Introducción
En esta sección hablaremos acerca de algunas propiedades de la imagen y la imagen inversa de un conjunto bajo una función, dichas propiedades hablan de como se comportan estos conjuntos con respecto a la unión, la intersección y la diferencia.
Propiedades
Teorema: Sean $X$ y $Y$ conjuntos y sea $f:X\to Y$ una función. Sean $X_1,X_2\subseteq X$ y $Y_1, Y_2\subseteq Y$. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
- Si $X_1\subseteq X_2$, entonces $f[X_1]\subseteq f[X_2]$,
- $f[X_1\cup X_2]=f[X_1]\cup f[X_2]$,
- $f[X_1\cap X_2]\subseteq f[X_1]\cap f[X_2]$,
- $f[X_1]\setminus f[X_2]\subseteq f[X_1\setminus X_2]$,
- Si $Y_1\subseteq Y_2$, entonces $f^{-1}[Y_1]\subseteq f^{-1}[Y_2]$,
- $f^{-1}[Y_1\cup Y_2]=f^{-1}[Y_1]\cup f[Y_2]$.
Demostración:
1) Supongamos que $X_1\subseteq X_2$ y veamos que $f[X_1]\subseteq f[X_2]$.
Sea $y\in f[X_1]$, entonces existe $x\in X_1$ tal que $f(x)=y$. Dado que $X_1\subseteq X_2$, entonces existe $x\in X_2$ tal que $f(x)=y$, esto es $y\in f[X_2]$.
Por lo tanto, $f[X_1]\subseteq f[X_2]$.
2) Veamos que $f[X_1\cup X_2]=f[X_1]\cup f[X_2]$.
$\subseteq$] Sea $y\in f[X_1\cup X_2]$, entonces existe $x\in X_1\cup X_2$ tal que $f(x)= y$. Entonces existe $x\in X_1$ o $x\in X_2$ tal que $f(x)=y$.
Si $x\in X_1$ tal que $f(x)=y$ entonces $y\in f[X_1]$ y por lo tanto $y\in f[X_1]\cup f[X_2]$.
Si $x\in X_2$ tal que $f(x)=y$ entonces $y\in f[X_2]$ y por lo tanto $y\in f[X_1]\cup f[X_2]$.
Por lo tanto, $f[X_1\cup X_2]\subseteq f[X_1]\cup f[X_2]$.
$\supseteq$] Sea $y\in f[X_1]\cup f[X_2]$, entonces $y\in f[X_1]$ o $y\in f[X_2]$.
Si $y\in f[X_1]$, entonces existe $x\in X_1$ tal que $f(x)=y$. Luego, como $X_1\subseteq X_1\cup X_2$, tenemos que $x\in X_1\cup X_2$. Por lo tanto, existe $x\in X_1\cup X_2$ tal que $f(x)=y$, esto es $y\in f[X_1\cup X_2]$.
Si $y\in f[X_2]$, entonces existe $x\in X_2$ tal que $f(x)=y$. Luego, como $X_2\subseteq X_1\cup X_2$, tenemos que $x\in X_1\cup X_2$. Por lo tanto, existe $x\in X_1\cup X_2$ tal que $f(x)=y$, esto es $y\in f[X_1\cup X_2]$.
Por lo tanto, $f[X_1]\cup f[X_2]\subseteq f[X_1\cup X_2]$.
De las contenciones que demostramos tenemos que $f[X_1]\cup f[X_2]=f[X_1\cup X_2]$.
3) Ahora veamos que $f[X_1\cap X_2]\subseteq f[X_1]\cap f[X_2]$.
Sea $y\in f[X_1\cap X_2]$, entonces existe $x\in X_1\cap X_2$ tal que $f(x)= y$. Entonces existe $x\in X_1$ y $x\in X_2$ tal que $f(x)=y$.
Entonces existe $x\in X_1$ tal que $f(x)=y$ y existe $x\in X_2$ tal que $f(x)=y$, de donde $y\in f[X_1]$ y $y\in f[X_2]$. Por lo tanto, $y\in f[X_1]\cap f[X_2]$.
