Introducción.
En esta entrada trataremos con un tipo particular de conjuntos ordenados, en donde será de mucha importancia el concepto de mínimo. Puedes recordar la definición de mínimo en la entrada Teoría de los Conjuntos I: Mínimos, máximos, minimales y maximales.
Conjuntos bien ordenados
Definición. Sea $(A,\leq)$ un conjunto parcialmente ordenado. Decimos que $A$ es un conjunto bien ordenado si cada subconjunto no vacío de $A$ tiene elemento mínimo. En este caso al orden $\leq$ se le llama buen orden.
Ejemplo.
Consideremos el conjunto $A=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ ordenado con la inclusión. Afirmamos que $(A,\subseteq)$ es un buen orden. En efecto: supongamos que $B\subseteq A$ es un conjunto no vacío. Tenemos distintas posibilidades para $B$ y son las siguientes: $B=\set{\emptyset}$ o bien $B=\set{\set{\emptyset}}$ o bien $B=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$.
Si $B=\set{\emptyset}$, entonces $B$ tiene mínimo y es $\emptyset$. Si $B=\set{\set{\emptyset}}$, entonces $B$ tiene mínimo y es $\set{\emptyset}$. Finalmente, si $B=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$, entones $B$ tiene mínimo y es $\emptyset$, pues $\emptyset\subseteq\emptyset$ y $\emptyset\subseteq\set{\emptyset}$.
Así, en cualquier caso $B$ tiene mínimo. Por lo tanto, $(A,\subseteq)$ es un conjunto bien ordenado.
$\square$
Agrandar un conjunto bien ordenado
El siguiente ejemplo nos dice cómo podríamos conseguir conjuntos bien ordenados paso a paso.
Ejemplo.
Consideremos $A=\set{\emptyset,\set{\emptyset,\set{\emptyset}}}$. Luego, $A$ es un conjunto bien ordenado por la relación de contención. Dado que $A\notin A$, el conjunto $W=A\cup\set{A}$ es un conjunto no vacío distinto de $A$. Definamos la relación de orden $\preceq$ en $W$ como sigue: $A\preceq A$, $a\preceq A$ para todo $a\in A$ y $a_1\preceq a_2$ si y sólo si $a_1\leq a_2$ para cualesquiera $a_1,a_2\in A$ (en este caso $\leq$ es la relación de contención en $A$).
Notemos que esta nueva relación de orden definida en $W$ coincide con la relación de orden de $A$ si nos restringimos únicamente a comparar elementos de $A$.
Afirmamos que $(W,\preceq)$ es un conjunto bien ordenado. Para mostrarlo supongamos que $B\subseteq W=A\cup\set{A}$ es un conjunto no vacío y veamos que tiene mínimo en el orden $\preceq$. Si $B=\set{A}$, entonces el mínimo de $B$ es $A$.
Podemos suponer ahora que $B\cap A\not=\emptyset$. Como $B\cap A\subseteq A$ es un conjunto no vacío, entonces tiene un elemento mínimo en el orden $\leq$. Sea $b\in B\cap A$ el mínimo de este conjunto en el orden $\leq$ y veamos que $b\preceq x$ para cualquier $x\in B$. Supongamos entonces que $x\in B$ es cualquier elemento. Si $x\in B\cap A$, entonces $b\leq x$ y en consecuencia, $b\preceq x$. Si ahora $x\notin B\cap A$ se sigue que $x=A$ y, por definición de la relación $\preceq$, sabemos que $b\preceq A$, por lo que $b\preceq x$. De esta manera, $b=\min(B)$ en el orden $\preceq$.
Esto demuestra que cualquier subconjunto no vacío de $W$ tiene mínimo y, por tanto, $(W,\preceq)$ es un conjunto bien ordenado.
$\square$
Si tenemos un conjunto $A$ cualquiera, ¿será posible siempre darle un buen orden? Uno podría intentar hacer algo similar al ejemplo anterior. Comenzar con un elemento $a\in A$ e incluir a la pareja $(a,a)$ en el orden. Luego, tomar otro elemento distinto $b\in A$ y ponerlo como el elemento más grande poniendo las parejas $(a,b)$ y $(b,b)$. Y luego se podría poner un tercer elemento $c$ como el más grande, poniendo las parejas $(a,c)$, $(b,c)$, $(c,c)$. Podríamos intentar decir que se puede seguir «así sucesivamente», pero esto es informal y no está justificado por los axiomas. Aparentemente, tenemos que elegir elementos de $A$ una y otra vez para declararlos el nuevo máximo. Si $A$ es infinito, esto implica algo así como hacer una infinidad de elecciones. ¿Esto te recuerda a otros problemas que hemos enfrentado? ¡Sí! Una vez más nos encontramos con una dificultad que se superará una vez que hablemos del axioma de elección.
