Introducción
En esta entrada daremos la definición formal de un número natural. Además probaremos algunos resultados sobre números naturales.
Número natural
Definición. Sea $x$ un conjunto. Decimos que $x$ es un número natural si satisface las siguientes condiciones:
- $x$ es un conjunto transitivo,
- $\in_x$ es un orden lineal estricto en $x$,
- cualquier $z$ no vacío subconjunto de $x$ tiene elemento mínimo y máximo en el orden $\in_x$.
Ejemplo.
$\emptyset$ es un número natural.
En la entrada anterior vimos que $\emptyset$ es un conjunto transitivo.
Además, $(\emptyset, \in_\emptyset)$ es un conjunto totalmente ordenado pues $\in_\emptyset= \emptyset$, por lo que se satisface por vacuidad que $\in_\emptyset=\emptyset$ es una relación asimétrica y transitiva en el conjunto $\emptyset$. Asimismo, los elementos de $\in_\emptyset$ son comparables por vacuidad y por tanto, $\in_\emptyset$ es un orden total.
Finalmente, se satisface por vacuidad que para cualquier $z\not=\emptyset$ tal que $z\subseteq \emptyset$, $z$ tiene elemento mínimo y máximo en el orden $\in_\emptyset$.
Por lo tanto, $\emptyset$ es un número natural.
$\square$
Nota ahora que si $n$ es un natural, entonces, para cualquier $z\in n$ se cumple que $\in_n\cap (z\times z)=\in_z$. En efecto:
\begin{align*}
\in_n\cap(z\times z)&=\set{(x,y)\in n\times n:x\in y}\cap\set{(x,y)\in n\times n:x\in z \ \text{y}\ y\in z}\\
&=\set{(x,y)\in z\times z:x\in y}=\in_z.
\end{align*}
El siguiente lema será de ayuda para mostrar que cualquier elemento de un número natural resulta ser también un número natural.
Lema. Si $n$ es un número natural, entonces, para cualquier $z\in n$ se satisface que $\in_z$ es un orden total estricto en $z$.
Demostración.
Veamos que $\in_z$ es una relación asimétrica, transitiva y sus elementos son $\in_z$-comparables.
- Asimetría.
Sean $x,y\in z$ tales que $x\in_z y$. Tenemos entonces que $(x,y)\in\in_z=\in_n\cap(z\times z)$, por lo que $(x,y)\in\in_n$ y así, $x\in_ny$. Luego, no puede ocurrir que $y\in_zx$ pues tendríamos también que $y\in_nx$ y, en consecuencia, se cumpliría al mismo tiempo que $x\in_ny$ y que $y\in_nx$, lo cual no puede ocurrir pues $\in_n$ es una relación asimétrica. Esto muestra que $\in_z$ también es una relación asimétrica. - Transitividad.
Sean $x, y, w\in z$ tales que $x\in_z y$ y $y\in_z w$. Dado que $z\in n$ y $x,y, w\in z$, por la transtividad de $n$ se tiene que $x,y,w\in n$ y así, $x\in_n y$ y $y\in_n w$, lo que implica que $x\in_n w$ con $x, w\in z$; luego entonces $x\in_zw$. Por lo tanto, $\in_z$ es transitiva en $z$. - $\in_z$-comparables.
Sean $x,y\in z$, dado que $z\in n$, entonces $x\in n$ y $y\in n$, por lo que $x\in_n y$ o $y\in_n x$ o $y=x$. Como $x,y\in z$ entonces se satisface que $x\in_z y$ o $y\in_z x$ o $y=x$, es decir, los elementos de $z$ son $\in_z$ comparables.
Por lo tanto, $\in_z=\in_n\cap (z\times z)$ es un orden total en $z$.
$\square$
Teorema. Si $z\in n$ con $n$ natural, entonces $z$ es un número natural.
Demostración.
Supongamos que $n$ es un número natural y que $z\in n$. Veamos que en $z$ se verifican las condiciones 1, 2 y 3 de la definición de número natural.
- $z$ es un conjunto transitivo.
En efecto, sea $y\in z$. Dado que $n$ es un número natural, entonces $n$ es un conjunto transitivo y como $z\in n$, entonces $z\subseteq n$; en consecuencia, $y\in n$. Luego, si $w\in y$, se sigue nuevamente que $w\in n$ por la transitividad de $n$. De modo que, si $w\in y$, entonces $w\in y$ y $y\in z$, por lo cual se sigue que $w\in z$, pues la pertenencia es un orden lineal en $n$. Lo que demuestra que $y\subseteq z$ y, por tanto, $z$ es un conjunto transitivo. - $\in_z$ es un orden total en $z$. Por el Lema anterior se tiene que $\in_z$ es un orden total en $z$.
- Sea $B\subseteq z$ con $B$ conjunto no vacío. Dado que $n$ es un número natural y $z\in n$, tenemos que $z\subseteq n$. Así, por transitividad de la contención se sigue que $B\subseteq n$, por lo que $B$ tiene elemento mínimo y máximo con respecto a la pertenencia en $n$; esto es, existen $b_1,b_2\in B$ tales que para todo $b\in B\setminus\set{b_1}$, $b_1\in_n b$ y, para todo $b\in B\setminus\set{b_2}$, $b\in_n b_2$. Sea $b_1=\min_{\in_n} B$ y $b_2=\max_{\in_n} B$ los elementos mínimo y máximo de $B$ respecto a $\in_n$. Veamos que $b_1$ y $b_2$ son los elementos mínimo y máximo de $B$ con respecto a $\in_z$. Primero, por definición de elemento mínimo y máximo se tiene que $b_1$ y $b_2$ son elementos de $B$ y, en consecuencia, $b_1$ y $b_2$ son también elementos de $z$, ya que $B\subseteq z$. Ahora bien, para cualquier $b\in B\setminus\set{b_1}$ se tiene que $b\in z$ y, por ende, $(b_1,b)\in z\times z$. De manera análoga, $(b,b_2)\in z\times z$ para cualquier $b\in B\setminus\set{b_2}$. Además, $(b_1,b)\in\in_n$ y $(b,b_2)\in\in_n$ para cualquier $b\in B\setminus\set{b_1}$ y cualquier $b\in B\setminus\set{b_2}$, respectivamente. De esta manera, $(b_1,b)\in \in_n\cap(z\times z)=\in_z$ para cualquier $b\in B\setminus\set{b_1}$ y $(b,b_2)\in \in_n\cap(z\times z)=\in_z$ para cualquier $b\in B\setminus\set{b_2}$, lo que muestra que $b_1=\min_{\in_z}B$ y $b_2=\max_{\in_z}B$.
Por lo tanto, $B$ tiene elemento mínimo y máximo con respecto a la pertenencia en $z$.
Por lo tanto, cualquier conjunto que sea elemento de un número natural va a resultar ser un número natural.
$\square$
Tarea moral
La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido visto en esta entrada, además de seguir trabajando el concepto de conjunto transitivos.
- Prueba que si $x$ es un conjunto transitivo, entonces $\bigcap x$ es un conjunto transtivo.
- Demuestra que si $x\subseteq y$ y $y$ es un conjunto transitivo, entonces $x$ es un conjunto transitivo.
- Demuestra que si $n$ es un número natural, entonces $n\notin n$.
- Demuestra que si $n$ y $m$ son números naturales, entonces no puede ocurrir que $n\in m$ y $m\in n$ al mismo tiempo.
Más adelante…
En la siguiente entrada definiremos al sucesor de un número natural, a partir de este nuevo concepto probaremos nuevas propiedades que conoceremos para los números naturales.
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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»