Teoría de los Conjuntos I: Números naturales

Por Gabriela Hernández Aguilar

Introducción

En esta entrada daremos la definición formal de qué es un número natural. Además probaremos algunos resultados sobre números naturales.

Número natural

Definición. Sea $n$ un conjunto. Decimos que $n$ es un número natural si satisface las siguientes tres condiciones:

  1. $n$ es un conjunto transitivo.
  2. $\in_n$ es un orden total estricto en $n$.
  3. Cualquier subconjunto no vacío $z$ de $n$ tiene elemento mínimo y máximo en el orden $\in_n$.

Ejemplo.

Afirmamos que el conjunto $0=\emptyset$ es un número natural. Veamos por qué. En la entrada anterior vimos que $\emptyset$ es un conjunto transitivo.

Además, $(\emptyset, \in_\emptyset)$ es un conjunto totalmente ordenado pues $\in_\emptyset= \emptyset$, por lo que se satisface por vacuidad (en $\emptyset$) que es una relación asimétrica y transitiva. Asimismo, los elementos de $\in_\emptyset$ son comparables por vacuidad (en $\emptyset$) y por lo tanto, $\in_\emptyset$ es un orden total.

Finalmente, se satisface por vacuidad que para cualquier $z\not=\emptyset$ (pues no hay tal) que cumple que $z\subseteq \emptyset$, se tiene que $z$ tiene elemento mínimo y máximo en el orden $\in_\emptyset$.

Por lo tanto, $\emptyset$ es un número natural.

$\square$

Elementos de números naturales son números naturales

En esta sección veremos que si $n$ es número natural y $z\in n$, entonces $z$ es número natural. Lo primero que es conveniente hacer es entender la relación $\in_z$ en términos de la relación $\in_n$.

Lema 1. Si $n$ es un conjunto transtivo, entonces para cualquier $z\in n$ se cumple que $\in_n\cap (z\times z)=\in_z$..

Demostración. En efecto, tenemos que

\begin{align*}
\in_n\cap(z\times z)&=\set{(x,y)\in n\times n:x\in y}\cap(z\times z)\\
&=\set{(x,y)\in z\times z:x\in y}\\
&=\in_z.
\end{align*}

$\square$

El siguiente lema será de ayuda para mostrar que cualquier elemento de un número natural resulta ser también un número natural.

Lema 2. Si $n$ es un conjunto transitivo, entonces, para cualquier $z\in n$ se satisface que $\in_z$ es un orden total estricto en $z$.

Demostración.

Veamos que $\in_z$ es una relación asimétrica, transitiva y sus elementos son $\in_z$-comparables.

  1. Asimetría.
    Procedamos por contradicción. Supongamos que $x,y\in z$ tales que $x\in_z y$ y $y\in_z x$. Por el Lema 1, tendríamos que $x\in_n y$ y $y\in_n x$, lo cual no puede ocurrir pues $\in_n$ es una relación asimétrica. Así, no hay tales $x$ y $y$. Esto muestra que $\in_z$ también es una relación asimétrica.
  2. Transitividad.
    Sean $x, y, w\in z$ tales que $x\in_z y$ y $y\in_z w$. Por el Lema 1, tenemos que $x\in_n y$ y $y\in_n w$, lo que implica que $x\in_n w$ con $x, w\in z$. De nuevo por el Lema 1, se tiene que $x\in_zw$. Por lo tanto, $\in_z$ es transitiva en $z$.
  3. $\in_z$-comparables.
    Sean $x,y\in z$. Dado que $z\in n$, entonces $x\in n$ y $y\in n$. Como $\in_n$ es total, tenemos que $x\in_n y$ o $y\in_n x$ o $y=x$. Por el Lema 1, estas posibilidades implican, respectivamente, que $x\in_z y$ o $y\in_z x$ o $y=x$, es decir, los elementos de $z$ son $\in_z$ comparables.

