Teoría de los Conjuntos I: Números naturales

Introducción

En esta entrada daremos la definición formal de que es un número natural. Además probaremos algunos resultados sobre números naturales.

Concepto

Definición: Sea $x$ un conjunto. Decimos que $x$ es un número natural si satisface las siguientes condiciones:

  1. $x$ es un conjunto transitivo,
  2. $\in_x$ es un orden lineal estricto en $x$,
  3. cualquier $z$ no vacío subconjunto de $x$ tiene elemento mínimo y máximo en el orden $\in_x$.

Ejemplo:

$\emptyset$ es un número natural.

En la entrada anterior vimos que $\emptyset$ es un conjunto transitivo.

Además, $(\emptyset, \in_\emptyset)$ es un conjunto totalmente ordenado pues $\in_\emptyset= \emptyset$, por lo que se satisface por vacuidad que $\in_\emptyset=\emptyset$ es una relación asimétrica y transitiva en el conjunto $\emptyset$. Asimismo, los elementos de $\in_\emptyset$ son comparables por vacuidad y por tanto, $\in_\emptyset$ es un orden total.

Finalmente, se satisface por vacuidad que para cualquier $z\not=\emptyset$ tal que $z\subseteq \emptyset$, $z$ tiene elemento mínimo y máximo en el orden $\in_\emptyset$.

Por lo tanto, $\emptyset$ es un número natural.

$\square$

Note ahora que si $n$ es un natural, entonces, para cualquier $z\in n$ se cumple que $\in_n\cap (z\times z)=\in_z$. En efecto:

\begin{align*}
\in_n\cap(z\times z)&=\set{(x,y)\in n\times n:x\in y}\cap\set{(x,y)\in n\times n:x\in z \text{y} y\in z}\\
&=\set{(x,y)\in z\times z:x\in y}=\in_z
\end{align*}

El siguiente Lema será de ayuda para mostrar que cualquier elemento de un número natural resulta ser también un número natural.

Lema: Si $n$ es un número natural, entonces, para cualquier $z\in n$ se satisface que $\in_z$ es un orden total estricto en $z$.

Demostración:

Veamos que $\in_z$ es una relación asimétrica, transitiva y sus elementos son $\in_z$-comparables.

  1. Asimetría:
    Sean $x,y\in z$ tales que $x\in_z y$. Tenemos entonces que $(x,y)\in\in_z=\in_n\cap(z\times z)$, por lo que $(x,y)\in\in_n$ y así, $x\in_ny$. Luego, no puede ocurrir que $y\in_zx$ pues tendríamos también que $y\in_nx$ y, en consecuencia, se cumpliría al mismo tiempo que $x\in_ny$ y que $y\in_nx$, lo cual no puede ocurrir pues $\in_n$ es una relación asimétrica. Esto muestra que $\in_z$ también es una relación asimétrica.
  2. Transitividad:
    Sean $x, y, w\in z$ tales que $x\in_z y$ y $y\in_z w$. Dado que $z\in n$ y $x,y, w\in z$, por la transtividad de $n$ se tiene que $x,y,w\in n$ y así, $x\in_n y$ y $y\in_n w$, lo que implica que $x\in_n w$ con $x, w\in z$; luego $x\in_zw$. Por lo tanto, $\in_z$ es transitiva en $z$.
  3. $\in_z$-comparables:
    Sean $x,y\in z$, dado que $z\in n$, entonces $x\in n$ y $y\in n$, por lo que $x\in_n y$ o $y\in_n x$. Como $x,y\in z$ entonces se satisface que $x\in_z y$ o $y\in_z x$, es decir, los elementos de $z$, son $\in_z$ comparables.

Por lo tanto, $\in_z=\in_n\cap (z\times z)$ es un orden total en $z$.

$\square$

Teorema: Si $z\in n$ con $n$ natural, entonces $z$ es un número natural.

