Teoría de los Conjuntos I: Funciones

Introducción

Esta sección estará dedicada a un tipo de relaciones a las que llamaremos funciones. Este tema será de gran importancia pues utilizaremos funciones con mucha frecuencia a partir de ahora, es por ello que dedicaremos una serie de entradas para tratarlas. En esta primera parte abordaremos la definición de función, algunas de sus propiedades y ejemplos.

¿Qué es una función?

Definición: Sea $f$ una relación de $A$ en $B$ (lo denotaremos por $f:A\to B$), diremos que $f$ es función si $(a,b)\in f$ y $(a,c)\in f$ implica que $b=c$.

La definición de función nos dice que dados dos conjuntos y una relación de $A$ en $B$ podremos hablar de función si y sólo si cada uno de los elementos de $A$ bajo una regla de correspondencia (relación) va a dar a uno y sólo uno de $B$. Como se muestra en la siguiente imagen:

Para abordar la definición desde otra perspectiva revisaremos el siguiente ejemplo que nos muestra que no toda relación es función.

Ejemplo:

Sea $A=\set{1,2}$ y $B=\set{1,2,3}$. Sea $f$ una relación de $A$ en $B$ dada por $f=\set{(1,1), (1,2), (2,1)}$.

Resulta que $f$ no es función pues $(1,1)\in f$ y $(1,2)\in f$, sin embargo no es cierto que $1=2$.

$\square$

Ahora veamos el ejemplo de una relación que si es función.

Ejemplo:

Sea $A=\set{1,2,3}$ y $B=\set{1,2}$. Sea $f$ una relación de $A$ en $B$ dada por $f=\set{(1,1), (2,1), (3,1)}$.

En este ejemplo tenemos que $f$ es función pues cada elemento de $A$ va a dar a uno y sólo uno de $B$, es decir, para cualesquiera $(a,b)\in f$ y $(a,c)\in f$ se cumple que $b=c$.

$\square$

Después de revisar estos ejemplos es importante mencionar que aunque no toda relación es función, siempre ocurrirá que una función es una relación, este último hecho se sigue de la definición de función.

Función vacía

Sea $X=\emptyset$ y $Y$ un conjunto cualquiera, definimos a la función vacía de $X$ en $Y$ como $f=\emptyset$. En la sección de relaciones vimos que el conjunto vacío en efecto es una relación, nos resta ver que para cualesquiera $(a,b)\in f$ y $(a,c)\in f$ se cumple que $b=c$, sin embargo este enunciado se cumple por un argumento por vacuidad.

Por lo tanto, la relación vacía es función.

Función constante

Sean $X$, $Y$ un conjunto y $c\in Y$. Definimos la función constante $f$ de $X$ en $\set{c}$ como $f(x)=c$ para toda $x\in X$. Nuestra función se verá de la siguiente forma:

Función identidad

Sea $X$ un conjunto, la relación identidad es función. Recordemos que la relación identidad $Id_X$ esta definida como sigue:

$Id_X=\set{(x,y): x,y\in X\ y\ x=y}$

Dado que para cualesquiera $(x,y)\in Id_X$ y $(x,w)\in Id_X$ tenemos que $x=y$ y $x=w$ por definición de la relación $Id_X$, por lo tanto, $y=w$ y así concluimos que $Id_X$ es función.

Función característica

Sean $A$ y $X$ conjuntos tales que $A\subseteq X$, definimos a la función característica como $\chi_A$ de $A$ en $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ dada por:

\begin{align*}
\chi_A(x) = \left\{ \begin{array}{lcc}
\set{\emptyset} &  \text{si}  & x \in A \\
\emptyset &  \text{si} & x\notin A
\end{array}
\right.
\end{align*}

Función inclusión

Sea $X$ un conjunto cualquiera, definimos a la función inclusión $\iota:A\to X$ como el siguiente conjunto:

$\iota_A= \set{(x,x):x\in A}$.

Restricción de una función

Definición: Sea $f:X\to Y$ una función y sea $A\subseteq X$ decimos que la restricción de $f$ en $A$ es la función $f\upharpoonright_{A} :A\to Y$ dada por $f\upharpoonright_{A} (x)= f(x)$ para todo $x\in A$.

