Introducción
En esta nueva sección hablaremos acerca de una nueva operación entre conjuntos: la diferencia simétrica. Abordaremos este tema demostrando algunos resultados con ayuda del álgebra de conjuntos. Algunos otros los probaremos con el método de demostración habitual.
Conceptos previos
Definición: Sean $A$ y $B$ conjuntos arbitrarios, definimos la diferencia simétrica de $A$ con $B$, como:
$A\triangle B= (A\setminus B)\cup (B\setminus A)$.

Ejemplo:
Consideremos $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $B=\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}$. Tenemos que:
\begin{align*}
A\triangle B&=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\triangle\set{\emptyset,\set{\set{\emptyset}}}\\
&= (\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\setminus\set{\emptyset,\set{\set{\emptyset}}})\cup (\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}\setminus\set{\emptyset,\set{\emptyset}}\\
&=\set{\set{\emptyset}}\cup\set{\set{\set{\emptyset}}}\\
&=\set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}.
\end{align*}
$\square$
Si observamos con detalle el ejemplo anterior podremos notar que el conjunto que nos resulta también es igual a $(A\cup B)\setminus (A\cap B)$. De hecho, no solo ocurre para este caso en particular, sino que ocurre para cualesquiera conjuntos. Vamos a probarlo a continuación:
Proposición: Para cualesquiera $A, B$ conjuntos, se cumple que $A\triangle B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$.
Demostración:
\begin{align*}
A\triangle B&= (A\setminus B)\cup (B\setminus A)\\
&=(A\cap (X\setminus B))\cup (B\cap (X\setminus A))\\
&=(A\cup (B\cap(X\setminus A))\cap ((X\setminus B)\cup (B\cap(X\setminus A)))\\
&=((A\cup B)\cap(A\cup (X\setminus A)))\cap (((X\setminus B)\cup B)\cap ((X\setminus B)\cup(X\setminus A)))\\
&=((A\cup B)\cap X)\cap(X\cap (X\setminus (A\cap B))\\
&=(A\cup B)\cap (X\setminus(A\cap B))\\
&=(A\cup B)\setminus (A\cap B).
\end{align*}
$\square$
Otras equivalencias
Proposición: Sean $A, B$ y $C$ conjuntos. Prueba las siguientes igualdades de conjuntos:
- $A\triangle B= (A\cap B^c)\cup (B\cap A^c)$,
- $A\triangle B= (A\cup B)\cap (A\cap B)^c$.
Demostración:
\begin{align*}
(A\cap B^c)\cup(B\cap A^c)&=(A\cap (X\setminus B))\cup (B\cap (X\setminus A))\\
&=((A\cap (X\setminus B))\cup B)\cap((A\cap (X\setminus B))\cup (X\setminus A))\\
&=(A\cap (X\setminus B))\cup B)\cap((A\cup (X\setminus A))\cap ((X\setminus B)\cup (X\setminus A)))\\
&=(A\cap (X\setminus B))\cup B)\cap(X\cap ((X\setminus B)\cup (X\setminus A)))\\
&=(A\cap (X\setminus B))\cup B)\cap((X\setminus B)\cup (X\setminus A))\\
&=(A\cap (X\setminus B))\cup B)\cap(X\setminus (B\cap A))\\
&=((A\cup B)\cap ((X\setminus B)\cup B))\cap (X\setminus (B\cap A))\\
&=((A\cup B)\cap X)\cap (X\setminus (B\cap A))\\
&=(A\cup B)\setminus (A\cap B)\\
&=A\triangle B.
\end{align*}
\begin{align*}
A\triangle B&= (A\cup B)\setminus (A\cap B)\\
&=(A\cup B)\cap (X\setminus (A\cap B))\\
&=(A\cup B)\cap (A\cap B)^c.
\end{align*}
$\square$
Propiedades de la diferencia simétrica
Proposición: Sean $A, B$ y $C$ conjuntos. Prueba que se satisfacen las siguientes propiedades:
- $A\triangle \emptyset=A$,
- $A\triangle A=\emptyset$,
- $A\triangle B= B\triangle A$.
Demostración:
\begin{align*}
A\triangle \emptyset&= (A\setminus\emptyset)\cup (\emptyset\setminus A)\\
&=A\cup \emptyset=A.
\end{align*}
\begin{align*}
A\triangle A&= (A\setminus A)\cup (A\setminus A)\\
&=\emptyset\cup \emptyset\\
&=\emptyset.
\end{align*}
\begin{align*}
A\triangle B&= (A\setminus B)\cup (B\setminus A)\\
&=(B\setminus A)\cup (A\setminus B)\\
&=B\triangle A.
\end{align*}
$\square$
Proposición: $A\triangle B=\emptyset$ si y sólo si $A=B$.
Demostración:
Supongamos primero que $A=B$, entonces $A\triangle B= (A\setminus B)\cup (B\setminus A)= (A\setminus A)\cup (A\setminus A)=\emptyset\cup \emptyset=\emptyset$.
Por otro lado, si $A\triangle B=\emptyset$, tenemos que $(A\setminus B)\cup (B\setminus A)= \emptyset$. Esto implica que $A\setminus B=\emptyset=B\setminus A$ pues de otra forma la unión de estos conjuntos no resultaría ser el conjunto vacío.
Por un lado, $A\setminus B=\emptyset$ implica que $A\subseteq B$ y $B\setminus A=\emptyset$ infiere que $B\subseteq A$. Por lo tanto, $A=B$.
$\square$
Tarea moral
Para $A$, $B$ y $C$ conjuntos. Demuestra que se satisfacen las siguientes propiedades:
- $A\cap (B\triangle C)=(A\cap B)\triangle (A\cap C)$,
- Si $A\triangle B= A\triangle C$, entonces $B=C$,
- $A\triangle (B\triangle C)=(A\triangle B)\triangle C$,
Más adelante
En la siguiente sección introduciremos nuevos conceptos, definiremos que es un par ordenado y a partir de este concepto definiremos al producto cartesiano.
Enlaces
- En en siguiente enlace podrás consultar la sección Teoría de los Conjuntos I: Álgebra de conjuntos de la que podrás apoyarte para seguir los pasos de las demostraciones que hicimos en esta sección.
- Entrada anterior: Teoría de los Conjuntos I: Álgebra de conjuntos
- Siguiente entrada: Teoría de los Conjuntos I: Parejas ordenadas y producto cartesiano
¿Cómo puedo enviarte una demostración de la asociatividad de la diferencia simétrica? la tengo en un archivo en formato PDF. Me interesan tus comentarios. No tengo página WEB. Gracias.
Hola Hiram. Por ahora no tenemos la capacidad de ir revisando PDFs que nos envíen, pues andamos con mucha chamba trabajando en Matemáticas a Distancia (https://www.mdistancia.com). Pero hay otros foros donde podrías subirlo, por ejemplo, el grupo de Facebook de Matemáticos.
Gracias
Pingback: Cálculo de probabilidades: ¿Qué es y cómo realizarlo?