$ dada por $g=\set{(1,2)}$.
Resulta que $g$ no es función pues no tiene parejas de la forma $(2,b)$ con $b\in B$. Aquí el problema es entonces que la relación no es total. Puedes verificar por tu cuenta que $g$ sí es funcional.
Finalmente, sea $h$ la relación de $A$ en $B$ dada por $h=\{(1,3),(2,3)\}$. Aquí la relación sí es total, pues para $1\in A$ existe $3\in B$ con $(1,3)\in h$ y para $2\in A$ existe $3\in B$ con $(2,3)\in h$. La relación también es funcional, pues para $1\in A$ el único $b\in B$ con $(1,3)\in h$ es $b=3$ y para $2\in A$ el único $b\in B$ con $(2,b)\in h$ es $b=3$. Podemos decir entonces que $h(1)=3$ y que $h(2)=3$.
$\square$
Veamos otro ejemplo de una relación que sí es función.
Ejemplo.
Sea $A=\set{1,2,3}$ y $B=\set{1,2}$. Sea $f$ la relación de $A$ en $B$ dada por $f=\set{(1,1), (2,1), (3,1)}$.
En este ejemplo tenemos que $f$ es función pues cada elemento de $A$ está relacionado con uno y sólo uno de $B$.
$\square$
Después de revisar estos ejemplos es importante mencionar que aunque no toda relación es función, siempre ocurrirá que una función es una relación.
Algunas funciones importantes
Ahora discutiremos algunos ejemplos importantes de funciones.
- Función vacía
Observa que si $X=\emptyset$ y $Y$ un conjunto cualquiera, entonces el conjunto vacío es una función de $X$ en $Y$. En la sección de relaciones vimos que el conjunto vacío en efecto es una relación. Además, como $X$ es vacío se cumple por vacuidad que esta relación es total y funcional. Por lo tanto, la relación vacía es función. - Función constante
Sean $X$, $Y$ conjuntos y $c\in Y$. Definimos la función constante $f_c$ de $X$ en $Y$ como $f_c= X\times \set{c}$. Nuestra función se verá de la siguiente forma:
- Función identidad
Sea $X$ un conjunto. La relación identidad en $X$ es función. Recordemos que la relación identidad $Id_X$ esta definida como sigue:
$Id_X=\set{(x,y)\in X\times X: x=y}$
Por esta definición, para cada $x\in X$ el único elemento relacionado con $x$ es $x$ mismo. Así concluimos que $Id_X$ es función.
- Función característica
Sean $A$ y $X$ conjuntos tales que $A\subseteq X$. Definimos a la función característica $\chi_A$ de $A$ en $\set{0,1}$
$\chi_A=\set{(x,1):x\in A}\cup \set{(x,0):x\in X\setminus A}$.
Recuerda que $0=\emptyset$ y $1=\{\emptyset\}$. Debemos tener un poco de cuidado con las definiciones por casos, pues si una $x$ cae en dos casos cuyas evaluaciones son distintas, podría pasarnos que perdamos la funcionalidad. La función característica sí es función pues para cualquier $x\in X$ pasa uno y sólo uno de los casos $x\in A$ y $x\not \in A$.
- Función inclusión. Sea $X$ un conjunto cualquiera y $A\subseteq X$. Definimos a la función inclusión como el siguiente conjunto:
$\iota_A= \set{(x,x):x\in A}$.
Debido a que las funciones serán recurrentes en las entradas subsecuentes es adecuado adoptar alguna notación para estos conceptos. Dada una relación $f$ de $A$ en $B$ utilizaremos la notación $f:A\to B$ para indicar que $f$ es una función. Ahora bien, si $f:A\to B$ y $x\in A$ y $y\in B$, escribiremos $f(x)=y$ si $(x,y)\in f$.
Dominio activo, imagen e imagen de un subconjunto
Ahora que conocemos el concepto de función y que hemos adoptado las notaciones anteriores para funciones, podemos describir el dominio y la imagen de una función, recordando las definiciones de dominio e imagen que ya conocemos, de la siguiente manera:
Definición. Si $f:A\to B$, definimos el dominio activo de $f$ como:
$\text{DomAct}(f)=\set{x\in A:\exists y\in B\ tal\ que\ f(x)=y}$.
