Teoría de los Conjuntos I: Repaso sobre el lenguaje de la Teoría de los Conjuntos

Introducción

Se entiende por un conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente.

Georg Cantor

Para iniciar tu aventura en la Teoría de Conjuntos es importante hacer una breve introducción al lenguaje que utiliza está misma. Profundizaremos en la definición que dio Cantor sobre un conjunto. Podremos entender que es una colección de objetos a los que podemos describir con una propiedad, más aún, está propiedad no debe ser ambigua pues es necesario poder decidir si un elemento forma parte o no del conjunto.

Un poco de lógica

Antes de navegar por la teoría de conjuntos, haremos una pequeña pero importante parada por otra de las ramas de la matemática: la lógica. Dado que en las matemáticas siempre estamos buscando la verdad de las cosas, necesitamos definir cuando un enunciado es verdadero o falso.

Definición: Una proposición es un enunciado al que podemos asignarle un único valor de verdad, ya sea verdadero o falso. A las proposiciones las denotaremos con letras: $P_1, P_2,\cdots P_n, P, Q, …, p, q, p_1, p_2, …, p_n$.

Ejemplos:

Si «$P_1= 2$ es un número par», diremos que la proposición $P_1$ es verdadera pues sabemos que $2$ en efecto es un número par.

Si «$P_2= 4$ es primo», diremos que $P_2$ es una proposición falsa.

$\square$

Una vez definido el concepto de proposición vamos a hablar acerca de conectivos lógicos y sus tablas de verdad.

Conectivos lógicos

Negación: Sea $P$ una proposición. Definimos la negación de $P$ como el enunciado: «no es cierto $P$» y lo denotamos como $\neg P$.

Dado que $P$ solo puede tomar un valor de verdad: verdadero o falso. Si $P$ es verdadero, entonces $\neg P$ es falso. Si $P$ es falso entonces $\neg P$ es verdadero. Veamos su tabla de verdad:

$P$$\neg P$
VF
FV

A continuación definiremos conectivos para dos o más proposiciones las cuales se llamaran compuestas. Si la tabla de verdad de una proposición compuesta tiene solo valores verdaderos diremos que se trata de una tautología.

Conjunción: Sean $P$ y $Q$ proposiciones. Definimos la conjunción de $P$ y $Q$ como el enunciado: «$P$ y $Q$» y lo denotamos por $P\land Q$. En este caso, $P\land Q$ es verdadero si y solo si tanto $P$ como $Q$ son verdaderos, veamos su tabla de verdad:

$P$$Q$$P\land Q$
VVV
VFF
FVF
FFF

Luego, la negación de la conjunción $\neg(P\land Q)$ es equivalente a $\neg P \vee \neg Q$ pues $\neg(P \land Q)\leftrightarrow (\neg P\vee \neg Q)$ es una tautología y lo denotamos como sigue: $\neg(P \land Q)\equiv (\neg P\vee \neg Q)$. Observemos la tabla de verdad:

$P$$Q$$\neg(P\land Q)$$\neg P \vee \neg Q $
VVFVF
VFVVV
FVVVV
FFVVV

Disyunción: Sean $P$ y $Q$ proposiciones. Definimos a la disyunción de $P$ con $Q$ como el enunciado: «$P$ o $Q$» y lo denotamos por $P\vee Q$. En este caso, $P\vee Q$ es verdadero si y solo si al menos una de las proposiciones $P$ o $Q$ es verdadera, veamos su tabla de verdad:

$P$$Q$$P\vee Q$
VVV
VFV
FFV
FFF

La negación de la disyunción $\neg(P\vee Q)$ es equivalente a $\neg P \land \neg Q$. Observemos la tabla de verdad:

$P$$Q$$\neg(P\vee Q)$$\leftrightarrow$$\neg P\land \neg Q$
VVFVF
VFFVF
FVFVF
FFVVV

Implicación: Sean $P$ y $Q$ proposiciones. Definimos a la implicación como el enunciado «$P$ implica $Q$» y lo denotamos por $P\rightarrow Q$. En este caso, «$P\rightarrow Q$» es verdadero si y solo si tanto $P$ como $Q$ son verdaderos, o bien $P$ es falso. Veamos su tabla de verdad:

$P$$Q$$P\rightarrow Q$
VVV
VFF
FVV
FFV

Podemos verificar que $\neg(P\rightarrow Q)\equiv (P\land \neg Q)$.

Bicondicional: Sean $P$ y $Q$ proposiciones. Definimos a la bicondicional de $P$ y $Q$ como el enunciado: «$P$ si y sólo si $Q$» y lo denotamos por «$P\leftrightarrow Q$». En este caso, $P \leftrightarrow Q$ es verdadero si y solo si $P$ y $Q$ tienen el mismo valor de verdad. Veamos su tabla de verdad:

$P$$Q$$P \leftrightarrow Q$
VVV
VFF
FVF
FFV

Podemos verificar que $\neg(P\leftrightarrow Q)\equiv (P\land \neg Q)\vee(Q\land \neg P)$.

