Teoría de los Conjuntos I: Axioma de unión y axioma de par

Introducción

Abarcaremos el axioma de unión y de par, los cuales junto al axioma de comprensión nos permitirán construir un montón de conjuntos nuevos. A partir de esta entrada utilizaremos con mayor frecuencia al conjunto vacío, hasta el momento es el único conjunto que conocemos.

Axiomas de construcción

Axioma de par: Sean $a$ y $b$ conjuntos arbitrarios, existe $c$ un conjunto tal que $x\in c$ si y sólo si $x=a$ o $x=b$.

El axioma del par nos permite construir pares no ordenados, pues para $a$ y $b$ conjuntos, $c=\set{a,b}=\set{b,a}$. En el caso de que $a=b$ tendremos que $c=\set{a,a}=\set{a}$ y le llamaremos conjunto unitario de $a$.

Ejemplo:

Consideremos al conjunto vacío, por axioma de par tenemos que $\set{\emptyset}$ es conjunto. Luego, como $\set{\emptyset}$ es conjunto si volvemos a aplicar el axioma de par tendremos que $\set{\set{\emptyset}}$ es conjunto. Si aplicamos iteradamente el axioma del par tendremos que $\set{\cdots \set{\emptyset}\cdots}$ es conjunto.

$\square$

Si observas con cuidado ahora tenemos una infinidad de colecciones que son conjuntos, todos estos son conjuntos unitarios.

Proposición: Demuestra que $\emptyset\not= \set{\emptyset}$.

Demostración:

Recordemos que para probar que $A\not=B$ para cualesquiera conjuntos $A$ y $B$, queremos probar que $A\not\subseteq B$ o $B\not\subseteq A$. Luego, notemos que $\emptyset\subseteq \set{\emptyset}$ es verdadero por un argumento por vacuidad. Así, debe ocurrir que $\set{\emptyset}\not\subseteq \emptyset$.

Para mostrar que $\set{\emptyset}\not\subseteq\emptyset$ tenemos que exhibir un conjunto $x\in\set{\emptyset}$ tal que $x\notin\emptyset$. Por el axioma del par $\set{\emptyset}$ es un conjunto que tiene como único elemento al conjunto $\emptyset$, es decir, $\emptyset\in\set{\emptyset}$. Luego, como $\emptyset\notin\emptyset$, se sigue que $\set{\emptyset}\not\subseteq\emptyset$. En consecuencia, $\emptyset\not=\set{\emptyset}$.

$\square$

Axioma de unión: Sea $A$ un conjunto arbitrario, existe un conjunto $U$ tal que $x\in U$ si y sólo si existe $y\in A$ tal que $x\in y$.

Ejemplo:

Consideremos los conjuntos $\emptyset$ y $\set{\emptyset}$, luego por axioma de par tenemos que $A=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ es conjunto. Veamos quién es $U$ para el conjunto $A$. Resulta que en este caso, $U=\set{\emptyset}$.

En efecto: si $x\in U$ entonces $x\in y$ para algún $y\in A$. Luego, los únicos elementos de $A$ son $\emptyset$ y $\set{\emptyset}$. Así, $x\in\emptyset$ o $x\in\set{\emptyset}$.

Si $x\in\emptyset$ entonces $x\in\set{\emptyset}$ por vacuidad. La otra posibilidad es que $x\in\set{\emptyset}$. En ambos casos, $x\in\set{\emptyset}$ y, por tanto, $U\subseteq\set{\emptyset}$.

Luego, si $x\in\set{\emptyset}\in A$ se sigue por definición de $U$ que $x\in U$. Así, $\set{\emptyset}\subseteq U$. De esta manera podemos concluir que $U=\set{\emptyset}$.

$\square$

Definición: Sea $A$ un conjunto, el conjunto que nos otorga el axioma de unión se le llama unión de $A$ y se denota por $\bigcup A$.

Definición: Sean $A$ y $B$ conjuntos. Definimos al conjunto $A\cup B=\bigcup\set{A,B}$.

Tarea moral

  • Demuestra que $\set{\emptyset}\not=\set{\set{\emptyset}}$, $\set{\set{\emptyset}}\not=\set{\set{\set{\emptyset}}}$,…
  • Sean $A$ y $B$ conjuntos, prueba que $A=B$ si y sólo si $\set{A}=\set{B}$.
  • Prueba que $\set{\set{\emptyset, \set{\emptyset}}, \set{\set{\emptyset}}}$ es conjunto.
  • Calcula $\bigcup\set{\set{\emptyset, \set{\emptyset}}, \set{\set{\emptyset}}}$.

Más adelante

En la siguiente sección continuaremos con el axioma del conjunto potencia, con ello tendremos las herramientas suficientes para hablar acerca del álgebra de conjuntos. Además probaremos algunas contenciones importantes entre conjuntos.

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