Teoría de los Conjuntos I: Operaciones entre conjuntos

Introducción

A continuación definiremos algunas de las operaciones que hay entre conjuntos como lo son la unión, intersección y diferencia. Retomaremos algunas axiomas como el de unión y el axioma esquema de comprensión, para ver que estas operaciones definen nuevos conjuntos.

Unión

Definición: Si $A$ y $B$ son conjuntos, entonces definimos la unión de $A$ y $B$ como:


$A\cup B=\bigcup\set{A,B}$

o bien,

$A\cup B= \set{x: x\in A\ o\ x\in B}$

Ejemplos:

  1. Consideremos los conjuntos $A= \set{\emptyset}$ y $B= \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$. Luego, $A\cup B=\bigcup\set{A,B} = \bigcup\set{\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}=B$.
  2. Ahora, consideremos $A=\set{\set{\emptyset}}$ y $B=\set{\set{\set{\emptyset}}}$. Tendremos que $A\cup B=\set{\set{\emptyset}}\cup \set{\set{\set{\emptyset}}}=\set{\set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}$.

$\square$

Propiedades de la unión

Proposición: Para cualquier conjunto $A$ se tiene que $A\subseteq A\cup B$. Además, $A\cup B= B\cup A$.

Demostración:
Primero veamos que $A\subseteq A\cup B$. Supongamos que $x\in A$, entonces $x\in A$ o $x\in B$ es verdadero para cualquier conjunto $B$, dado que estamos suponiendo que $x\in A$ si ocurre.
Si $x\in B$ es verdadero, tendremos que $x\in A$ o $x\in B$ es verdadero, y si $x\in B$ es falso, entonces $x\in A$ o $x\in B$ es verdadero. (Ver tablas de verdad en Teoría de los Conjuntos I: Repaso sobre lenguaje de la Teoría de los Conjuntos).

Por lo que no importa el valor de verdad que tenga la proposición $x\in B$, siempre que ocurra $x\in A$ va a resultar que $x\in A$ o $x\in B$ es verdadero, y así $x\in A\cup B$.

La unión es conmutativa

Luego, para ver que $A\cup B= B\cup A$ tenemos que $x\in A\cup B$ si y sólo si $x\in A$ o $x\in B$, si y sólo si $x\in B$ o $x\in A$ (pues la tabla de verdad de “$p\vee q$” es equivalente a la de “$q\vee p$”), si y sólo si $x\in B\cup A$. Esto prueba que la unión es conmutativa.

$\square$

Proposición: Sea $A$ un conjunto tal que $A\in S$, entonces $A\subseteq \bigcup S$.

Demostración:
Supongamos que $A\in S$ y sea $x\in A$, tenemos que $x\in \bigcup S$. En efecto, para $x\in A$ arbitrario existe $y\in S$ tal que $x\in y$, a saber $y=A$. Por lo tanto, $A\subseteq S$.

$\square$

Intersección

Definición: Sean $A$ y $B$ conjuntos. La intersección de dos conjuntos estará definida como sigue:

$A\cap B=\set{x:x\in A\ y\ x\in B}$.

Proposición: Demuestra que $A\cap B$ es un conjunto.

Demostración: Sean $A$ y $B$ conjuntos.

Definamos la propiedad “$P(x)=x\in B$”. Por el axioma esquema de comprensión se tiene que

$\set{x\in A:P(x)}=\set{x\in A:x\in B}$

es un conjunto.

Luego, $\set{x\in A:x\in B}=A\cap B$. En efecto, $x\in A\cap B$ si y sólo si $x\in A$ y $x\in B$ si y sólo si $x\in \set{x\in A:x\in B}$.

Por lo tanto, $A\cap B$ es conjunto.

$\square$

Ejemplos:

  1. Consideremos $A=\set{\emptyset}$ y $B=\set{\set{\emptyset}}$, tenemos que $A\cap B=\emptyset$ esto último debido a que no existe ningún elemento $x$ tal que $x\in \set{\emptyset}$ y $x\in\set{\set{\emptyset}}$ al mismo tiempo. De ocurrir, tendriamos que $x=\emptyset$ y $x=\set{\emptyset}$ y por lo tanto, $\emptyset=\set{\emptyset}$ lo cual sabemos que no ocurre. Por lo tanto, $A\cap B=\emptyset$.
  2. Sean $A=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ y $B=\set{\emptyset}$ conjuntos. Notemos que en este ejemplo el único elemento que está tanto en el conjunto $A$ como en el conjunto $B$ es $x=\emptyset$. De este modo, $A\cap B=\set{\emptyset}$

$\square$

Definición: Sea $A$ un conjunto no vacío, definimos a la intersección de $A$ como el conjunto:

$\bigcap A=\set{x: \forall y\in A(x\in y)}$.

Ejemplo:

Sea $A=\set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$, tenemos que $\bigcap A=\emptyset$. En efecto, ya que no existe ningún elemento $x$ que pertenezca a todos los elementos de $A$.

$\square$

Propiedades de la intersección

Teorema: Para cualesquiera $A$, $B$ conjuntos, tenemos que:

  1. $A\cap B\subseteq A$,
  2. $A\cap A=A$,
  3. $A\cap B=B\cap A$.