Así, $f[X_1\cap X_2]\subseteq f[X_1]\cap f[X_2]$.
4) A continuación mostraremos que $f[X_1]\setminus f[X_2]\subseteq f[X_1\setminus X_2]$.
Sea $y\in f[X_1]\setminus f[X_2]$, entonces $y\in f[X_1]$ y $y\notin f[X_2]$.
Dado que $y\in f[X_1]$, entonces existe $x\in X_1$ tal que $f(x)=y$. Luego, como $y\notin f[X_2]$ entonces para cualquier $a\in X_2$, $f(a)\not=y$. Resulta que $x\notin X_2$ pues de lo contrario $f(x)\not=y$ lo cual no puede ocurrir.
Por lo tanto, existe $x\in X_1\setminus X_2$ tal que $f(x)=y$, esto es, $y\in f[X_1\setminus X_2]$.
5) Supongamos que $Y_1\subseteq Y_2$ y veamos que $f^{-1}[Y_1]\subseteq f^{-1}[Y_2]$.
Sea $x\in f^{-1}[Y_1]$, entonces existe $y\in Y_1$ tal que $f(x)=y$. Dado que $Y_1\subseteq Y_2$, entonces existe $y\in Y_2$ tal que $f(x)=y$, esto es $x\in f^{-1}[Y_2]$.
Por lo tanto, $f^{-1}[Y_1]\subseteq f^{-1}[Y_2]$.
6) Finalmente veamos que $f^{-1}[Y_1\cup Y_2]=f^{-1}[Y_1]\cup f^{-1}[Y_2]$.
Sea $x\in f^{-1}[Y_1\cup Y_2]$, entonces existe $y\in Y_1\cup Y_2$ tal que $f(x)=y$. Luego, como $y\in Y_1\cup Y_2$ se tiene que $y\in Y_1$ o $y\in Y_2$.
Si $y\in Y_1$, entonces existe $y\in Y_1$ tal que $f(x)=y$, es decir, $x\in f^{-1}[Y_1]$. Por lo tanto $x\in f^{-1}[Y_1]\cup f^{-1}[Y_2]$.
Si $y\in Y_2$, entonces existe $y\in Y_2$ tal que $f(x)=y$, es decir, $x\in f^{-1}[Y_2]$. Por lo tanto $x\in f^{-1}[Y_1]\cup f^{-1}[Y_2]$.
$\square$
¿Por qué $f[X_1\cap X_2]\not=f[X_1]\cap f[X_2]$?
Ya vimos que $f[X_1\cap X_2]\subseteq f[X_1]\cap f[X_2]$, por lo que al igual que con la unión podríamos pensar que se da la igualdad entre los conjuntos. Sin embargo, vamos a ver que $f[X_1]\cap f[X_2]\not\subseteq f[X_1\cap X_2]$.
Con el siguiente ejemplo mostraremos que no siempre es posible que $f[X_1]\cap f[X_2]\not\subseteq f[X_1\cap X_2]$.
Ejemplo:
Sean $X=\set{0,1,2}$ y $Y=\set{1,2,3}$ conjuntos y sea $f:X\to Y$ una función dada por el conjunto $f(x)=2$ Sean $X_1=\set{0,1}$ y $X_2=\set{2}$ subconjuntos de $X$.
Por un lado tenemos que $X_1\cap X_2=\set{0,1}\cap \set{2}=\emptyset$, por lo que $f[X_1\cap X_2]=f[\emptyset]= \emptyset$.
Por otro lado, $f[X_1]=f[\set{0,1}]=\set{2}$ y $f[X_2]=f[\set{2}]=\set{2}$. Así, $f[X_1]\cap f[X_2]=\set{2}$.
Por lo tanto, $f[X_1]\cap f[X_2]\not\subseteq f[X_1\cap X_2]$.
$\square$
¿Por qué $f[X_1\setminus X_2]\not=f[X_1]\setminus f[X_2]$?