Bien ordenado implica totalmente ordenado
Ahora, veamos una consecuencia directa de que un conjunto sea bien ordenado.
Proposición. Si $(A,\leq)$ es un conjunto bien ordenado, entonces, $(A,\leq)$ es un conjunto totalmente ordenado.
Demostración.
Como $(A,\leq)$ es un conjunto bien ordenado, entonces, todo subconjunto no vacío de $A$ tiene elemento mínimo. Así, si tomamos dos elementos cualesquiera $a_1,a_2\in A$ se sigue que $\set{a_1,a_2}$ es un subconjunto no vacío de $A$, por lo que tiene elemento mínimo. En consecuencia, $a_1\leq a_2$ o $a_2\leq a_1$.
Esto demuestra que cualesquiera dos elementos de $A$ son $\leq-$comparables, por lo que $(A,\leq)$ es un conjunto totalmente ordenado.
$\square$
Otros cuántos resultados de buenos órdenes
Veamos ahora algunos resultados relacionados con conjuntos acotados en un conjunto bien ordenado.
Proposición. Sea $(A,\leq)$ un conjunto bien ordenado. Se cumple lo siguiente:
Si $B\subseteq A$ es un conjunto acotado superiormente, entonces, $B$ tiene supremo.
Demostración.
Sea $(A,\leq)$ un conjunto bien ordenado.
Supongamos que $B\subseteq A$ es un conjunto acotado superiormente. Sea $C=\set{a\in A:(\forall b\in B)(b\leq a)}$, el cual es un subconjunto no vacío de $A$, pues por hipótesis $B$ está acotado superiormente, es decir, existe $a\in C$.
Como $A$ está bien ordenado por $\leq$, entonces, existe el mínimo de $C$ en el orden $\leq$, es decir, existe $c\in A$ tal que $c=\min(C)$. Luego, como $c$ es el mínimo del conjunto de cotas superiores de $B$, concluimos por lo que vimos en la entrada anterior que $c=\sup(B)$.
Esto demuestra que todo subconjunto de $A$ que esté acotado superiormente tiene supremo, lo cual concluye la prueba.
Por la proposición anterior y el hecho de que todo subconjunto no vacío de un conjunto bien ordenado tiene mínimo, podemos concluir lo siguiente:
Si $(A,\leq)$ es un conjunto bien ordenado y $B\subseteq A$ es no vacío y acotado superiormente (inferiormente), entonces, $B$ tiene una mínima cota superior (máxima cota inferior).
$\square$
Hay que tener cuidado, pues en un conjunto bien ordenado los subconjuntos acotados inferiormente no necesariamente tienen ínfimo.
Tarea moral
La siguiente lista de ejercicios te ayudará a reforzar lo aprendido en esta sección:
- Sean $(A, \leq_A)$ y $(B, \leq_B)$ conjuntos bien ordenados. Demuestra que el orden lexicográfico horizontal en $A\times B$ es un buen orden.
- Sea $(A,\leq)$ un conjunto bien ordenado. Muestra que cualquier subconjunto no vacío $B$ tiene ínfimo.
- Demuestra que si $A$ admite un buen orden, entonces $\mathcal{P}(A)$ admite un orden total.
- Sea $(A, \leq_A)$ un conjunto totalmente ordenado. Prueba que existe $L\subseteq A$ tal que
1) $\leq_A$ es un buen orden en $L$,
2) para cualquier $x\in A$ existe $y\in L$ tal que $x\leq_A y$.
Más adelante…
En ocasiones tenemos dos conjuntos $A$ y $B$ con órdenes parciales $\leq_A$ y $\leq_B$ aparentemente distintos, pero que en el fondo se comportan igual. En la siguiente entrada hablaremos de una noción que nos permitirá decir cuándo dos conjuntos parcialmente ordenados son «básicamente el mismo». Esto lo haremos mediante funciones biyectivas que preservan el orden, a las que llamaremos isomorfismos.
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- Entrada relacionada: Álgebra Superior II: El principio del buen orden
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»