Ejemplo: Sean $X=\set{1,2,3,4}$ y $Y=\set{1,2,3,4,5}$. Sea $f:X\to Y$ una función dada por $\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,1)}$, si queremos hacer que la función $f$ sea igual a la identidad en el conjunto $\set{1,2,3}$ podemos considerar a $f\upharpoonright_{A}$ con $A=\set{1,2,3}$. Así, $f\upharpoonright_A=\set{(1,1), (2,2), (3,3)}$.

$\square$

Dominio e imagen

De manera similar que con las relaciones trataremos las definiciones de dominio, imagen e imagen inversa, sin embargo ahora lo haremos para funciones.

Definición: Sea $f$ una función de A en B, definimos el dominio de la $f$ como:

$dom(f)=\set{x\in A:\exists y\in B\ tal\ que\ f(x)=y}$.

Ejemplo:

Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{1,2,3,4}$. Sea $f:A\to B$ una función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}$.

Tenemos que,

$dom(f)=\set{x\in \set{1,2,3,4}:\exists y\in \set{1,2,3,4}\ tal\ que\ f(x)=y}=\set{1,2,3,4}$.

$\square$

Definición: Sea $f$ una función de A en B, definimos la imagen de la función $r$ como:

$im(f)=\set{y\in B:\exists x\in A\ tal\ que\ f(x)=y}$.

Ejemplo:

Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{1}$. Sea $f:A\to B$ una función dada por $f(x)=1$ para todo $x\in A$.

Tenemos que,

$im(f)=\set{y\in B: \exists x\ tal\ que\ f(x)=y}=\set{1}$.

$\square$

Definición: Sea $f$ una función de $A$ en $B$ y sea $D\subseteq A$. Definimos la imagen de $D$ bajo la función $f$ como el conjunto:

$f[D]=\set{f(x)\in B: \exists x\in D\ tal\ que\ f(x)=y}$.

Ejemplo:

Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{2,4,6,8}$. Sea $f:A\to B$ una función dada por $f(x)=2x$ para todo $x\in A$. Sea $A’=\set{2,4}\subseteq A$.

Tenemos que,

$f[A’]=\set{f(x)\in B: \exists x\in A’\ tal\ que\ f(x)=y}=\set{4,8}$.

$\square$

Definición: Sea $f$ una función de $A$ en $B$ y sea $B’\subseteq B$. Definimos la imagen inversa de $B’$ bajo la función $f$ como el conjunto:

$f^{-1}[B’]=\set{x\in A: \exists y\in B’\ tal\ que\ f(x)=y}$.

Ejemplo:

Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{2,4,6,8}$. Sea $f:A\to B$ una función dada por $f(x)=2x$ para todo $x\in A$. Sea $B’=\set{2,4}\subseteq B$.

Tenemos que,

$f^{-1}[B’]=\set{x\in A: \exists y\in B’\ tal\ que\ f(x)=y}=\set{1,2}$.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a reforzar los conceptos de función, dominio e imagen.

  • Sea $f$ una función de $\set{1,2}$ en $\set{2.4,5}$ dada por $f=\set{(1,2), (2,4)}$. Describe al dominio y la imagen de $f$.
  • Sean $A=\set{1,2,3,4,5,6,7,8,9}$ y $B=\set{1,2,3,4,5,6,7}$ conjuntos. Responde si las siguientes relaciones son o no funciones:
    1. $f_1=\set{(1,1), (1,2), (2,1), (3,4)}$,
    2. $f_2=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4) (5,5)}$,
    3. $f_3=\set{(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1)}$.

Más adelante

La siguiente sección estará dedicada a hablar acerca de algunas de las propiedades que tiene la imagen de un conjunto bajo una función respecto a la unión, la intersección y la diferencia. Además hablaremos acerca de la composición de funciones, en esta parte retomaremos el concepto de composición de relaciones.

Enlaces

En el siguiente enlace podrás encontrar información acerca del tema de funciones abordado desde el álgebra superior:

Álgebra Superior I: Introducción a funciones

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