Ya vimos que $f[X_1]\setminus f[X_2]\subseteq f[X_1\setminus X_2]$, pero va a resultar que la contención de regreso no es posible, es decir, $f[X_1\setminus X_2]\not\subseteq f[X_1]\setminus f[X_2]$.
Con el siguiente ejemplo mostraremos que no siempre es posible que $f[X_1\setminus X_2]\not\subseteq f[X_1]\setminus f[X_2]$.
Ejemplo:
Sean $X=\set{0,1,2}$ y $Y=\set{1,2,3}$ conjuntos y sea $f:X\to Y$ una función dada por $f(x)=2$ Sean $X_1=\set{0,1}$ y $X_2=\set{1,2}$ subconjuntos de $X$.
Por un lado tenemos que $X_1\setminus X_2=\set{0,1}\setminus \set{1,2}=\set{0}$, por lo que $f[X_1\setminus X_2]=f[\set{0}]= \set{2}$.
Por otro lado, $f[X_1]=f[\set{0,1}]=\set{2}$ y $f[X_2]=f[\set{1,2}]=\set{2}$. Así, $f[X_1]\setminus f[X_2]=\emptyset$.
Por lo tanto, $f[X_1\setminus X_2]\not\subseteq f[X_1]\setminus f[X_2]$.
$\square$
Composición de funciones
Definición: Sean $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ funciones. Definimos a la composición de $f$ con $g$ como la función $g\circ f:X\to Z$ dada por $g\circ f(x)= g(f(x))$ para cualquier $x\in X$.
Teorema: Si $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ son funciones, entonces $g\circ f:X\to Z$ es función.
En la sección de composición de relaciones vimos que si $f$ y $g$ son relaciones, entonces $g\circ f$ es relación, por lo que resta ver que si $(a,b)\in g\circ f$ y $(a,c)\in g\circ f$, entonces $b=c$.
Supongamos que $(a,b)\in g\circ f$ y $(a,c)\in g\circ f$, esto es $b=g(f(a))$ y $c=g(f(a))$ y por lo tanto, $b=c$.
$\square$
Ejemplo:
Sea $f:\set{1,2}\to \set{2,4}$ y $g:\set{2,4}\to \set{3,5}$ funciones dadas por $f(x)= 2x$ y $g(x)=x+1$ respectivamente. Entonces $g\circ f:\set{1,2}\to \set{3,5}$ está dada por:
$g\circ f(x)=g(f(x))=g(2x)=2x+1$
Por lo que,
- $g\circ f(1)=2(1)+1=2+1=3$,
- $g\circ f(2)= 2(2)+1=4+1=5$.
De modo que los elementos de $g\circ f$ son $(1,3)$ y $(2,5)$.
$\square$
Tarea moral
a) Demuestra que si $X$ y $Y$ son conjuntos y $f:X\to Y$ una función. Sean $X_1\subseteq X$ y $Y_1, Y_2\subseteq Y$. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
- $f^{-1}[Y_1\cap Y_2]=f^{-1}[Y_1]\cap f[Y_2]$,
- $f^{-1}[Y_1\setminus Y_2]=f^{-1}[Y_1]\setminus f[Y_2]$,
- $X_1\subseteq f^{-1}[f[X_1]]$,
- $f[f^{-1}[B_1]]\subseteq B_1$.
b) Demuestra que la composición de funciones es asociativa.
Más adelante…
La siguiente sección estará dedicada a funciones inyectivas. Este tipo de funciones nos dirán como se comportan los elementos del dominio, específicamente si van a dar a uno y solo un elemento del codominio. Este tema será de gran importancia pues en muchas ocasiones tendremos que verificar si se satisface esta propiedad.
Enlaces
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Profesor Leonardo, buenas tardes, me atreví a mandarle a su correo de la UNAM (temina en ciencias, punto unam, punto, mx) para que me haga el inmenso favor de revisarme un ejercicio que hice. ¿Aún usa ese correo? Si sí, ¿podría hacerme el favor de revisarlo? Si no, ¿podría hacerme el favor de darme uno que sí use para podrle enviarle mi propuesta de solución y que usted me haga el favor y revise? ¡Gracias!
Hola. Ya te respondí por el correo.