Por lo tanto, $\in_z$ es un orden total en $z$.

$\square$

Estamos listos para ver que elementos de naturales son naturales.

Teorema. Si $z\in n$ con $n$ número natural, entonces $z$ también es un número natural.

Demostración.

Supongamos que $n$ es un número natural y que $z\in n$. Veamos que en $z$ se verifican las condiciones 1, 2 y 3 de la definición de número natural.

  1. $z$ es un conjunto transitivo.
    En efecto, sea $y\in z$. Como $n$ es transitivo y $z\in n$, tenemos que $y\in n$. Si tomamos $w\in y$, se sigue nuevamente que $w\in n$ por la transitividad de $n$. Como $\in_n$ es transitiva, y $w,y,z$ están en $n$, tenemos entonces que $w\in z$. Así, $y\subseteq z$. Concluimos que para cualquier $y\in z$ se tiene que $y\subseteq z$ y, por lo tanto, $z$ es un conjunto transitivo.
  2. $\in_z$ es un orden total en $z$.
    Por el Lema 2 se tiene que $\in_z$ es un orden total estricto en $z$.
  3. Subconjuntos no vacíos de $z$ tienen máximo y mínimo con respecto a $\in_z$.
    Sea $B\subseteq z$ con $B$ no vacío. Dado que $n$ es un número natural y $z\in n$, tenemos que $z\subseteq n$. Así, por transitividad de la contención se sigue que $B\subseteq n$, por lo que $B$ tiene elemento mínimo y máximo con respecto a $\in_n$. Llamemos a estos elementos $b_1$ y $b_2$, respectivamente. Recordemos que $b_1,b_2$ son elementos de $B$ y, por lo tanto, de $z$ y de $n$.
    Veamos que $b_1$ y $b_2$ son los elementos mínimo y máximo de $B$ con respecto a $\in_z$. Tomemos $b\in B\setminus \{b_1\}$. Como $b\in B$, tenemos que $b\in z$ y por lo tanto $b\in n$. Como $b_1$ es mínimo de $\in_n$, tenemos que $b_1\in_n b$. Por el Lema 1, tenemos entonces que $b_1\in_z b$. Así, $b_1$ es mínimo de $\in_z$. Una demostración análoga muestra que $b_2$ es máximo de $\in_z$. Por lo tanto, $B$ tiene elemento mínimo y máximo con respecto a $\in_z$.

Todo lo anterior nos permite concluir que $z$ es número natural.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido visto en esta entrada, además de seguir trabajando el concepto de conjuntos transitivos.

  1. Muestra que los conjuntos $1,2,3,4$ que hemos definido previamente en efecto son conjuntos transitivos.
  2. Este ejercicio consiste en probar una versión más general del Lema 2. Muestra que si $(x,\lt)$ es un conjunto estrictamente y totalmente ordenado, entonces para cualquier subconjunto $y$ de $x$ se tiene que $(y, \lt \cap (y\times y))$ también es un conjunto estrictamente y totalmente ordenado.
  3. Prueba que si $x\not=\emptyset$ es un conjunto transitivo, entonces $\bigcap x$ es un conjunto transitivo.
  4. Prueba que si $x$ es un conjunto transitivo, entonces $\bigcup x$ es un conjunto transitivo
  5. Demuestra que si $n$ es un número natural, entonces $n\notin n$. Haz esto de dos formas distintas: 1) Usando la definición de número natural para llegar a una contradicción y 2) Usando el axioma de de buena fundación.
  6. Demuestra que si $n$ y $m$ son números naturales, entonces no puede ocurrir que $n\in m$ y $m\in n$ al mismo tiempo. Haz esto de dos formas distintas: 1) Usando la definición de número natural para llegar a una contradicción y 2) Usando el axioma de buena fundación.

Más adelante…

En la siguiente entrada definiremos al sucesor de un número natural. A partir de este nuevo concepto, probaremos propiedades adicionales para los números naturales.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

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