Demostración:

Supongamos que $n$ es un número natural y que $z\in n$, veamos que se verifican las condiciones 1, 2 y 3 de la definición.

  1. $z$ es un conjunto transitivo.
    En efecto, sea $y\in z$. Dado que $n$ es un número natural, entonces $n$ es un conjunto transitivo y como $z\in n$, entonces $z\subseteq n$; en consecuencia, $y\in n$. Luego, si $w\in y$, se sigue nuevamente que $w\in n$ por la transitividad de $n$. Así, $w\in y$ y $y\in z$, y dado que $\in_n$ es un orden lineal, se sigue que $w\in z$. Lo que demuestra que $y\subseteq z$ y por tanto, $z$ es un conjunto transitivo.
  2. $\in_z$ es un orden total en $z$. Por el Lema anterior se tiene que $\in_z$ es un orden total en $z$.
  3. Sea $B\subseteq z$ con $B$ conjunto no vacío. Dado que $n$ es un número natural y $z\in n$, tenemos que $z\subseteq n$. Así, por transitividad de la contención se sigue que $B\subseteq n$, por lo que $B$ tiene elemento mínimo y máximo con respecto a la pertenencia en $n$; esto es, existen $b_1,b_2\in B$ tales que para todo $b\in B\setminus\set{b_1}$, $b_1\in_n b$ y, para todo $b\in B\setminus\set{b_2}$, $b\in_n b_2$. Sea $b_1=\min_{\in_n} B$ y $b_2=\max_{\in_n} B$ los elementos mínimo y máximo de $B$ respecto a $\in_n$. Veamos que $b_1$ y $b_2$ son los elementos mínimo y máximo de $B$ con respecto a $in_z$. Primero, por definición de elemento mínimo y máximo se tiene que $b_1$ y $b_2$ son elementos de $B$ y, en consecuencia, $b_1$ y $b_2$ son también elementos de $z$, ya que $B\subseteq z$. Ahora bien, para cualquier $b\in B\setminus\set{b_1}$ se tiene que $b\in z$ y, por ende, $(b_1,b)\in z\times z$. De manera análoga, $(b,b_2)\in z\times z$ para cualquier $b\in B\setminus\set{b_2}$. Además, $(b_1,b)\in\in_n$ y $(b,b_2)\in\in_n$ para cualquier $b\in B\setminus\set{b_1}$ y cualquier $b\in B\setminus\set{b_2}$ respectivamente. De esta manera, $(b_1,b)\in \in_n\cap(z\times z)=\in_z$ para cualquier $b\in B\setminus\set{b_1}$ y $(b,b_2)\in \in_n\cap(z\times z)=\in_z$ para cualquier $b\in B\setminus\set{b_2}$, lo que muestra que $b_1=\min_{\in_z}B$ y $b_2=\max_{\in_z}B$.
    Por lo tanto, $B$ tiene elemento mínimo y máximo con respecto a la pertenencia en $z$.

Por lo tanto, cualquier conjunto que sea elemento de un número natural va a resultar ser un número natural.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido visto en esta entrada, además de seguir trabajando el concepto de conjunto transitivos.

  • Demuestra que para $z\in n$ con $n$ un número natural. Si $B\not=\emptyset$ con $B\subseteq z$ tiene elemento máximo, entonces $(z, \in_z)$ es un orden total.
  • Prueba que si $x$ es un conjunto transitivo, entonces $\bigcap x$ es un conjunto transtivo.
  • Demuestra que si $x\subseteq y$ y $y$ es un conjunto transitivo, entonces $x$ es un conjunto transitivo.
  • Demuestra que si $n$ es un número natural, entonces $n\notin n$.

Más adelante

En la siguiente entrada definiremos al sucesor de un número natural, a partir de este nuevo concepto probaremos nuevas propiedades que conoceremos para los números naturales.

Enlaces

En el siguiente enlace podrás encontrar más contenido acerca de los números naturales:

Álgebra Superior I: Introducción a números naturales

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