Cuantificador universal y existencial

Ahora que hemos recordado los conectivos lógicos y sus tablas de verdad, podemos familiarizarnos con cuantificadores y sus negaciones. Para ello definamos primero lo siguiente:

Definición: Un predicado es un enunciado con una variable $x$ tal que al sustituirla se obtiene un proposición. La denotamos como $P(x)$.

Ejemplos:

  1. $P(x)= x+2=5$. Es claro que $x+2=5$ no es una proposición pues si no sabemos el valor de $x$ no podremos decir cual es su valor de verdad, sin embargo, que pasaría si a $x$ le damos el valor de $3$, entonces $x+2=3+2=5$ es verdadero y por lo tanto, una proposición.
  2. Si $Q(x)=x$ es par, sólo si definimos que valores toma $x$ sabremos si $Q(x)$ es verdadero o falso.

$\square$

Ahora que hemos definido que es un predicado, podemos hablar acerca de los cuantificadores: universal y existencial.

Definición: Sea $P(x)$ un predicado, definimos «$\exists x P(x)$» como el cuantificador existencial y se interpreta como «existe x tal que $P(x)$». La manera en que vamos a negar $\exists x P(x)$» es la siguiente: $\neg(\exists x P(x))\equiv \forall x(\neg(P(x))$».

Definición: Sea $P(x)$ un predicado, definimos «$\forall x P(x)$» como el cuantificador universal y se interpreta como «para cualquier x, $P(x)$». La manera en que vamos a negar $\forall x P(x)$» es la siguiente: $\neg(\forall x P(x))\equiv \exists x(\neg(P(x))$».

Ahora que tenemos las definiciones necesarias de lógica, comenzaremos a recordar la noción de pertenecer a un conjunto.

Elementos y pertenencia

Si tenemos que $A$ es un conjunto, para decir que un objeto es parte del conjunto utilizaremos la notación $x\in A$, que puede leerse como «$x$ es elemento de $A$» o «$x$ pertenece a $A$».

Por ejemplo, si $B=\set{1,2,3}$ podemos decir lo siguiente:

  • $1\in B$
  • $2\in B$
  • $3\in B$

Esto porque tanto $1,2$ y $3$ están dentro del conjunto $B$. Así mismo podemos decidir si un objeto forma parte de $B$ o no, si quisiera saber si $5\in B$ la respuesta que daremos será que no, la manera en que vamos a denotar la no pertenencia es la siguiente: $5\notin B$. En general, si un elemento no forma parte de un conjunto $A$ diremos que $x\notin A$ ($x$ no pertenece a $A$).

Contención e igualdad

Ahora que ya sabemos diferenciar cuando un elemento pertenece o no a un conjunto, podemos ver si un conjunto es subconjunto de otro. Sean $A$ y $B$ conjuntos, decimos que $A\subseteq B$ si y sólo si $\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)$. De modo que tendremos que $A\not\subseteq B$ si y sólo si $\exists x(x\in A$ y $x\notin B)$.

Ejemplo:

Sean $A=\set{a,b,c,d}$ y $B=\set{a,b,c,d,e,f}$. Decimos que $A\subseteq B$ pues cada elemento de $A$ es elemento de $B$. Sin embargo, $B$ no es subconjunto de $A$ pues podemos exhibir un elemento que está en $B$ pero no está en $A$, el elemento que nos funciona en este ejemplo es $e$ ya que $e\in B$ y $e\notin A$. Seguro estarás notando que existe más de un elemento ($f$ también funciona) que hace que $B\not\subseteq A$, pero basta con exhibir uno solo pues de este modo se satisface la definición.

Tarea Moral

  • Demuestra que si $p$ y $q$ son proposiciones, entonces $p\rightarrow q$ es equivalente a $\neg q\rightarrow \neg p$.
  • Demuestra que $\neg(p\rightarrow q)\equiv (p\land \neg q)$ y $\neg(p\leftrightarrow q)\equiv [(p\land \neg q)\vee (q\land \neg p )]$
  • Sea $B=\set{a,b,c,\set{a,b}}. Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) $a\in B$,

b) $\set{a,b} \in B$,

c) $\set{b,c} \in B$.

  • Si $A= \set{1,2,3}$, di quienes son los elementos de $A$ y además da todos los subconjuntos de $A$.
  • Demuestra que si $A$ es un conjunto cualquiera, entonces $A\subseteq A$.

Más adelante…

En la siguiente entrada podrás encontrar contenido referente a la definición de conjunto y los primeros axiomas de Zermelo-Fraenkel para la Teoría de los Conjuntos, ahí tendrás que tener algunos conocimientos acerca de lógica para entender la notación que usaremos en adelante. Sin embargo ya hemos sentado las bases necesarios en esta entrada.

Otros enlaces:

Los siguientes enlaces te servirán para revisar con mejor detalle el tema

1 comentario en “Teoría de los Conjuntos I: Repaso sobre el lenguaje de la Teoría de los Conjuntos

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