Demostración:

  1. Sea $x\in A\cap B$. Veamos que $x\in A$.
    Como $x\in A\cap B$ tenemos por definición de intersección que $x\in A$ y $x\in B$. En particular, $x\in A$. Por lo tanto, $A\cap B\subseteq A$.
  2. Tomemos $x\in A\cap A$. Veamos que $x\in A$.
    Que $x\in A\cap A$ es equivalente a decir que $x\in A$ y $x\in A$ si y sólo si $x\in A$. Por lo tanto, $A\cap A=A$.
  3. $A\cap B=B\cap A$ pues $x\in A\cap B$ arbitrario si y sólo si $x\in A$ y $x\in B$, si y sólo si $x\in B$ y $x\in A$, si y sólo si $x\in B\cap A$.

$\square$

Diferencia

Definición: Sean $A$ y $B$ conjuntos. La diferencia de $A$ con $B$ estará definida como sigue:

$A\setminus B=\set{x:x\in A\ y\ x\notin B}$.

Proposición: Demuestra que $A\setminus B$ es un conjunto.

Demostración: Sean $A$ y $B$ conjuntos.

Definamos la propiedad “$P(x)=x\notin B$”. Por el axioma esquema de comprensión se tiene que

$\set{x\in A:P(x)}=\set{x\in A:x\notin B}$

es un conjunto.

Luego, $\set{x\in A:x\notin B}=A\setminus B$. En efecto, $x\in A\setminus B$ si y sólo si $x\in A$ y $x\notin B$ si y sólo si $x\in \set{x\in A:x\notin B}$.

$\square$

Ejemplos:

  1. Consideremos $A=\set{\emptyset}$ y $B=\set{\set{\emptyset}}$, tenemos que $A\setminus B=\set{\emptyset}$ pues el único elemento que cumple estar en $A$ y no pertenecer al conjunto $B$ es $\emptyset$.
  2. Sea $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $B=\set{\emptyset}$. Luego,
    $A\setminus B=\set{x\in A:x\notin B}=\set{x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}}: x\notin\set{\emptyset}}= \set{\emptyset}$.

Propiedades de la diferencia

Teorema: Para cualesquiera $A$, $B$ conjuntos, tenemos que:

  1. $A\setminus \emptyset= A$,
  2. $A\setminus A=\emptyset$,
  3. $A\setminus B=A\setminus (A \cap B)$.

Demostración:

  1. Sea $x\in A\setminus \emptyset$., entonces $x\in A$ y $x\notin \emptyset$. En particular $x\in A$, por lo tanto $A\setminus \emptyset\subseteq A$.
    Luego, supongamos que $x\in A$. Como $x\notin \emptyset$ es verdadero para cualquier conjunto $x$, tenemos que $x\in A$ y $x\notin \emptyset$ es verdadero. Por lo tanto, $x\in A\setminus \emptyset$ y así $A\subseteq A\setminus \emptyset$.
    De lo anterior tenemos que $A=A\setminus \emptyset$.
  2. Supongamos que $A\setminus A\not=\emptyset$, es decir, existe al menos un elemento $x\in A\setminus A$. Entonces $x\in A$ y $x\notin A$, lo cual no puede ocurrir. Dado que la contradicción provino de suponer que $A\setminus A\not=\emptyset$, concluimos que $A\setminus A=\emptyset$.
  3. Veamos que $A\setminus B=A\setminus (A \cap B)$.
    $\subseteq$] Sea $x\in A\setminus B$, entonces $x\in A$ y $x\notin B$. Luego, como $x\notin B$ entonces $x\notin A$ o $x\notin B$ es verdadero. Lo que equivale a decir que $x\notin (A\cap B)$. Por lo tanto, $x\in A$ y $x\notin (A \cap B)$ y así, $A\setminus B\subseteq A\setminus(A\cap B)$.
    $\supseteq$] Sea $x\in A\setminus (A\cap B)$, entonces $x\in A$ y $x\notin (A\cap B)$. Lo que equivale a decir que $x\in A$ y ($x\notin A$ o $x\notin B$). Dado que $x\notin A$ no puede ocurrir pues $x\in A$, entonces $x\notin B$. Por lo tanto, $x\in A$ y $x\notin B$ y así, $A\setminus(A\cap B)\subseteq A\setminus B$.
    Por lo tanto, $A\setminus(A\cap B)= A\setminus B$

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te servirán para poner en practica los conocimientos que has adquirido en este sección, en la siguiente lista podrás probar las siguientes propiedades de la unión, intersección y diferencia de conjuntos:

  • Verifica que si $p$ y $q$ son proposiciones, entonces $p\vee q\equiv q\vee p$.
  • Verifica que si $p$ y $q$ son proposiciones, entonces $\neg(p\land q)\equiv (\neg p\vee \neg q)$.
  • Prueba que para cualesquiera $A$, $B$ y $C$ conjuntos, $A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$.
  • $A\cap (B\cap C)= (A\cap B)\cap C$.
  • Prueba que para cualesquiera $A$, $B$ y $C$ conjuntos:
    – $A\cup (B\cap C)= (A\cup B)\cap(A\cup C)$,
    – $A\cap (B\cup C)= (A\cap B)\cup(A\cap C)$.
  • Si $A\subseteq C$ y $B\subseteq C$ entonces $A\cap B\subseteq C\cap D$.
  • Demuestra que $A\setminus B=A$ si y sólo si $A\cap B=\emptyset$.

Más adelante…

En la siguiente sección retomaremos la definición de intersección de conjuntos y mencionaremos el axioma de buena fundación. Además abordaremos el tema de la colección de todos los conjuntos apoyados de este último axioma. Finalmente, veremos que la intersección del conjunto vacío resulta ser la clase de todos los conjuntos.

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