Teoría de los Conjuntos I: Paradoja de Russell

Introducción

En esta sección tendremos un acercamiento a una de las grandes controversias que tuvo la teoría de los conjuntos: la paradoja de Russell, también llamada paradoja del barbero. A su vez estudiaremos desde la perspectiva de Russell al contradictorio conjunto de todos los conjuntos, el cual de hecho, no es un conjunto.

La paradoja del barbero

“En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos solo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por si mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:

-En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto ¡no debería afeitarme!. Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡pero como yo soy el único barbero de allí!

El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz y barbón.”

Si analizamos la historia anterior, As-Samet estaba metido en verdaderos problemas debido al mandato del emir. Dado que As-Samet era barbero podía afeitarse a sí mismo, entonces el barbero no debía afeitarlo. Sin embargo, decir que él mismo se puede afeitar es igual a decir que el barbero lo afeitará y eso desobedece el mandato, por lo tanto no debe afeitarse.

Ahora, como no se puede afeitar a sí mismo, entonces el barbero debe afeitarlo, es decir, él debe afeitarse, y eso también desobedece el mandato. Por lo tanto, As-Samet debe afeitarse si y solo si As-Samet no debe afeitarse, lo cual es un absurdo.

Formalización de la paradoja del barbero

Como es común, en matemáticas buscamos formalizar absolutamente todo, por lo que a continuación presentaremos esta paradoja dando una propiedad y un conjunto $B=\set{x: P(x)}$. El conjunto $B$ será una prueba de que no cualquier colección será un conjunto. Para construir conjuntos haremos uso obligatorio de los axiomas que ya mencionamos y que iremos viendo en las siguientes secciones.

Sea “$P(x): x\notin x$” que se interpreta como los conjuntos $x$ que no se pertenecen a sí mismos. Definimos $B=\set{x:P(x)}$ , tenemos lo siguientes casos para el conjunto $B$:

  • Si $B\in B$, entonces $P(B)$ se cumple, es decir, $B\notin B$.
  • Si $B\notin B$, entonces $P(B)$ no se satisface, es decir, no es cierto que $B\notin B$, por lo que $B\in B$.

Ahora, si juntamos los casos anteriores tendremos que $B\in B$ si y sólo si $B\notin B$, lo cual es siempre falso. Por lo tanto, es imposible que $B$ sea un conjunto, sin embargo $B$ si es una colección.

El conjunto de todos los conjuntos

Proposición: El conjunto de todos los conjuntos no existe.

Demostración: (Por reducción al absurdo)

Supongamos que el conjunto de todos los conjuntos si existe. Sea $V$ dicho conjunto y consideremos $P(x): x\notin x$, tenemos que $A=\set{x\in V: x\notin x}$ es un conjunto por el axioma de comprensión. De modo que $A\in V$ pues $V$ tiene a todos los conjuntos, además $P(A)$ puede o no ser verdadero, evaluemos los dos casos posibles.

  • Si $P(A)$ es verdadero, entonces $A\notin A$ y por lo tanto, $A\in A$.
  • Si $P(A)$ es falso, entonces $A\in A$ y por lo tanto, $A\notin A$.

Por lo tanto, $A\in A$ si y sólo si $A\notin A$ lo cuál es una contradicción. Dado que está vino de suponer que $V$ es un conjunto, concluimos que el conjunto de todos los conjuntos no existe.

$\square$

Denotaremos a $V$ como la colección de todos los conjuntos. Dado que $V$ no es un conjunto, le llamaremos colección o clase en este curso.

La conclusión que obtenemos es que para dar un conjunto requerimos más que una propiedad, necesitamos también que los elementos que satisfagan dicha propiedad sean elementos de algo que previamente ya sabemos es un conjunto. Este problema lo soluciona el axioma de comprensión.

Más adelante…

En la siguiente sección hablaremos de axiomas de construcción: el axioma del par, axioma de unión. Estos últimos junto con el axioma de comprensión nos permitirán construir nuevos conjuntos.

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