Introducción

Antes de comenzar con nuestro curso de Teoría de los Conjuntos I, dedicaremos esta entrada para hablar acerca de lógica de primer orden. Esto lo haremos únicamente con el fin de que veas como se van construyendo las fórmulas de la Teoría de los Conjuntos.

Necesariamente, esta entrada será breve, pues todas las precisiones de lógica se ven en un curso de esta materia, y todas las precisiones de teoría de conjuntos es parte de lo que esperamos entender en este curso.

Lenguaje de la Teoría de los Conjuntos

Definición. El lenguaje de la teoría de los conjuntos consiste en:

Simbolos lógicos:

1. Variables $x, y, z$
2. Conectivos lógicos $\neg$, $\land$, $\vee$, $\rightarrow$, $\leftrightarrow$
3. Cuantificadores $\forall$, $\exists$
4. Parentesis (,)

Simbolos no lógicos:

1. Símbolos de predicado $\in$ y $=$.

Es importante decir que todas las variables de nuestro lenguaje son conjuntos.

Las fórmulas atómicas son de la forma: $x\in y$ y $x=y$.

A partir de aquí, podemos formar más fórmulas, ya que si $\phi$ y $\varphi$ son fórmulas, entonces $\neg \phi$, $\phi \land \varphi$, $\phi \vee \varphi$, $\phi \rightarrow \varphi$, $\phi \leftrightarrow \varphi$ tambien lo son.

Ejemplo.

$\neg (x=y)$, $(x\in y)\land (x=y)$, $(x\in y)\vee (x\in z)$, $(x\in z)\rightarrow (x=z)$, $(x\in z)\leftrightarrow (y\in w)$ son fórmulas de la teoría de conjuntos.

$\square$

Si $\varphi$ es una fórmula de la teoría de los conjuntos, entonces $\exists x \varphi$ y $\forall x \varphi$ también lo son.

Ejemplo.

• Dado que $(x\in y)\vee (x\in z)$ es una fórmula de la teoría de los conjuntos. Entonces, $\forall x((x\in y) \vee (x\in z))$ también lo es.

• $\forall x((x\in y) \rightarrow \neg(x\in z))$ es fórmula de la teoría de conjuntos.
• $\exists x(x\in y)$ es fórmula de la teoría de conjuntos.

$\square$

A estás fórmulas que podemos ir construyendo les llamaremos predicados, los cuales entederemos como propiedades que nos interesara verificar si cumple o no un conjunto para decidir más adelante si forma parte o no de otro conjunto.

Dado que las fórmulas que podemos ir construyendo con el lenguaje de la teoría de los conjuntos se vuelven más y más largas, vamos a abreviarlas para facilitar su escritura.

Abreviaturas.

• $\neg(x\in y)$ lo escribiremos como $x\notin y$.
• $\forall x(((x\in y)\rightarrow (x\in z))\land ((x\in z)\rightarrow (x\in y))$ lo escribiremos como $y=z$.
• $\neg(x=y)$ lo escribiremos como $x\not= y$.
• $\forall x((x\in y)\rightarrow (x\in z))$ lo escribiremos como $y\subseteq z$.

Tarea moral

Construye 10 fórmulas del lenguaje de la teoría de los conjuntos. Utiliza cuantificadores y conectivos lógicos.

Más adelante…

En la siguiente entrada daremos inicio al curso de Teoría de los Conjuntos I. Comenzaremos hablando de los primeros axiomas de Zermelo-Fraenkel, estos axiomas son los de existencia, de comprensión y de extensión. El primero de ellos nos permitirá siquiera asegurar la existencia de un conjunto.

Entradas relacionadas

Los siguientes enlaces te servirán para revisar con mejor detalle el tema:

• Entradas relacionadas: Tablas de verdad
• Negaciones de conectivos
• Ir a Teoría de los Conjuntos I
• Siguiente entrada: Axiomas de existencia, de comprensión y de extensión

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»