Ejemplo.
Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{1,2,3,4}$. Sea $f:A\to B$ la función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}$.
Tenemos que,
$\text{DomAct}(f)=\set{x\in \set{1,2,3,4}:\exists y\in \set{1,2,3,4}\ tal\ que\ f(x)=y}=\set{1,2,3,4}$.
$\square$
Así como en el ejemplo anterior, el dominio activo de una función siempre coincide con el dominio, pues recordemos que por definición una función es total. Es por esta razón que para funciones prácticamente nunca usamos el término dominio activo y decimos simplemente dominio de $f$.
Definición. Si $f:A\to B$, definimos la imagen de $f$ como:
$\text{Im}(f)=\set{y\in B:\exists x\in A\ tal\ que\ f(x)=y}$.
Ejemplo.
Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{1,2,3}$. Sea $f:A\to B$ la función dada por $f(x)=1$ para todo $x\in A$.
Tenemos que,
$\text{Im}(f)=\set{y\in B: \exists x\ tal\ que\ f(x)=y}=\set{1}$.
$\square$
Observa que en este caso la imagen y el codominio de la función $f$ no coinciden. En general, para una función no es cierto que la imagen y el codominio coincidan. Las funciones para las cuales ocurre esto son especiales y las definiremos y estudiaremos posteriormente.
Definición. Si $f:A\to B$ y $C\subseteq A$, definimos la imagen de $C$ bajo $f$ como el conjunto:
$f[C]=\set{y\in B: \exists x\in C\ tal\ que\ f(x)=y}$.
Ejemplo.
Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{2,4,6,8}$. Sea $f:A\to B$ la función dada por $f(x)=2x$ para todo $x\in A$. Sea $C=\set{2,4}\subseteq A$.
Tenemos que,
$f[C]=\set{y\in B: \exists x\in C\ tal\ que\ f(x)=y}=\set{4,8}$.
$\square$
En este ejemplo estamos siendo un poco informales, pues estrictamente hablando, todavía no hemos definido quién es ni $6$, ni $8$, ni qué quiere decir la expresión $2x$. Pero probablemente a partir de las definiciones de $0,1,2,3,4$ que dimos en la entrada del axioma del par y de la unión puedas imaginarte quiénes serán $6$ y $8$. La expresión $2x$ puedes pensarla de momento que quiere decir que la función tiene a las parejas $(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)$. Esto mismo te ayudará a formalizar el ejemplo después de la siguiente definición.
Definición. Sea $f:A\to B$ y $D\subseteq B$, definimos la imagen inversa de $D$ bajo $f$ como el conjunto:
$f^{-1}[D]=\set{x\in A: \exists y\in D\ tal\ que\ f(x)=y}$.
Ejemplo.
Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{2,4,6,8}$. Sea $f:A\to B$ la función dada por $f(x)=2x$ para todo $x\in A$. Sea $D=\set{2,4}\subseteq B$.
Tenemos que,
$f^{-1}[D]=\set{x\in A: \exists y\in D\ tal\ que\ f(x)=y}=\set{1,2}$.
$\square$
Tarea moral
Los siguientes ejercicios te ayudarán a reforzar los conceptos de función, dominio e imagen.
- Así como anteriormente definimos $0,1,2,3,4$, define también $5,6,7,8,9$.
- Sea $f$ una función de $\set{1,2}$ en $\set{2.4,5}$ dada por $f=\set{(1,2), (2,4)}$. Describe al dominio y la imagen de $f$.
- Sean $A=\set{1,2,3,4,5,6,7,8}$ y $B=\set{1,2,3,4,5,6,7}$ conjuntos. Responde si las siguientes relaciones son o no funciones de $A$ en $B$:
1. $f_1=\set{(1,1), (1,2), (2,1), (3,4)}$,
2. $f_2=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4) (5,5)}$,
3. $f_3=\set{(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1),(6,2),(7,3),(8,3)}$.
Más adelante…
La siguiente entrada estará dedicada a hablar acerca de algunas de las propiedades que tiene la imagen de un conjunto bajo una función respecto a la unión, la intersección y la diferencia. Además, hablaremos acerca de la composición de funciones, por lo que retomaremos el concepto de composición de relaciones.
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»