Teoría de los Conjuntos I: Diferencia simétrica

Introducción

En esta nueva sección hablaremos acerca de una nueva operación entre conjuntos: la diferencia simétrica. Abordaremos este tema demostrando algunos resultados con ayuda del álgebra de conjuntos. Algunos otros los probaremos con el método de demostración habitual.

Conceptos previos

Definición: Sean $A$ y $B$ conjuntos arbitrarios, definimos la diferencia simétrica de $A$ con $B$, como:

$A\triangle B= (A\setminus B)\cup (B\setminus A)$.

Imagen de diferencia simétrica

Ejemplo:

Consideremos $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $B=\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}$. Tenemos que:

\begin{align*}
A\triangle B&=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\triangle\set{\emptyset,\set{\set{\emptyset}}}\\
&= (\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\setminus\set{\emptyset,\set{\set{\emptyset}}})\cup (\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}\setminus\set{\emptyset,\set{\emptyset}}\\
&=\set{\set{\emptyset}}\cup\set{\set{\set{\emptyset}}}\\
&=\set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}.
\end{align*}

$\square$

Si observamos con detalle el ejemplo anterior podremos notar que el conjunto que nos resulta también es igual a $(A\cup B)\setminus (A\cap B)$. De hecho, no solo ocurre para este caso en particular, sino que ocurre para cualesquiera conjuntos. Vamos a probarlo a continuación:

Proposición: Para cualesquiera $A, B$ conjuntos, se cumple que $A\triangle B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$.

Demostración:

\begin{align*}
A\triangle B&= (A\setminus B)\cup (B\setminus A)\\
&=(A\cap (X\setminus B))\cup (B\cap (X\setminus A))\\
&=(A\cup (B\cap(X\setminus A))\cap ((X\setminus B)\cup (B\cap(X\setminus A)))\\
&=((A\cup B)\cap(A\cup (X\setminus A)))\cap (((X\setminus B)\cup B)\cap ((X\setminus B)\cup(X\setminus A)))\\
&=((A\cup B)\cap X)\cap(X\cap (X\setminus (A\cap B))\\
&=(A\cup B)\cap (X\setminus(A\cap B))\\
&=(A\cup B)\setminus (A\cap B).
\end{align*}

$\square$

Otras equivalencias

Proposición: Sean $A, B$ y $C$ conjuntos. Prueba las siguientes igualdades de conjuntos:

  1. $A\triangle B= (A\cap B^c)\cup (B\cap A^c)$,
  2. $A\triangle B= (A\cup B)\cap (A\cap B)^c$.

Demostración:


  1. \begin{align*}
    (A\cap B^c)\cup(B\cap A^c)&=(A\cap (X\setminus B))\cup (B\cap (X\setminus A))\\
    &=((A\cap (X\setminus B))\cup B)\cap((A\cap (X\setminus B))\cup (X\setminus A))\\
    &=(A\cap (X\setminus B))\cup B)\cap((A\cup (X\setminus A))\cap ((X\setminus B)\cup (X\setminus A)))\\
    &=(A\cap (X\setminus B))\cup B)\cap(X\cap ((X\setminus B)\cup (X\setminus A)))\\
    &=(A\cap (X\setminus B))\cup B)\cap((X\setminus B)\cup (X\setminus A))\\
    &=(A\cap (X\setminus B))\cup B)\cap(X\setminus (B\cap A))\\
    &=((A\cup B)\cap ((X\setminus B)\cup B))\cap (X\setminus (B\cap A))\\
    &=((A\cup B)\cap X)\cap (X\setminus (B\cap A))\\
    &=(A\cup B)\setminus (A\cap B)\\
    &=A\triangle B.
    \end{align*}

  2. \begin{align*}
    A\triangle B&= (A\cup B)\setminus (A\cap B)\\
    &=(A\cup B)\cap (X\setminus (A\cap B))\\
    &=(A\cup B)\cap (A\cap B)^c.
    \end{align*}

$\square$

Propiedades de la diferencia simétrica

Proposición: Sean $A, B$ y $C$ conjuntos. Prueba que se satisfacen las siguientes propiedades:

  1. $A\triangle \emptyset=A$,
  2. $A\triangle A=\emptyset$,
  3. $A\triangle B= B\triangle A$.

Demostración:


  1. \begin{align*}
    A\triangle \emptyset&= (A\setminus\emptyset)\cup (\emptyset\setminus A)\\
    &=A\cup \emptyset=A.
    \end{align*}

  2. \begin{align*}
    A\triangle A&= (A\setminus A)\cup (A\setminus A)\\
    &=\emptyset\cup \emptyset\\
    &=\emptyset.
    \end{align*}

  3. \begin{align*}
    A\triangle B&= (A\setminus B)\cup (B\setminus A)\\
    &=(B\setminus A)\cup (A\setminus B)\\
    &=B\triangle A.
    \end{align*}

$\square$

Proposición: $A\triangle B=\emptyset$ si y sólo si $A=B$.

Demostración:

Supongamos primero que $A=B$, entonces $A\triangle B= (A\setminus B)\cup (B\setminus A)= (A\setminus A)\cup (A\setminus A)=\emptyset\cup \emptyset=\emptyset$.

Por otro lado, si $A\triangle B=\emptyset$, tenemos que $(A\setminus B)\cup (B\setminus A)= \emptyset$. Esto implica que $A\setminus B=\emptyset=B\setminus A$ pues de otra forma la unión de estos conjuntos no resultaría ser el conjunto vacío.
Por un lado, $A\setminus B=\emptyset$ implica que $A\subseteq B$ y $B\setminus A=\emptyset$ infiere que $B\subseteq A$. Por lo tanto, $A=B$.

$\square$

Tarea moral

Para $A$, $B$ y $C$ conjuntos. Demuestra que se satisfacen las siguientes propiedades:

  1. $A\cap (B\triangle C)=(A\cap B)\triangle (A\cap C)$,
  2. Si $A\triangle B= A\triangle C$, entonces $B=C$,
  3. $A\triangle (B\triangle C)=(A\triangle B)\triangle C$,

Más adelante

En la siguiente sección introduciremos nuevos conceptos, definiremos que es un par ordenado y a partir de el definiremos al producto cartesiano.

Enlaces

En en siguiente enlace podrás consultar la sección Teoría de los Conjuntos I: Álgebra de conjuntos de la que podrás apoyarte para seguir los pasos de las demostraciones que hicimos en esta sección.

Aquí podrás consultar más contenido acerca de nuestra próxima entrada: Álgebra Superior I: Parejas ordenadas y producto cartesiano de conjuntos.

3 comentarios en “Teoría de los Conjuntos I: Diferencia simétrica

  1. Hiram Ruiz Esparza Zaballa

    ¿Cómo puedo enviarte una demostración de la asociatividad de la diferencia simétrica? la tengo en un archivo en formato PDF. Me interesan tus comentarios. No tengo página WEB. Gracias.

    Responder

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